課件ch10偽回歸和單位根

1、1第十章 偽回歸和單位根2本章結(jié)構(gòu)第一節(jié) 時(shí)間序列及其平穩(wěn)性第二節(jié) 時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)第三節(jié) 時(shí)間序列的單積和協(xié)積3第一節(jié) 時(shí)間序列及其平穩(wěn)性一、時(shí)間序列數(shù)據(jù)和隨機(jī)過(guò)程 二、經(jīng)典計(jì)量分析和時(shí)間序列的平穩(wěn)性三、時(shí)間序列非平穩(wěn)和偽回歸4一、時(shí)間序列數(shù)據(jù)和隨機(jī)過(guò)程計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中的截面數(shù)據(jù)是在同一時(shí)點(diǎn)抽樣統(tǒng)計(jì)得到的，可以理解為一個(gè)隨機(jī)變量反復(fù)抽樣的結(jié)果。 時(shí)間序列數(shù)據(jù)則是在不同時(shí)間觀測(cè)或統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，不能看作同一個(gè)隨機(jī)變量生成的，不能看作與截面數(shù)據(jù)一樣的同一個(gè)隨機(jī)變量的反復(fù)抽樣，而應(yīng)該看作不同隨機(jī)變量生成的，看作是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。 5所謂隨機(jī)過(guò)程就是一系列具有順序性和內(nèi)在聯(lián)系的隨機(jī)變量的集合。

2、隨機(jī)過(guò)程一般定義為隨機(jī)變量族 ，其中T 是給定的實(shí)數(shù)集，對(duì)應(yīng)每個(gè) 的 是隨機(jī)變量。 當(dāng)進(jìn)一步明確參數(shù)t代表時(shí)間，T 是整數(shù)集合時(shí)，離散型隨機(jī)過(guò)程 稱為“時(shí)間序列”。 6計(jì)量經(jīng)濟(jì)回歸分析的參數(shù)估計(jì)及相關(guān)推斷檢驗(yàn)，都是建立在隨機(jī)變量總體均值、方差推斷基礎(chǔ)上的。 如果使用的是截面數(shù)據(jù)，那么因?yàn)榻孛鏀?shù)據(jù)是一個(gè)隨機(jī)變量的抽樣結(jié)果，因此根據(jù)中心極限定理等，可以用截面數(shù)據(jù)的樣本均值和方差推斷隨機(jī)變量的總體均值和方差，以此為基礎(chǔ)的計(jì)量回歸分析和預(yù)測(cè)是有效的。二、經(jīng)典計(jì)量分析和時(shí)間序列的平穩(wěn)性7當(dāng)計(jì)量分析使用的數(shù)據(jù)是時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí)，情況就會(huì)有所不同。 因?yàn)闀r(shí)間序列并不是一個(gè)隨機(jī)變量的反復(fù)抽樣，而是隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)

3、實(shí)現(xiàn)，每個(gè)數(shù)據(jù)都是特定時(shí)間隨機(jī)變量的唯一實(shí)現(xiàn)值，時(shí)間序列樣本均值和方差的含義與截面數(shù)據(jù)也不同，這樣以隨機(jī)變量總體均值和方差的推斷為基礎(chǔ)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的基礎(chǔ)就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。 8其實(shí)并不是以時(shí)間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的計(jì)量分析都會(huì)存在問(wèn)題。 只要所使用的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，以時(shí)間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析就是有效的。 所謂平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)就是由平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程生成的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。 9隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性包括嚴(yán)平穩(wěn)和弱平穩(wěn)兩種情況。 嚴(yán)平穩(wěn)即隨機(jī)過(guò)程 在任意時(shí)點(diǎn)概率分布的特性不受時(shí)間原點(diǎn)改變的影響，可以用任意m個(gè)時(shí)刻 觀測(cè)值 的聯(lián)合概率分布，與 時(shí)刻觀測(cè)值 的聯(lián)合概率分布相同即： 10嚴(yán)平穩(wěn)性隱含任意時(shí)刻隨機(jī)變量

