1242994334勾股定理的史料及應(yīng)用

1、勾股定理的歷史勾股定理是“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個(gè)基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？我可以告訴大家，有：畢達(dá)哥拉斯定理，商高 定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三 角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這個(gè)定理有十分悠久的歷史, 幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。 勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉 斯（Pythagoras ,公元前572?公元前497?）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢 達(dá)哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學(xué)家歐

2、幾里得（ Euclid , 公元前330公元前275）在巨著幾何原本 （第I卷，命題47）中給出一個(gè)很 好的證明。（右圖為歐幾里得和他的證明圖）中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作一一周髀算經(jīng)的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識(shí)的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形矩得到的一條直角邊勾等于3,另一條直角邊股等于4的時(shí)候，那么它的斜邊弦就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治

3、水的時(shí)候就總結(jié)出來的呵?！比绻f大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年 。其中所說的勾3股4弦5,正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為“勾股定理”是非常恰當(dāng)?shù)摹Ｔ谏院笠稽c(diǎn)的九章算術(shù)一書中（約在公元50至100年間）（右圖），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書中的勾股章說；“把勾和股中國古分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦”。代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了

4、一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明（右圖）。趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用以形證數(shù)的方法，中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。勾股定理的證明據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，勾股定理的

5、證明方法已經(jīng)多達(dá)400多種了。下面我便向大家介紹幾種十分著名的證明方法?！咀C法1（趙爽證明）以a、b為直角邊（ba）,以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角1ab形，則每個(gè)直角三角形的面積等于2 .把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀. Rt A DAH 9 Rt A ABE, / HDA = / EAB / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 90o, ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = b a，/HEF = 90o.EFGH是一個(gè)邊長為b-a的正方形，它的面積等于 （b - a f .4ab +（b -a f =

6、c222,22a +b =c .【證法2】（課本的證明）做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直 角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個(gè)邊長分 別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩 個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a + b22121a b 4 ab = c 4 ab22222,整理得 a +b =c.【證法3】（1876年美國總統(tǒng) Garfield 證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直1ab TOC o 1-5 h z 角三角形的面積等于 2 .把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上. Rt A EAD 9 R

7、t A CBE,/ ADE = / BEC/ AED + Z ADE = 90 o,/ AED + / BEC = 90o.12cZ DEC = 180o-90o= 90o. . A DEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于2又 /DAE = 90o, /EBC = 90 o,AD / BC ABCD122ab是一112個(gè)直角梯形，它2（a+b）的面積等于=2 ab 一 ca2 b2 = c2【趣聞】：在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞 黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè) 小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神

8、地談?wù)撝裁矗瑫r(shí)而大聲爭論，時(shí)而小聲探討。由于好奇心 驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。只見一個(gè)小男孩正俯著身 子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個(gè)小男孩頭也不3和4,那么斜邊長為多少呢？”伽抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為5和7,那么這個(gè)直角三角菲爾德答到：“是 5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步

9、，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)。”證法。【證法4（歐幾里得證明）1876年4月1日，伽1881 年,做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀,使H、C B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié) BR CD 過C作CL DE交AB 于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn)L. AF = AC , AB = AD, / FAB = / GAD，A FAB A GAD1 2a A FAB的

10、面積等于2,A GAD勺面積等于矩形ADLM勺面積的一半,矩形ADLM勺面積= 正方形ADEB的面積222rrc =a +b ,即22a .同理可證，矩形 MLEB勺面積=b .=矩形ADLM的面積+矩形MLEB勺面積222a b = c【證法5】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在Rt A ABC中，設(shè)直角邊 AG BC的長度分別為a、b,斜邊 的長為c,過點(diǎn)C作CD! AB,垂足是 D.在 AADCAACB 中， / ADC = / ACB = 90o, / CAD = /BAG2A ADC s A ACB . . AD： AC = AC : AB,即 AC =AD,AB.2同理可證，ACD

11、B s A ACB從而有BC =BD,AB. AC2 +BC2 =（AD +DB AB =AB2 即 a2 +b2 = c2伽菲爾德就任美國ABaD c/ AHE = / BEFZAEH + Z BEF = 90 o.，/ HEF = 180o90o=c的正方形.它的面積等于c2./ HGD= / EHA/ EHA + / GHD = 90o.ccaBA a【證法6】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形1 .一-ab的面積等于2 .把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所不形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上， C G D三點(diǎn)在一條直

