模型11 構(gòu)造平行四邊形

1、專題11 構(gòu)造平行四邊形一、單選題 1如圖，菱形的邊長為13，對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別是邊、的中點(diǎn)，連接并延長與的延長線相交于點(diǎn)G，則（ ）A13B10C12D5【答案】B【分析】連接對(duì)角線BD，交AC于點(diǎn)O，求證四邊形BDEG是平行四邊形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的長，BD=2OD，即可求出EG【詳解】連接BD，交AC于點(diǎn)O，由題意知：菱形ABCD的邊長為13，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn)，AB=BC=CD=DA=13， EFBD，AC、BD是菱形的對(duì)角線，AC=24，ACBD，AO=CO=12，OB=OD，又ABCD，EFBDDEBG，BDEG在四邊形BDEG中，DEBG，BDEG

2、四邊形BDEG是平行四邊形BD=EG在COD中，OCOD，CD=13，CO=12OD=OB=5BD=EG=10故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握菱形、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵2在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AG/BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t為( )s時(shí)，以A，F(xiàn)，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？（ ）A2B3C6D2或6【答案】D【分析】分別從當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)與當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)去分析，由當(dāng)AE=CF時(shí)，以A、C、E、F為頂

3、點(diǎn)四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案【詳解】當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：AE=tcm，BF=2tcm，則CF=BC-BF=6-2t（cm），AGBC，當(dāng)AE=CF時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，即t=6-2t，解得：t=2；當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：AE=tcm，BF=2tcm，則CF=BF-BC=2t-6（cm），AGBC，當(dāng)AE=CF時(shí)，四邊形AEFC是平行四邊形，即t=2t-6，解得：t=6；綜上可得：當(dāng)t=2或6s時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定此題難度適中，注意掌握分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用二

4、、解答題3如圖在ABC中，ABAC，AD為BAC的平分線，AN為ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為E（1）求證：四邊形ADCE是矩形（2）若連接DE，交AC于點(diǎn)F，試判斷四邊形ABDE的形狀（直接寫出結(jié)果，不需要證明）（3）ABC再添加一個(gè)什么條件時(shí)，可使四邊形ADCE是正方形并證明你的結(jié)論【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ABDE是平行四邊形；（3）當(dāng)BAC90時(shí)，四邊形ADCE是正方形，證明見解析【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得ADBC，BADCAD，又由AN為ABC的外角CAM的平分線，可得DAE90，又由CEAN，由矩形的判定可證四邊形ADCE為矩形；（2）利用（1）中

5、矩形的對(duì)角線相等推知：ACDE；結(jié)合已知條件可以推知ABDE，又AEBD，則易判定四邊形ABDE是平行四邊形；（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得ADCDBD，即可證四邊形ADCE是正方形【詳解】證明：（1）在ABC中，ABAC，AD為BAC的平分線，ADBC，BADCAD，ADC90，AN為ABC的外角CAM的平分線，MANCAN，DAE90，CEAN，AEC90，四邊形ADCE為矩形；（2）四邊形ABDE是平行四邊形，理由如下：由（1）知，四邊形ADCE為矩形，則AECD，ACDE又ABAC，BDCD，ABDE，AEBD，四邊形ABDE是平行四邊形；（3）當(dāng)BAC90時(shí)，四邊形ADCE是正方形

6、，理由：BAC90，ABAC，AD為BAC的平分線，ADCDBD，又四邊形ADCE是矩形，四邊形ADCE是正方形【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形、矩形和正方形的判定方法，掌握特殊四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵4如圖，在ABC中，已知BDCEFD，AEDACB（1）試判斷DEF與B的大小關(guān)系，并說明理由；（2）若D、E、F分別是AB、AC、CD邊上的中點(diǎn)，SDEF4，SABC= 【答案】（1）DEF=B，理由見解析；（2）32【分析】（1）延長EF交BC于G，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形一邊的中線平分三角形的面積，即可得到結(jié)論【詳解】（1）DEF=B，理由如下：延長EF交BC

7、于G，BDC=EFD，EFBD，AED=ACB，DEBC，四邊形DEGB是平行四邊形，DEF=B；（2）F是CD邊上的中點(diǎn)，SDEF=4，SDEC=2SDEF=8，E是AC邊上的中點(diǎn)，SADC=2SDEC=16，D是AB邊上的中點(diǎn)，SABC=2SACD=32【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵5已知，菱形中，、分別是邊和上的點(diǎn)，且（1）求證：（2）如圖2，在延長線上，且，求證：（3）如圖3，在（2）的條件下，是的中點(diǎn)，求的長【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）7【分析】（1）連接AC，如圖1，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=

