第2章非線性光學極化率的量子力學描述課件

1、第2章 非線性光學極化率的量子力學描述 2.1 密度算符及其運動方程 2.2 非線性極化率的微擾理論 2.3 近獨立分子體系的極化率張量及性質(zhì) 2.4 分子間有弱相互作用介質(zhì)的極化率張量 2.5 共振增強的極化率 2.6 準單色波的非線性極化 2.7 帶電粒子可自由移動介質(zhì)的極化率 2.8 有效場極化率 2.9 二能級原子系統(tǒng)的極化率 習題 2.1 密度算符及其運動方程1 2.1.1 量子力學中的一些基本概念和結(jié)論 （1） 一個動力學體系的狀態(tài)可以用一個歸一化的波函數(shù)描述。 是系統(tǒng)位置和自旋坐標的函數(shù), 滿足 * d=1 (2.1 - 1) 式中的積分表示對系統(tǒng)的所有坐標積分, 并對自旋求和。

2、 （2） 在量子力學中, 系統(tǒng)的任一個動力學量o都有一個線性算符與之相對應(yīng), 可用符號 表示。 對于處在狀態(tài)中的系統(tǒng), 進行力學量o的重復(fù)測量, 其平均值就是系統(tǒng)處于狀態(tài)中的 的期望值, 即: (2.1 - 2) (3) 如果某時刻系統(tǒng)的狀態(tài)已被確定, 則以后時刻系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律, 由與時間有關(guān)的薛定諤（Schr dinger）方程(2.1 - 3) （4） 狀態(tài)的表象。 在量子力學中, 描述狀態(tài)和力學量的方式可以不同, 例如, 狀態(tài)可以用以坐標為變量的波函數(shù)描述, 也可以用以動量為變量的波函數(shù)描述, 相應(yīng)的力學量算符也不同。 所謂表象, 就是量子力學中對狀態(tài)和力學量的具體表達方式,

3、不同的表示方式稱為不同的表象。 一個表象就是一組完全、 正交的波函數(shù)ui。 所謂正交, 就是 (2.1 - 4) 所謂完全, 就是任意波函數(shù)都可以用ui展開: (2.1 - 5) （2.1 - 5）式的意義是: 如果(r,t)是坐標表象中的波函數(shù), ui(r)是在另一特定表象中的本征函數(shù), 則該式說明在坐標表象中所描述的狀態(tài), 在另一特定表象中是用一組數(shù)ai來描述的。 在量子力學中, 將ai(t)稱作是這個狀態(tài)在特定表象中的波函數(shù), 且數(shù)ai滿足 (2.1 - 6) (5) 力學量算符的矩陣元oij。 按量子力學理論, 力學量算符 在某表象中的矩陣元為 (2.1 - 7) 如果力學量o是實數(shù),

4、 則期望值 亦必是實數(shù), 且矩陣元滿足(2.1 - 8) （6） 力學量算符矩陣的跡。 一個力學量算符 的矩陣的跡為 (2.1 - 10) 即力學量算符矩陣的跡是矩陣對角元之和。 (7) 么正變換。 一個態(tài)矢量從一個表象經(jīng)過一個變換S變到另一個表象, 如果滿足(2.1 - 11) 則變換S叫做么正變換, 式中S+是S的共軛矩陣, I是單位矩陣。 (8) 薛定諤表象的矩陣表示。 由量子力學已知, 波函數(shù)(r,t)在某表象中可看作為一列矩陣, 即(2.1 - 14) 若將（2.1 - 5）式代入（2.1 - 3）式, 并以u*m(r)左乘等式兩邊, 再對r變化的整個空間積分, 可得并可簡寫為 (2

5、.1 - 15) 該式就是薛定諤方程在該表象中的矩陣表示。 （9） 薛定諤表象、 相互作用表象和海森堡（Heisenberg）表象。 考慮到物質(zhì)與光電場的作用, 哈密頓算符 包括未微擾哈密頓算符 和相互作用哈密頓算符 (2.1 - 16) 相應(yīng)的薛定諤方程為其解為 (2.1 - 17)(2.1 - 18) 2.1.2 密度算符及其運動方程 對于一個具有N1023個分子組成的宏觀系統(tǒng)來說, 這個任務(wù)是不可能完成的, 至多能得到與系統(tǒng)有關(guān)的統(tǒng)計知識, 譬如說, 系統(tǒng)處在可能狀態(tài)n的幾率是多少。 如果系統(tǒng)可能的狀態(tài)有 1, 2， ， n, 相應(yīng)的幾率為 p1, p2, , pn, 在這種情況下, 就

