【學(xué)習(xí)課件】第4章計算機(jī)控制系統(tǒng)的經(jīng)典分析方法

1、第4章 計算機(jī)控制系統(tǒng)的經(jīng)典分析方法4.1 計算機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.2 計算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析4.3 計算機(jī)控制系統(tǒng)的響應(yīng)特性分析4.4 z平面根軌跡分析法4.5 計算機(jī)控制系統(tǒng)的頻率特性分析編輯ppt4.1 計算機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念與連續(xù)系統(tǒng)一樣穩(wěn)定性 是指系統(tǒng)擾動作用下偏離原平衡點，當(dāng)擾動作用消失以后，系統(tǒng)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。 若系統(tǒng)能恢復(fù)平衡狀態(tài)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若系統(tǒng)在擾動作用消失以后，不能恢復(fù)平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，它與擾動的形式無關(guān)，只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)。編輯ppt1、S 平面和 Z 平面的相互關(guān)系復(fù)變量

2、 z 和 s 之間的關(guān)系令 s = j，則 由此可得S 平面和 Z 平面的基本對應(yīng)關(guān)系： S 平面 虛軸 映射為 Z 平面的單位圓， S 左半平面映射在Z 平面的單位圓內(nèi)，右半平面則映射在單位圓外。編輯ppt角頻率 與 Z 平面相角的關(guān)系 當(dāng) S 平面的點沿虛軸由 變化到 時，Z 平面的相角也從 變化到 ，且 每變化一個 s ，Z 平面的相角就變化 2，即轉(zhuǎn)了一周。編輯pptS 平面可分為許多寬度為 s 的平行帶，其中 的帶稱為主帶，其余均為旁帶。 S 平面上的主帶與旁帶，將重復(fù)映射在整個 Z 平面上。 s平面中的周期帶與z平面中相對應(yīng)的單位圓 編輯ppt等線（等衰減）映射 s平面上的等 垂線

3、，映射到z平面上的軌跡，是以原點為圓心、以 為半徑的圓編輯ppt等 線（等頻率）映射 在采樣周期T 確定的情況下，s平面上的等 水平線，映射到 z 平面上的軌跡，是一簇從原點出發(fā)的射線，其相 角 ，以實軸正方向為基準(zhǔn) 編輯ppt等阻尼 線映射 s平面上的等阻尼 線可用式 描述 映射到z平面為 編輯ppt【解】 S 平面實部相同而虛部相差 s 的整數(shù)倍的點均映射為Z平面同一點11010jOSOReZIm0.533若 s 10，試求它們映射在 Z 平面上的點。例1 如圖所示，在 S 平面有三個點，分別為：編輯ppt2、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 離散系統(tǒng)對應(yīng)的特征方程的解必須全部位于

4、單位圓內(nèi)，只要有一個根在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。若系統(tǒng)的根位于單位圓上，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界，亦稱為不穩(wěn)定。編輯ppt（1）直接求特征方程的根來判別穩(wěn)定性（2）修正的Routh穩(wěn)定性判則 勞斯古爾維茨判據(jù)為連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)，可以通過一種變換（雙線性變換）將離散系統(tǒng)特征方程對應(yīng)的單位圓內(nèi)的根映射位為左半平面的根，這樣就可用Routh判據(jù)來分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 3、計算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷編輯ppt設(shè)離散系統(tǒng)的特征多項式為【證】引入雙線性變換可以將 轉(zhuǎn)化為 ，然后就可借助勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。 編輯ppt例2 設(shè)采樣系統(tǒng)的特征方程為 根據(jù)勞斯判據(jù) 在 w右 半平面有兩個根，故該采樣系統(tǒng)有兩個根在單

5、位圓外，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定 編輯ppt 例3 如圖所示的系統(tǒng)，為保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，放大系數(shù)的倍數(shù) K 的取值范圍。該系統(tǒng)的廣義對象為編輯ppt編輯ppt編輯ppt（3）Jury穩(wěn)定性判據(jù) 這是一個在數(shù)學(xué)上直接判斷離散系統(tǒng)特征方程的根的模值是否小于 1 （即在單位圓內(nèi)）的判據(jù)。設(shè)離散系統(tǒng)的特征方程為 構(gòu)造 Jury表：編輯ppt朱利表： 從第3 行開始，所有奇數(shù)行n用以下公式計算：第(n2)行系數(shù)第(n1)行系數(shù)上兩行末列系數(shù)之商編輯pptJury判據(jù) 若特征方程式中 a00，則只有當(dāng)Jury表中所有奇數(shù)行第一列系數(shù)均大于零時，該方程的全部特征根才位于單位圓內(nèi)。即 若其中有小于零的系數(shù)，則其個數(shù)等于

