7 力矩分配法 --結(jié)構(gòu)力學(xué)

1、第7章 力矩分配法 Moment Distribution Method中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)結(jié)構(gòu)力學(xué)課程系列七 工程技術(shù)學(xué)院土木教研室主要內(nèi)容:9-1 力矩分配法的根本概念9-2 力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無(wú)結(jié) 點(diǎn)線位移剛架9-3 超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)小結(jié)91 力矩分配法的根本概念一、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：使A端旋轉(zhuǎn)單位角度時(shí)，在A端需加的力矩稱為AB 桿在A 端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。表示：SABABMAB=1=1lABSAB=1lABSAB=1lABSAB=1lSAB 與 i 和遠(yuǎn)端支承情況有關(guān)，i SAB 。SAB 表示桿端抵抗轉(zhuǎn)動(dòng)的能力。力矩分配法14532M二、分配系數(shù)：力矩平衡方程：1力矩分配法匯交于結(jié)點(diǎn)1的

2、各桿在1端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之和力矩分配法下標(biāo) j 為匯交于1點(diǎn)的各桿之遠(yuǎn)端，j2、3、4、5各桿在1端的彎矩與該桿在1端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度成正比。各桿在1端的彎矩等于外力矩乘上一個(gè)相應(yīng)的系數(shù) 1j分配系數(shù)。下標(biāo) i 為近端、j 為匯交于 i 點(diǎn)的各桿之遠(yuǎn)端。力矩分配法各桿的分配彎矩 Mij各桿在i端的分配系數(shù)之和等于1。校核分配系數(shù)的計(jì)算是否正確？力矩分配法三、傳遞系數(shù)：傳遞系數(shù)：遠(yuǎn)端彎矩與近端轉(zhuǎn)動(dòng)端彎矩的比值稱為近端向遠(yuǎn)端的傳遞系數(shù)，簡(jiǎn)稱傳遞系數(shù)。用Cij表示。傳遞彎矩：遠(yuǎn)端彎矩力矩分配法14532M1遠(yuǎn)端固定：遠(yuǎn)端鉸支： 定向支承：力矩分配法四、力矩分配法的概念A(yù)BCP1P2EIEIMABMBAMBCMC

3、BABCP1P2EIEIMBMABMBAMBCMCBFFFFBMBMBAFMBCF桿端彎矩：MABMBAMBCMCB固端彎矩：MABFMBAFMBCFMCBF約束反力矩：MB點(diǎn)B的平衡條件：MBAFMBCFMB 不平衡力矩：MB順時(shí)鐘為正。力矩分配法在連續(xù)梁的B結(jié)點(diǎn)，本來(lái)沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)約束，也沒(méi)有不平衡力矩作用，因此固端彎矩并不是構(gòu)件實(shí)際狀態(tài)下的桿端變矩。修正放松B處的約束ABCP1P2EIEIMBMABMBAMBCMCBMCBMBAMBCMAB分配彎矩：傳遞彎矩：桿端彎矩固端彎矩分配彎矩傳遞彎矩按各桿的分配系數(shù)求出近端彎矩近端彎矩乘以傳遞系數(shù)求遠(yuǎn)端彎矩力矩分配法力矩分配法五、單結(jié)點(diǎn)力矩分配法的解題

4、步驟及舉例步驟：1在剛結(jié)點(diǎn)處加上附加剛臂，使原結(jié)構(gòu)成為單跨靜定梁的組合體，計(jì)算分配系數(shù)。結(jié)構(gòu)處于鎖住狀態(tài)2計(jì)算桿端的固端彎矩，求結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。3將不平衡力矩反號(hào)后，按分配系數(shù)、傳遞系數(shù)進(jìn)行分配、傳遞。將鎖住的結(jié)點(diǎn)放松4將各桿的固端彎矩、分配彎矩和傳遞彎矩相加求得各桿的最后彎矩。5繪內(nèi)力圖。力矩分配法例1：用力矩分配法計(jì)算圖示連續(xù)梁，作彎矩圖。ABC40KN16KN/mEIEI3m3m3m解：1計(jì)算B結(jié)點(diǎn)處各桿的分配系數(shù)1. 分配系數(shù)0.40.6力矩分配法2計(jì)算各桿固端彎矩及結(jié)點(diǎn)不平衡力矩P111表51ABC40KN16KN/mEIEI3m3m3m1.分配系數(shù)0.40.62.固端彎矩 -30

