數(shù)學(xué)建模課件第二章初等模型

1、初等模型 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)建模實踐基地某航空母艦派其護衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行員，護衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報了航母當(dāng)前的航速與方 向，問護衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。2.1 艦艇的會合令：則上式可簡記成 ：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母 護衛(wèi)艦 1 2 即：可化為：記v2/ v1=a通常a1 則匯合點 p必位于此圓上。 （護衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程 ）即可求出P點的坐標(biāo)和2 的值。本模型雖簡單，但分析極清晰且易于實際應(yīng)用 2.2 雙層玻璃的功效在寒冷的北方， 許多住房的 玻璃窗都是雙層玻璃的，現(xiàn)在我們來建立一個簡單 的數(shù)學(xué)模型，研究一下雙層

2、玻璃到底有多 大的功效。比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們 的差異僅僅在窗戶不同。 不妨可以提出以下 假設(shè)：1、設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對流。2、室內(nèi)溫 度T1與戶外溫 度T2均為常數(shù)。3、玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k2，單位時間通過單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為 ddl室外T2室內(nèi)T1TaTb由熱傳導(dǎo)公式 =kT/d 解得：此函數(shù)的圖形為dd室外T2室內(nèi)T1類似有 一般故記h=l/d并令f(h)= 01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)考慮到

3、美觀和使用上 的方便，h不必取得過大，例如，可 取h=3，即l=3d，此時房屋熱量的損失不超過單層玻璃窗時的 3% 。 2.3 崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測定時間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑 表功能的計算器。方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式來計算。例如， 設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h78.5米。 我學(xué)過微積分，我可以做 得更好，呵呵。 除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng) 屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)

4、知識，此時可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系 數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再積分一次，得： 若設(shè)k=0.05并仍設(shè) t=4秒，則可求 得h73.6米。 聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了 反應(yīng)時間 進一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時間 為0.1秒 ，假如仍 設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時間后應(yīng) 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 多測幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條 件h(0)=0，得到計算山崖高度的公式： 將e-kt用泰勒公式展開并 令k 0+ ，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結(jié)果。還應(yīng)考慮回聲傳回來

5、所需要的時間。為此，令石塊下落 的真正時間 為t1，聲音傳回來的時間記 為t2，還得解一個方程組： 這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個非線性主程組似乎不合情理 相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可 用方法二先求一次 h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時間 t1t-t2將t1代入式再算一次，得出崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，則 t20.21秒，故 t13.69秒，求得 h62.3米。 最小二乘法 插值方法 當(dāng)問題的機理非常不清楚難以直接利用其他知識來建模時，一個較為自然的方法是利用數(shù)據(jù)進行曲線擬合，找出變量之間的近似依賴關(guān)系即函數(shù)關(guān)系。2.4 經(jīng)驗

6、模型最小二乘法設(shè)經(jīng)實際測量已得 到n組數(shù)據(jù)（xi , yi），i=1, n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中，見 圖。如果建模者判斷 這n個點很象是分布在某條直線附近，令 該直線方程 為y=ax+b，進而利用數(shù)據(jù)來求參 數(shù)a和b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關(guān)系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我們希望 最小此式對a和b的偏導(dǎo)數(shù)均 為0，解相應(yīng)方程組，求得： y=ax+byO(xi ,yi)x其中 和 分別為xi和yi的平均值 如果建模者判斷變量間的關(guān)系并非線性關(guān)系而是其他類型的函數(shù)，則可作 變量替換使之轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系或用類似方 法擬合。顯然，運動員體重越大，他能舉起的重量也越大，但舉重

7、成績和運動員體重到底是怎樣關(guān)系的，不同量級運動員的成績又如何比較優(yōu)劣呢？運動成績是包括生理條件、心理因素等等眾多相關(guān)因素共同作用的結(jié)果，要建立精確的模型至少現(xiàn)在還無法辦到。但我們擁有大量的比賽成績紀(jì)錄，根據(jù)這些數(shù)據(jù)不妨可以建立一些經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀楹唵纹鹨?，我們不妨取表中的?shù)據(jù)為例。例1（舉重成績的比較）舉重是一種一般人都能看懂的運動，它共分九個重量級，有兩種主要的比賽方法：抓舉和挺舉。 表中給出了到1977年底為止九個重量級的世界紀(jì)錄。255200110以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.5