6、特征根在Z平面單位圓外的個數(shù)?！咀ⅰ咳绲谝涣谐霈F(xiàn)零元素或有全零行，則需要作特殊處理編輯ppt例4 已知系統(tǒng)的特征方程為【解】 構(gòu)造Jury表試判斷其穩(wěn)定性。 其奇數(shù)行首列系數(shù)有兩個小于零，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有 2 個根位于單位圓外。編輯ppt離散系統(tǒng)特征方程的解均位于單位圓內(nèi)的必要條件是：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性可用如下步驟：判斷必要條件是否成立，若不成立，系統(tǒng)不穩(wěn)定；若必要條件成立，再構(gòu)造朱利表進(jìn)一步判斷?！咀ⅰ咳舯匾獥l件滿足，則Jury表中的最后一行系數(shù)必大于零編輯ppt例5 已知系統(tǒng)特征方程為試判斷其穩(wěn)定性?！窘狻?檢驗必要條件系統(tǒng)滿足必要條件編輯ppt構(gòu)造Jury表可見奇數(shù)行首列系數(shù)均大于零，故系

7、統(tǒng)穩(wěn)定編輯ppt構(gòu)造Jury表： （最后一行不必再判斷）（4） 二階離散系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為為使系統(tǒng)穩(wěn)定，須滿足編輯ppt由此可推得即 這等價于由此可得二階離散系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件的簡便形式：編輯ppt例6 已知采樣系統(tǒng)如圖所示：其中 ，T=1 秒，試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的 k 值范圍?！窘狻块_環(huán)傳函閉環(huán)特征方程：編輯ppt綜合起來有為使系統(tǒng)穩(wěn)定，須滿足二階離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：編輯ppt4、采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響（1）采樣周期對穩(wěn)定性的影響【解】系統(tǒng)開環(huán)傳函為例7 已知如圖所示采樣統(tǒng)， ，試討論試判斷采樣周期為 1s或4s 時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程

8、為：編輯ppt將采樣周期 代入上式，得到特征方程為求得采樣周期 時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為閉環(huán)極點的模為 顯然，極點 和 均位于 z 平面的單位圓內(nèi)，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 編輯ppt將采樣周期 代入上式，得到特征方程為求得采樣周期 時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為閉環(huán)極點的模為 顯然，極點 位于z平面的單位圓內(nèi)，所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 采樣周期 T 是影響穩(wěn)定性的重要參數(shù)，一般來說，T 減小，穩(wěn)定性增強(qiáng)編輯ppt（2）開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響該圖所示系統(tǒng)對應(yīng)的開環(huán)z傳遞函數(shù)為 相應(yīng)的特征方程為 編輯ppt按例7，選擇采樣周期 ，此時 是穩(wěn)定的，這是根據(jù)例7得到的結(jié)論。這里，保持采樣周期不變，若將 代入特征方程式，

9、則解得： 很明顯，兩個極點的模 ，兩個根都位于z平面單位圓外，所以此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。 采樣周期取一定值時，加大開環(huán)增益 ，可使閉環(huán)系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。 編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的誤差信號定義穩(wěn)態(tài)誤差為上述誤差的終值，即采樣系統(tǒng)的誤差信號定義為采樣時刻的誤差，即 穩(wěn)態(tài)誤差：4.2 計算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析 1、計算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的定義 編輯ppt2、計算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算 系統(tǒng)的分類連續(xù)系統(tǒng)通常按系統(tǒng)開環(huán)傳函所含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)來分類，根據(jù)映射關(guān)系，S 域的積分環(huán)節(jié)，即 s = 0 處的極點，映射至 Z 域為z = 1 處的極點，所以采樣系統(tǒng)則按其開環(huán)脈沖傳函在z =1 處的極點個數(shù)來分類，

10、分別有 0 型、I 型、II 型系統(tǒng)。編輯ppt如圖所示的單位反饋系統(tǒng)閉環(huán)誤差傳函由此可得(1)終值定理法 編輯ppt根據(jù)終值定理，系統(tǒng)在采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為 穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號 及系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 的特性均有關(guān)。編輯ppt則穩(wěn)態(tài)誤差可表示為其中 為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)輸入信號為單位階躍函數(shù)其 Z 變換為顯然，Kp 增大，穩(wěn)態(tài)誤差將減小。(2)靜態(tài)誤差系數(shù)法 編輯ppt對“ 0 ”型系統(tǒng)，開環(huán)傳函 D(z)G(z) 在 z = 1 處無極點，即不含積分環(huán)節(jié)， Kp 為有限值，所以穩(wěn)態(tài)誤差為有限值；對“ I ”型系統(tǒng)，開環(huán)傳函 D(z)G(z) 在 z = 1 處有一個極點，即含有一個積分環(huán)節(jié)， Kp 為無