5、30-18 0力矩分配法3計(jì)算分配彎矩和傳遞彎矩ABC40KN16KN/mEIEI3m3m3m1.分配系數(shù)0.40.62.固端彎矩 -30 30-18 03.分配彎矩 傳遞彎矩 4.8 -2.4 -7.2 0力矩分配法4最后彎矩ABC40KN16KN/mEIEI3m3m3m1.分配系數(shù)0.40.62.固端彎矩 -30 30-18 03.分配彎矩 傳遞彎矩 4.8 -2.4 -7.2 04 .最后彎矩32.4 25.2-25.2 0檢驗(yàn)：力矩分配法5作彎矩圖ABC40KN16KN/mEIEI3m3m3m4 .最后彎矩32.4 25.2-25.2 0ABC32.425.26018M圖：KNm力矩分

6、配法例2：用力矩分配法計(jì)算圖示剛架，作彎矩圖。解：1計(jì)算B結(jié)點(diǎn)處各桿的分配系數(shù)ABC100KN40KN/mDi=24m2.5m4m2.5mi=2i=1.5力矩分配法2計(jì)算固端彎矩及結(jié)點(diǎn)B的不平衡力矩P111表51ABC100KN40KN/mDi=24m2.5m4m2.5mi=2i=1.5力矩分配法3計(jì)算分配彎矩和傳遞彎矩ABC100KN40KN/mDi=24m2.5m4m2.5mi=2i=1.5力矩分配法4最后彎矩結(jié)點(diǎn)ABCD桿端ABBABDBCCBDB分配系數(shù)0.30.40.3檢驗(yàn)：力矩分配法最后彎矩074.75-7-67.7559.8753.5固端彎矩 0800-62.562.50分配、傳

7、遞彎矩 0-5.25-7-5.25-2.6253.5 5作彎矩圖結(jié)點(diǎn)ABCD桿端ABBABDBCCBDB最后彎矩074.75-7-67.7559.8753.5ABC100KN40KN/mDi=24m2.5m4m2.5mi=2i=1.5774.75125C80M圖：KNmABCD67.7559.8753.5力矩分配法小結(jié)當(dāng)結(jié)構(gòu)只有一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)時(shí)，且結(jié)點(diǎn)只能轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)用力矩分配法可得到精確的解答。用力矩分配法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，關(guān)于桿端彎矩和角位移的正負(fù)號(hào)規(guī)定與位移法相同。力矩分配法的關(guān)鍵是求桿端彎矩，分兩部進(jìn)行：1分配彎矩近端彎矩。2傳遞彎矩遠(yuǎn)端彎矩。計(jì)算分配彎矩時(shí)用不平衡力矩的相反數(shù)MB。 力矩分配法

8、92 力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移剛架一、力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁：ABC40KN15KN/mi=23m3m4m30KNi=3i=4D4m8m當(dāng)結(jié)構(gòu)具有多個(gè)剛結(jié)點(diǎn)，且結(jié)點(diǎn)只能轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，逐次對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)運(yùn)用單結(jié)點(diǎn)力矩分配法計(jì)算，可得到各桿的桿端彎矩。1. 在各結(jié)點(diǎn)按各桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度計(jì)算其分配系數(shù)ABC40KN15KN/mi=23m3m4m30KNi=3i=4D4m8m力矩分配法2. 計(jì)算各桿的固端彎矩及各結(jié)點(diǎn)不平衡力矩(表51ABC40KN15KN/mi=23m3m4m30KNi=3i=4D4m8m力矩分配法逐次循環(huán)放松各結(jié)點(diǎn)使彎矩平衡： 將所計(jì)算結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩反號(hào)后，按分配系數(shù)分配給該結(jié)點(diǎn)的各桿

9、端，求出分配彎矩。 再將分配彎矩乘以傳遞系數(shù)，求出遠(yuǎn)端的傳遞彎矩。 將此步驟循環(huán)運(yùn)用，直到不平衡彎矩小到可以忽略不計(jì)為止。先放松不平衡力矩絕對(duì)值較大的結(jié)點(diǎn)B。計(jì)算方法與單結(jié)點(diǎn)力矩分配法相同。力矩分配法ABC40KN15KN/mi=23m3m4m30KNi=3i=4D4m8m分配系數(shù)0.40.6 0.50.5力矩分配法C結(jié)點(diǎn)一次分配、 傳遞-12.5 -25-25 0固端彎矩 -30 30-80 80-45 0B結(jié)點(diǎn)一次分配、 傳遞10 20 30 15 分配系數(shù)0.40.6 0.50.5固端彎矩 -30 30-80 80-45 0B結(jié)點(diǎn)一次分配、 傳遞10 20 30 15 C結(jié)點(diǎn)一次分配、