8、5614110952挺舉（公斤）抓舉（公斤）成績重量級（上限體重）模型1（線性模型） 將數(shù)據(jù)畫在直角坐標(biāo)系中可以發(fā)現(xiàn)，運動成績與體量近似滿足線性關(guān)系，只有110公斤級有點例外，兩項成績都顯得較低。應(yīng)用前面敘述的方法可求出近似關(guān) 系式L=kB+C，其中B為體重，L為舉重成績。你在作圖 時L軸可以放 在50公斤或52公斤處，因為沒有更輕級別的比賽，具體計算留給讀者自己去完成。 模型2（冪函數(shù)模型） 線性模型并未得到廣泛的接受，要改進結(jié)果，能夠想到的自然首先是冪函數(shù)模型，即令L=kBa，對此式取對數(shù)，得 到lnL=lnk+a lnB。將原始數(shù)據(jù)也取對數(shù)，問題即轉(zhuǎn)化了線性模型，可用最小二乘法求出參數(shù)。

9、幾十年前英國和愛爾蘭采用的比較舉重成績優(yōu)劣 的Austin公式：L=L/B3/4就是用這一方法求得的。 模型3（經(jīng)典模型） 經(jīng)典模型是根據(jù)生理學(xué)中的已知結(jié)果和比例關(guān)系推導(dǎo)出來的公式，應(yīng)當(dāng)說，它并不屬于經(jīng)驗公式。為建立數(shù)學(xué)模型，先提出如下一些假設(shè)： (1)舉重成績正比于選手肌肉的平均橫截 面積A，即L=k1A(2)A正比于身高 l的平方，即 A=k2l2(3)體重正比于身高 l的三次方， 即B=k3l3根據(jù)上述假設(shè)，可得 顯然，K越大則成績越好，故可用 來比較選手比賽成績的優(yōu)劣。 模型4（O Carroll公式） 經(jīng)驗公式的主要依據(jù)是比例關(guān)系，其假設(shè)條件非常粗糙，可信度不大，因而大多數(shù)人認為它不

10、能令人信服。1967年，O Carroll基于動物學(xué)和統(tǒng)計分析得出了一個現(xiàn)在被廣泛使用的公式。O Carroll模型的假設(shè)條件是： (1) L=k1Aa, a1 (2) A=k2lb, bm）。由于公式量綱齊次當(dāng)且僅當(dāng)它可用無量綱的量表示，故方程當(dāng)且僅當(dāng)可寫 成f(1，, m)=0時才是量綱齊次的，定理證畢。 證 設(shè)x1,xk為方程中出現(xiàn)的變量與常數(shù), ,對這些變量與常數(shù)的任一乘積 ,令 函數(shù)g建立了xi(i=1,k)的乘積所組成的空間 與k維歐氏空間之間的一個一一對應(yīng)?，F(xiàn)設(shè)涉及到的基本量綱有n個,它們 為y1,yn.用這些基本量綱來表達 該xi的乘冪,設(shè)此乘冪的量綱為 令易見dg-1是k維歐

11、氏空間 到n維歐氏空間的一個變換，這里的g-1為g的逆變換。 例4（理想單擺的擺動周期）考察質(zhì)量集中于距支點為 l 的質(zhì)點上的無阻尼 單擺，（如圖），其運動為某周 期 t 的左右擺動，現(xiàn)希望得到周期 t 與其他量之間的關(guān)系。lmg考察 ， 的量綱為 MaLb+dTc-2b 若 無量綱，則有此方程組中不含 e，故（0, 0, 0, 0, 1）為一解，對應(yīng)的1=即為無量綱量。為求另一個無綱量可 令b=1，求得（0，1，2，-1，0），對應(yīng)有 故單擺公式可用 表示。 從中解出顯函數(shù) 則可得： 其中此即理想單擺的周期公式。當(dāng)然 k()是無法求得的，事實上，需要用橢圓積分才能表達它。 量綱分析法雖然簡單

12、，但使用時在技巧方面的要求較高，稍一疏忽就會導(dǎo)出荒謬的結(jié)果或根本得不出任何有用的結(jié)果。首先，它要求建模者對研究的問題有正確而充分的了解，能正確列出與該問題相關(guān)的量及相關(guān)的基本量綱，容易看出，其后的分析正是通過對這些量的量綱研究而得出的，列多或列少均不可能得出有用的結(jié)果。其次，在為尋找無量綱量而求解齊次線性方程組時，基向量組有無窮多種取法，如何選取也很重要，此時需依靠經(jīng)驗，并非任取一組基都能得出有用的結(jié)果。此外，建模者在使用量綱分析法時對結(jié)果也不應(yīng)抱有不切實際的過高要求，量綱分析法的基礎(chǔ)是公式的量綱齊次性，僅憑這一點又怎么可能得出十分深刻的結(jié)果，例如，公式可能包含某些無量綱常數(shù)或無量綱變量，對它