6、要從量子力學范圍過渡到量子統(tǒng)計的范圍去討論問題。 按（2.1 - 29）式, 系統(tǒng)處在各可能狀態(tài)上的力學量o的平均值分別是則力學量算符 的期望值 為 (2.1 - 32) 式中定義的 (2.1 - 33) 2.1.3 幾點說明 1) 密度算符的跡 由（2.1 - 32）式可知, 系統(tǒng)的力學量算符的期望值 為因為力學量o是任意的, 所以, 如果令o=1, 則上式也應(yīng)成立。 這樣就有 即密度算符的跡等于1, 2) 熱平衡狀態(tài)的密度算符 對于所討論的實際問題, 總是認為系統(tǒng)開始處于熱平衡狀態(tài), 然后才受到外加光波作用。 由于密度算符的跡等于1, 所以熱平衡狀態(tài)下的密度算符的跡也應(yīng)等于1, 即 (2.

7、1 - 36) 3) 能量表象中 和 的矩陣對角化 在能量表象中, 哈密頓算符矩陣元為 (2.1 - 44) 熱平衡狀態(tài)下的密度算符矩陣元為 (2.1 - 45) 如果 是 任意函數(shù), 并且可以展開為冪級數(shù)的形式, 就有(2.1 - 46) 及 (2.1 - 47) 2.2 非線性極化率的微擾理論 2.2.1 密度算符的微擾級數(shù) 1. 密度算符的微擾級數(shù) 現(xiàn)在我們討論一個原來處于熱平衡狀態(tài)的系統(tǒng), 受到外來光電場作用后的密度算符。 例如,固體中荷電粒子所組成的系統(tǒng), 它的哈密頓算符為 (2.2 - 1) 式中, 是未微擾哈密頓算符, 是外加光電場作用引起的微擾。 在t時, 系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài),

8、 因此, (2.2 - 2) (2.2 - 3) 根據(jù)密度算符的運動方程（2.1 - 34）式, 有 (2.2 - 4) (2.2 - 5) 2. 的一般表示式 將（2.2 - 5）式代入（2.2 - 4）式, 有(2.2 - 7) 2.2.2 極化強度的一般表示式 假設(shè)所研究的介質(zhì)足夠小, 以致在體積V內(nèi)的光電場E(t)的空間變化可以不考慮。 另外, 與光電場相聯(lián)系的磁場所引起的效應(yīng)也不考慮。 再假定V內(nèi)含有N個荷電粒子（電子和離子）, 并用qi和ri分別表示第i個粒子所帶的電荷和它的位置矢量, 則荷電粒子系統(tǒng)的偶極矩為 (2.2 - 30) 設(shè)介質(zhì)的宏觀極化強度為P(t), 按照定義, P

9、(t)是單位體積內(nèi)的偶極矩算符的期望值, 即(2.2 - 31) 若將密度算符的微擾級數(shù)（2.2 - 5）式代入上式, 可寫為 P(t)=P(0)+P(1)+P(2)+P(r)+ (2.2 - 32) 式中, (2.2 - 33) 2.2.3 非線性光學極化率張量表示式 現(xiàn)在的任務(wù)是將上面得到的 化成非線性極化強度的定義形式: (2.2 - 34) 求出極化率張量 (r)(1,2,r), 或采用分量形式, 化成(2.2 - 35) 1. 一階極化率張量元素表示式 r=1時, 由(2.2 - 33)式， 有(2.2 - 36) 由（2.2 - 29）式, 令r=1, 有 (2.2 - 37) 代

10、入（2.2 - 36）式, 得到 (2.2 - 38) 按（2.2 - 25）式, 有(2.2 - 39) (2.2 - 40)式中 是電偶極矩在光電場E(t)中的附加能量。 如果引入符號(2.2 - 41) 2. 二階極化率張量表示式 r=2時, 由(2.2 - 33)式和(2.2 - 27)式可得(2.2 - 51) 利用(2.2 - 42)式和(2.2 - 43)式關(guān)系, 有 再根據(jù)E(t1)和E(t2)與 可對易, 并利用如下的恒等對易規(guī)則: 則(2.2 - 51)式變?yōu)?(2.2 - 52) 3. r階極化率張量元素 由一階和二階極化率張量元素 和 的表示式（2.2 - 50）式和(