4、的概率分布相同，意味著各個(gè)時(shí)點(diǎn)隨機(jī)變量均值和方差（存在且有限時(shí)）都相同，即 和 都與t無(wú)關(guān)，兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差： 與時(shí)間t無(wú)關(guān)，只與時(shí)間間隔k有關(guān)。對(duì)可能存在的高階矩也同樣。 嚴(yán)平穩(wěn)性要求是相當(dāng)高的，比較難滿足和證明。 11現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中常采用另一種相對(duì)較弱的，使用比較方便，比較符合計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析要求的弱平穩(wěn)性或協(xié)方差平穩(wěn)性。 弱平穩(wěn)性即滿足下列三條要求： 12嚴(yán)平穩(wěn)性一般情況下強(qiáng)于弱平穩(wěn)性，但也不一定隱含弱平穩(wěn)，因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)過(guò)程各隨機(jī)變量的一、二階矩并不一定存在。 平穩(wěn)的時(shí)間序列有穩(wěn)定的趨勢(shì)（期望）、波動(dòng)性（方差）和橫向聯(lián)系（協(xié)方差），可以用時(shí)間序列的樣本均值和方差推斷各時(shí)點(diǎn)隨機(jī)變量的分布特征。因

5、此運(yùn)用平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的經(jīng)典回歸分析是有效的，以往時(shí)間序列數(shù)據(jù)的計(jì)量回歸分析實(shí)際上隱含假設(shè)數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 13三、時(shí)間序列非平穩(wěn)和偽回歸時(shí)間序列的平穩(wěn)性并不總是有保證的，許多常用的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列，如GDP、物價(jià)指數(shù)、股票價(jià)格等，都有非平穩(wěn)的特性。 例如下面圖10.1中INVGM和GER兩個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的連線圖，就是經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的典型圖形。根據(jù)這兩個(gè)圖形很容易看出，這兩個(gè)時(shí)間序列都不符合平穩(wěn)時(shí)間序列要求的穩(wěn)定均值的特征，GER的圖形也不滿足穩(wěn)定方差的基本特征，因此這兩個(gè)時(shí)間序列都是非平穩(wěn)的。14圖10.1 非平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)連線圖1516如果把非平穩(wěn)的時(shí)間序列當(dāng)作平穩(wěn)序列，事實(shí)上會(huì)破壞古典線性回歸

6、模型的基本假設(shè)，用這樣的模型進(jìn)行回歸，得到的統(tǒng)計(jì)量都是失效的，分析、檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)結(jié)果都是無(wú)效的，對(duì)計(jì)量回歸分析的有效性有很大的影響。 案例1演示（投資函數(shù)的估計(jì)）問(wèn)題1：平穩(wěn)性檢驗(yàn)的思路？17第二節(jié) 時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)一、分布圖形檢驗(yàn)二、自相關(guān)圖檢驗(yàn)三、單位根檢驗(yàn)18一、圖形檢驗(yàn)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均值和方差函數(shù)是常數(shù)，意味著平穩(wěn)時(shí)間序列的取值必然圍繞一個(gè)水平的中心趨勢(shì)，以相同的發(fā)散程度分布。 根據(jù)這一點(diǎn)，可以從數(shù)據(jù)分布圖形直接對(duì)數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)進(jìn)行判斷。 例如當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的連線圖形出現(xiàn)類似圖10.1的情況時(shí)，就肯定不是平穩(wěn)時(shí)間序列，因?yàn)檫@兩種圖形表明時(shí)間序列數(shù)據(jù)都沒(méi)有不變的中心趨勢(shì)，或者說(shuō)中心趨勢(shì)是變