13、們之間的關(guān)系，量綱分析法根本無法加以研究。2.7 賽艇成績的比較(比例模型)八人賽艇比賽和舉重比賽一樣，分 成86公斤的重量級和 73公斤的輕量級。1971年，T.A.McMahon比較了1964-1970年期間兩次奧運會和兩次世錦賽成績，發(fā)現(xiàn) 86公斤級比73公斤級的成績大約好5%，產(chǎn)生這一差異的原因何在呢？ 我們將以L表示輕量級、以H表示重量級，用S表示賽艇的浸水面積，v表示賽艇速度，W表示選手體重，P表示選手的輸出功率，I表示賽程，T表示比賽成績（時間）。 考察優(yōu)秀賽艇選手在比賽中的實際表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，整個賽程大致可以分三個階段， 即初始時刻的加速階 段、中途的勻速階段和到達終點的沖刺階段

14、 。由于賽程較長，可以略去前后兩段而只考慮中間一段 ，為此，提出以下建模假設(shè)。（1）設(shè)賽艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力f正比 于Sv2,（見流體力學(xué)），空氣阻力等其他因素不計。（2）同一量級的選手有相同的體重W，選手的輸出功 率P正比于W，且效率大體相同。由假設(shè)1， ，故 競賽成績記比例系數(shù) 為k，則有：故由假設(shè)2， 故令WH=86,WL=73,則有由于SL略小于SH，故輕量級所化時間比重量級所化時間約 多5%左右。2.8 方桌問題將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不 允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn) ，是否總能設(shè)法使其四條腿同時落地？ 不附加任何條件，答案 顯然 是否定的， 因

15、此我們假設(shè) （1）地面為連續(xù)曲面 （2）方桌的四條腿長度相同 （3）相對于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的 （4）方桌的腿只要有一點接觸地面就算著地?？偪梢允谷龡l腿同時著地。 現(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心為坐標(biāo)原點作直角坐標(biāo)系如 圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、C的初始位置在x軸上，而B、D則在y軸上，當(dāng)方桌繞中 心0旋轉(zhuǎn)時，對角線 AC與x軸的夾角記為。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令 f()為A、C離地距離之和，g()為B、D離地距離之和，它們的值 由唯一確定。由假設(shè)（1），f

16、()、g()均為的連續(xù)函數(shù)。又 由假設(shè)（3），三條腿總能同時著地， 故 f()g()=0 必成立（ ）。不妨設(shè)f(0)=0,g(0)0（若g(0)也為0，則初始時刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問題歸結(jié)為：yxCDABo已知f()、g()均為的連續(xù)函數(shù)，f(0)=0,g(0)0且對任意有f()g()=0，求證存在某一0，使f(0)=g(0)=0。 （證法一）當(dāng)=/2時，AC與BD互換位置，故f(/2)0 , g(/2)=0。作h()=f()-g()，顯然，h()也是的連續(xù)函數(shù)，h(0)=f(0)-g(0)0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在 o，0o 0,g(/2)=0。令o =sup |f (

17、)=0，0,顯然0 0，總有0且0。因為f(0+)g (o+)=0，故必有g(shù) (0+)=0，由可任意小且g連續(xù)，可知必 有 g (0)=0，證畢。證法二除用 到f、g的連續(xù)性外，還用到了上確界的性質(zhì)。 在解決實際問題時，注意觀察和善于想象是十分重要的，觀察與想象不僅能發(fā)現(xiàn)問題隱含的某些屬性，有時還能順理成章地找到解決實際問題的鑰匙。本節(jié)的幾個例子說明，猜測也是一種想象力。沒有合理而又大膽的猜測，很難做出具有創(chuàng)新性的結(jié)果。開普勒的三大定律（尤其是后兩條）并非一眼就能看出的，它們隱含在行星運動的軌跡之中，隱含在第谷記錄下來的一大堆數(shù)據(jù)之中。歷史上這樣的例子實在太多了。在獲得了一定數(shù)量的資料數(shù)據(jù)后，

