矩陣與數(shù)值分析金光日第2章-1gauss lu分解_第1頁
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文檔簡介

1、第二章矩陣變換和計算 本章討論的基本問題：1、矩陣的分解2、求解線性方程組求解線性方程組的總體構想：構造容易求解的等價方程組并解之.易解的線性方程組有哪些？有何簡單解法？ 1、下三角形方程組-前代法 2、上三角形方程組-回代法 構造易解的等價方程組需要對系數(shù)矩陣進行矩 陣 分 解2.1矩陣的三角分解及其應用 2.1.1Gauss消去法與矩陣的LU分解 Gauss消去法是首先將方程組化為等價的上三角形方程組，然后用回代法解等價方程組。例1 Gauss消去法求解線性方程組 第一步，消去、和中的，即用 、和得 第二步，消去和中的，即用 和得 第三步，消去中的，即用 得 Gauss消去法的實質是首先通

2、過一系列的初等行變換將增廣矩陣 化成上三角矩陣 ，然后通過回代法求等價方程組的解 上述為回代求解過程，得我們來觀察Gauss消去法解時，增廣化成上三角矩陣 的過程，其 矩陣中解=三次消元過程寫成矩陣變換（Gauss變換）的形式分別為：那么，對于這些單位下三角陣而言，就有：這樣一來，例題中的計算過程可以表示為令可以很容易地得到L的表達式：那么這就得到矩陣A的一個LU分解。 對于n階方陣A, 定義2.1 =如果存在n階單位下三角矩陣 L則稱其為矩陣A的LU分解, 也稱Doolittle分解。 從而有和 n 階上三角矩陣U，使得定理2.1 (矩陣分解的存在和唯一性) 如果的順序主子式均不為零, 則必

3、有單位下三角矩陣和上三角矩陣，使得, 而且和是唯一存在的 階矩陣Gauss消去法的計算量第一步運算量： (n-1)*(1+n)運算量： (n-2)*(1+n-1)=(n-2)n第二步：第k步：類似地做下去，運算量： (nk)*(1+nk+1)=(nk)(nk+2)n1步以后，我們可以得到變換后的矩陣為：因此，總的運算量為：加上解上述上三角陣的運算量(n+1)n/2，總共為：當n較大時，它和 同階的。解線性方程組的Doolittle算法例2 用Doolittle 解法解線性方程組其中其次，用前代法解=解 先做A的LU分解，得到解得最后，用回代法解解得公式法（待定系數(shù)法）求LU分解第一步用L的第一行依次乘以U的第一、二、三、四列，得 先求U的第一行： 再求L的第一列：依次用L的第二、三、四行乘以U的第一列，得先求U的第二行：第二步用L的第二行依次乘以U的第二、三、四列，得再求L的第二列：依次用L的第三、四行乘以U的第二列，得第三步 用L的第三行依次乘以U的第三、四列，得先求U的第三行： 再求L的第三列： 用L的第四行乘以U的第三列，得第四步 求U的第四行：用L的第四行乘以U的第四列，得緊湊

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