8、BC，而B=60，則可判定ABC為等邊三角形，得到BAC=60，AC=AB，易得ACF=60，BAE=CAF，然后利用ASA可證明AEBAFC，即可解答；（2）過點(diǎn)F作FHAB，交CB的延長線于點(diǎn)H，利用平行線的性質(zhì)求得FHC是等邊三角形，得到CF=CH=FH，然后利用AAS定理求得HBFCEF，從而問題得解；（3）過點(diǎn)B作BKFC，交HF于點(diǎn)K，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行求得四邊形KBAF是平行四邊形，從而求得，F(xiàn)K=16，過點(diǎn)A作AMFH，然后利用含30的直角三角形的性質(zhì)求得MF=,，從而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可【詳解】解：（1）連接AC，如圖1，四邊形ABCD為菱形，AB=BC

9、，B=60，ABC為等邊三角形，BAC=60，AC=AB，BAE+EAC=60，ABCD，BAC=ACP=60，EAP=60，即EAC+CAP=60，BAE=CAP，在AEB和APC中， ，AEBAPC，BE=CF；（2）過點(diǎn)F作FHAB，交CB的延長線于點(diǎn)HFHABH=CGH=60FHC是等邊三角形CF=CH=FH又ABC是等邊三角形CA=CBAF=BH又FB=FEFEB=FEB，即FBH=FEC在HBF和CEF中 HBFCEFBH=ECAF=EC（3）過點(diǎn)B作BKFC，交HF于點(diǎn)K，BKFC，F(xiàn)HAB四邊形KBAF是平行四邊形KB=AF=EC=6， FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF

10、=16過點(diǎn)A作AMFH由（2）可知，CFH=60在RtAMF中，MAF=30MF=, KM=16-3=13在RtAKM中， AO=7【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，及平行四邊形的判定和性質(zhì)，題目有一定的綜合性，正確添加輔助線解題是關(guān)鍵的突破點(diǎn)6如圖，反比例函數(shù)y（x0）過點(diǎn)A（3，4），直線AC與x軸交于點(diǎn)C（6，0），過點(diǎn)C作x軸的垂線交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)B，（1）求反比例函數(shù)和直線AC的解析式；（2）求ABC的面積；（3）在平面內(nèi)有點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出符合條件的所有D點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為：y

11、；直線AC的解析式為：yx+8；（2）3；（3）符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是：（3，2）或（3，6）或（9，2）【分析】（1）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y求得k的值，然后將A，C坐標(biāo)代入直線解析式解答即可；（2）把x=6代入反比例函數(shù)解析式求得相應(yīng)的y的值，即得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而利用三角形面積公式解答即可；（3）使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，如圖所示，找出滿足題意D的坐標(biāo)即可【詳解】解：（1）把點(diǎn)A（3，4）代入y（x0），得kxy3412，故該反比例函數(shù)解析式為：y，把A（3，4），C（6，0）代入ymx+n中，可得：，解得：，所以直線AC的解析式為：yx+8；（2）點(diǎn)C（6，0）

12、，BCx軸，把x6代入反比例函數(shù)y，得y2，則B（6，2），所以ABC的面積；（3）如圖，當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，ADBC且ADBCA（3，4）、B（6，2）、C（6，0），點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，yAyDyByC即4yD20，故yD2所以D（3，2）如圖，當(dāng)四邊形ACBD為平行四邊形時(shí)，ADCB且ADCBA（3，4）、B（6，2）、C（6，0），點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，yDyAyByC即yD420，故yD6所以D（3，6）如圖，當(dāng)四邊形ACDB為平行四邊形時(shí)，ACBD且ACBDA（3，4）、B（6，2）、C（6，0），xDxBxCxA即xD663，故xD9yDyByCyA即yD204，故yD2所

13、以D（9，2）綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是：（3，2）或（3，6）或（9，2）【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解答（3）題時(shí)，采用了“數(shù)形結(jié)合”和“分類討論”的數(shù)學(xué)思想7如圖所示，是的中點(diǎn)，求證【答案】見解析【分析】延長AM到F，使MFAM，交CD于點(diǎn)N，構(gòu)造平行四邊形，利用條件證明ABFCAD，可得出BAFACD，再結(jié)合條件可得到ANC90，可證得結(jié)論【詳解】證明：延長AM到F，使MFAM，交CD于點(diǎn)N，BMEM，四邊形ABFE是平行四邊形，BFAE，ABFBAE180，BACDAE90，CADBAE180，ABFCAD