11、2.2 - 57)式, 我們可以立即寫出三階極化率張量元素 和r階極化率張量元素 的表示式分別為3 (2.2 - 58) (2.2 - 59) 2.3 近獨立分子體系的極化率張量及性質(zhì) 2.3.1 近獨立分子體系的極化率張量 1. 極化率張量表示式 1) 多粒子系統(tǒng)的算符用單分子算符表示 假定在體積V中有M個分子, 其中第m個分子的未微擾哈密頓算符和電偶極矩算符分別為 和 , 則整個集合的未微擾哈密頓算符和電偶極矩算符分別為 因為單個分子的哈密頓算符之間是可對易的, 所以整個集合在熱平衡狀態(tài)下的密度算符為(2.3 - 1) (2.3 - 2) 式中 (2.3 - 3) (2.3 - 4) 是在

12、熱平衡狀態(tài)下第m個分子的密度算符。 2) 極化率張量表示式中的跡用單個分子的算符表示 由（2.2 - 50）式、 （2.2 - 57）式、 （2.2 - 58）式和（2.2 - 59）式所表示的一階、 二階、 三階和r階極化率張量元素的表示式可見, 若將式中的電偶極矩算符用單個分子的電偶極矩算符表示, 則不管是哪一階極化率張量元素表示式中的跡, 都有如下形式: (2.3 - 11) 式中的 對于r階極化率張量元素為 (2.3 - 12) 這個 表示的是與第m個分子相聯(lián)系的電偶極矩算符的多重換位子。 3) 單分子跡 的表示式 在能量表象中, 凡是哈密頓算符 的函數(shù)的算符, 其矩陣都是對角化的。

13、不難求得(2.3 - 21) (2.3 - 23) (2.3 - 23) (2.3 - 24) 4) 極化率張量元素的表示式 由（2.2 - 50）式, 并利用（2.3 - 20）式和（2.3 - 25）式, 可以給出一階極化率張量元素的表示式為(2.3 - 28) 式中, n=M/V是分子數(shù)密度。 對上式進行積分可以看到: 當是實數(shù)時, 不收斂, 只有頻率在復(fù)數(shù)頻率平面的上半平面內(nèi)取值時, 積分才是收斂的, 這與討論（1.1 - 25）式時的結(jié)論是一致的。 在這種情況下, 對（2.3 - 28）式積分得到 (2.3 - 29) 這就是我們要求的一階極化率張量元素的表示式。 2. 極化率張量元

14、素表示式的費曼(Feymman)圖示法4 下面介紹一種費曼圖表示法, 通過該方法可以很容易地寫出任意階極化率張量元素的表示式。 我們用向下的箭頭表示正的頻率, 對應(yīng)于光子的湮滅; 用向上的箭頭表示負的頻率, 對應(yīng)于光子的產(chǎn)生。 這樣, 在極化率張量元素表示式分母中, 形式為 的因子表示粒子從態(tài)bn躍遷到態(tài)a時, 粒子向輻射場中發(fā)射一個頻率為n的光子。 2.3.2 極化率張量的性質(zhì) 1. 極化率張量的完全對易對稱性 1) 極化率張量的完全對易對稱性 由（2.3 - 29）式的一階極化率張量元素的表示式可以看出, 如果交換指標和, 并且用-代替, 即在(,)(-,)的情況下, （2.3 - 29）

15、式右邊的結(jié)果不變, 這時有(2.3 - 35) 這就是一階極化率張量的完全對易對稱性。 2) 極化率張量完全對易對稱性的條件 前面我們在推導(dǎo)極化率張量元素 和 等表示式時看到, 極化率張量元素在實數(shù)頻率軸上存在奇點, 這意味著此時它們描述極化過程變得無效。 事實上, 介質(zhì)中總是存在馳豫效應(yīng), 因此,在極化率張量元素表示式的各項分母中要附加阻尼項。 3) 完全對稱性的若干物理結(jié)果 當介質(zhì)極化率張量存在完全對易對稱性時, 將有幾個很重要的物理結(jié)果。 （1） 同一個極化率張量可以表示不同的物理過程。 當介質(zhì)極化率張量存在完全對易對稱性時, 由r+1個實數(shù)頻率 1、 2、 、 r、 (=-(1+2+r

