數(shù)學(xué)二次函數(shù)中三角形面積最大值綜合題

1、19/192017中考數(shù)學(xué)全國試題匯編二次函數(shù)中三角形面積最大值綜合題28（2017）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點，點，與軸交于點（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）連接，若點在線段上運動（不與點重合），過點作，交于點，當(dāng)面積最大時，求點的坐標(biāo)；（3）連接，在（2）的結(jié)論下，求與的數(shù)量關(guān)系解：（1）將點B，點C的坐標(biāo)分別代入，得：， 1分解得：，該二次函數(shù)的表達式為 3分（2）設(shè)點N的坐標(biāo)為（n，0）（2n8），則，MNBCxAOyB（-2，0）, C（8，0）,BC=10.令，解得：，點A（0，4），OA=4，MNAC， 4分OA=4，BC=10， 5分 6分當(dāng)n=3時，即N（3，0）時，

2、AMN的面積最大 7分（3）當(dāng)N（3，0）時，N為BC邊中點.M為AB邊中點， 8分， 9分10分24（2017）.拋物線經(jīng)過點 和點 。（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）該拋物線與直線 相交于兩點，點是拋物線上的動點且位于軸下方。直線 軸，分別與 軸和直線 交與點。連結(jié)，如圖12-1，在點運動過程中，的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；連結(jié) ，過點作，垂足為點，如圖12-2。是否存在點 ，使得與相似？若存在，求出滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。分析（1）由A、B兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可設(shè)出P點坐標(biāo)，則可表示出M、N的

3、坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線解析式可求得C、D的坐標(biāo)，過C、D作PN的垂線，可用t表示出PCD的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；當(dāng)CNQ與PBM相似時有=或=兩種情況，利用P點坐標(biāo)，可分別表示出線段的長，可得到關(guān)于P點坐標(biāo)的方程，可求得P點坐標(biāo)解答解：（1）拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0），解得，該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x2x+3；（2）點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，可設(shè)P（t， t2t+3）（1t5），直線PMy軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N，M（t，0），N（t， t+3），PN=t+3（t2t+3）=（t）2+聯(lián)立直線CD與拋物線解析式可得

4、，解得或，C（0，3），D（7，），分別過C、D作直線PN的直線，垂足分別為E、F，如圖1，則CE=t，DF=7t，SPCD=SPCN+SPDN=PNCE+PNDF=PN= （t）2+=（t）2+，當(dāng)t=時，PCD的面積有最大值，最大值為；存在CQN=PMB=90，當(dāng)CNQ與PBM相似時，有=或=兩種情況，CQPM，垂足為Q，Q（t，3），且C（0，3），N（t， t+3），CQ=t，NQ=t+33=t，=，P（t， t2t+3），M（t，0），B（5，0），BM=5t，PM=0（t2t+3）=t2+t3，當(dāng)=時，則PM=BM，即t2+t3=（5t），解得t=2或t=5（舍去），此時P（2，）

5、；當(dāng)=時，則BM=PM，即5t=（t2+t3），解得t=或t=5（舍去），此時P（，）；綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標(biāo)為（2，）或（，）點評本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉與待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想與分類討論思想等知識在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用P點坐標(biāo)表示出PCD的面積是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用相似三角形的性質(zhì)確定出相應(yīng)線段的比是解題的關(guān)鍵本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大24.在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定：拋物線的伴隨直線為.例如：拋物線的伴隨直線為，即（1）在上面規(guī)定下，拋物線的頂點為.伴隨直線為；拋物線與其伴隨直線

6、的交點坐標(biāo)為和；（2）如圖，頂點在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點 (點在點 的右側(cè))與 軸交于點若 求的值；如果點是直線上方拋物線的一個動點，的面積記為，當(dāng) 取得最大值 時，求的值.分析（1）由拋物線的頂點式可求得其頂點坐標(biāo)，由伴隨直線的定義可求得伴隨直線的解析式，聯(lián)立伴隨直線和拋物線解析式可求得其交點坐標(biāo)；（2）可先用m表示出A、B、C、D的坐標(biāo)，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在RtABC中由勾股定理可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；由B、C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，過P作x軸的垂線交BC于點Q，則可用x表示出PQ的長，進一步表示出PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得

7、到m的方程，可求得m的值解答解：（1）y=（x+1）24，頂點坐標(biāo)為（1，4），由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為y=（x+1）4，即y=x3，聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，其交點坐標(biāo)為（0，3）和（1，4），故答案為：（1，4）；y=x3；（0，3）；（1，4）；（2）拋物線解析式為y=m（x1）24m，其伴隨直線為y=m（x1）4m，即y=mx5m，聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，A（1，4m），B（2，3m），在y=m（x1）24m中，令y=0可解得x=1或x=3，C（1，0），D（3，0），AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，CAB=90，A

