第5講 絕對值和絕對值不等式的解法（解析版）

1、【第5講】 絕對值和絕對值不等式的解法編寫：廖云波 初審：譚光垠 終審：譚光垠 廖云波【基礎(chǔ)知識回顧】知識點(diǎn)1 絕對值的代數(shù)意義正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零即知識點(diǎn)2 絕對值的幾何意義一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 知識點(diǎn)3 兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離【合作探究】探究一 絕對值的性質(zhì)【例1-1】到數(shù)軸原點(diǎn)的距離是2的點(diǎn)表示的數(shù)是（ ）A2 B2 C-2 D4 【答案】A【例1-2】已知|x|=5，|y|=2，且xy0，則x-y的值等于（）A7或-7 B7或3 C3或-3 D-7或-3【答案】C【例1-3】已知

2、：abc0，且M=，當(dāng)a，b，c取不同值時，M有 _種不同可能【答案】4【解析】當(dāng)a、b、c都是正數(shù)時，M= 3；當(dāng)a、b、c中有一個負(fù)數(shù)時，則M=1；當(dāng)a、b、c中有2個負(fù)數(shù)時，則M= -1；當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時，M=-3歸納總結(jié)：【練習(xí)1】已知是非零整數(shù)，且，求的值【解析】：由于，且是非零整數(shù)，則一正二負(fù)或一負(fù)二正，（1）當(dāng)一正二負(fù)時，不妨設(shè)，原式；（2）當(dāng)一負(fù)二正時，不妨設(shè)，原式原式探究二 絕對值的應(yīng)用【例2】若，則【解析】，所以歸納總結(jié)：絕對值具有非負(fù)性，即若，則必有，【練習(xí)2-1】練習(xí)1：， _；_【解析】【練習(xí)2-2】若，則【解析】由題意，所以探究三 零點(diǎn)分段法去絕對值【例3】化

3、簡代數(shù)式【解析】當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式綜上討論，原式歸納總結(jié)：【練習(xí)3】化簡代數(shù)式【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上討論，原式探究四 絕對值函數(shù)【例4-1】畫出的圖像【解析】（1）關(guān)鍵點(diǎn)是，此點(diǎn)又稱為界點(diǎn)；（2）接著是要去絕對值當(dāng)時，；當(dāng)時，（3）圖像如右圖說明：此題還可以考慮該圖像可由y=|x|的圖象向右平移一個單位后得到【例4-2】畫出的圖象【解析】（1）關(guān)鍵點(diǎn)是和（2）去絕對值當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，（3）圖象如右圖所示【例4-3】畫出函數(shù)的圖像【解析】（1）關(guān)鍵點(diǎn)是（2）去絕對值：當(dāng)時，；當(dāng)時，（3）可作出圖像如右圖【例4-4】畫出函數(shù)的圖像【解析】（1）關(guān)鍵點(diǎn)是和（2）去絕

4、對值：當(dāng)或時，；當(dāng)時，（3）可作出圖像如右圖歸納總結(jié)：探究五 解絕對值不等式【例5-1】解不等式 【解析】對應(yīng)數(shù)軸上的一個點(diǎn)，由題意，到原點(diǎn)的距離小于1，很容易知道到原點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)有兩個：和，自然只有在和之間的點(diǎn)，到原點(diǎn)的距離才小于1，所以的解集是歸納總結(jié)：（1）的解集是，如圖1 （2）的解集是，如圖2 【練習(xí)5-1】解不等式：（1）； （2） （3）【答案】（1） （2） （3）【例5-2】解不等式 【解析】：由題意，解得，所以原不等式的解集為歸納總結(jié)：（1） （2）或【練習(xí)5-2】解不等式：（1）；（2）；（3）；【解析】：（1）由題意，解得，所以原不等式的解集為（2）由題意，或，解得

5、或，所以原不等式的解集為（3）由題意，解得【例5-3】解不等式組【解析】：由，得，解得，由，得，即，解得，由得，所以原不等式的解集為【練習(xí)5-3】解不等式【解析】：方法一：由，解得；由得，或，聯(lián)立得，所以原不等式的解集為方法二：或，解得，所以原不等式的解集為【例5-4】解不等式：【解析】：方法一：（零點(diǎn)分段法）（1）當(dāng)時，原不等式變?yōu)椋海獾?，所以；?）當(dāng)時，原不等式變?yōu)椋?，解得，所以；綜上所述，原不等式的解集為方法二：或，解得或，所以原不等式的解集為歸納總結(jié)：（1） （2）或【練習(xí)5-4】解不等式：【解析】：由得，解得，原不等式的解集為【例5-5】解不等式：方法1：利用零點(diǎn)分區(qū)間法（推薦）

6、 【分析】:由，得和和把實(shí)數(shù)集合分成三個區(qū)間，即，按這三個區(qū)間可去絕對值，故可按這三個區(qū)間討論【解析】：當(dāng)時，得，解得：； 當(dāng)時，得，解得：；當(dāng)時，得，解得：綜上，原不等式的解集為方法2：利用絕對值的幾何意義【解析】：的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)到1和的距離之和小于5的點(diǎn)所對應(yīng)的取值范圍，由數(shù)軸可知，易知當(dāng)或時，所以位于和之間（不含端點(diǎn)），所以，所以原不等式的解集為【練習(xí)5-5】解不等式：4【解析】解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)?，?，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變?yōu)?，?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)?，?， 解得x4又x3，x4綜上所述，原不等式的解為x0，或x413

7、ABx04CDxP|x1|x3|圖155解法二：如圖111，表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的幾何意義即為|PA|PB|4由|AB|2，可知點(diǎn)P 在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè)x0，或x4【課后作業(yè)1】1_；_；_；2，則_3若，那么一定是（ ）A正數(shù) B負(fù)數(shù) C非正數(shù) D非負(fù)數(shù)4若，那么是_數(shù)5如圖，化簡_6已知，則_7化簡，并畫出的圖象8化簡 9.畫出的圖像10.畫出的圖像【課后作業(yè)2】1.已知，化簡得( )A. B. C. D. 2.不等式的解是 ，不等式的解是_.3.不等式的解是_.4.根據(jù)數(shù)軸表示三數(shù)的點(diǎn)的位置，化簡 _ .5.解不等式 6