16、)中的任意r個, 通過r階極化所進行的r+1個不同的物理過程, 都由相同的極化率張量決定。 （2） 曼利-羅（ManleyRowe）功率關(guān)系。 這個關(guān)系描述了在滿足完全對易對稱性的條件下, 介質(zhì)中非線性光學的能量轉(zhuǎn)換特性。 在這里, 以二階極化過程為例進行討論。 二階極化強度表示式。 輸入到單位體積介質(zhì)中的功率關(guān)系。 曼利-羅功率關(guān)系。 曼利-羅功率關(guān)系的另外形式。 2. 克萊曼對稱性6 克萊曼已經(jīng)證明, 如果非線性極化起源于電子而不是離子, 并且晶體對所討論的非線性過程中的所有頻率都是透明的,即如果在1、2和(1+2)的頻率范圍內(nèi),晶體是無耗的, 折射率的色散現(xiàn)象可以忽略不計, 則二階非線性

17、極化率張量元素 (-(1+2),1,2)在所有指標、 和對易下是不變的。 因為這種對稱性首先由克萊曼所研究, 故名為克萊曼對稱性。 3. 極化率張量的時間反演對稱性 1) 時間反演的意義 在經(jīng)典力學中, 時間反演就是用-t代替t, 即改變時間的測量方向。 對于經(jīng)典力學來說, 有兩類重要的力學變量, 一類變量在時間反演下不改變符號, 例如, 位置坐標、 位置坐標的函數(shù)、 動量的偶函數(shù)(如動能)等; 另一類變量在時間反演下符號改變, 例如, 動量、 動量的奇函數(shù)的量、 角動量等。 在量子力學中, 對應(yīng)每一個經(jīng)典力學量都有一個力學量算符, 其中, 與時間反演不變號的經(jīng)典力學量相應(yīng)的算符, 在薛定諤表

18、象中是實數(shù)算符, 例如, 坐標算符 哈密頓算符 動量矩平方算符 而與時間反演變號的經(jīng)典力學量相應(yīng)的算符, 在薛定諤表象中是純虛數(shù)算符, 例如, 動量算符 動量矩算符 2) 極化率張量的時間反演對稱性 極化率張量的時間反演對稱性實際上是哈密頓在時間反演下不變所引起的一種對稱性。 現(xiàn)在分析（2.3 - 42）式表示的第r階極化率張量元素中的各個因子特征。 （1） 電偶極矩算符的矩陣元是實數(shù)。 按定義, 電偶極矩陣元為 (2.3 - 76) 式中， u(a,r)是分子哈密頓算符 的本征函數(shù), 即 （2） 熱平衡狀態(tài)下密度算符矩陣元 是實數(shù)。 由前討論知， 由（2.1 - 45）式給出： 式中的A由（

19、2.3 - 43）式給出, 因為哈密頓算符 是實數(shù), 故A也是實數(shù), 所以0aa也是實數(shù)。 （3） （2.3 - 42）式分母中的躍遷頻率ab等均為實數(shù)。 根據(jù)以上分析, 對(2.3 - 42)式進行復(fù)數(shù)共軛運算, 其結(jié)果僅僅是用*1、 *2、 、 *r代替1、 2、 、 r, 即 (2.3 - 77) 考慮到極化率張量的真實性條件(（1.3 - 3）式), 有(2.3 - 78) 也即有 這表示, 當所有頻率1、 2、 、 r都變?yōu)樨撝禃r, (r)不變, 這種對稱性稱為極化率張量的時間反演對稱性。 3) (1)是對稱張量 由極化率張量具有時間反演對稱性, 可以得到一個很重要的結(jié)論: 一階極化