12、線上. Rt A HAE 9 Rt A EBF, ZAEH + Z AHE = 90o, 90o.四邊形EFGH一個(gè)邊長為 Rt A GDH 9 Rt A HAE, Z HGD + Z GHD = 90o,又 /GHE = 90o, Z DHA = 90o+ 90 o= 180 o.2. ABCD是一個(gè)邊長為a + b的正方形，它的面積等于(a+b).2.22a b =c【證法7】(利用切割線定理證明)在Rt A ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b ,斜邊 AB = c .如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交 AB及AB的延長線分別于 D E,則BD = BE = BC = a.因

13、為/ BCA = 90o,點(diǎn)C在O B,所以 AC是。B的切線.由切 割線定理，得AC2 = AE AD = (AB +BE (AB - BD )=(c + a1c-a)= c2-a2,即 b2 =c2 - a2,a2 +b2 =c2.【證法8（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在Rt A ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b ,斜邊 AB = c .作Rt 切圓。O,切點(diǎn)分別為 D E、F （如圖），設(shè)。O的半徑為r. AE = AF , BF = BD, CD = CE,.AC BC - AB = AE CE BD CD - AF BF=CE +CD = r + r = 2r, 即.

14、 2-2a+b=2r+c. （a+b ） = （2r+c ）即a b - c = 2r2ab = 4 r2 rcc2又: S.ABC = S.AOB S.BOC12r C C r=2=4（r + re ）= 4SbcS1cr 1arSAoc = 221 br213abe r一 一 ） a2 +b2 +2ab=2ab+c2,r2 rc ,4 r2 rc = 2ab2,22a b = c2ab = 4SABC勾股定理的應(yīng)用、填空題.在 RtABC中，/ C=90 ,若 a=5, b=12,貝U c=c=10,則 b=;若 c=61, b=60,貝U a=;若a=8,;若 a : b=3 : 4,c

15、=10 貝 U Saabc=.如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)B200m,結(jié)果他在水中實(shí)際游了 520m,求該河流的寬度為.如圖，/ OAB= / OBC= / OCD=90 , AB=BC=CD=1 , OA=2 ,貝Uod2=.已知直角三角形兩直角邊的長分別為3cm,4cm,第三邊上的高為.等腰 ABC中,AB=AC=17cm BC=16cm 貝U BC邊上的高 AD=B 200m c520mC偏離欲到達(dá)點(diǎn).在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為2米，問這里水深是A7cmOOCD米。DBA、25B、14

16、C、72 .在直角三角形中，斜邊與較小直角邊的和、差分別為D、7 或 258、2,則較長直角邊長為（.在 A ABC中，若 Ad + BC2 = AC2,貝U/A + Z C=.如圖，直角三角形的兩直角邊長分別是6cm和8cm,則帶陰影的正方形面積是.如圖，所有的四邊形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方形 A, B, C, D的面積之和為2 cm o.在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走 到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂 D后直接躍到 A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高二.選擇題1 .已知一個(gè) R

17、t的兩邊長分別為 3和4,則第三邊長的平方是（AA5 B4 C3 D2.如圖，在水塔O的東北方向32m處有一抽水站 A,在水塔的東南方向24m處有 TOC o 1-5 h z 一建筑工地B,在AB間建一條直水管，則水管的長為（）A45cm B40cm C50cm D56cm.小豐媽媽買了一部 29英寸（74cm）電視機(jī)，下列對29英寸的說法中正確的是A.小豐認(rèn)為指的是屏幕的長度；B.小豐的媽媽認(rèn)為指的是屏幕的寬度；C.小豐的爸爸認(rèn)為指的是屏幕的周長；D.售貨員認(rèn)為指的是屏幕對角線的長度.已知，如圖長方形 ABCD43, AB=3cm AD=9cm將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為 EF,

18、則4 ABE的面積為（）A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2.已知，如圖，一輪船以 16海里/時(shí)的速度從港口 A出發(fā)向東北方向 航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口 A出發(fā)向東南方向航行， 離開港口 2小時(shí)后，則兩船相距（）A、25海里 B、30海里C、35海里D、40海里.如圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC ,若小方格邊長為1,則4ABC是（ （A）直角三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）以上答案都不對.男孩戴維是城里的飛盤冠軍， 戈里是城里最可惡的踩高蹺的人， 兩人約 定一比高低.戴維直立肩高 1.5米，他投飛盤很有力，但需在 13米內(nèi)才有 威力；戈里踩高蹺時(shí)鼻子離地 6.5米，他的鼻子是他惟一的弱點(diǎn). 戴維需離戈里（）遠(yuǎn)時(shí)才能剛好擊中對方的鼻子而獲勝.A. 13 米 B . 12 米 C. 8 米 D . 5 米