必修二立體幾何知識(shí)點(diǎn)例題練習(xí)答案

1、WORD48/48立體幾何知識(shí)點(diǎn)一、空間幾何體1.多面體：由若干個(gè)多邊形圍成的幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面,相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱,棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).2.棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個(gè)互相平行的面叫做底面,其余各面叫做側(cè)面. 3.棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正

2、多邊形的中心。4.棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái)。由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)。正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺(tái)的兩底面以與平行于底面的截面是相似的正多邊形5.旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸，6.圓柱、圓錐、圓臺(tái)：分別以矩形的一邊、直角三角形的直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)。圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓；過(guò)軸的截面(軸截面)分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。 注：在處理

3、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常用到弧長(zhǎng)公式7.球:以半圓的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做球面.球面所圍成的幾何體叫做球體(簡(jiǎn)稱球)8.簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖：一個(gè)投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到這個(gè)平面的圖形叫做俯視圖。一個(gè)投影面放置在正前方，這個(gè)投影面叫做直立投影面，投影到這個(gè)平面的圖形叫做主視圖(正視圖)。和直立、水平兩個(gè)投影面都垂直的投影面叫做側(cè)立投影面，通常把這個(gè)平面放在直立投影面的右面，投影到這個(gè)平面的圖形叫做左視圖(側(cè)視圖)。三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的正前方、正上方、正左方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形。（1）.三視圖畫法規(guī)則：高平齊：主視圖

4、與左視圖的高要保持平齊長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正正視圖側(cè)視圖俯視圖1112寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等（2）.空間幾何體三視圖：正視圖（從前向后的正投影）；側(cè)視圖（從左向右的正投影）；俯視圖（從上向下正投影）例題1.某四棱錐底面為直角梯形，一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的三視圖如右圖所示，則其體積為 例題2.右圖是底面為正方形的四棱錐，其中棱垂直于底面，它的三視圖正確的是（ ）（3）.空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：斜二測(cè)坐標(biāo)系的軸與軸正方向成角；原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行,長(zhǎng)度不變； = 3 * GB3 原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半常用結(jié)論：平面圖形面積

5、與其斜二側(cè)直觀圖面積之比為：1例如果一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45，腰和上底均為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是( )A2BCD9.特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線）： S=10.柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式： V=例題3:已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形 (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的側(cè)面積S (2)7分 (3)12分例4.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（ ）A

6、 BC D例5半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為_(kāi).練習(xí)： AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 已知一個(gè)幾何體的三視圖與其大小如圖1,這個(gè)幾何體的體積( )ABCD AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 右圖是一個(gè)幾何體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的表面積是 （ ）側(cè)（左）視圖正（主）視圖俯視圖側(cè)（左）視圖421俯視圖2正（主）視圖（第3題圖） AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是（）ABCD AUTONUM * Arab

7、ic * MERGEFORMAT 一個(gè)幾何體的三視圖是三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和對(duì)角線,如圖所示,則此幾何體的體積為( )ABCD1 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖標(biāo)出的尺寸,可得這個(gè)幾何體的體積為( )ABCD AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示,則這個(gè)棱柱的體積為 （ ）AB6CD AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,若它的體積是3,則a=( )ABCD AUTONUM * Arabic

8、 * MERGEFORMAT 某幾何體的三視圖如圖所示(俯視圖是正方形,正視圖和左視圖是兩個(gè)全等等腰三角形)根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù),可得這個(gè)幾何體的表面積為 ( )ABCD12 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）ABCD正視圖俯視圖22側(cè)視圖2112第5題圖 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 已知某幾何體的三視圖如右,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸 (單位:),可得這個(gè)幾何體的體積是 （ ）ABCD二、 立體幾何點(diǎn) 線 面的位置關(guān)系平行關(guān)系平面幾何知識(shí)線線平行線面平行面面平行垂直關(guān)系平面幾何知識(shí)線線垂直線

