正弦定理余弦定理綜合應(yīng)用解三角形經(jīng)典例題老師

1、WORD12/12一、知識梳理1角和定理：在中，；面積公式:在三角形邊對大角，反之亦然.2正弦定理：在一個三角形中,各邊和它的所對角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： (邊角轉(zhuǎn)化的重要工具)形式三： 形式四：3.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.形式一：(解三角形的重要工具)形式二：二、方法歸納 (1)已知兩角A、B與一邊,由A+B+C=與，可求出角C，再求、. (2)已知兩邊、與其夾角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三邊、，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知兩邊、

2、與其中一邊的對角A，由正弦定理，求出另一邊的對角B，由C=-(A+B)，求出，再由求出C，而通過求B時，可能出一解，兩解或無解的情況=sinA有一解 sinA有兩解 有一解 有一解三、課堂精講例題問題一：利用正弦定理解三角形例1在中，若，,，則.例2在ABC中，已知=,=,B=45,求A、C和.解析B=4590且sinBb,ABC有兩解.由正弦定理得sinA= =,則A為60或120.當A=60時，C=180-(A+B)=75,c=.當A=120時，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,C=75,c=或A=120,C=15,=.思考從所得到式子看，為什么會有兩解：sinA

3、 =,在上顯然有兩個解。在上的值域為（0,1，在只有一解。適時導練1.（1）ABC中，=8,B=60,C=75,求;（2）ABC中，B=30,=4,c=8,求C、A、a.解析（1）由正弦定理得.B=60,C=75,A=45,b=4.（2）由正弦定理得sinC=1.又30C150,C=90.A=180-(B+C)=60,=4.問題二：利用余弦定理解三角形例3設(shè)的角所對的邊分別為.已知，.（）求的周長；（）求的值.解題思路本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式和余弦定理，同時考查基本運算能力解析（）的周長為.（），,故為銳角，. 注常利用到的三角公式兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與倍角公式：例4（20

4、10文數(shù)） 設(shè)的角A、B、C的對邊長分別為、,且3+3-3=4 .() 求sinA的值；()求的值.適時導練2 在ABC中，、分別是角A，B，C的對邊，且=-.（1）求角B的大?。唬?）若=，+=4，求ABC的面積.解析 （1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.將上式代入=-得:=-整理得:2+2-2=-cosB= =-B為三角形的角，B=.（2）將=,+=4,B=代入2=2+2-2cosB,得2=(+)2-2-2cosB2=16-2,=3.SABC=sinB=.問題三：正弦定理余弦定理綜合應(yīng)用例5（2011文數(shù)）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為，c已知 （I）求的值； （II）若co

5、sB=，ABC的周長為5，求的長。解題思路通過正弦定理將邊化成正弦，在通過和角公式進行化簡。解析（I）由正弦定理，設(shè)則所以即，化簡可得又，所以因此 （II）由得由余弦定得與得所以又從而因此b=2。思考到底“具體什么情況下邊化角，什么情況下角化邊”例6（2009全國卷理）在中，角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且 求b解題思路對已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,可以考慮余弦定理；而對已知條件(2) 化角化邊都可以。解析解法一：在中則由正弦定理與余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故由，解得.思考面對解三角形，可以考慮正弦定理

6、，也可以考慮余弦定理，兩種方法只是計算量上的差別。適時導練3在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且8sin22cos2A7（1）求角A的大?。唬?）若a，bc3，求b和c的值解:（1）ABC180，90 sin由8sin22cos2A7，得8cos22cos2A7 4(1cosA)2(2cos2A1)7，即(2cosA1)20 cosA 0A180，A60（2）a，A60，由余弦定理知a2b2c22bccosA， 3b2c2bc(bc)23bc93bcbc2又bc3，b1，c2或b2，c1問題四：三角恒等變形例7（08） 設(shè)的角A，B，C的對邊分別為,b,c，且A=，c=3b.求：