7、化的，而且也沒(méi)有穩(wěn)定的方差。 19 如圖10.2 ，該時(shí)間序列數(shù)據(jù)基本上是平穩(wěn)的。 20多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列有上升或下降的趨勢(shì)性，而不是圍繞不變水平波動(dòng)。 例如圖10.3中的時(shí)間序列數(shù)據(jù)CAPAR就是有明顯的上升趨勢(shì)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。 不符合平穩(wěn)性定義，但圍繞穩(wěn)定上升趨勢(shì)的形態(tài)與平穩(wěn)數(shù)據(jù)是相似的，預(yù)測(cè)作用也相似。把這種數(shù)據(jù)排除在平穩(wěn)序列之外，平穩(wěn)序列的應(yīng)用價(jià)值必然受到很大限制。 21圖10.3 趨勢(shì)平穩(wěn)時(shí)間序列 22這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)對(duì)平穩(wěn)性概念的擴(kuò)展解決。 方法是把數(shù)據(jù)的趨勢(shì)部分看成先分離出來(lái)，然后根據(jù)分離趨勢(shì)后的純隨機(jī)部分判定平穩(wěn)性。例如一個(gè)時(shí)間序列t 時(shí)刻的隨機(jī)變量可以表示為 ，其中 是一個(gè)平穩(wěn)

8、序列，那么該序列去掉時(shí)間趨勢(shì) 之后的部分就是平穩(wěn)的，稱為“趨勢(shì)平穩(wěn)” 。趨勢(shì)平穩(wěn)時(shí)間序列中的時(shí)間趨勢(shì)既可以是線性，也可以是非線性的。 23二、自相關(guān)圖檢驗(yàn)原理：平穩(wěn)時(shí)間序列過(guò)程的自協(xié)方差，或由協(xié)方差計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)，應(yīng)該很小、很快趨向于0，具有截尾或拖尾特征 。這些特征正是判斷時(shí)間序列平穩(wěn)性的重要依據(jù)。 由于自相關(guān)是相對(duì)量指標(biāo)，方便橫向比較和建立一般標(biāo)準(zhǔn)，因此通常利用自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行判斷。 利用自相關(guān)函數(shù)判斷時(shí)間序列平穩(wěn)性的首要問(wèn)題是計(jì)算自相關(guān)函數(shù)。 24自相關(guān)函數(shù)是以協(xié)方差函數(shù)為基礎(chǔ)定義的 ，其中 和 分別為協(xié)方差和方差函數(shù)。因?yàn)橹挥袝r(shí)間序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，因此不可能根據(jù)隨機(jī)變量協(xié)方差、方差的定義

9、計(jì)算，只能用樣本，也就是時(shí)間序列觀測(cè)值的時(shí)間平均代替總體平均，時(shí)間矩代替總體矩，得到自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。 25自相關(guān)函數(shù)最好的估計(jì)方法是樣本自相關(guān)函數(shù)： 其中： 26對(duì)不同的k分別計(jì)算出樣本自相關(guān)函數(shù) 的值以后，可以描繪出對(duì)應(yīng)不同k的 的分布圖形，根據(jù)圖形的特征判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)。 當(dāng)樣本自相關(guān)函數(shù)的值（對(duì)不同k）有許多落在臨界值范圍外時(shí)，初步判斷有非平穩(wěn)性。 常用計(jì)量分析軟件都有給出序列相關(guān)圖的功能，因此運(yùn)用相關(guān)圖檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性非常方便。 27三、單位根檢驗(yàn)定義：如果隨機(jī)過(guò)程中隨機(jī)變量滿足關(guān)系式： 或 。其中 是服從白噪聲過(guò)程的修正項(xiàng)， 是常數(shù)，則稱該隨機(jī)過(guò)程為一個(gè)“單位根過(guò)程” 。上

10、述單位根過(guò)程只是單位根過(guò)程的基本形式，單位根過(guò)程還可以擴(kuò)展到包含時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)等的多種情況。28在給定 的前提下 的條件期望 不是與t 無(wú)關(guān)的常數(shù)，而且因?yàn)?因此 的方差 也不是與t 無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以單位根過(guò)程不符合平穩(wěn)性的定義，是非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。 29單位根檢驗(yàn)具有趨勢(shì)特征的經(jīng)濟(jì)變量受到?jīng)_擊后的兩種表現(xiàn)：逐漸回到原趨勢(shì)，沖擊的影響漸漸消失；不回到原趨勢(shì)，呈現(xiàn)隨機(jī)游走狀態(tài)，影響具有持久性。這時(shí)若用最小二乘法，將得到偽回歸。例如：案例1中的GDP和投資30迪基-富勒檢驗(yàn)首先檢驗(yàn)時(shí)間序列是否屬于最基本的單位根過(guò)程，也稱為隨機(jī)游走過(guò)程 ，其中 為白噪聲過(guò)程。如果自回歸模型 中 ，或者變換成的回歸模型

