線性代數(shù)習(xí)題集v1答案修訂版

1、1.1-1.5 單項(xiàng)選擇1、A 2、D 3、A 4、D 5、B填空題1、 2、98 3、120 4、0 （提示：）三、計(jì)算題1、402、第一列加到第二列，第二列加到第三列。得= 填空題1、1或-1或2或-2 2、 3、12 4、-4，-4單項(xiàng)選擇1、C 2、B 3、BD 解答題1、（1）-3 （2） （3）2、（1） （2）1.7, D=0，即設(shè)投資，即求方程組是否有解。觀察系數(shù)行列式，知方程組有唯一解，即可能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的利潤(rùn)但只有唯一一種投資組合。 習(xí) 題 課選擇填空1、C 2、A 3、0計(jì)算1、分析多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)f(x)的最高次項(xiàng)若為四次，只能包含于和兩項(xiàng)中，第一項(xiàng)系數(shù)為24，第二項(xiàng)系數(shù)為-2

2、4，所以的系數(shù)為0。因此最高次考慮，分析發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)中必須有三個(gè)或者四個(gè)x的因子才可能包含，所以也只能從和中考慮，通過(guò)行列式定義可求得第一項(xiàng)中的系數(shù)為24+24+24+24=96，第二項(xiàng)的系數(shù)為-（-72+24+8+24）=16，即f(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)為112。 2、按第一列展開(kāi)有，課 外 習(xí) 題選擇題1、A 2、B 3、A填空題1、 2、 3、k=-2計(jì)算 1（1）a+b+d (2) 2.證明：按第一列展開(kāi)，得， ，由此得，-式（1）；同理可得-式（2）將式（1）乘以b減去式（2）乘以a，再除以a-b，得到 3用歸納法n=1時(shí)，結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1階行列式成立，對(duì)n階行列式，先將的最后

3、一列元素看成是二數(shù)之和，即4設(shè)原價(jià)為，利用克拉默法則解得2.1-2.2 矩陣的概念及運(yùn)算單項(xiàng)選擇1、C 2、B 3、C 4、D 5、A填空題1、 2、 ，14 3、三、計(jì)算題1、，其中， 3、（1），。 2.3 逆 矩 陣單項(xiàng)選擇1、C 2、A 3、C 4、C 5、D填空題1、， 2、， 3、27 4、 5、 解答題1、 2.4 分 塊 矩 陣填空題1、 2、4 2 3、解答題 習(xí) 題 課選擇題1、C 2、C 3、D填空題1、 2、 3、 4、解答題課 外 習(xí) 題選擇題1、C 2、C 3、C填空題1、2 2、2 3、 4、解答題 3.13.2 矩陣的初等變換、初等矩陣一、填空與選擇題1. 2.

4、 、 3. 4.D 5.C二、計(jì)算題1. 2. 3. ，4. ，5. ，。3.3 矩陣的秩一、填空與選擇題1. 2. 1 3. 0 4. 4 5.B 6.BD二、計(jì)算題1. ，2. ，時(shí)即。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。3. 為非滿秩矩陣，三、證明題1. 只要證（不滿秩），又，不滿秩，2. （1）當(dāng)時(shí)滿秩，又，滿秩，（2）當(dāng)時(shí)，。 又，。，A中至少有一個(gè)n-1階子式不為0是由A的n-1階代數(shù)余子式構(gòu)成的，（3）當(dāng)時(shí)， A的任意n-1階子式都為0，3.4 線性方程組一、填空與選擇題1. 無(wú)窮多 2. 非零 3. A 4.D 5.B二、計(jì)算題1. ，非自由未知量，自由未知量，令，則得到一個(gè)基礎(chǔ)解系通解2. ，

5、令，則3. 當(dāng)時(shí)則有，有唯一解。當(dāng)時(shí)，此時(shí)原方程組無(wú)解。當(dāng)時(shí)增廣矩陣為，此時(shí)，故原方程組有無(wú)窮多解，對(duì)應(yīng)方程變?yōu)椋?，則通解為三、證明題證：，有唯一的零解，第三章 習(xí)題課一、填空與選擇題1.2 2.-3 3.-1 4. 5.C二、計(jì)算題1. 2. 當(dāng)時(shí)。當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，3. ，對(duì)應(yīng)的方程組為令，則線性方程組的通解為4. 當(dāng)時(shí)則有，有唯一解。當(dāng)時(shí)，此時(shí)原方程組無(wú)解。當(dāng)時(shí)增廣矩陣為，此時(shí)，故原方程組有無(wú)窮多解，對(duì)應(yīng)方程變?yōu)椋?，則通解為第三章 課外作業(yè)一、填空與選擇題1.AB 2.A 3.D 4.2 5.-2二、，。又，三、（1），（互不相等）。又， ，方程組無(wú)解。(2) 若，則原程組同解于，令，則通解

