第一篇微積分模型

1、PAGE 1PAGE 81第一篇 微積分模型在微積分部分的應(yīng)用實例中，通過對應(yīng)用問題建模主要培養(yǎng)應(yīng)用極限、連續(xù)、相對變化率、微元、無窮級數(shù)、最優(yōu)化和微分與差分方程等思想解決實際應(yīng)用問題的能力。函數(shù)的性質(zhì)包括分段性質(zhì)、單調(diào)性、奇偶性等，由函數(shù)的基本性質(zhì)可以產(chǎn)生對函數(shù)進行分類的方法。與函數(shù)基本特性相關(guān)的應(yīng)用實例有：市話費是降了還是升了，外幣兌換與股票交易中的漲跌停板，庫存問題與庫存曲線，“另類”的常量函數(shù)，蠓蟲分類的初等數(shù)學(xué)模型，核軍備競賽問題等。數(shù)列與函數(shù)的極限和函數(shù)連續(xù)性質(zhì)是處理變量變化過程的工具，應(yīng)用重要極限計算連續(xù)復(fù)利利率的計算，應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性和介值定理解決特殊的應(yīng)用問題。與極限和連續(xù)等

2、內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用實例有：從科赫雪花談起，復(fù)利、連續(xù)復(fù)利與貼現(xiàn)，出售相同產(chǎn)品的公司為什么喜歡扎堆，椅子為什么能放穩(wěn)等。導(dǎo)數(shù)、微分是函數(shù)的相對變化的極限過程，函數(shù)的特性和極值理論可以解決經(jīng)濟管理中的實際應(yīng)用問題，導(dǎo)數(shù)、微分在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用反映為邊際、彈性等。相關(guān)的應(yīng)用實例有：影子為什么那么長，邊際是什么？彈性是什么？商家應(yīng)該怎樣制定自己的價格策略？不同消費群體的需求彈性問題，機械與人工的調(diào)配問題，易拉罐的形狀，這批酒什么時候出售最好，該不該接受供貨商的優(yōu)惠條件，作者與出版商的利益沖突等。微元分析是微積分中一種重要的分析方法，特別是函數(shù)的連續(xù)求和歸結(jié)為該函數(shù)的積分。與積分和微元分析內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用實例

3、有：洛倫茲曲線與基尼系數(shù)，均勻貨幣流的總價值與投資回收期的計算，下雪時間的確定，第二宇宙速度是怎樣計算出來的等。離散變量的求和可以用無窮級數(shù)來表達，無窮級數(shù)的求和是一個極限過程。與無窮級數(shù)內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用實例有：最大貨幣供應(yīng)量的計算，政府支出的乘數(shù)效應(yīng)，運用現(xiàn)值計算進行投資項目的評估，談?wù)匌斖觅惻茔Ｕ?等。如果影響研究問題的主要因素有兩個或者兩個以上，則要用多元函數(shù)的微積分學(xué)來處理，涉及到多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、偏邊際、偏彈性和交叉彈性、條件極值等內(nèi)容。相關(guān)的應(yīng)用實例有：空調(diào)銷售量的預(yù)測，相互關(guān)聯(lián)商品的需求分析，衣物怎樣漂洗最干凈，拉格朗日乘數(shù)與影子價格等。變量的變化過程可以用微分方程或差分方程來描述，

4、通過對微分方程或差分方程的建立與求解，可以研究變量的形態(tài)和變化規(guī)律。與微分方程和差分方程相關(guān)的應(yīng)用實例有：人口模型，單種群動物模型，相對封閉環(huán)境中的傳染病模型，江河污染物的降解系數(shù)，怎樣計算固定資產(chǎn)的折舊，放射性元素衰變模型，市場上的商品價格是怎樣波動的，再談下雪時間的確定，溶液濃度模型，飼養(yǎng)物的最佳銷售時機，信貸消費中每月還款金額的確定，資源的合理開發(fā)與利用，從諾貝爾獎?wù)勂?，蛛網(wǎng)模型，梵塔問題，平面內(nèi)直線交點的個數(shù)，菲波那契數(shù)列的通項公式等。1.1 市話費是降了還是升了2001年1月1日起，我國的電訊資費進行了一次結(jié)構(gòu)性的調(diào)整，其中某地區(qū)固定電話的市話費由原來的每三分鐘（不足三分鐘以三分鐘計

5、）0.18元調(diào)整為前三分鐘0.22元，以后每一分鐘（不足一分鐘以一分鐘計）0.11元。那么，與調(diào)整前相比，市話費是降了還是升了？升、降的幅度是多少？若以、分別表示調(diào)整前后市話費與通話時間之間的函數(shù)關(guān)系，則有為便于二者進行比較，我們可以按具體的時段計算上述兩個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值及相應(yīng)的調(diào)價幅度，并列成如下的對照表，如表1.1.1。表1.1.1 兩個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值及相應(yīng)的調(diào)價幅度與對照表 0.180.360.360.360.540.540.543.600.220.330.440.550.660.770.886.49升降幅度22%8%22%53%22%43%63%80%不難看出，只有當(dāng)通話時間時，調(diào)