9、面垂直面面垂直判定性質(zhì)判定推論性質(zhì)判定判定性質(zhì)判定面面垂直定義1.2.3.4.5.平行與垂直關(guān)系可互相轉(zhuǎn)化如圖，在正四棱柱 中，E、F分別是的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是( ) AB.C.D.例2.已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（ ）ABC D例3.已知平面平面，= l，點(diǎn)A，Al，直線ABl，直線ACl，直線m，m，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（ ）A. ABmB. ACmC. ABD. AC練習(xí)：1.設(shè)直線與平面相交但不垂直，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）A在平面有且只有一條直線與直線垂直B過(guò)直線有且只有一個(gè)平面與平面垂直C與直線垂直的直線不可能與平面平行D與直

10、線平行的平面不可能與平面垂直2.設(shè)為兩條直線,為兩個(gè)平面,下列四個(gè)命題中，正確的命題是( )A若與所成的角相等，則B若，則C若，則D若，則3.給出下列四個(gè)命題: = 1 * GB3 垂直于同一直線的兩條直線互相平行. = 2 * GB3 垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行. = 3 * GB3 若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行. = 4 * GB3 若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線. 其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.設(shè)為平面，為直線，則的一個(gè)充分條件是()(A) (B) (C) (D) 5設(shè)、是不同的直線,、是不同的平面,有以下四個(gè)命題:

11、 若 則 若,則 若,則 若,則其中真命題的序號(hào)是（）ABCD6 對(duì)于平面和直線,下列命題中假命題的個(gè)數(shù)是（）若,則;若,則;若, ,則; 若,則A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)7若l，m，n是互不一樣的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是()A若，l，n，則lnB若，l，則lC若ln，mn，則lmD若l，l，則8.知a、b是兩條不重合的直線，、是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：若a，a，則若，則若，a，b，則ab若，a，b，則ab其中正確命題的序號(hào)有_1、線線平行的判斷： 平行于同一直線的兩直線平行。 （2）如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條

12、直線和交線平行。 （3）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 （4）垂直于同一平面的兩直線平行。2、線面平行的判斷： （1）如果平面外的一條直線和平面的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。（2）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面的直線必平行于另一個(gè)平面。A1ED1C1B1DCBA例1、（三角形中位線定理）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，求證：平面。證明：連接交于，連接，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)為三角形的中位線 又在平面，在平面外平面。例2、（證明是平行四邊形）已知正方體，是底對(duì)角線的交點(diǎn).求證：C1O面； 證明：（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)是正方體 是平行四邊形A1C1AC且 又分別是的中點(diǎn)

13、，O1C1AO且是平行四邊形 面，面C1O面3、面面平行的判斷： （1）一個(gè)平面的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。（2）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。例4、如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn).求證：平面平面.證明：、分別是、的中點(diǎn)，又平面，平面平面四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面，平面平面4、線線垂直的判斷： 若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面所有直線。補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。例5、已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA平面ABCD，E、F分別是 AB、PC的中點(diǎn)(1) 求證：EF平面PAD； (2) 求證：EFCD；5

14、、線面垂直的判斷： （1）如果一直線和平面的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。（2）如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。（3）一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。（4）如果兩個(gè)平面垂直，那么在個(gè)平面垂直于交線的直線必垂直于另個(gè)平面。例6、(線線線面相互轉(zhuǎn)化)已知中,面,求證：面證明：又面面 又面例7、(構(gòu)造直角三角形)四面體中，分別為的中點(diǎn)，且，求證：平面證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，分別為的中點(diǎn)，又，在中，又，即，平面例8、如圖，在三棱錐BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，為垂足，作AHBE于求證：AH平面BCD 證明：取AB的中點(diǎn)

15、，連結(jié)CF，DF， ， 又，平面CDF平面CDF， 又，平面ABE， ，平面BCD例9、（三垂線定理）證明：在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D證明：連結(jié)AC AC為A1C在平面AC上的射影6、面面垂直的判斷： 一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。例10、如圖，已知空間四邊形中，是的中點(diǎn)。AEDBC求證：（1）平面CDE;（2）平面平面。證明：（1）同理，又平面（2）由（1）有平面又平面，平面平面練習(xí)1. 如圖：梯形和正所在平面互相垂直，其中，且為中點(diǎn). ( I ) 求證：平面；( II ) 求證：. 2.如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，,.將菱形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐,