14、，BFAE，ADAE，BFAD，在ABF和CAD中，ABFCAD（SAS），BAFACD，BAC90，BAFCAF90，ACDCAF90，AHC90，AMCD【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，通過輔助線構(gòu)造平行四邊形證明三角形全等得到BAFACD是解題的關(guān)鍵8如圖所示，是的中線，求證：.【答案】見解析【解析】【分析】要證，可設(shè)法將、集中到一個(gè)圖形中，由已知是的中線，故倍長中線可得到平行四邊形.【詳解】證明：延長至，使，連，又，四邊形為平行四邊形，.【點(diǎn)睛】中線倍長，利用平行四邊形的判定定理對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，據(jù)此達(dá)到轉(zhuǎn)移線段或角的目的.9如圖所示

15、，中，是的中點(diǎn)，.求證：.【答案】見解析【解析】【分析】過作交的延長線于，得四邊形為平行四邊形，由已知可得BDF三邊長，再由勾股定理可知BDF=90，即可證明結(jié)論.【詳解】證明：過作交的延長線于， ，又，四邊形為平行四邊形，.，.【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是平移AE構(gòu)造DBF，證出BDF是直角三角形10如圖所示，中，分別為，上一點(diǎn)，求證：.【答案】見解析【解析】【分析】過作，且，連，則ADBG為平行四邊形再證明，則GE=BE，得ADF為等腰直角三角形即可證明結(jié)論【詳解】證明：過作，且，連，則四邊形為平行四邊形，C=90，GAE=C=90，在AEG和CBE中，G

16、E=BE，GEA=EBC，GEB=90.為等腰直角三角形，【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平角的性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵11如圖所示，四邊形中，以，為邊作平行四邊形，的延長線交于，求證：.【答案】見解析【解析】【分析】延長FC交AD于點(diǎn)G，可證明四邊形CEDG為平行四邊形，可得FC=DE=CG，可知BC為FAG的中位線，可證明AB=FB【詳解】證明：如圖，延長FC交AD于點(diǎn)G，四邊形CDEF為平行四邊形，CFDE，CF=DE，又CEAD，四邊形CEDG為平行四邊形，CG=DE，CF=CG，且BCAG，BC是

17、FAG的中位線，B為AF的中點(diǎn)，即AB=FB【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即兩組對(duì)邊分別平行的四邊形平行四邊形，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形平行四邊形，一組對(duì)邊分別平行且相等的四邊形平行四邊形，兩組對(duì)角分別相等的四邊形平行四邊形，對(duì)角線互相平分的四邊形平行四邊形12如圖所示，中，于，平分交于，交于，交于.求證：.【答案】見解析【解析】【分析】要證，可設(shè)法將、集中到一個(gè)圖形中，由已知，故過作，從而得到平行四邊形.【詳解】證明：過作交于，又，四邊形是平行四邊形，由，又平分，又，.【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形性質(zhì)和判斷理解及運(yùn)用利用平行四邊形的判定

18、定理作平行線，可構(gòu)造平行四邊形來達(dá)到轉(zhuǎn)移線段或角的目的. 正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵13如圖所示，四邊形中，以，為邊作平行四邊形，的延長線交于，求證：.【答案】見解析【解析】【分析】過作交的延長線于，連結(jié)，先證明四邊形是平行四邊形，再證明四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得證.【詳解】證明：過作交的延長線于，連結(jié)，四邊形是平行四邊形，=，四邊形是平行四邊形，DECF,DE=CF,平行且等于，四邊形為平行四邊形，.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定方法有：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊

19、形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.14如圖所示，在三角形中，是中線及角平分線，求證：.【答案】見解析【解析】【分析】延長至，使，連結(jié)，證四邊形是平行四邊形，得到BE=AC，BEAC，再證明ABE是等腰三角形即可.【詳解】證明：延長AD到E，使AD=DE，連接BE，CE， BC、AE，相互平分， ABEC是平行四邊形，BE=AC，BEAC，BAD=DAC=BED， AB=BE， AB=AC.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，及等腰三角形的判定，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.15如圖所示，中，于，平分交于，交于，交于.求證：.【答案】見解析【解析】【分析】過作 交于，可

