工程流體力學(xué) 教學(xué)作者 于玲紅 第七章 量綱分析和模型試驗(yàn).ppt

1、第七章 量綱分析和模型試驗(yàn)第一節(jié) 量綱分析第二節(jié) 流動相似的概念第三節(jié) 相似準(zhǔn)則第四節(jié) 模型設(shè)計(jì)第一節(jié) 量 綱 分 析量綱分析：是研究自然現(xiàn)象物理量量綱之間固有聯(lián)系的理論。 量綱分析的作用：（1）導(dǎo)出相似準(zhǔn)則數(shù)（2）通過試驗(yàn)建立復(fù)雜流動的運(yùn)動規(guī)律。一、 量綱和單位 物理量單位的種類稱為量綱，量綱也稱為因次，表示物理量的本質(zhì)屬性。用符號dim表示。 一個(gè)物理量可以用不同的單位度量，但量綱卻是唯一的。例如長度、寬度、高度、厚度、深度都可以用米、英尺等長度單位來度量，但是它們的量綱都是長度量綱L。二、 基本量綱與導(dǎo)出量綱量綱可分為基本量綱和導(dǎo)出量綱。 基本量綱是指具有獨(dú)立性的量綱。該量綱不能由其它量

2、綱推導(dǎo)出來，即不依賴于其它量綱。如長度L、質(zhì)量M、時(shí)間T就是相互獨(dú)立的量綱，它們之間不能互相推導(dǎo)，它們就可以作為基本量綱。 流體力學(xué)常用基本量綱為：長度L、質(zhì)量M、時(shí)間T 導(dǎo)出量綱是指由基本量綱推導(dǎo)出的 在各種力學(xué)問題中，任何一個(gè)物理量的量綱都可以用三個(gè)基本量綱的指數(shù)乘積形式表示，這稱為誘導(dǎo)量綱公式，即三、 無量綱量 在量綱分析中，有一些物理量的量綱為1 ，稱為無量綱量，用M0L0T0表示。無量綱量就是一個(gè)數(shù)（無量綱量具有數(shù)值的特性），但可以把它看成由幾個(gè)物理量組合而成的綜合表達(dá)。例如雷諾數(shù)的量綱：四、 量綱齊次性原理 量綱齊次性原理是量綱分析的基本原理，量綱齊次性原理是指一個(gè)物理現(xiàn)象或一個(gè)物

3、理過程用一個(gè)物理方程表示時(shí)，方程中每項(xiàng)的量綱應(yīng)該都是和諧的、一致的、齊次的，也叫做量綱和諧性原理或量綱一致性原理。 量綱齊次性原理表明：在某一流動現(xiàn)象中各相關(guān)物理量可組成若干個(gè)量綱齊次的組合群，它反映了該流動現(xiàn)象中各相關(guān)物理量在量綱上的相互制約關(guān)系，這是對某一流動現(xiàn)象中相關(guān)的物理量做量綱分析的物理基礎(chǔ)。五、 量綱分析與定律 量綱分析是根據(jù)描述流體流動的變量和方程量綱一致性原理找出影響流動的物理量，再進(jìn)行量綱分析和變量組合以獲取描述流動的無量綱的組合參數(shù)的一種分析方法，量綱分析是流體力學(xué)研究中最重要的數(shù)學(xué)工具之一。量綱分析與相似原理緊密聯(lián)系，雖然兩者所采取的途徑不相同，但實(shí)際上是一致的，他們的研

4、究對象相同，所得到的結(jié)論也是一致的。 1. 量綱分析 2.定律（布金漢定理） 對于某個(gè)物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n個(gè)變量互為函數(shù)關(guān)系， 而這些變量含有m個(gè)基本量綱，可把這n個(gè)變量轉(zhuǎn)換成為有(n-m)=i個(gè)無量綱量的函數(shù)關(guān)系式 這樣可以表達(dá)出物理方程的明確的量間關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少了m個(gè)，更為概括集中表示物理過程或物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。例：經(jīng)初步分析知道，在水平等直徑圓管道內(nèi)流體流動的壓降p與下列因素有關(guān)：管徑d、管長l、管壁粗糙度 、管內(nèi)流體密度、流體的動力粘度 ，以及斷面平均流速v有關(guān)。試用定理推出壓降p的表達(dá)形式。 解： 所求解問題的原隱函數(shù)關(guān)系式為 f(p, d, l, , , ,

5、 v)=0 有量綱的物理量個(gè)數(shù)n=7，此問題的基本量綱有L、M 、T三個(gè)，m=3，按定理，這n個(gè)變量轉(zhuǎn)換成有n-m=4個(gè)無量綱量的函數(shù)關(guān)系式 F(1, 2, 3, 4)=0 從7個(gè)物理量中選出基本物理量3個(gè)，如取、d、v，而其余物理量用基本物理量的冪次乘積形式表示。1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4將上述表達(dá)式寫成量綱形式1=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T （1）2=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0 （2）3=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0 （3）4=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4