16、點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，.ABABCCDMODO（）求證：平面；（）求證：平面平面；（）求三棱錐的體積.PABCDQM3. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，AD/BC，ADC=90，BC=AD，PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)（）求證：AD平面PBQ； （）若點(diǎn)M在棱PC上，設(shè)PM=tMC，試確定t的值，使得PA/平面BMQ4.已知四棱錐的底面是菱形，為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求證：平面平面5. 已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，且分別為的中點(diǎn). (I) 求證：平面平面；（II）求證：平面.ABCDFE6.正方形與直角梯形所在平面互相垂直，.()求證：平面；()求證：平面；（）求四面體的體積.7. 如圖，在四

17、棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：（1）直線EF/平面PCD；（2）平面BEF平面PAD.8.如圖，四邊形ABCD為正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）證明：PQ平面DCQ；（II）求棱錐QABCD的的體積與棱錐PDCQ的體積的比值9. 如圖，在ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90。（1）證明：平面平面；（2）設(shè)BD=1，求三棱錐D的表面積。10、如圖，在正方體中，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.三、線線、線面和面面的成角問(wèn)題1、兩異面直線與所

18、成的角：不在同一個(gè)平面的兩條直線,叫做異面直線,已知異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線,我們把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角).如果兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直.2、直線和平面所成的角：一條直線PA和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足。過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線 AO 叫做斜線在這個(gè)平面上的射影。平面的一條斜線和它在平面的攝影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們就說(shuō)它們所成的角是直角。一條直線和平面平行，或在平面，我們說(shuō)它

19、們所成的角是.3、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。 在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面和分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角。二面角的大小可以可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度。常見(jiàn)角的取值圍： 異面直線所成的角 直線與平面所成的角 二面角的取值圍依次 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值圍依次是 反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值圍分別是點(diǎn)到平面距離：求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.例1.在棱長(zhǎng)為1的

20、正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G=（01），則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為（ D ）A.B. C.D.例2、已知是矩形，平面，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角證明：在中，平面，平面，又，平面（2）為與平面所成的角在，在中，AHGFEDCB在中，練習(xí)：1、已知四邊形是空間四邊形，分別是邊的中點(diǎn)求證：EFGH是平行四邊形若BD=，AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。證明：在中，分別是的中點(diǎn)同理，四邊形是平行四邊形。(2) 90 30 2、如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形

21、，已知，（）設(shè)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面；（）求四棱錐的體積（）證明：在中，由于，所以 故又平面平面，平面平面，ABCMPDO平面，所以平面， 又平面，故平面平面（）解：過(guò)作交于，由于平面平面， 所以平面因此為四棱錐的高，又是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形因此在底面四邊形中，所以 HYPERLINK :/ mathschina 四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，此即為梯形的高，所以四邊形的面積為故3、如圖，在四棱錐中，底面是且邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面是等邊三角形，且平面垂直于底面（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求證：；（3）求二面角的大小證明：（1）為等邊三角形且為的中點(diǎn)，又平面平面，平面（2）是等邊三

22、角形且為的中點(diǎn)，且，平面，平面，（3）由，又，為二面角的平面角在中，4.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大??； （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。解：方法一（綜合法） （1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE又 （2）為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作連接，所以 與所成角的大小為（3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作 于點(diǎn)Q，又 ,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為高考訓(xùn)練：1，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中

23、點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F.(1)證明PA平面EDB；(2)證明PB平面EFD；2， (2013模擬)如圖1，四邊形ABCD為矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE，ACBDG.(1)求證：AE平面BCE；(2)求證：AE平面BFD；(3)求三棱錐CBGF的體積3、 (2013質(zhì)檢)如圖4，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.(1)求證：平面AEC平面ABE；(2)點(diǎn)F在BE上若DE平面ACF，求eq f(BF,BE)的值234、(2013質(zhì)檢)在直角梯形ABCD中，ADBC，AB1，ADeq r(3)，ABBC，CDBD，如圖6(1)把AB