10、傳遞-12.5 -25-25 0力矩分配法C結(jié)點(diǎn)三次分配-0.094-0.094 B結(jié)點(diǎn)二次分配、 傳遞2.5 5 7.5 3.75 C結(jié)點(diǎn)二次分配、 傳遞-0.938 1.875-1.875 0B結(jié)點(diǎn)三次分配、 傳遞0.188 0.375 0.563 0.188 4. 最后彎矩：將各桿端的固端彎矩與歷次分配彎矩和傳遞彎矩相加得到桿端的最后彎矩。固端彎矩 -30 30-80 80-45 0B一次分傳10 20 30 15 C一次分傳-12.5 -25-25 0B二次分傳2.5 5 7.5 3.75 C二次分傳-0.938 1.875-1.875 0B三次分傳0.188 0.375 0.563

11、0.188 C三次分配-0.094-0.094 力矩分配法桿 端 AB BABC CBCD DC最后彎矩-17.31 55.38-55.38 71.97-71.97 05. 作彎矩圖ABC40KN15KN/mi=23m3m4m30KNi=3i=4D4m8m最后彎矩-17.31 55.38-55.38 71.97-71.97 0ACBD17.3155.3871.976060120( KNm )力矩分配法討論力矩分配法的計(jì)算過(guò)程是依次放松各結(jié)點(diǎn)以消去結(jié)點(diǎn)上出現(xiàn)的不平衡力矩，求得各桿端彎矩的修正值，使結(jié)點(diǎn)上出現(xiàn)的不平衡力矩逐漸減小，直至可以忽略，所以它是一種漸近法。為了使計(jì)算收斂較快，通常從不平衡力

12、矩絕對(duì)值較大的結(jié)點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算。多結(jié)點(diǎn)力矩分配，實(shí)際上是重復(fù)進(jìn)行單結(jié)點(diǎn)力矩分配的根本運(yùn)算。 力矩分配法例1：用力矩分配法計(jì)算圖示連續(xù)梁，作彎矩圖。ABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=2D3m6m2mE15KN15KNE15KNABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=2D3m6m15KN30KNm解：力矩分配法1. 計(jì)算其分配系數(shù)，并確定其傳遞系數(shù)。ABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=2D3m6m15KN30KNm力矩分配法2. 計(jì)算各桿的固端彎矩及各結(jié)點(diǎn)不平衡力矩ABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=

13、2D3m6m15KN30KNm力矩分配法3. 逐次循環(huán)放松各結(jié)點(diǎn)，求分配彎矩、傳遞彎矩。ABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=2D3m6m15KN30KNm固端彎矩 -13.33 26.67-45 45-7.5 30力矩分配法分配系數(shù)0.50.5 0.40.6B一次分、傳6.46 12.9212.92 6.46C一次分、傳-7.5 -15-22.5 0分配系數(shù)0.50.5 0.40.6固端彎矩 -13.33 26.67-45 45-7.5 30C一次分、傳-7.5 -15-22.5 0B一次分、傳6.46 12.9212.92 6.46力矩分配法桿 端 AB BABC

14、CBCD DCC三次分、傳 -0.13-0.20 0B二次分、傳0.33 0.650.65 0.33C二次分、傳-1.29 -2.58-3.88 04. 最后彎矩：分配系數(shù)0.50.5 0.40.6固端彎矩 -13.33 26.67-45 45-7.5 30C一次分、傳-7.5 -15-22.5 0B一次分、傳6.46 12.9212.92 6.46C二次分、傳-1.29 -2.58-3.88 0B二次分、傳0.33 0.650.65 0.33C三次分配 -0.13-0.20 0力矩分配法桿 端 AB BABC CBCD DC最后彎矩-6.5 40.2-40.2 34.1-34.1 305.

15、作彎矩圖ABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=2D3m6m2mE15KNABCDE6.540.234.1303067.540( KNm )最后彎矩-6.5 40.2-40.2 34.1-34.1 30-30力矩分配法例2：用力矩分配法計(jì)算圖示連續(xù)梁，作彎矩圖。E=2104KN/cm2, I=40000cm4 .ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI =0.125EI =0.1875EI i=EI/6力矩分配法1. 計(jì)算其分配系數(shù)，并確定其傳遞系數(shù)。ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI力矩分配法2. 計(jì)算各桿的固端彎矩及各結(jié)點(diǎn)不平衡力矩ABC