20、證四邊形為平行四邊形，從而，再證明，可證，再證明CE=CF，即可得出結(jié)論.【詳解】證明：過作 交于，四邊形為平行四邊形，ACD+BAC=90，B+BAC=90，B=ACD，.平分，CAF=BAF，.又，CE=CF， .【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的的判定，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.16如圖，已知AD為ABC的中線，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，且AEFE.求證：BFAC【答案】證明見解析【分析】方法一：當(dāng)題中有三角形中線時(shí)，常加倍中線構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)證得結(jié)論方法二：向中線作垂線，證

21、明，得到，再根據(jù)AEFE，得到角的關(guān)系，從而證明，最終得到結(jié)論.【詳解】方法一：延長AD到G，使DGAD，連接BG，CG，DGAD，BDDC，四邊形ABGC是平行四邊形，AC/BG，CADBGD，又AEFE，CADAFE，BGDAFEBFG，BGBF，BGAC，BFAC 方法二：如圖，分別過點(diǎn)、作，垂足為、，則.，.，又，.【點(diǎn)睛】本題是較為典型的題型，至少可以用到兩種方法來解題，此題的特點(diǎn)就是必須有中線這個(gè)條件才能構(gòu)造平行四邊形或雙垂線.17如圖，D為ABC的AB邊上一點(diǎn)，E為AC延長線上的一點(diǎn)，且CE=BD（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，求證：DEBC（2）當(dāng)ABAC時(shí)，DE與BC有何大小關(guān)系？給出

22、結(jié)論，畫出圖形，并證明【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】試題分析：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DFBC，過點(diǎn)C作CFAB，連接EF，從而可得DF=BC，這樣就把分散的線段集中到了DEF中，只需證DEDF即可；易證1=2，3=4，35，從而可得DFEDEF，DEDF，從而得到：DEBC；（2）當(dāng)ABAC時(shí)，我們要分ABAC和ABAC，且AB=AE時(shí)，如圖2，結(jié)合已知條件此時(shí)我們易證ABCAED，從而得到BC=DE；當(dāng)ABAC，且ABAE時(shí)，如圖3，延長AE到F，使AF=AB，在AB上截取AN=AC，易證ABCAFN，得到F=B；再過D作DMBC，過C作CMBD，得到四邊形DBCM是平行四邊形，

23、由此可得DMC=B=F，DM=BC；連接ME，則法通過在DME中證DEMDME得到DMDE，從而得到BCDE；當(dāng)ABAC，且ABF得到ABCAED；再作DMBC，CMAB，可得四邊形DBCM是平行四邊形，得到DM=BC，DMC=ABC，就可得DMCAED；連接ME，在DME中通過證DMEDEM，得到DEDM，就可得到DEBC；當(dāng)ABACBC.試題解析：（）作DFBC，CFBD（如圖1），得BCFD，從而DFCB，DFBC，CFBD又BDCE，CFCE，12 ABAC，ACBB而DFEDFC1B1ACB2AED2DEF， 即在DEF中，DFEDEF，DEDF，即DEBC （）當(dāng)ABAC時(shí)，DE與

24、BC的大小關(guān)系如下：當(dāng)ABAC但ABAE時(shí)，DEBC；當(dāng)ABAC且ABAE時(shí)，DEBC；當(dāng)ABAC但ABAE時(shí)，DEBC；當(dāng)ABAC時(shí)，DEBC證明如下：當(dāng)ABAC但ABAE時(shí)（如圖2），BDCE，ABBDAECE，即ADAC在ABC和AED中，ABAE，AA，ACAD，ABCAED（SAS），BCED； 當(dāng)ABAC且ABAE時(shí)，延長AE到F，使AFAB，在AB上截取ANAC（如圖3），連結(jié)NF在ABC和AFN中，ABAF，AA，ACAN，ABCAFN（SAS），BFAEDF，AEDB過D點(diǎn)作DMBC，過點(diǎn)C作CMAB，連結(jié)EM，則四邊形DBCM為平行四邊形，DMCB，CMBD，DM=BC，BD=CE，CMCE，CMECEM，DMCBAED，CMEDMCAEDCEM，即DMEDEM，DEDM，DEBC；當(dāng)ABAC但ABAE時(shí)，延長AB到F，使AFAE，在AE上截取ANAD（如圖4），連結(jié)NF,在AFN