24、D沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD，如圖(2) (1)求證：CDAB；(2)求三棱錐ABDC的體積；(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)N，使得ANBD？若存在，請(qǐng)求出eq f(BN,BC)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由5、（2013一模）如圖甲，的直徑，圓上兩點(diǎn)在直徑的兩側(cè)，使，沿直徑折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)根據(jù)圖乙解答下列各題：（1）求三棱錐的體積；（2）求證：；ABCOD(圖甲)（3）在上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由ABFOD(圖乙)EG立體幾何知識(shí)點(diǎn)一、空間幾何體1.多面體：由若干個(gè)多邊形圍成的幾何體，叫做多面體。

25、圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面,相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱,棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).2.棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個(gè)互相平行的面叫做底面,其余各面叫做側(cè)面. 3.棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正多邊形的中心。4.棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái)。由正棱錐截得

26、的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)。正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺(tái)的兩底面以與平行于底面的截面是相似的正多邊形5.旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸，6.圓柱、圓錐、圓臺(tái)：分別以矩形的一邊、直角三角形的直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)。圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓；過(guò)軸的截面(軸截面)分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。 注：在處理圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常用到弧長(zhǎng)公式7.球:以半圓的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做

27、球面.球面所圍成的幾何體叫做球體(簡(jiǎn)稱球)8.簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖：一個(gè)投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到這個(gè)平面的圖形叫做俯視圖。一個(gè)投影面放置在正前方，這個(gè)投影面叫做直立投影面，投影到這個(gè)平面的圖形叫做主視圖(正視圖)。和直立、水平兩個(gè)投影面都垂直的投影面叫做側(cè)立投影面，通常把這個(gè)平面放在直立投影面的右面，投影到這個(gè)平面的圖形叫做左視圖(側(cè)視圖)。三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的正前方、正上方、正左方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形。（1）.三視圖畫法規(guī)則：高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正正視圖側(cè)視圖俯視圖1112寬相等：俯視圖與左

28、視圖的寬度應(yīng)相等（2）.空間幾何體三視圖：正視圖（從前向后的正投影）；側(cè)視圖（從左向右的正投影）；俯視圖（從上向下正投影）例題1.某四棱錐底面為直角梯形，一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的三視圖如右圖所示，則其體積為 例題2.右圖是底面為正方形的四棱錐，其中棱垂直于底面，它的三視圖正確的是（ B ）（3）.空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：斜二測(cè)坐標(biāo)系的軸與軸正方向成角；原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行,長(zhǎng)度不變； = 3 * GB3 原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半常用結(jié)論：平面圖形面積與其斜二側(cè)直觀圖面積之比為：1例如果一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45，腰和

29、上底均為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是( A )A2BCD9.特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線）： S=10.柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式： V=例題3:已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形 (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的側(cè)面積S (2)7分 (3)12分例4.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（ C ）A BC D例5半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為_(kāi).練習(xí)：1已知一個(gè)幾何體的三視

30、圖與其大小如圖1,這個(gè)幾何體的體積( B )ABCD2右圖是一個(gè)幾何體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的表面積是 （ C ）側(cè)（左）視圖正（主）視圖俯視圖側(cè)（左）視圖421俯視圖2正（主）視圖（第3題圖）3 某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是（C）ABCD4 一個(gè)幾何體的三視圖是三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和對(duì)角線,如圖所示,則此幾何體的體積為( C )ABCD15一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖標(biāo)出的尺寸,可得這個(gè)幾何體的體積為( A )ABCD6若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示,則這個(gè)棱柱的體積為 （D）AB6

31、CD7如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,若它的體積是3,則a=( C )ABCD8某幾何體的三視圖如圖所示(俯視圖是正方形,正視圖和左視圖是兩個(gè)全等等腰三角形)根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù),可得這個(gè)幾何體的表面積為（B）ABCD12 9一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（A）ABCD正視圖俯視圖22側(cè)視圖2112第5題圖10已知某幾何體的三視圖如右,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸 (單位:),可得這個(gè)幾何體的體積是 （B）ABCD二、 立體幾何點(diǎn) 線 面的位置關(guān)系平行關(guān)系平面幾何知識(shí)線線平行線面平行面面平行垂直關(guān)系平面幾何知識(shí)線線垂直線面垂直面面垂直判定性質(zhì)判定推論性質(zhì)判定判定性質(zhì)判定面面垂直定義1.2.3.4