11、窮大，所以穩(wěn)態(tài)誤差為0；對于高于“ I ”型的系統(tǒng)，開環(huán)傳函 D(z)G(z) 在 z = 1 處有多個極點，即含有多個積分環(huán)節(jié)， Kp 為無窮大，所以穩(wěn)態(tài)誤差為0；編輯ppt【結(jié)論】 若輸入信號為階躍函數(shù)，對單位反饋系統(tǒng)，采樣時刻無穩(wěn)態(tài)誤差的條件是系統(tǒng)前向通道中至少含有一個積分環(huán)節(jié)，這樣的系統(tǒng)也稱為位置無差系統(tǒng)。編輯ppt其中 為速度誤差系數(shù)輸入信號為單位斜坡函數(shù) r (t) = t 其 Z 變換為穩(wěn)態(tài)誤差 為使系統(tǒng)對斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則前向通道中至少含有兩個積分環(huán)節(jié)。編輯ppt其中 為加速度誤差系數(shù)輸入信號為單位拋物線函數(shù) 其 Z 變換為穩(wěn)態(tài)誤差 輸入為加速度函數(shù)時，對“ II ”型

12、以下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大。 編輯ppt離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)誤差系數(shù)0 型系統(tǒng)I 型系統(tǒng)II 型系統(tǒng)000穩(wěn)態(tài)誤差編輯ppt例8 計算機(jī)控制系統(tǒng)的如下圖所示。設(shè)采樣周期 秒，試確定系統(tǒng)分別在單位階躍、單位斜坡和單位拋物線函數(shù)輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 解 系統(tǒng)的開環(huán)z傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 編輯ppt令 代入上式，求得 由于系數(shù)均大于零，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。先求出靜態(tài)誤差系數(shù)： 靜態(tài)速度誤差系數(shù)為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為編輯ppt單位階躍輸入信號作用下： 單位斜坡輸入信號作用下 ： 單位拋物線輸入信號作用下： 編輯ppt3、干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令 r (t) = 0 ，此時誤差完全由擾動信號

13、 n (t) 引起，即由終值定理可求得擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)擾動作用點在被控對象上，則有編輯ppt4、A/D 變換器對穩(wěn)態(tài)誤差的影響8 位 A/D 轉(zhuǎn)換器（單極性），其分辨率為 當(dāng)A/D 輸入小于 0.0039 時，A/D 則處于非靈敏區(qū) 而輸出為零。對單位反饋系統(tǒng)，若 r (t) =1 , 由于A/D的死區(qū)，當(dāng)輸出 x 0.9961 時，其誤差信號 e 將進(jìn)入A/D 的死區(qū)，從而e 的轉(zhuǎn)換結(jié)果為零，此時存在穩(wěn)態(tài)誤差這不是由系統(tǒng)原理引起的誤差，而是系統(tǒng)部件的非靈敏區(qū)造成的。編輯ppt5、采樣周期對穩(wěn)態(tài)誤差的影響如圖所示連續(xù)系統(tǒng)與其相應(yīng)的采樣系統(tǒng)，分析其穩(wěn)態(tài)誤差。0III000系統(tǒng)類型系統(tǒng)類型與

14、誤差系數(shù)的關(guān)系為連續(xù)部分傳函的一般形式編輯ppt采樣系統(tǒng) 的開環(huán)傳函編輯ppt對 “ 0 ” 型系統(tǒng)，v = 0誤差系數(shù)編輯ppt對“ I ”型系統(tǒng)，v =1誤差系數(shù)編輯ppt類似地也可求得 “II” 型系統(tǒng)的誤差系數(shù) 與連續(xù)系統(tǒng)的誤差系數(shù)比較，二者完全一致，而與 T 無關(guān)。編輯ppt盡管采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的計算公式中包含了 T，但實際計算中公式中的 T 與系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳函的 T 相對消，因此穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期 T 無關(guān)?！咀ⅰ?以上結(jié)論只對含零階保持器的采樣系統(tǒng)成立，其它情況不一定能完全對消 T。編輯ppt4.3 計算機(jī)控制系統(tǒng)的響應(yīng)特性分析計算機(jī)控制系統(tǒng)的響應(yīng)特性分析也包括動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)