6、=M0L0T0 （4）求解方程（1） M: 1=0 T: 1=0 L: -3 1+ 1+1+1=0 1= -1所以 1=l/d求解方程（2） M: 2=0 T: 2=0 L: 1-3 2+ 2+2=0 2= -1所以 2= /d求解方程（3） M: 1+3=0 3= -1 T: -1-3=0 3= -1 L: -1-3 3+ 3+3=0 3= -1所以 3=/vd=1/Re求解方程（4） M: 1+4=0 4= -1 T: -2-4=0 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 4= 0所以 4= p / v2因此，所解問題用無量綱數(shù)表示的方程為 F(l/d, /d, 1/Re, p /

7、v2)=0 至此，問題求解結(jié)束，進(jìn)一步對上式整理規(guī)范。由上式可知p / v2與其余三個(gè)無量綱數(shù)有關(guān)，那么 p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re) p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)令= F2( /d, 1/Re) p/= (l/d)(v2/2g)以上就是達(dá)西公式， 為沿程阻力系數(shù)，表示了等直圓管中流動流體的壓降與沿程阻力系數(shù)、管長、速度水頭成正比，與管徑成反比。 從以上例題可以看出，利用定理，可以在僅知與物理過程有關(guān)物理量的情況下，求出表達(dá)該物理過程關(guān)系式的基本結(jié)構(gòu)形式。用量綱分析法所歸納出的式子往往還帶有待定的系

8、數(shù)，這個(gè)系數(shù)要通過實(shí)驗(yàn)來確定。而量綱分析法求解中已指定如何用實(shí)驗(yàn)來確定這個(gè)系數(shù)。因此，量綱分析法也是流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。第二節(jié) 流動相似的概念 采用模型試驗(yàn)和理論分析相結(jié)合的方式是解決問題的有效途徑之一，在把模型中的實(shí)測資料引用到原型中會產(chǎn)生下述問題： (1) 如何設(shè)計(jì)模型才能是模型和原型中的流動相似？ (2) 如何把模型中觀測的流動現(xiàn)象和數(shù)據(jù)換算到原型 中去？ 相似原理提供了解決這兩個(gè)問題的理論基礎(chǔ)，即實(shí)現(xiàn)模型與原型的流動相似：兩個(gè)流動中，對應(yīng)點(diǎn)上同名物理量具有各自一定的比例。流動相似包含三類表征流動過程的物理量的相似：流場的幾何形狀（包括邊界層）、流體微團(tuán)的運(yùn)動狀態(tài)、流體微團(tuán)的動力性質(zhì)

9、。 相似的定義：如果兩個(gè)同一類的物理現(xiàn)象，在對應(yīng)的時(shí)空點(diǎn)，各標(biāo)量物理量的大小成比例，各向量物理量除大小成比例外，且方向相同，則稱兩個(gè)現(xiàn)象是相似的。 要保證兩個(gè)流動問題的力學(xué)相似，必須是兩個(gè)流動幾何相似，運(yùn)動相似，動力相似，以及兩個(gè)流動的邊界條件和起始條件相似。一、相似的基本概念 1. 幾何相似 幾何相似是指原型與模型保持幾何形狀和幾何尺寸相似，也就是原型和模型的任何一個(gè)相應(yīng)線性長度保持一定的比例關(guān)系。 長度比尺面積比尺體積比尺 2. 運(yùn)動相似 運(yùn)動相似是指原型與模型兩個(gè)流動中任何對應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的跡線是幾何相似的，而且任何對應(yīng)質(zhì)點(diǎn)流過相應(yīng)線段所需的時(shí)間又是具有同一比例的。或者說兩個(gè)流動的速度場(或加速

10、度場)是幾何相似的。 設(shè)時(shí)間比尺： 則速度比尺 加速度比尺 3. 動力相似 兩個(gè)流動在對應(yīng)點(diǎn)上，對應(yīng)瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)受到同種性質(zhì)的外力作用，且對應(yīng)的同名力方向相同，大小成同一比例。 總壓力切向力重力慣性力力的比例尺密度比例尺：基本比例尺：，l，v其他如：力的比例尺，力矩的比例尺，壓強(qiáng)的比例尺，功率比例尺，動力黏度比例尺 如能保證上述三個(gè)相似，則說明流動相似。從分析可看出:幾何相似是流動力學(xué)相似的前提條件，動力相似是決定運(yùn)動相似的主導(dǎo)因素，運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)或是必然結(jié)果。4. 三種相似條件的關(guān)系 模型與原型的幾何相似、運(yùn)動相似和動力相似是兩個(gè)流場完全相似的重要特征。二、相似理論基本定理