6、整后的市話費才稍微有所降低，其余的時段均比調(diào)整前有較大幅度的提高。評注1.理論依據(jù)：建立分段函數(shù)的方法及取整函數(shù)的應(yīng)用。2.應(yīng)用與推廣：許多以時間、重量、距離等為計量單位的收費系統(tǒng)，如場地租賃費、郵政信函及包裹的郵寄費、各類交通工具的行李運輸費等，通常都規(guī)定了最小的計量單位，且不足一單位的部分以一個單位計。此類問題均可以參照此例提供的方法借助取整函數(shù)建立函數(shù)關(guān)系。1.2 外幣兌換與股票交易中的漲跌停板按某個時期的匯率，若將美元兌換成加拿大元，幣面值增加12%；而將加拿大元兌換成美元，幣面值減少12%。今有一美國人準(zhǔn)備到加拿大度假，他將一定數(shù)額的美元兌換成了加元，但后來因故未能成行，于是他又將加

7、元兌換成了美元。經(jīng)過這樣一來一回的兌換，結(jié)果白白虧損了一些錢。這是為什么呢？對于這個問題，我們只要將兩種不同的兌換用函數(shù)關(guān)系表示出來進行分析，就不難發(fā)現(xiàn)造成他虧損的原因：設(shè)美元可兌換的加元數(shù)為，加元可兌換的美元數(shù)為，則（1.2.1）（1.2.2）于是，先把美元兌換成加元，可得的加元數(shù)為；再把這些加元兌換成美元，所得的美元數(shù)應(yīng)為，即顯然，他虧損了1.44%。之所以會出現(xiàn)這樣的結(jié)果，是因為兩種兌換所對應(yīng)的函數(shù)（1.2.1）和（1.2.2）不互為反函數(shù)。因為假若（1.2.1）和（1.2.2）互為反函數(shù)，則根據(jù)的性質(zhì)，應(yīng)有，他也就不會虧損了。類似的例子還有股票交易中的漲、跌停板。上海及深圳證券交易所為

8、抑制股票市場中的過度投機，規(guī)定了一只股票在一個交易日內(nèi)的漲、跌幅均不得超過10%的限制，分別稱之為“漲停板”和“跌停板”。假若某只股票第一個交易日漲停，而第二個交易日又跌停，則股價并不是簡單地回到原地，而是比上漲前更低了。這其中的道理與造成外幣兌換損失的原理是完全相同的。評注1.理論依據(jù)：反函數(shù)的性質(zhì)。2.應(yīng)用與推廣：本例給出了判定兩個函數(shù)之間不具備反函數(shù)關(guān)系的一個方法。參考文獻：李心燦等：高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例M.高等教育出版社.1997.8。 1.3 庫存問題與庫存曲線我們知道，不論是生產(chǎn)廠家還是商家，都要設(shè)置倉庫用來存貯原料或是商品，因此庫存問題也就成了他們都必須要面對的問題。如果在一個計

9、劃期內(nèi)（譬如說一年），生產(chǎn)廠家對原料（或商家對商品）的總需求量是一定的，則由于資金和倉庫容量的限制，不可能將全部原料或是商品一次性采購進來，因此一般情況下所采用的都是分批進貨的方法，于是就產(chǎn)生了相應(yīng)的庫存模型（也稱存貯模型），其中最簡單、也是最典型的一類就是“一致性存貯模型”。所謂，是在“一致需求，均勻消耗，瞬間入庫，不許短缺?！钡募僭O(shè)之下建立的模型。即在總需求一定的情況下，等量地分批進貨，并以均勻的速度消耗這些原料（或商品）。而當(dāng)一批原料（或商品）用完的時候，下一批原料（或商品）可以做到瞬間入庫進行補充而忽略不計搬運入庫的時間，從而不會有停工待料（或缺貨）的現(xiàn)象發(fā)生。其庫存量隨時間變化的情況

10、可以用圖1.3.1的庫存曲線來描述： Q q O T 2T 3T 4T t圖1.3.1 庫存曲線圖1.3.1中q表示每批進貨的數(shù)量（稱為“批量”）， T表示一個進貨周期?？梢钥闯?，在每一個進貨周期內(nèi)，庫存量都經(jīng)歷了一個由q均勻地遞減到0的過程。雖然每一天的庫存量都在發(fā)生變化，但我們用“削峰填谷”法不難得出此類存貯模型中的一個最典型的數(shù)量特征平均的日庫存量恰為批量的一半（如圖中的水平虛線所示）。于是，某個生產(chǎn)（或銷售）過程中總庫存費的計算就可以簡化為一致性存貯模型總庫存費批量單位庫存費用庫存時間這在實際操作中是非常方便的。評注：1. 理論依據(jù)：區(qū)間上線性函數(shù)的平均值。2. 應(yīng)用與推廣：一致性存貯