18、人們常常會先去猜測某些結(jié)果，然后試圖去證明它。猜測一經(jīng)證明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常會被推廣出許多更為廣泛的結(jié)果。即使猜測被證明是錯誤的，結(jié)果也決不是一無所獲的失敗而常常是對問題的更為深入的了解。 2.9最短路徑與最速方案問題 例5（最短路徑問題） 設(shè)有一個半徑為 r 的圓形湖，圓心為 O。A、B 位于湖的兩側(cè)，AB連線過O，見圖?，F(xiàn)擬從A點步行到B點，在不得進入湖中的限 制下，問怎樣的路徑最近。 ABOr將湖想象成凸出地面的木樁，在AB間拉一根軟線，當(dāng)線被拉緊時將得到最短路徑。根據(jù)這樣的想象，猜測 可以如下得到最短路徑： 過A作圓的切線切圓于E，過B作圓的切線切圓 于F。最

19、短路徑為由線 段AE、弧EF和線段FB連接而成的連續(xù)曲線（根據(jù)對稱性，AE，弧EF，F(xiàn)B連接而成的連續(xù)曲線也是）。EFEF以上只是一種猜測，現(xiàn)在來證明這一猜測是正確的。為此，先介紹一下凸集與凸集的性質(zhì)。定義2.1（凸集）稱集合 R為凸集，若x1、x2R及0，1，總有x1+（1+）x2R。即若x1、x2R，則x1、x2的連線必整個地落 在R中。定理2.2（分離定理）對平面中的凸 集R與R外的一點K，存在直線 l , l 分離R與K，即R與K分別位于 l 的兩側(cè)（注：對一般的凸 集R與R外的一點K，則存在超平面分 離R與K），見圖。klR下面證明猜想猜測證明如下：（方法一）顯然， 由AE、EF、F

20、B及AE，EF，F(xiàn)B圍成的區(qū)域 R是一凸集。利用分離定理易證最短徑不可能經(jīng)過R外的點，若不然，設(shè) 為最短路徑，過R外的一點M，則必存在直 線l分離M與R，由于路徑是連續(xù)曲線，由A沿到M，必交l于M1，由M沿到B又必交l于M2。這樣，直線 段M1M2的長度必小于路 徑M1MM2的長度，與是A到B的最短路徑矛盾，至此，我們已證明最短路徑必在凸集R內(nèi)。不妨設(shè)路徑經(jīng)湖的上方到達B點，則弧EF必在路徑F上，又直線段AE是由A至E的最短路徑，直線FB是由F到B的最短路徑，猜測得證。ABOrEFEFM1M2Ml還可用微積分方法求弧長，根據(jù)計算證明滿足限止條件的其他連續(xù)曲線必具有更大的長度；此外，本猜測也可用

21、平面幾何知識加以證明等。 根據(jù)猜測不難看出， 例5中的條件可以大大放松，可以不必 設(shè)AB過圓心，甚至可不必設(shè)湖是圓形的。例如對 下圖，我們可斷定由A至B的最短路徑必 為l1與l2之一，其證明也不難類似給出。 ABl1l2D到此為止，我們的研討還只局限于平面之中，其實上述猜測可十分自然地推廣到一般空間中去。1973年，J.W.Craggs證明了以上結(jié)果：若可行區(qū)域的邊界是光滑曲面。則最短路徑必由下列弧組成，它們或者是空間中的自然最短曲線，或者是可行區(qū)域的邊界弧。而且，組成最短路徑的各段弧在連接點處必定相切。例6 一輛汽車停于 A處并垂直于AB方向，此汽車可轉(zhuǎn)的最小圓半徑為 R，求不倒車而由 A到

22、B的最短路徑。解（情況1）若|AB|2R，最短路徑由 弧AC與切線BC組成（見圖 ）。（情況2）若|AB|0為推力，fS，故由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)存在 某TT，S（T）=S但這一結(jié)果與=(t)是最優(yōu)方案下的車速的假設(shè)矛盾，因為用我們猜測的推車方法推車，只 需T時間即可將車推到修車處， 而TT。otATTASy=aty=-b(t-T) 圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學(xué)概念之一，早在大約3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已經(jīng)在 用256/81（約3.1605）作為的近似值了。幾千年來，人們一直沒有停止過求的努力。2.10 的計算 古 典 方 法 分 析 方 法 其 它 方 法 概率方法 數(shù)值積分方法 古典方法用什么方法來計 算的近似值呢？顯然，不可能僅根據(jù)圓周率的定義，用圓的周長去除以直徑。起先，人們采用的都是用圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形來逼近的古典方法。6邊形12邊形24邊形圓 阿基米德曾用圓內(nèi)接 96邊形