16、0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI力矩分配法3. 逐次循環(huán)放松各結(jié)點(diǎn)，求分配彎矩、傳遞彎矩。ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI分配系數(shù)0.40.6 0.60.4固端彎矩 0 0-236.3 -236.3140 0力矩分配法B一次分、傳47.3 94.5141.8 70.9C一次分、傳7.6 15.210.2 0ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI分配系數(shù)0.40.6 0.60.4固端彎矩 0 0-236.3 -236.3140 0B一次分、傳47.3 94.5141.8 70.9C一次分、傳7.6 15.210.2 0力矩分配法C三次分配 0.10

17、.1 0B三次分、傳-0.2 -0.3-0.4 -0.2C二次分、傳0.7 1.40.9 0B二次分、傳-1.5 -3.0-4.6 -2.3ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI4. 最后彎矩：分配系數(shù)0.40.6 0.60.4固端彎矩 0 0-236.3 -236.3140 0B一次分、傳47.3 94.5141.8 70.9C一次分、傳7.6 15.210.2 0B二次分、傳-1.5 -3.0-4.6 -2.3C二次分、傳0.7 1.40.9 0B三次分、傳-0.2 -0.3-0.4 -0.2C三次分、傳 0.10.1 0力矩分配法最后彎矩45.6 91.2 -91.2 -1

18、51.2 151.2 05. 作彎矩圖ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEIABCD45.691.2151.2( KNm )最后彎矩45.6 91.2 -91.2 -151.2 151.2 0力矩分配法二、力矩分配法計(jì)算無(wú)側(cè)移剛架：ABC100KN12KN/mD2m2m4m4mE力矩分配法1. 在各結(jié)點(diǎn)按各桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度計(jì)算其分配系數(shù)，并確定其傳遞系數(shù)。2. 計(jì)算各桿的固端彎矩及各結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。3. 逐次循環(huán)放松各結(jié)點(diǎn)使彎矩平衡，即將所計(jì)算結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩反號(hào)后，按分配系數(shù)分配給該結(jié)點(diǎn)的各桿端，求出分配彎矩。再將分配彎矩乘以傳遞系數(shù)，求出遠(yuǎn)端的傳遞彎矩。將此步驟循環(huán)運(yùn)用，直到不平

19、衡彎矩小到可以忽略不計(jì)為止。4. 最后彎矩：將各桿端的固端彎矩與歷次分配彎矩和傳遞彎矩相加得到桿端的最后彎矩。5. 作彎矩圖力矩分配法解：1. 計(jì)算分配系數(shù)。ABC100KN12KN/mD2m2m4m4mE例3：用力矩分配法計(jì)算圖示剛架，作彎矩圖。EI=常數(shù)力矩分配法2. 計(jì)算各桿的固端彎矩及各結(jié)點(diǎn)不平衡力矩ABC100KN12KN/mD2m2m4m4mE力矩分配法3. 逐次循環(huán)放松各結(jié)點(diǎn)，求分配彎矩、傳遞彎矩。ABC100KN12KN/mD2m2m4m4mE力矩分配法結(jié)點(diǎn)ABCED桿端ABBA BCCB CD CEECDC力矩分配法B三次分配-0.01 -0.01C二次分傳0.020.05

20、0.04 0.01-0.01B二次分傳-0.10-0.19 -0.19 -0.10C一次分傳 0.380.75 0.56 0.19-0.190B一次分傳12.525 25 12.5固端彎矩 00 -5050 0 -64-320分配系數(shù)0.5 0.50.5 0.375 0.1254. 最后彎矩：結(jié)點(diǎn)ABCED桿端ABBA BCCB CD CEECDC分配系數(shù)0.5 0.50.5 0.375 0.125固端彎矩 00 -5050 0 -64-320B一次分傳12.525 25 12.5C一次分傳 0.380.75 0.56 0.19-0.190B二次分傳-0.10-0.19 -0.19 -0.10

21、C二次分傳0.020.05 0.04 0.01-0.01B三次分配-0.01 -0.01力矩分配法最后彎矩12.424.8 -24.863.2 0.6 -63.8-32.205. 作彎矩圖ABC100KN12KN/mD2m2m4m4mEABCDE12.424.863.263.832.21000.6桿端ABBA BCCB CD CEECDC最后彎矩12.424.8 -24.863.2 0.6 -63.8-32.20力矩分配法93 超靜定結(jié)構(gòu)小結(jié)一、靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力 只用靜力平衡條件即可確定，內(nèi)力值與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸無(wú)關(guān)。超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和全部支座反力僅用平衡條件不能確定，還必須考慮變形條件才能全部確定。所以超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)及截面形狀尺寸有關(guān)。在載荷作用下，超靜定結(jié)構(gòu)