11、中的 ，那么時(shí)間序列 就是最基本的單位根過(guò)程隨機(jī)游走過(guò)程，肯定是非平穩(wěn)的。因此上述差分模型中 的顯著性檢驗(yàn)，就是檢驗(yàn)時(shí)間序列是否存在上述單位根問(wèn)題。 31檢驗(yàn) 顯著性的方法是先用最小二乘法估計(jì) 再計(jì)算相應(yīng)的t 統(tǒng)計(jì)量值，再根據(jù)樣本容量等t 分布臨界值，并判斷 的顯著性。 值得注意的問(wèn)題是，如果時(shí)間序列確實(shí)是非平穩(wěn)的單位根過(guò)程，那么上述回歸分析得到的t 統(tǒng)計(jì)量是不服從t 分布的，因此不能用t 分布表的臨界值判斷 的顯著性。 為此迪基和富勒通過(guò)蒙特卡羅模擬方法構(gòu)造了專門的統(tǒng)計(jì)分布表，給出包括10%、5%、1%幾個(gè)顯著性水平的臨界值，稱為DF 臨界值表。 32為了區(qū)別起見(jiàn)，把上述模型回歸分析計(jì)算的t

12、 統(tǒng)計(jì)量改稱為 統(tǒng)計(jì)量。把上述回歸模型計(jì)算到的 統(tǒng)計(jì)量與DF 臨界值表中查到的臨界值 比較， 時(shí)拒絕 的假設(shè)，認(rèn)為 具有顯著性，時(shí)間序列不服從上述單位根過(guò)程，時(shí)間序列是平穩(wěn)的。反之則認(rèn)為 不顯著，認(rèn)為時(shí)間序列服從上述單位根過(guò)程，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。 上述單位根檢驗(yàn)方法就稱為“迪基-富勒檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱“DF 檢驗(yàn)”。 33隨機(jī)游走過(guò)程只是最簡(jiǎn)單的一種單位根過(guò)程，許多非平穩(wěn)時(shí)間序列包含更復(fù)雜的單位根過(guò)程，包含常數(shù)項(xiàng)、趨勢(shì)項(xiàng)和高階差分項(xiàng)等。 為了使迪基-富勒檢驗(yàn)適用單位根過(guò)程的檢驗(yàn)，必須作適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展。方法是分別采用下列模型： 34其中 代表常數(shù)因子， 是趨勢(shì)項(xiàng)， 是m個(gè)分布滯后項(xiàng)。這三種模型中對(duì)應(yīng) 的

13、 統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)與隨機(jī)游走模型對(duì)應(yīng)統(tǒng)計(jì)量相同。以這三個(gè)回歸模型為基礎(chǔ)，用各個(gè)模型中回歸分析得到的 統(tǒng)計(jì)量和DF 臨界值表，可以檢驗(yàn)各自 的顯著性。35幾種隨機(jī)游走過(guò)程純隨機(jī)游走：Yt=Yt-1+ t帶漂移的隨機(jī)游走：Yt=Yt-1+ t帶趨勢(shì)的隨機(jī)游走：Yt=tYt-1+ t其中t是白噪聲序列。36單位根檢驗(yàn)：DF檢驗(yàn)H0： =1（=0）注意：若H0成立，t檢驗(yàn)無(wú)效，因?yàn)檫@時(shí)t統(tǒng)計(jì)量不服從t分布。在=1的假設(shè)下，將t統(tǒng)計(jì)量成為（tau）統(tǒng)計(jì)量。DF（Dickey-Fuller）檢驗(yàn)：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量查表（ 要使用DF檢驗(yàn)臨界值表）判斷37單位根檢驗(yàn)：DF檢驗(yàn)的方程式H0： =1（=0）純隨機(jī)游走： Y