15、態(tài)響應(yīng)的分析 通常動態(tài)性能指標(biāo)包括延遲時間td、上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts、最大超調(diào)量 等，其定義均與連續(xù)系統(tǒng)一致。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是時間 時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。一般認(rèn)為輸出進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值附近5或3的范圍內(nèi)就可以表明動態(tài)過程已經(jīng)結(jié)束。 編輯ppt 盡管動態(tài)性能指標(biāo)的定義與連續(xù)系統(tǒng)相同，但在 Z 域分析時，只能針對采樣時刻 的值，而在采樣間隔內(nèi)，系統(tǒng)的狀態(tài)并不能被表示出來，因此不能精確描述和表達(dá)采樣系統(tǒng)的真實特性。在采樣周期較大時，尤其如此。編輯ppt例9 已知計算機(jī)控制系統(tǒng)如下圖所示，設(shè)采樣周期T=1s ，試分析系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)特性。解 廣義z傳遞函數(shù)為 閉環(huán)z傳遞函數(shù)為 編輯ppt系統(tǒng)閉環(huán)

16、極點為 ，模為 ， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)的輸出的z變換為 系統(tǒng)的輸出的終值為 編輯ppt系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的過渡過程具有衰減振蕩的形式，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其超調(diào)量為40%，且峰值出現(xiàn)在第三、四個采樣周期之間，約經(jīng)過12個采樣周期結(jié)束過渡過程，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值為1。編輯pptS平面繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的特征方程：形式完全相同！S平面繪制根軌跡的所有規(guī)則z平面都適用，繪制方法完全相同。z平面繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的特征方程：4.4 z平面根軌跡分析法但應(yīng)注意：z平面上的穩(wěn)定邊界是單位圓而不是一條直線 編輯ppt例10 系統(tǒng)如下圖所示，設(shè)采樣周期T=1s,且試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡，并確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的K值。 編

17、輯ppt解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。Z 平面的臨界放大系數(shù)由根軌跡與單位圓的交點求得，為 。 編輯ppt離散系統(tǒng)頻率特性定義 連續(xù)系統(tǒng)的頻域特性在正弦信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復(fù)數(shù)比隨正弦信號頻率變化的特性。此定義同樣適用于離散系統(tǒng)，只是對應(yīng)的輸入輸出信號均為離散值。4.5 計算機(jī)控制系統(tǒng)的頻率特性分析編輯ppt即離散系統(tǒng)頻率特性相當(dāng)于考察脈沖傳函當(dāng) z 沿單位圓變化時的特性。線性計算機(jī)控制系統(tǒng)的頻率特性可按下式計算編輯ppt1 計算機(jī)控制系統(tǒng)頻率特性繪制方法 (1)數(shù)值計算法 例11 已知連續(xù)傳遞函數(shù) ，相應(yīng)的z傳遞函數(shù)為 ，設(shè)采樣周期為T=1s ，試求其頻率特性

18、。 ， 解 連續(xù)環(huán)節(jié)頻率特性為 離散環(huán)節(jié)的頻率特性為 編輯ppt因此，可以得到幅值為編輯ppt例11系統(tǒng)的的幅頻特性與相頻特性編輯ppt將脈沖傳函寫成零極點形式設(shè)m =1，n =2，即(2)幾何作圖法 編輯ppt相應(yīng)的幅頻特性為相頻特性為可見，幅頻特性是由零點指向 e jT 點的向量幅值來確定，相頻特性由這些向量的相角確定。當(dāng) 從 0 增到s 時，向量 e jT 將沿單位圓轉(zhuǎn)一周。所謂幾何作圖法就是，當(dāng) 移動時，根據(jù)圖中矢量幅值與相角的變化估算頻率特性。編輯ppt2 計算機(jī)控制系統(tǒng)頻率特性分析方法 (1)極坐標(biāo)法將計算機(jī)控制系統(tǒng)頻率特性寫成實部加虛部的形式： 可在平面直角坐標(biāo)上繪制頻率特性曲線，然后應(yīng)用奈氏穩(wěn)定判據(jù)，進(jìn)行計算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析。 編輯ppt例12 設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳函為 采樣周期 T 0.1 ，試?yán)L制系統(tǒng)的奈氏圖，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 繪制奈氏圖編輯ppt 由圖可知，當(dāng) k = 0.198，曲線不包圍 (-1，j0) 點，故閉環(huán)是穩(wěn)定的，并可由圖求得增益