8、C2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（拋物線開口向下，舍去）或m=，當(dāng)CAB=90時，m的值為；設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，B（2，3m），C（1，0），解得，直線BC解析式為y=mxm，過P作x軸的垂線交BC于點Q，如圖，點P的橫坐標(biāo)為x，P（x，m（x1）24m），Q（x，mxm），P是直線BC上方拋物線上的一個動點，PQ=m（x1）24m+mx+m=m（x2x2）=m（x）2，SPBC=（2（1）PQ=（x）2m，當(dāng)x=時，PBC的面積有最大值m，S取得最大值時，即m=，解得m=2點評本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉與待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖

9、象的交點、勾股定理、方程思想等知識在（1）中注意伴隨直線的定義的理解，在（2）中分別求得A、B、C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中用x表示出PBC的面積是解題的關(guān)鍵本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中24（2017）如圖，已知拋物線y=ax2+c過點（2，2），（4，5），過定點F（0，2）的直線l：y=kx+2與拋物線交于A、B兩點，點B在點A的右側(cè)，過點B作x軸的垂線，垂足為C（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點B在拋物線上運動時，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系（、=），并證明你的判斷；（3）P為y軸上一點，以B、C、F、P為頂點的四邊形是菱形，設(shè)點P（0，m），求自然數(shù)m的值；（4）若

10、k=1，在直線l下方的拋物線上是否存在點Q，使得QBF的面積最大？若存在，求出點Q的坐標(biāo)與QBF的最大面積；若不存在，請說明理由考點HF：二次函數(shù)綜合題分析（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）設(shè)B（x， x2+1），而F（0，2），利用兩點間的距離公式得到BF2=x2+（x2+12）2=，再利用配方法可得到BF=x2+1，由于BC=x2+1，所以BF=BC；（3）如圖1，利用菱形的性質(zhì)得到CB=CF=PF，加上CB=FB，則可判斷BCF為等邊三角形，所以BCF=60，則OCF=30，于是可計算出CF=4，所以PF=CF=4，從而得到自然數(shù)m的值為6；（4）作QEy軸交AB于E，如圖2，先

11、解方程組得B（1+，3+），設(shè)Q（t， t2+1），則E（t，t+2），則EQ=t2+t+1，則SQBF=SEQF+SEQB=（1+）EQ=（1+）（t2+t+1），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題解答解：（1）把點（2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，所以拋物線解析式為y=x2+1；（2）BF=BC理由如下：設(shè)B（x， x2+1），而F（0，2），BF2=x2+（x2+12）2=x2+（x21）2=（x2+1）2，BF=x2+1，BCx軸，BC=x2+1，BF=BC；（3）如圖1，m為自然數(shù)，則點P在F點上方，以B、C、F、P為頂點的四邊形是菱形，CB=CF=PF，而CB=FB，B

12、C=CF=BF，BCF為等邊三角形，BCF=60，OCF=30，在RtOCF中，CF=2OF=4，PF=CF=4，P（0，6），即自然數(shù)m的值為6；（4）作QEy軸交AB于E，如圖2，當(dāng)k=1時，一次函數(shù)解析式為y=x+2，解方程組得或，則B（1+，3+），設(shè)Q（t， t2+1），則E（t，t+2），EQ=t+2（t2+1）=t2+t+1，SQBF=SEQF+SEQB=（1+）EQ=（1+）（t2+t+1）=（t2）2+1，當(dāng)t=2時，SQBF有最大值，最大值為+1，此時Q點坐標(biāo)為（2，2）25（2017東營）如圖，直線y=x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，ACB=90，拋物線

13、y=ax2+bx+經(jīng)過A，B兩點（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MHBC于點H，作MDy軸交BC于點D，求DMH周長的最大值分析（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，在RtBOC中由三角函數(shù)定義可求得OCB=60，則在RtAOC中可得ACO=30，利用三角函數(shù)的定義可求得OA，則可求得A點坐標(biāo)；（2）由A、B兩點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（3）由平行線的性質(zhì)可知MDH=BCO=60，在RtDMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系，可設(shè)出M點的坐標(biāo)，則可表示出DM的長，從而可表示出DMH的周長，利用二次函

14、數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值解答解：（1）直線y=x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，B（3，0），C（0，），OB=3，OC=，tanBCO=，BCO=60，ACB=90，ACO=30，=tan30=，即=，解得AO=1，A（1，0）；（2）拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A，B兩點，解得，拋物線解析式為y=x2+x+；（3）MDy軸，MHBC，MDH=BCO=60，則DMH=30，DH=DM，MH=DM，DMH的周長=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，當(dāng)DM有最大值時，其周長有最大值，點M是直線BC上方拋物線上的一點，可設(shè)M（t， t2+t+），則D（t， t+），DM=t2+t+），則D（