7、（）的值；（）cotB+cot C的值.解題思路求的值需要消去角和三角求值問題一般先考慮尋找角之間的關(guān)系解析（）由余弦定理得故（）解法一：由正弦定理和（）的結(jié)論得故解法二：由余弦定理與（）的結(jié)論有故同理可得從而思考在解三角形的背景下一般見“切割化弦”， 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： （1）平方關(guān)系： （2）倒數(shù)關(guān)系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商數(shù)關(guān)系：適時導練4.（2009卷理）中，所對的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求.解析(1) 因為，即，所以，即 ，得 . 所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因為，則，或（舍去） 得(2)， 又, 即 ，得問題五

8、：判斷三角形形狀例8在ABC中，在中，分別是角A、B、C所對的邊，bcosAcosB，試判斷三角形的形狀.解題思路判定三角形形狀時，一般考慮兩個方向進行變形：（1）一個方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正、余弦定理結(jié)合使用；（2）另一個方向是角，走三角變形之路.通常是運用正弦定理解析方法1：利用余弦定理將角化為邊.bcosAcosB 故此三角形是等腰三角形.方法2：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.bcosAcosB 又b2RsinB，2RsinA2RsinBcosA2RsinAcosB sinAcosBcosAsinB0sin（AB）0 0A，B，ABAB0，即AB故三角形是等腰三角形.思考判斷三角形

9、形狀時一般從角入手，利用三角形角和定理，實施關(guān)于三角形角的一些變形公式.例9. 在ABC中，在中，分別是角A、B、C所對的邊，若 eq f(cosA,cosB) eq f(b,a) ，試判斷三角形的形狀.解析：方法1：利用余弦定理將角化為邊由已知 eq f(cosA,cosB) eq f(b,a) 與正弦定理得 eq f(cosA,cosB) eq f(sinB,sinA) sin2A=sin2B2A2B或2A2B，即AB或AB eq f(,2) ，故ABC為等腰三角形或直角三角形.方法2：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.acosAbcosB a=b或者故ABC為等腰三角形或直角三角形.適時導練5.

10、在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等邊三角形解析2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB 6.在ABC中，、c分別表示三個角A、B、C的對邊，如果（2+b2）sin（A-B）=（2-b2）sin（A+B），判斷三角形的形狀.解析方法一 已知等式可化為2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)22cosAsinB=22cosBsinA由正弦定理可知上式可化為：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsin

11、AsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC為等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得2b= b22(b2+c2-2)=b2(2+c2-b2)即(2-2)(2+2-c2)=0=或2+2=c2ABC為等腰或直角三角形.問題六：與其他知識綜合例10已知向量，其中A，B，C是ABC的角，,c分別是角A，B，C的對邊.（1）求角C的大??；（2）求的取值圍.解題思路向量的數(shù)量積運算法則。向量垂直的判定。解析（1）由得 由余弦定理得 （2）即.

12、 思考坐標運算：設(shè)，則： 向量的加減法運算：，。 實數(shù)與向量的積：。 平面向量數(shù)量積：=適時導練7（2009文）在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值解析（）又，而，所以，所以的面積為：（）由（）知，而，所以所以問題7：三角實際應(yīng)用例11 要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取相距 km的C、D兩點，并測得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，求A、B之間的距離.解題思路找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。解析如圖所示在ACD中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.BC=

13、.ABC中，由余弦定理，得AB2=+-2cos75=3+2+-=5，AB=(km).A、B之間的距離為 km. 課后自我檢測A 組1.已知ABC中，則 ( )答案2.在中。若，則a= 。答案 13.已知,分別是ABC的三個角A,B,C所對的邊，若=1,=, A+C=2B,則sinC= .答案 1解析由A+C=2B與A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知，即由知，則，3.在中，=15,=10,A=60，則=A B C D 答案D解析根據(jù)正弦定理可得解得，又因為，則，故B為銳角，所以，故D正確.4某人朝正向走千米后，向右轉(zhuǎn)并走3千米，結(jié)果他離出發(fā)點恰好千米，那么的值為 （ ）ABC或D3答案C5.（2008)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為、,若(2+2-b2)tanB=,則角B的值為 （ ）A. B. C.或 D.或答案 D6已知的周長為，且（I）求邊的長；（II）若的面積為，求角的度數(shù)解析（I）由題意與正弦定理，得，兩式相減，得（