11、模型在經(jīng)濟批量問題中有著廣泛的應(yīng)用。1.4 “另類”的常量函數(shù)我們知道，所謂常量函數(shù)，是不論自變量如何變化、對應(yīng)的函數(shù)值都始終保持同一數(shù)值不變的函數(shù)，其函數(shù)表達式可表示為 （為常數(shù)）但是，也有一種常量函數(shù)，其表達式卻有點“另類”。例如，由計算機科學(xué)的創(chuàng)始人之一、美國的麥卡錫首創(chuàng)的“91函數(shù)”，就是一個用分段函數(shù)表示的常量函數(shù)，其定義如下： （為自然數(shù)）之所以稱之為“91函數(shù)”，是因為對于取1到100之間任一整數(shù)值時，恒有。下面，我們就根據(jù)91函數(shù)的定義，通過具體的計算來驗證這一點。先證明：然后，我們從最小的自然數(shù)1開始，逐個計算相應(yīng)的函數(shù)值：不難看出，隨著計算過程的延續(xù)，函數(shù)復(fù)合的層次越來越多

12、。為簡明起見，姑且用符號表示層的復(fù)合，則上述計算過程就可以簡記為注意到就是，而，所以 （1.4.1）代入上（1.4.1）式，可得 （1.4.2）而 于是，（1.4.2）式又化為不斷重復(fù)上述過程，即得類似地，還可以驗證此處就不再一一列舉了。至此，我們完全有理由感嘆“91函數(shù)”的構(gòu)造是如此的精妙！重復(fù)的計算不但沒有使人感到厭倦，反而讓人得到了極大的愉悅。可以毫不夸張地說，數(shù)學(xué)的無比魅力已經(jīng)在這里被展現(xiàn)得淋漓盡致了！感嘆之余，人們也許會問，用這種表達方式表示常量函數(shù)，“91函數(shù)”是不是唯一的一個呢？會不會有“92函數(shù)”、“93函數(shù)”或是“85函數(shù)”之類的函數(shù)存在呢？通過對“91函數(shù)”的仔細觀察與研究

13、，似乎可以發(fā)現(xiàn)其中的兩個常數(shù)“10、11”與“91”之間有如下的關(guān)系：于是我們就有了如下的猜想：設(shè)分段函數(shù) 其中、為自然數(shù)，且，則對于取1到100之間任一整數(shù)值時，恒有這個猜想是否成立，建議有興趣的讀者證明或驗證之。評注1. 理論依據(jù)：分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的計算。2. 應(yīng)用與推廣：仿照“91函數(shù)”的結(jié)構(gòu)，可以構(gòu)造出更多的用分段函數(shù)表示的常量函數(shù)。參考文獻：談祥柏: 樂在其中的數(shù)學(xué)M.科學(xué)出版社.2005.81.5 蠓蟲分類的初等數(shù)學(xué)模型兩種蠓蟲Af 和Apf 已由生物學(xué)家W.L.Grogna 和W.W.Wirth（1981年）根據(jù)它們的觸角長度和翅長加以區(qū)分?，F(xiàn)測得6只Apf 和9只Af 蠓蟲的

14、觸角長度及翅長的數(shù)據(jù)如下：Apf ：（1.14，1.78）、（1.18，1.96）、（1.20，1.86）、（1.26，2.00）、（1.28，2.00）、（1.30，1.96）Af ：（1.24，1.72）、（1.36，1.74）、（1.38，1.64）、（1.38，1.82）、（1.38，1.90）、（1.40，1.70）、（1.48，1.82）、（1.54，1.82）、（1.56，2.08）我們是否可以利用以上的已知數(shù)據(jù)，建立一種正確區(qū)分兩種蠓蟲的簡單方法？ 圖圖1.5.1如果我們把每一只蠓蟲的觸角長度及翅長都看作是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個點并描繪在坐標(biāo)紙上（如圖1.5.1所示），不難發(fā)現(xiàn)

15、Apf類蠓蟲大致分布在圖象的左上角，而Af類蠓蟲則大致分布在圖象的右下角。于是我們就可以找到一條直線，使兩類蠓蟲分隔在這條直線的兩側(cè)。為了找到這樣的直線（不妨稱之為“分隔線”），我們首先從代表兩類蠓蟲的點中分別找出和兩點，使這兩點與坐標(biāo)原點的連線、之間夾角最小，然后在線段上任選一點，則射線就是一條分隔線。若記則據(jù)此易求得點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，于是就是我們要求的分隔線的方程。為了方便地區(qū)分蠓蟲類別，我們還可以根據(jù)分隔線的方程構(gòu)造一個“判別函數(shù)”（1.5.1）對于任意一個蠓蟲標(biāo)本，利用這個函數(shù)的判別準(zhǔn)則是： 若，則；若，則。根據(jù)前面所提供的數(shù)據(jù)可知，A、B兩點的坐標(biāo)分別是， ，將其代入（1.5.1）

