高一數學--函數的基本性質

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)函數的基本性質一、知識梳理1.奇偶性（1）定義：設函數的定義域為，如果對于內任意一個，都有，且，那么這個函數叫做奇函數.設函數的定義域為，如果對于內任意一個，都有，且，那么這個函數叫做偶函數.（2）如果函數不具有上述性質，則不具有奇偶性.如果函數同時具有上述兩條性質，則既是奇函數，又是偶函數.函數是奇函數或是偶函數的性質稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質.（3）由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個，則也一定在定義域內

2、.即定義域是關于原點對稱的點集.（4）圖象的對稱性質：一個函數是奇函數當且僅當它的圖象關于原點對稱；一個函數是偶函數的當且僅當它的圖象關于y軸對稱.（5）奇偶函數的運算性質：設，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇.（6）奇（偶）函數圖象對稱性的推廣：若函數的圖象關于直線對稱，則；若函數的圖象關于點對稱，則.2.單調性（1）定義：一般地，設函數的定義域為，區(qū)間.如果對于區(qū)間內的任意兩個值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調增函數，稱為的單調增區(qū)間；如果對于區(qū)間內的任意兩個值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調減函數，稱為的單調減區(qū)間.（2）函數的單調

3、性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質.（3）設復合函數，其中，A是定義域的某個區(qū)間，B是映射g : 的象集.若在 A上是增（或減）函數，在B上也是增（或減）函數，則函數在A上是增函數；若在A上是增（或減）函數，而在B上是減（或增）函數，則函數在A上是減函數.（4）奇偶函數的單調性奇函數在其對稱區(qū)間上的單調性相同；偶函數在其對稱區(qū)間上的單調性相反. 在公共定義域內：增函數增函數是增函數；減函數減函數是減函數；增函數減函數是增函數；減函數增函數是減函數.3.最值（1）定義：設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任意的I，都有M；存在I，使得M，那么，稱M是函數的最大值. 設函數

4、的定義域為I，如果存在實數滿足：對于任意的I，都有；存在I，使得，那么，稱是函數的最小值.（2）函數最大（?。┲凳紫葢撌悄骋粋€函數值，即存在I，使得M（）；函數最大（?。┲祽撌撬泻瘮抵抵械淖畲螅ㄐ。┱撸磳τ谌我獾腎，都有M（）.二、方法歸納1.利用定義判斷函數奇偶性的方法（1）首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；（2）確定與的關系；（3）作出相應結論：若或 0，則是偶函數；若或 0，則是奇函數.2.利用定義證明或判斷函數單調性的步驟（1）任取，D，且； （2）作差；（3）變形（通常是因式分解和配方）；（4）定號（即判斷差的正負）；（5）下結論（即指出函數在給定的區(qū)間D

5、上的單調性）.3.求函數最大（?。┲档?一般方法（1）求值域進而得到最大（?。┲?求函數的值域的常見方法：直接法、配方法、換元法、判別式法、數形結合法、反函數法、單調性法等等.（2）利用函數單調性的判斷函數的最大（?。┲?（3）利用函數的圖象求函數的最大（?。┲?；三、典型例題精講【例1】判斷下列函數的奇偶性.（1）； （2）. 錯解分析：（1）.顯然有，為偶函數.（2），于是且.為非奇非偶函數.解析：（1）的定義域為，即11.定義域不是關于原點對稱的數集，為非奇非偶函數.（2）的定義域為且，即11且0，此時.，為奇函數.技巧提示：正確判定函數的奇偶性，必須先考慮函數的定義域.又例:判斷下列函數

6、的奇偶性.（1）； （2）；（3）.解析：（1） 0，即11.此時，為奇函數.（2）當0，0時，；當0，0時，； 為奇函數.（3）的定義域為.此時函數化為0，. 既是奇函數又是偶函數.【例2】討論函數的奇偶性.解析：函數定義域為R，又.為偶函數.技巧提示：判斷函數的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應先考察函數的定義域，若函數的解析式能化簡，一般應考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程（要保證定義域不變）.如本題亦可先化簡：，顯然為偶函數.從這可以看出，化簡后再解決要容易得多.又例：證明函數為奇函數.解析：0為奇函數.再例：討論函數 （0）的奇偶性.解析： ， 要分0與0兩類討論.（i