32、.5.平行與垂直關(guān)系可互相轉(zhuǎn)化如圖，在正四棱柱 中，E、F分別是的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是( D ) AB.C.D.例2.已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（ D）ABC D例3.已知平面平面，= l，點(diǎn)A，Al，直線ABl，直線ACl，直線m，m，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（ D ）A. ABmB. ACmC. ABD. AC練習(xí)：1.設(shè)直線與平面相交但不垂直，則下列說(shuō)法中正確的是（ B ）A在平面有且只有一條直線與直線垂直B過(guò)直線有且只有一個(gè)平面與平面垂直C與直線垂直的直線不可能與平面平行D與直線平行的平面不可能與平面垂直2.設(shè)為兩條直線,為兩個(gè)平面,下列

33、四個(gè)命題中，正確的命題是( D )A若與所成的角相等，則B若，則C若，則D若，則3.給出下列四個(gè)命題: = 1 * GB3 垂直于同一直線的兩條直線互相平行. = 2 * GB3 垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行. = 3 * GB3 若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行. = 4 * GB3 若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線. 其中假命題的個(gè)數(shù)是（D ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.設(shè)為平面，為直線，則的一個(gè)充分條件是(D )(A) (B) (C) (D) 5設(shè)、是不同的直線,、是不同的平面,有以下四個(gè)命題: 若 則 若,則 若,則 若,則其中真命題的序號(hào)是（

34、D）ABCD6 對(duì)于平面和直線,下列命題中假命題的個(gè)數(shù)是（D）若,則;若,則;若, ,則; 若,則A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)7若l，m，n是互不一樣的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是( D)A若，l，n，則lnB若，l，則lC若ln，mn，則lmD若l，l，則8.知a、b是兩條不重合的直線，、是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：若a，a，則若，則若，a，b，則ab若，a，b，則ab其中正確命題的序號(hào)有_答案1、線線平行的判斷： 平行于同一直線的兩直線平行。 （2）如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。 （3）如果兩個(gè)平行平面

35、同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 （4）垂直于同一平面的兩直線平行。2、線面平行的判斷： （1）如果平面外的一條直線和平面的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。（2）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面的直線必平行于另一個(gè)平面。例1、（三角形中位線定理）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，求證：平面。A1ED1C1B1DCBA證明：連接交于，連接，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)為三角形的中位線 又在平面，在平面外平面。例2、（證明是平行四邊形）已知正方體，是底對(duì)角線的交點(diǎn).求證：C1O面； 證明：（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)是正方體 是平行四邊形A1C1AC且 又分別是的中點(diǎn)，O1C1AO且是平行四邊形 面，面C1

36、O面3、面面平行的判斷： （1）一個(gè)平面的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。（2）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。例4、如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn).求證：平面平面.證明：、分別是、的中點(diǎn)，又平面，平面平面四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面，平面平面4、線線垂直的判斷： 若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面所有直線。補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。例5、已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA平面ABCD，E、F分別是 AB、PC的中點(diǎn)(1) 求證：EF平面PAD； (2) 求證：EFCD；5、線面垂直的判斷： （1）如果一直線和平

37、面的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。（2）如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。（3）一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。（4）如果兩個(gè)平面垂直，那么在個(gè)平面垂直于交線的直線必垂直于另個(gè)平面。例6、(線線線面相互轉(zhuǎn)化)已知中,面,求證：面證明：又面面又面例7、(構(gòu)造直角三角形)四面體中，分別為的中點(diǎn)，且，求證：平面證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，分別為的中點(diǎn)，又，在中，又，即，平面例8、如圖，在三棱錐BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，為垂足，作AHBE于求證：AH平面BCD 證明：取AB的中點(diǎn)，連結(jié)CF，DF， ， 又，平面CDF平面