20、率張量是一個對稱張量。 由（2.3 - 79）式, 令r=1, 有 (2.3 - 80) 又根據(jù)一階極化率張量的完全對易對稱性, 有 (2.3 - 81) 比較上面二式, 可得 (2.3 - 82) 或 (2.3 - 83) 即一階極化率張量是一個對稱張量。 2.4 分子間有弱相互作用介質(zhì)的極化率張量 2.4.1 分子間弱相互作用的效應(yīng) 假定我們討論單分子的兩個能態(tài)a和b, 相應(yīng)的兩個本征態(tài)能量分別為Ea=a和Eb=b。 如果考慮分子間有弱相互作用, 則將引起單分子能級位置有一個不確定的量, 這個不確定量的大小與分子間的相互作用能量的量級相同。 設(shè)能態(tài)a的不確定量為a, 能態(tài)b的不確定量為b,

21、 則在分子能態(tài)a和b之間的躍遷頻率(2.4 - 1) 也有一個不確定量 ab=a-b=ba (2.4 - 2) 2.4.2 極化率張量表示式的修正 1. 一階極化率張量表示式的修正 上一節(jié)給出了忽略分子間相互作用時的一階極化率張量元素的表示式: (2.4 - 4) 如果考慮分子間有弱的相互作用, 則在分母中應(yīng)引入阻尼項(iab), 并且,考慮到極化率張量的解析要求, 應(yīng)將上式中處在實數(shù)軸上的極點移到下半個復(fù)數(shù)頻率平面內(nèi)。 由此, 可以得到考慮分子間弱相互作用介質(zhì)的一階極化率張量元素表示式為(2.4 - 5) 2. 考慮分子間弱相互作用的極化率張量的性質(zhì) 1) 態(tài)a和b之間躍遷的共振線寬 我們將

22、從每單位體積的介質(zhì)通過線性極化吸收的功率關(guān)系出發(fā), 證明ab就是態(tài)a和b之間躍遷的共振線寬。 假定介質(zhì)受到光電場 E(t)=E()e-it+E*()eit 的作用, 其光頻接近某一對能態(tài)1和2之間的躍遷頻率, 則根據(jù)（2.3 - 61）式, 通過線性極化每單位體積介質(zhì)吸收的功率為(2.4 - 6) 2) 時間反演對稱性不成立 在考慮分子間的弱相互作用時, 由(2.4 - 5)式有(2.4 - 13) 將該式與(2.4 - 5)式比較, 顯然 (2.4 - 14) 這說明計及分子間的弱相互作用后, 極化率張量的時間反演對稱性不再成立。 3) 完全對易對稱性不成立 如上同樣分析, 當ba0時, 極

23、化率張量的完全對易對稱性也不再成立, 即(2.4 - 19) 只有當遠離共振區(qū)時, ba可以忽略不計, 極化率張量才有完全對易對稱性。 但是, 不管頻率是復(fù)數(shù)還是實數(shù), 一階極化率張量 (1)()均是一個對稱張量: (2.4 - 20) 3. 高階極化率張量元素表示式的修正 對于高階極化率張量元素表示式的修正, 與一階極化率張量的修正方法類似。 當考慮分子間有弱相互作用時, 只要將(2.3 - 34)式中的躍遷頻率ba等用baiba等代替即可。 至于是用ba+iba還是用ba-iba代替, 則由因果性條件確定, 即應(yīng)保證極化率張量的極點出現(xiàn)在復(fù)數(shù)頻率平面的下半平面內(nèi)。 所以, 二階、 三階極化

24、率張量元素的表示式分別為 (2.4 - 21) (2.4 - 22) 2.5 共振增強的極化率 2.5.1 一階共振增強效應(yīng) 在一階極化率張量元素表示式(2.4 - 5)式中, 首先考慮對a, b的求和。 假定介質(zhì)為二能級系統(tǒng), 低能級以o標記, 高能級以t標記, 本征躍遷共振頻率為to, 則在求和過程中, a, b可分別為o和t, 可得 假定入射光頻率to, 則上式中的第一、 四項因分母值很小, 其分數(shù)值很大, 而第二、 三項則因分母值很大, 可以忽略。 因而, 共振極化率為 (2.5 - 1) (2.5 - 2) 2.5.2 二階共振增強效應(yīng) 由二階極化率張量關(guān)系表示式(2.4 - 21)