7、）當0時，由，函數的定義域為 ，0， ，為奇函數；（ii）當0時，由，函數的定義域為，0， ，既不是奇函數，也不是偶函數.【例3】求函數的單調區(qū)間.錯解分析：設，為函數的單調遞減區(qū)間；為函數的單調遞增區(qū)間.又為的減函數，為函數的單調遞增區(qū)間；為函數的單調遞減區(qū)間.解析：設， 由得函數的定義域為， 區(qū)間和分別為函數的單調遞減區(qū)間和單調遞增區(qū)間.又，根據復合函數的單調性的規(guī)則，得區(qū)間和分別為函數的單調遞增區(qū)間和單調遞減區(qū)間.技巧提示：函數的單調區(qū)間是包含在定義域內的某個區(qū)間，因此，求函數的單調區(qū)間必須考慮函數的定義域.運用復合函數的單調性規(guī)則求函數的單調區(qū)間時，要考慮各個基本函數都要有意義.又例：

8、設函數（0），求的單調區(qū)間，并證明在其單調區(qū)間上的單調性.解析：在定義域內任取， ，0，0，0，只有當或時函數才單調.當或時0.（，）和（，）都是函數的單調減函數區(qū)間.【例4】設，是上的偶函數.求的值；（2）證明在上為增函數.解析：（1）依題意，對一切，有，即.對一切成立，則，即.，.（2）設，則，由，得，即，在上為增函數.技巧提示：兩小題都只要抓住偶函數、增函數的定義解決問題就不難.兩小題中變形的都是因式分解，第（2）小題的變形以容易判別符號為目標.又例：已知是定義在上的偶函數，且在上為減函數，若，求實數的取值范圍.解析：是上的偶函數且在上為減函數.由，有，即，解得1或2.再例：二次函數的二

9、次項系數為正，且對任意實數，恒有，若，則的取值范圍是_.解析：由二次函數的二次項系數為正，知函數的圖象為開口向上的拋物線，由，知2為對稱軸，于是有結論：距對稱軸較近的點的縱坐標較小.即,20.【例5】已知是定義在R上的增函數，對R有0，且1，設，討論的單調性，并證明你的結論.解析：在R上任取 、，設，是R上的增函數，且1，當5時01，而當5時1； 若5，則01，01，0， ； 若5，則1 ，1, 0，.綜上，在（，5）為減函數，在（5，）為增函數.技巧提示：該題屬于判斷抽象函數的單調性問題.抽象函數問題是函數學習中一類比較特殊的問題，其基本能力是變量代換、換元等，應熟練掌握它們的這些特點.又例

10、：已知函數的定義域關于原點對稱，且滿足：（1）；（2）存在正常數，使1.求證：（）是奇函數；（）是周期函數，并且有一個周期為4.解析：（）設，則所以函數是奇函數.（）令，則即，解得：0.于是有 .所以.因此，函數是周期函數，并且有一個周期為4.【例6】設函數.對任意，有恒成立，則實數的取值范圍是.解析：方法一 ：顯然0，由于函數在上是增函數，則當0時，不恒成立，因此0.當0時，函數在上是減函數，因此，當時，取得最大值，故恒成立等價于在上的最大值小于零，即，解，得1.于是實數的取值范圍是.方法二 ：顯然0，由于函數在上是增函數，則當0時，不恒成立，因此0.若0恒成立，因為，0，則需0恒成立，設函

11、數，則在時為增函數，于是時，取得最小值.解 ，得1.于是實數的取值范圍是.方法三 ：顯然0，由于函數在上是增函數，則當0時，不恒成立，因此0.因為對任意，恒成立，所以對，不等式也成立，于是，即，解 ，得1.于是實數的取值范圍是.技巧提示：這是一個“恒成立”問題函數，本題提供了三種解法，其中方法一和方法二較好地應用了函數的單調性.函數在和上都是增函數.在和上小于零；在和上大于零.又例：已知函數，（1）判斷函數的奇偶性； （2）若在區(qū)間是增函數，求實數的取值范圍。解析：（1）當時，為偶函數；當時，既不是奇函數也不是偶函數.（2）設， 由，得，又，要使在區(qū)間上是增函數，只需.即恒成立，解得.四、課后

12、訓練1.若函數為奇函數，則（ ） A. B. C. D.12.設函數和分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是（ ）A.|是偶函數 B.|是奇函數C.|是偶函數 D.|是奇函數3.已知定義在R上的奇函數和偶函數滿足，且，若，則（ ）A. B. C. D.4.函數是定義在上的奇函數，當時，得圖象如圖所示，那么不等式的解集是（ ） A. B. C. D.x31oy5.已知在R上是奇函數，且當時，則（ ）A.2 B.2 C.98 D.986.已知定義域為的函數在上為減函數，且函數為偶函數，則（ ）A. B. C. D.7.已知是奇函數，那么實數的值等于 .8.已知且，那么_.9.函數的單調增區(qū)間是_10.判斷函數的奇偶性.11.函數的定義域為D：，且滿足對于任意，有. （）求的值；（）判斷的奇偶性并證明； （）如果，且在上是增函數，求的取值范圍.五、參考答案1.答案：A 2.答案：A3.答案：B解析：