38、CDF， 又，平面ABE， ，平面BCD例9、（三垂線定理）證明：在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D證明：連結(jié)AC AC為A1C在平面AC上的射影6、面面垂直的判斷： 一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。AEDBC例10、如圖，已知空間四邊形中，是的中點(diǎn)。求證：（1）平面CDE;（2）平面平面。證明：（1）同理，又平面（2）由（1）有平面又平面，平面平面練習(xí)1. 如圖：梯形和正所在平面互相垂直，其中，且為中點(diǎn). ( I ) 求證：平面；( II ) 求證：. 2.如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，,.將菱形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐,點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，.ABABCCDMODO（）

39、求證：平面；（）求證：平面平面；（）求三棱錐的體積.PABCDQM3. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，AD/BC，ADC=90，BC=AD，PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)（）求證：AD平面PBQ； （）若點(diǎn)M在棱PC上，設(shè)PM=tMC，試確定t的值，使得PA/平面BMQ4.已知四棱錐的底面是菱形，為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求證：平面平面5. 已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，且分別為的中點(diǎn). (I) 求證：平面平面；（II）求證：平面.ABCDFE6.正方形與直角梯形所在平面互相垂直，.()求證：平面；()求證：平面；（）求四面體的體積.7. 如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD

40、，BAD=60，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：（1）直線EF/平面PCD；（2）平面BEF平面PAD.8.如圖，四邊形ABCD為正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）證明：PQ平面DCQ；（II）求棱錐QABCD的的體積與棱錐PDCQ的體積的比值9. 如圖，在ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90。（1）證明：平面平面；（2）設(shè)BD=1，求三棱錐D的表面積。例10、如圖，在正方體中，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.練習(xí)參考答案1. 證明: (I) 因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以1分又，所以有2分所以為平行四邊形,所

41、以3分又平面平面所以平面 . 5分(II)連接.因?yàn)樗詾槠叫兴倪呅危?6分又,所以為菱形，所以 ， 7分因?yàn)檎切?為中點(diǎn)，所以 ， 8 分 又因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面 ， 所以平面， 10分而平面，所以 ，又，所以平面. 12分又平面，所以 . 13分2. （）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以是的中位線，. 2分因?yàn)槠矫?平面，所以平面. 4分（）證明：由題意，,ABCMOD因?yàn)?所以，. 6分又因?yàn)榱庑?，所? 7分因?yàn)?所以平面， 8分因?yàn)槠矫?，所以平面平? 9分（）解：三棱錐的體積等于三棱錐的體積. 10分由（）知，平面，所以為三棱錐的高. 11

42、分的面積為， 12分所求體積等于. 13分3. 證明：（）AD / BC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)， 四邊形BCDQ為平行四邊形， CD / BQ PABCDQMNADC=90AQB=90 即QBADPA=PD，Q為AD的中點(diǎn)， PQADPQBQ=Q，AD平面PBQ 6分（）當(dāng)時(shí)，PA/平面BMQ連接AC，交BQ于N，連接MNBCDQ，四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段PC的中點(diǎn)，MN / PAMN平面BMQ，PA平面BMQ，PA/ 平面BMQ13分4. （）證明：因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)， 所以 因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面6分（）證明：連結(jié) 因?yàn)?，所以在菱形中，因?yàn)樗云矫?因

43、為平面 所以平面平面13分5. （）由已知可得，四邊形是平行四邊形， 平面，平面，平面； 又 分別是的中點(diǎn)， ， 平面，平面，平面； 4分平面，平面， 5分平面平面 . 6分() 三棱柱是直三棱柱， 面，又面，. 7分 又直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，是邊中點(diǎn)，是正三角形， 8分 而， 面 ，面 ，面 ， 9分故 . 10分四邊形是菱形， 11分而，故 , 12分 由面，面，得 面 . 13分6. ()證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?2分所以. 3分因?yàn)槭钦叫?，所以，所以平? 4分()證明：設(shè)，取中點(diǎn)，連結(jié)，所以，. 5分因?yàn)?，所以?6分從而四邊形是平行四邊形，. 7分因?yàn)槠矫?平面, 8分