25、式, 將 展開, 得到 (2.5 - 3) 2.5.3 三階共振增強效應(yīng) 1. 三階極化率的雙光子和頻共振增強 現(xiàn)在考慮同時入射三個頻率1、 2和3, 產(chǎn)生第四個頻率(1+2+3)的四波混頻過程。 設(shè)其中兩個頻率2、 3之和(2+3)與介質(zhì)的某一本征躍遷頻率to發(fā)生共振, 亦即滿足條件to-(2+3)0。 在對三階極化率張量元素表示式(2.4 - 22)式求和運算中, 分別取a、 c等于o、 t, 其中第一、 二項有共振增強貢獻, 而第三、 四項在進行本征對易運算后, 也有共振增強貢獻。 若將非共振增強項忽略, 經(jīng)過整理可得(2.5 - 8) 圖 2.5 - 1 由簡單四能級系統(tǒng)產(chǎn)生三次諧波

26、圖 2.5 - 2 鈉的能級圖 2. 三階極化率的雙光子差頻共振增強 現(xiàn)在考慮1、 2和3產(chǎn)生(1-2+3)的四波混頻過程, 其中兩個入射光頻率之差正好與介質(zhì)某一本征躍遷頻率發(fā)生共振, 例如to2-3。 此時, 由（2.4 - 22）式出發(fā), 可導(dǎo)出描述該過程的三階極化率張量元素為 (2.5 - 25) 在實際的工作中, to常選取為介質(zhì)的喇曼躍遷頻率, 這時將發(fā)生所謂的喇曼共振增強的四波混頻過程, 利用（2.5 - 25）式可以描述各種喇曼共振四波混頻過程。 通常情況下, 均采用兩束不同頻率的單色光入射, 其中一束較強的光稱為泵浦光(p), 另一束較弱的光稱為信號光(s), 則可能發(fā)生如下四

27、種效應(yīng): （1） 喇曼增益效應(yīng)。 這種效應(yīng)用(3)(-s, p, -p, s)描述, 其中 ps, 在=p-(p-s)=p-to=s頻率處獲得入射信號增益, 構(gòu)成喇曼增益光譜術(shù)的基礎(chǔ)。 （2） 反喇曼衰減效應(yīng)。 這種效應(yīng)用(3)(-s,p,s,-p) =(3)(s,-p,-s,p)*描述, 其中sp, 在=p-(p-s)=p+to=s頻率處發(fā)生入射信號衰減, 成為反喇曼光譜術(shù)的基礎(chǔ)。 （3） 相干斯托克斯光的產(chǎn)生。 這種效應(yīng)用(3)(-(2s-p), s, -p, s)描述, 其中ps, 在=s-(p-s)=s-to頻率處產(chǎn)生空間定向的新斯托克斯頻移光束。 （4） 相干反斯托克斯光的產(chǎn)生。 這

28、種效應(yīng)用(3)(-(2p-s), p, p, -s)= (3)(2p-s), -p, -p, s)*描述, 其中ps, 在=p+(p-s)=p+to頻率處產(chǎn)生空間定向的新反斯托克斯頻移光束, 是相干反斯托克斯喇曼光譜術(shù)的基礎(chǔ)。 2.6 準單色波的非線性極化 2.6.1 準單色波光電場 準單色波是指表觀頻率為0, 振幅包絡(luò)隨時間慢變化的光波, 其光電場表示式為(2.6 - 1) 式中, 是一個慢變化的包絡(luò)函數(shù)。 對線性極化強度來說, 也有類似的表示式。 將（2.6 - 1）式兩邊進行傅里葉變換: 式中, 是包絡(luò)函數(shù) 的傅里葉分量。 對于上式右邊第一項, 令+0, 對于第二項, 令-0, 然后,

29、將積分變量,變換為, 得由此有 (2.6 - 2) 2.6.2 準單色波的線性極化強度 1. 準單色波線性極化強度包絡(luò)的表示式 準單色波線性極化強度表示式為(2.6 - 3) 根據(jù)線性極化強度與光電場關(guān)系的一般表示式 (2.6 - 4) 并將（2.6 - 2）式代入后, 得 (2.6 - 5) 比較（2.6 - ）式和（2.6 - ）式, 可以得到線性強度包絡(luò)函數(shù) 為(2.6 - 6) 2. 絕熱極限 假定光脈沖（準單色波）的載頻0處在介質(zhì)的透明區(qū)域, 則在0附近的頻率范圍內(nèi), (1)(-,)是頻率的慢變化函數(shù), 可將(1)(-,)圍繞0展成臺勞（Taylor）級數(shù), 這樣, （2.6 - 6