14、t= Yt-1+ t帶漂移的隨機(jī)游走：Yt= Yt-1+ t帶趨勢(shì)的隨機(jī)游走：Yt=tYt-1+ t38單位根檢驗(yàn)：ADF檢驗(yàn)DF檢驗(yàn)假設(shè)了所檢驗(yàn)的模型的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不存在自相關(guān)。對(duì)有自相關(guān)的模型，需用ADF檢驗(yàn)。ADF檢驗(yàn)：將DF檢驗(yàn)的右邊擴(kuò)展為包含Yt的滯后變量，其余同于DF檢驗(yàn)。構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量查表、判斷。39單位根檢驗(yàn)：ADF檢驗(yàn)的方程式Y(jié)t= 01tYt-1+ Yt-i + t其中i從1到m。這一模型稱為擴(kuò)充的迪基富勒檢驗(yàn)。因?yàn)锳DF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和DF統(tǒng)計(jì)量有同樣的漸進(jìn)分布，所以可以使用同樣的臨界值。案例2演示（GDP、財(cái)政支出、居民消費(fèi)的單位根檢驗(yàn)）問(wèn)題2：財(cái)政支出、居民消費(fèi)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)40

15、第三節(jié) 時(shí)間序列的單積和協(xié)積把非平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)用于平穩(wěn)性數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)回歸分析，會(huì)影響分析的有效性，因此應(yīng)該避免這種情況。 但檢驗(yàn)時(shí)間序列平穩(wěn)性的目的并不是淘汰數(shù)據(jù)，因?yàn)楹?jiǎn)單地排除數(shù)據(jù)會(huì)浪費(fèi)這些數(shù)據(jù)包含的信息，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)量分析無(wú)法進(jìn)行，平穩(wěn)性檢驗(yàn)的根本目的是更好地利用數(shù)據(jù)。 單積和協(xié)積是利用非平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的關(guān)鍵。 41一、時(shí)間序列的單積性對(duì)不少非平穩(wěn)時(shí)間序列作差分變換得到的差分序列都是平穩(wěn)序列。例如隨機(jī)游走序列的差分序列是白噪聲序列，肯定是平穩(wěn)的，許多單位根過(guò)程的差分序列同樣也是平穩(wěn)的。 對(duì)于這種非平穩(wěn)時(shí)間序列，它們的差分序列的計(jì)量分析一般是有效的。因?yàn)闀r(shí)間序列的差分序列與時(shí)間

16、序列本身包含許多一致的信息，差分與原變量之間常常可以相互轉(zhuǎn)換，因此利用差分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)量分析也是有意義的。 42經(jīng)過(guò)d 次差分才平穩(wěn)的時(shí)間序列，稱為d 階“單積” 的，并記為I(d)。 一次差分平穩(wěn)的時(shí)間序列就是一階單積的， I(1) ；二次差分平穩(wěn)的就是二階單積的， I(2)。本身平穩(wěn)的時(shí)間序列也被稱為0階單積的，并記為I(0)。時(shí)間序列的單積性和單積階數(shù)對(duì)于了解時(shí)間序列的性質(zhì)，更有效地利用時(shí)間序列數(shù)據(jù)都有非常重要的意義。 43如果一組時(shí)間序列 都是同階單積的(I(d)，并且存在向量 使加權(quán)組合： 為平穩(wěn)序列(I(0) ，則稱這組時(shí)間序列為“協(xié)積的” ，其中 稱為“協(xié)積向量”。 當(dāng) 時(shí)是兩個(gè)序列協(xié)積， 時(shí)是三個(gè)序列協(xié)積，其余可依次類推。 二、時(shí)間序列的協(xié)積性44具有協(xié)積性的非平穩(wěn)序列各自的非平穩(wěn)趨勢(shì)和波動(dòng)有相互抵消的作用。因此雖然非平穩(wěn)本身有導(dǎo)致回歸分析失效的影響，但如果模型中的幾個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列具有協(xié)積性，回歸分析仍然可以是有效的，不需要擔(dān)心非平穩(wěn)性會(huì)造成問(wèn)題。以兩變量線性回歸 為例。45因?yàn)?，因此 平穩(wěn)就是 平穩(wěn)，這就意味著要么 和 本身都是平穩(wěn)的，要么 和 都是同階單積并