44、所以平面，即平面. 9分（）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫?所以平面. 11分因?yàn)?，所以的面積為， 12分所以四面體的體積. 13分7. 答案：（1）因?yàn)镋、F分別是AP、AD的中點(diǎn)，又直線EF/平面PCD（2）連接BD為正三角形 F是AD的中點(diǎn)，又平面PAD平面ABCD，所以，平面BEF平面PAD.8. 解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形因?yàn)镼A平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，則PQQD所以PQ平面DCQ. 6分 （II）設(shè)AB=a.由題設(shè)知AQ為棱錐QABCD的

45、高，所以棱錐QABCD的體積由（I）知PQ為棱錐PDCQ的高，而PQ=，DCQ的面積為，所以棱錐PDCQ的體積為故棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值為1.12分9. 1）折起前是邊上的高，當(dāng)折起后，AD，AD，又DB，平面，又AD 平面BDC.平面ABD平面BDC（2）由（1）知，DA,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,三棱錐D的表面積是10、如圖，在正方體中，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.證明：（1）設(shè)，、分別是、的中點(diǎn)，又平面，平面，平面（2）平面，平面，又，平面，平面，平面平面三、線線、線面和面面的成角問(wèn)題1、兩異面直線與所成的角：不在同一個(gè)平面的

46、兩條直線,叫做異面直線,已知異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線,我們把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角).如果兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直.2、直線和平面所成的角：一條直線PA和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足。過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線 AO 叫做斜線在這個(gè)平面上的射影。平面的一條斜線和它在平面的攝影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們就說(shuō)它們所成的角是直角。一條直線和平面平行，或在平面，我們說(shuō)它們所成的角是.3、二面角

47、：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。 在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面和分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角。二面角的大小可以可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度。常見(jiàn)角的取值圍： 異面直線所成的角 直線與平面所成的角 二面角的取值圍依次 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值圍依次是 反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值圍分別是點(diǎn)到平面距離：求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.例1.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C

48、1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G=（01），則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為（ D ）A.B. C.D.例2、已知是矩形，平面，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角證明：在中，平面，平面，又，平面（2）為與平面所成的角在，在中，AHGFEDCB在中，練習(xí)：1、已知四邊形是空間四邊形，分別是邊的中點(diǎn)求證：EFGH是平行四邊形若BD=，AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。證明：在中，分別是的中點(diǎn)同理，四邊形是平行四邊形。(2) 90 30 2、如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知，（）設(shè)是上的一點(diǎn)

49、，證明：平面平面；（）求四棱錐的體積（）證明：在中，由于，所以 故又平面平面，平面平面，ABCMPDO平面，所以平面， 又平面，故平面平面（）解：過(guò)作交于，由于平面平面， 所以平面因此為四棱錐的高，又是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形因此在底面四邊形中，所以 HYPERLINK :/ mathschina 四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，此即為梯形的高，所以四邊形的面積為故3、如圖，在四棱錐中，底面是且邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面是等邊三角形，且平面垂直于底面（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求證：；（3）求二面角的大小證明：（1）為等邊三角形且為的中點(diǎn)，又平面平面，平面（2）是等邊三角形且為的中點(diǎn)，且，平面

50、，平面，（3）由，又，為二面角的平面角在中，4.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大?。?（）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。方法一（綜合法） （1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE又 （2）為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作連接，所以 與所成角的大小為（3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作 于點(diǎn)Q，又 ,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為高考訓(xùn)練：1，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F.

51、(1)證明PA平面EDB；(2)證明PB平面EFD；證明(1)連接AC交BD于O，連接EO.底面ABCD是正方形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)在PAC中，EO是中位線，PAEO，又EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA平面EDB.(2)PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDC，PDDC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，DEPC.同理由PD底面ABCD，得PDBC.底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC.由DE平面PDC，BCDE.由和推得DE平面PBC.而PB平面PBC，DEPB.又EFPB，EFDEE，PB平面EFD.2， (2013模擬)如圖1，四邊形ABCD為矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE，ACBDG.(1)求證：AE平面BCE；(2)求證：AE平面BFD；(3)求三棱錐CBGF的體積思路點(diǎn)撥(1)由線面垂直可得線線垂直，進(jìn)而可證線面垂直；(2)將證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行，而線線平行可由三角形的中位線得到；