30、）式變?yōu)?2.6 - 7) 在這里, (1)(-，)和 具有連續(xù)的高階導(dǎo)數(shù)。 根據(jù)（2.6 - 7）式, 我們可以定義(2.6 - 8) 使得線性極化強度的包絡(luò)函數(shù) 具有如下簡化形式: (2.6 - 9) 2.6.3 準單色波的高階極化強度 在這里, 我們討論準單色波的三階極化強度。 根據(jù)(1.1 - 37)式, 有(2.6 - 18) 如果將(2.6 - 2)式表示的準單色波光電場的傅里葉分量關(guān)系代入上式, 便得到 (2.6 - 19) 2.6.4 準單色波載頻0接近共振頻率的極化 上面我們討論了準單色波與原子系統(tǒng)相互作用的時間滿足(2.6 - 24) 時, 其極化過程可以用瞬時響應(yīng)描述。

31、對于很短的脈沖（超短脈沖）與共振吸收介質(zhì)相互作用(=0), 脈沖持續(xù)時間c(1/)時, 上述瞬時響應(yīng)條件不再成立, 必須考慮因果性原理8。 2.7 帶電粒子可自由移動介質(zhì)的極化率 2.7.1 極化率張量的另外一種形式 1. 密度算符的微擾級數(shù) 如前所述, 帶電粒子系統(tǒng)的動力學行為可以利用在光電場作用下的密度算符(t)的運動方程來描述, 其初始條件就是整個系統(tǒng)在熱平衡情況下的密度算符, 它由(2.1 - 42)式確定。 密度算符運動方程為(2.7 - 2) 式中, 是運動的荷電粒子系統(tǒng)在光電場E(t)中的哈密頓算符, 且(2.7- 3) 這里, mj,qj, 分別為第j個帶電粒子的質(zhì)量、 電荷和

32、動量, A是磁矢位, 它是一個經(jīng)典量。 若定義 (2.7 - 4) 為體積V內(nèi)粒子的無場電流算符, 則荷電粒子系統(tǒng)在光電場中的微擾能量 為(2.7 - 5) 2. 電流密度表示式 根據(jù)電磁場理論關(guān)系, 電流密度算符可表示為(2.7 - 13) 式中 (2.7 - 14) 因此, 宏觀電流密度為 3. 極化強度表示式 根據(jù)極化強度與電流密度的關(guān)系(2.7 - 23) 可得r階極化強度與r階電流密度的關(guān)系為 (2.7 - 24) 將(2.7 - 22)式的 代入后, 可得 (2.7 - 25) 4. 極化率張量元素表示式 將(2.7 - 26)式與 (2.7 - 28) 進行比較, 可以得到第r階

33、極化率張量元素為 (2.7 - 29) 2.7.2 電導(dǎo)率張量表示式 由非線性光學理論可知, 當光電場比較強時, 電流密度與光電場之間的關(guān)系應(yīng)當是非線性的, 因而可以將J(t)寫成(2.7 - 34) 式中的J(r)(t)與電場強度的r次冪成正比。 與前面討論的極化強度與電場的關(guān)系類似, 第r階電流密度分量表示式為(2.7 - 35) 2.8 有效場極化率 2.8.1 有效電場強度 羅侖茲證明12, 在非極性氣體、 液體及立方晶體中, 作用在分子上的有效場強為(2.8 - 1) 達爾文(Darwin)研究了金屬中自由電子的情況后指出, 作用在電子上的有效場強為(2.8 - 2) 對于處于上述兩種情況之間的各種介質(zhì)的有效場的計算, 是個很復(fù)雜的問題。 這里給出一個經(jīng)驗表示形式: 有效場強與宏觀場強的關(guān)系為 (2.8 - 3) 為簡單起見, 取L為一標量。 2.8.2 有效場極化率 對于線性極化強度P(1), 可以分別利用宏觀場和有效場表示, 且有(2.8 - 4) 將該式代入(2.8 - 3)式后, 可以求得宏觀場極化率(1)與有