15、t， t+），DM=t2+t+（t+）=t2+t=（t）2+，當(dāng)t=時，DM有最大值，最大值為，此時DM=，即DMH周長的最大值為點評本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉與待定系數(shù)法、三角函數(shù)的定義、二次函數(shù)的性質(zhì)、方程思想等知識在（1）中注意函數(shù)圖象與坐標(biāo)的交點的求法，在（2）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（3）中找到DH、MH與DM的關(guān)系是解題的關(guān)鍵本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中25（2017聊城）如圖，已知拋物線y=ax2+2x+c與y軸交于點A（0，6），與x軸交于點B（6，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點（1）求這條拋物線的表達式與其頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)點P移動到拋物線的什么位

16、置時，使得PAB=75，求出此時點P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點P從A點出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點B移動，在移動中，點P的橫坐標(biāo)以每秒1個單位長度的速度變動，與此同時點M以每秒1個單位長度的速度沿AO向終點O移動，點P，M移動到各自終點時停止，當(dāng)兩個移點移動t秒時，求四邊形PAMB的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達式，并求t為何值時，S有最大值，最大值是多少？考點HF：二次函數(shù)綜合題分析（1）由A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達式，化為頂點式可求得頂點坐標(biāo)；（2）過P作PCy軸于點C，由條件可求得PAC=60，可設(shè)AC=m，在RtPAC中，可表示出PC的長，從而可用m表示出P點坐標(biāo)，代入拋物線解析

17、式可求得m的值，即可求得P點坐標(biāo)；（3）用t可表示出P、M的坐標(biāo)，過P作PEx軸于點E，交AB于點F，則可表示出F的坐標(biāo)，從而可用t表示出PF的長，從而可表示出PAB的面積，利用S四邊形PAMB=SPAB+SAMB，可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值解答解：（1）根據(jù)題意，把A（0，6），B（6，0）代入拋物線解析式可得，解得，拋物線的表達式為y=x2+2x+6，y=x2+2x+6=（x2）2+8，拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，8）；（2）如圖1，過P作PCy軸于點C，OA=OB=6，OAB=45，當(dāng)PAB=75時，PAC=60，tanPAC=，即=，設(shè)AC=m，則PC=m，

18、P（m，6+m），把P點坐標(biāo)代入拋物線表達式可得6+m=（m）2+2m+6，解得m=0或m=，經(jīng)檢驗，P（0，6）與點A重合，不合題意，舍去，所求的P點坐標(biāo)為（4， +）；（3）當(dāng)兩個支點移動t秒時，則P（t， t2+2t+6），M（0，6t），如圖2，作PEx軸于點E，交AB于點F，則EF=EB=6t，F(xiàn)（t，6t），F(xiàn)P=t2+2t+6（6t）=t2+3t，點A到PE的距離竽OE，點B到PE的距離等于BE，SPAB=FPOE+FPBE=FP（OE+BE）=FPOB=（t2+3t）6=t2+9t，且SAMB=AMOB=t6=3t，S=S四邊形PAMB=SPAB+SAMB=t2+12t=（t4

19、）2+24，當(dāng)t=4時，S有最大值，最大值為2424（2017濱州）如圖，直線ykxb（k、b為常數(shù)）分別與x軸、y軸交于點A(4，0)、B(0，3)，拋物線yx22x1與y軸交于點C（1）求直線ykxb的解析式；（2）若點P(x，y)是拋物線yx22x1上的任意一點，設(shè)點P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時點P的坐標(biāo)；（3）若點E在拋物線yx22x1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CEEF的最小值A(chǔ)BCOy=kx+byx2+2x+1 P(x，y)思路分析：（1）將A、B兩點坐標(biāo)代入ykxb中，求出k、b的值；（2）作出點P到直線AB的距離后，由于AHC90

20、，考慮構(gòu)造“K形”相似，得到MAH、OBA、NHP三個三角形兩兩相似，三邊之比都是345由“”可得，整理可得d關(guān)于x的二次函數(shù)，配方可求出d的最小值；ABCOy=kx+byx2+2x+1 P(x，y)HMNABCOx1C EF（3）如果點C關(guān)于直線x1的對稱點C，根據(jù)對稱性可知，CECE當(dāng)CFAB時，CEEF最小解：（1）ykxb經(jīng)過A(4，0)、B(0，3),，解得k，b3yx3（2）過點P作PHAB于點H，過點H作x軸的平行線MN，分別過點A、P作MN的垂線段，垂足分別為M、NABCOy=kx+byx2+2x+1 P(x，y)HMN設(shè)H(m，m3)，則M(4，m3)，N(x，m3)，P(x，x22x1)PHAB，CHNAHM90，AMMN，MAHAHM90MAHCHN，AMHCNH90，AMHHNPMAy軸，MAHOBAOBANHP整理得：，所以當(dāng)x，即P(，)（3）作點C關(guān)于直線x1的對