11、 相似理論建立在三個(gè)相似定理的基礎(chǔ)上，它是指導(dǎo)模型實(shí)驗(yàn)的基本理論。1. 相似第一定理 相似第一定理對相似現(xiàn)象的這種性質(zhì)明確表示為：彼此相似的現(xiàn)象，相同名稱的相似準(zhǔn)數(shù)分別相等。它回答了在實(shí)驗(yàn)中應(yīng)當(dāng)測量哪些物理量牛頓數(shù)（Ne），雷諾數(shù)（Re），歐拉數(shù)（Eu）、弗洛德數(shù)（Fr）2. 相似第二定理 描述相似現(xiàn)象的物理量組成的相似準(zhǔn)數(shù)，相互間存在函數(shù)關(guān)系。 相似第二定理回答相似準(zhǔn)數(shù)之間的關(guān)系問題例如：在決定動力相似的三個(gè)準(zhǔn)數(shù)Eu，Re，F(xiàn)r中，也必有一個(gè)是被動的，相互之間存在著依賴關(guān)系3. 相似第三定理凡是單值性條件相似，定型準(zhǔn)則數(shù)值相等的那些同類現(xiàn)象必定彼此相似相似第三定理回答了現(xiàn)象相似的充分和必要條

12、件 單值性條件是指那些有關(guān)流動過程特點(diǎn)的條件。單值性相似包括幾何相似、邊界相似和初始條件相似，以及由單值性條件中的物理量所組成的相似準(zhǔn)則在數(shù)值上相等。第三節(jié) 相似準(zhǔn)則一、相似準(zhǔn)則即：在兩種相似的流動中，原型與模型相應(yīng)點(diǎn)的牛頓數(shù)是相等的。1. 牛頓相似準(zhǔn)則 設(shè)原型與模型相應(yīng)點(diǎn)上的慣性力為FIn和FIm，特征慣性力為FIn0和FIm0。根據(jù)動力相似條件：以符號牛頓數(shù)Ne表示比值，則有：2.雷諾準(zhǔn)則雷諾數(shù)是慣性力Fl與黏性力F的比值，即 如果在兩種相似的流動中，當(dāng)黏性力起主導(dǎo)作用時(shí)，原型流動和模型流動的相應(yīng)點(diǎn)上雷諾數(shù)相等。這就是黏性力相似準(zhǔn)則，也稱雷諾相似準(zhǔn)則。原型和模型相應(yīng)點(diǎn)上的慣性力和黏性力的量

13、綱形式為如果兩種流動是相似的，則有或即3.弗洛德準(zhǔn)則 弗洛德數(shù)Fr表征了重力對動力相似的影響，是慣性力Fl與重力FG的比值：弗洛德準(zhǔn)則適應(yīng)于重力起主導(dǎo)作用的流動設(shè)原型和模型相應(yīng)點(diǎn)上的重力FGn和FGm分別為如果兩種流動是動力相似的，則有即4. Eu數(shù)（歐拉數(shù)）Eu數(shù)是壓力與慣性力之比流體流動以動水總壓力為主要作用力的情況： 當(dāng)壓力起主要作用時(shí)，動力相似有： 一般情況下，兩流體的雷諾數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等；兩流體的弗汝德數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等。只有出現(xiàn)負(fù)壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數(shù)相等來保證液流相似。 5. Ma數(shù)（馬赫數(shù)）Ma數(shù)為慣性力與壓縮力之比 當(dāng)彈性力起主要作用時(shí)，如水擊、空氣動力

14、學(xué)中的亞音速或超音速運(yùn)動等，動力相似有： 綜上所述，動力相似可以用相似準(zhǔn)數(shù)表示，若原型和模型流動動力相似，各同名相似準(zhǔn)數(shù)均相等，如果滿足則稱為完全的動力相似。但是事實(shí)上，不是所有的相似準(zhǔn)數(shù)之間都是相容的，滿足了甲，不一定就能滿足乙。因此，要使兩者達(dá)到完全的動力相似，實(shí)際上辦不到，我們尋求的是主要?jiǎng)恿ο嗨?。要達(dá)到主要?jiǎng)恿ο嗨凭蛻?yīng)該根據(jù)所研究或所需解決的原型流動性質(zhì)來確定決定性相似準(zhǔn)數(shù)。第四節(jié) 模型設(shè)計(jì) 最權(quán)威的實(shí)驗(yàn)就是原型或?qū)嶓w實(shí)驗(yàn)，但隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，出于經(jīng)濟(jì)和技術(shù)上的限制，這種實(shí)驗(yàn)將會遇到很大困難，特別是原型尚未出現(xiàn)之前，只能通過模型實(shí)驗(yàn)做出預(yù)測。1. 重力起主導(dǎo)作用的水力模型對于重力起主導(dǎo)作用的流動，應(yīng)保證模型和原型的弗洛德數(shù)相等按照弗洛德相似準(zhǔn)則可得出流速比例尺：通常 ，流量比尺：時(shí)間比尺：力的比尺：當(dāng)模型和原型的流體相同時(shí)， 對于黏性力起主導(dǎo)作用的流動應(yīng)保證模型與原型的雷諾數(shù)相等，需按雷諾相似準(zhǔn)則設(shè)計(jì)模型，2. 黏性力起主導(dǎo)作用的水力模型若采用與原型相同的介質(zhì)流速比尺為流量比尺為時(shí)間比尺為力的比尺為 對于重力和黏性力同時(shí)起主要作用的水流，若保證模型和原型