6、為四、（1）當(dāng)即時(shí)無(wú)解。（2）當(dāng)時(shí)，方程有無(wú)窮多解，第四章 答案4.1-4.2 一、單項(xiàng)選擇1、C 2、A 3、C 4、D 5、D二、填空題1、 2、修改：3、 0 4、 1 三、計(jì)算題1、 當(dāng) 時(shí)， 線性相關(guān)。2、3、設(shè)，則線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)。4、：設(shè)為任一維向量， 個(gè)維向量必線性相關(guān)，且線性無(wú)關(guān) 必可被線性表示。 ：設(shè)為一維單位向量，則由題意可被線性表出。 又可被單位向量表示，且可被任意向量線性表示 與等價(jià) 4.2-4.3一、單項(xiàng)選擇1、A 2、D 3、C 4、B 二、填空題 1、 2 2、 3、三、計(jì)算題1、，有解，即可被線性表示。易知通解 ，2、，極大無(wú)關(guān)組為3、4、 可被線性表示，

7、4.4一、單項(xiàng)選擇1、D 2、A 3、A 4、C 5、A二、填空題 1、 無(wú)窮多 2、 3、三、計(jì)算題1、，2、 修改：第一個(gè)方程改為： 通解是：3、，有4個(gè)未知數(shù)，解空間維數(shù)： ，代入， 通解：4.5一、單項(xiàng)選擇1、C 2、A 二、填空題 1、 2、 3、 3 4、 3 （取令）三、計(jì)算題1、，線性無(wú)關(guān)，為的基 2、,解空間維數(shù)為, 令 可得為的一組基。3、，時(shí)，非基。4、1） 2） 習(xí)題課一、單項(xiàng)選擇1、D 2、C 3、C 4、B 5、C二、填空題 1、 不能 2、 3 三、計(jì)算題1、2、，方程無(wú)解3、解1：令，, 得 線性無(wú)關(guān) 得 解2：線性無(wú)關(guān) ，基礎(chǔ)解系中向量個(gè)數(shù)為，且知為一非零解即

8、為的基礎(chǔ)解系。 又 ，為的特解。 通解為自測(cè)題一、單項(xiàng)選擇1、B 2、B 3、D 二、習(xí)題課 1、時(shí)，為最大無(wú)關(guān)組 時(shí)，為最大無(wú)關(guān)組 2、設(shè)一組數(shù)使得 可得 線性無(wú)關(guān) 3、 4、設(shè)線性相關(guān) 不全為0的數(shù)使得 又可被線性表示， 與唯一矛盾。5、1) ,無(wú)解，不能表出。 2） ，唯一解，可被唯一表出。 5.15.2向量的內(nèi)積、方陣的特征值與特征向量填空題1.-15 2. 3.4 4.、單項(xiàng)選擇題1.D 2.B 3.C三、解答題1.應(yīng)滿足，即 它的基礎(chǔ)解系 把基礎(chǔ)解系正交化得 再將單位化得，2. 得，解齊次方程組，得基礎(chǔ)解系解齊次方程組，得基礎(chǔ)解系3. 得，解齊次方程組，得基礎(chǔ)解系解齊次方程組，得基

9、礎(chǔ)解系4.設(shè)是的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，設(shè)則 由已知得 因?yàn)椋?解得5.25.3方陣的特征值與特征向量、相似矩陣一、填空題1.、 2. 3. 4.、 5.、二、選擇題1.C 2.C 3.C 4.B三、1. 得，解齊次方程組， 屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不等于根的重?cái)?shù)為 不與對(duì)角矩陣相似2. 得，解方程組，得基礎(chǔ)解系解齊次方程組，得基礎(chǔ)解系即有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故可對(duì)角化令四、相似，則存在可逆矩陣,使 故5.45.5對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化、二次型一、填空題1.- 2. 3. 4. 5.二、選擇題1.C 2.D 3.C 4.D三、解答題1.設(shè)對(duì)應(yīng)于的特征向量則 即得是矩陣的屬于的特征向量又由即

10、2. 得，解方程組，得基礎(chǔ)解系由于已正交，將單位化，得解方程組，得基礎(chǔ)解系，單位化得將構(gòu)成正交矩陣3.因與相似，故的特征值是由特征值的性質(zhì)解得，解方程組，得基礎(chǔ)解系將正交化，再單位化，得解方程組，得基礎(chǔ)解系，單位化得將構(gòu)成正交矩陣5.55.7二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形、正定二次型一、填空題1. 、 2. 、 3. 4. 5.二、選擇題1.D 2.A 三、解答題1.二次型的矩陣為 它的特征多項(xiàng)式為故的特征值是 ，解方程組，得基礎(chǔ)解系將單位化，得解方程組，得基礎(chǔ)解系，單位化得于是正交變換為且有2.令 則則二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為經(jīng)過(guò)的坐標(biāo)變換為3.二次型矩陣 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 則 當(dāng)時(shí)，由得到特征向量 當(dāng)時(shí)，由得到特征向量 當(dāng)時(shí)，由得到特征向量 特征值不同，特征向量已正交，故只需單位化 為所用的正交變換矩陣第五章習(xí)題課一、填空題1.、 2. 3. 4. 5.二、選擇題1.C 2.D 3.D三、解答題1. （1）設(shè)是的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，則 即于是可得（2）由（1）知，所以于是解方