16、式，即可得到具體的判別函數(shù)（1.5.2）其中可取區(qū)間上的任一數(shù)值（譬如令）。然后我們將已知的15個樣本代入（1.5.2）式進行判別，可知無一例外地均歸屬于原有的類別。這也說明此判別方法是簡單實用而且是有效的。需要指出的是，當(dāng)我們利用上述判別函數(shù)對未知類別的蠓蟲進行分類時，如果某樣本點使得較大，則說明點遠離分隔線，或者說點落在之外，因而據(jù)此所分的類別就可以認為是基本正確的；如果某樣本點使得較小（譬如小于0.1），則說明點與分隔線的距離較近，甚至是落入之內(nèi)，則此時的分類就有可能產(chǎn)生“誤判”。對這種情況，通?？筛鶕?jù)分類的目的采用修改數(shù)值的方法進行二次判別，有興趣的讀者可參閱有關(guān)的書籍。評注1.理論依

17、據(jù)：直線方程的建立以及由此推出的“判別函數(shù)”的構(gòu)造方法。2.應(yīng)用與推廣：以直線劃分平面的思想來進行二維點集聚類的方法也可以推廣到用平面（或曲面）劃分空間的方法進行三維點集的聚類。參考文獻：李尚志：數(shù)學(xué)建模競賽教程M.江蘇教育出版社.1996.61.6 核軍備競賽問題進入20世紀(jì)50年代以來，當(dāng)一部分國家擁有一定數(shù)量的核武器之后，其他的國家出于自身安全的考慮，同時也是為了打破“核壟斷”、“核訛詐”，也必須發(fā)展一定數(shù)量的核武器，以保證在遭受第一次核打擊之后，仍然能有足夠的核武器保留下來，給對方以致命的還擊。那么，人們非常關(guān)心的是，在這場軍備競賽中，是否存在著一個相對穩(wěn)定的區(qū)域，即雙方都認為他們各自

18、擁有的核武器數(shù)量是可以保證自身安全的呢？ x=f(y) y 雙方安全區(qū)yM 乙方安全區(qū) M y=h(x) y0 甲方安全區(qū) 0 x0 xM x圖1.6.1設(shè)甲乙雙方擁有的核武器數(shù)量分別為x和y，對于甲方來說，x的數(shù)量是依賴于y的，即存在某個單調(diào)增加的函數(shù)，可使甲方認為他們根據(jù)這個函數(shù)確定的核武器數(shù)量足以與乙方相抗衡，因此這個函數(shù)的曲線也稱為甲方的“安全線”。通常，甲方實際生產(chǎn)的核武器數(shù)量一般都要滿足，以確保自身的安全。反映在圖象（1.6.1）上，表示的是曲線右側(cè)的區(qū)域，稱之為“甲方安全區(qū)”。至于曲線與x軸的交點，則表示當(dāng)乙方 的核武器全部用完時（y=0），甲方只要保存枚核武器，就能給乙方以致命

19、的打擊（如圖1.6.1所示）。同理，乙方也有自己的安全線，這條曲線的上方即為“乙方安全區(qū)”， 是甲方的核武器全部用完時（x=0）乙方存有的核武器數(shù)量。兩個安全區(qū)的公共部分稱為“雙方安全區(qū)”，也就是說，當(dāng)雙方的核武器數(shù)量都落入這個區(qū)域內(nèi)時，彼此都會有一種安全感，因而這一輪的核軍備競賽就暫時進入了一個相對穩(wěn)定的時期?？梢宰C明，在第一次打擊不能完全摧毀對方全部核武器的情況下，圖中兩條單調(diào)的曲線 和 必相交，它們的交點稱為平衡點，和分別是甲乙雙方都感到安全時所擁有核武器的最少數(shù)量。評注1.理論依據(jù)：曲線對平面的劃分。2.應(yīng)用與推廣：在市場經(jīng)濟的環(huán)境中，相互競爭雙方的博弈策略也可以用類似的方法來描述。參

20、考文獻：沈繼紅等：數(shù)學(xué)建模M.哈爾濱工程大學(xué)出版社.1996.5 1.7 從科赫雪花談起1906年，數(shù)學(xué)家科赫（H.Von Koch）在研究構(gòu)造連續(xù)而不可微函數(shù)時，提出了構(gòu)造能夠描述雪花形狀曲線的方法：圖1.7.1科赫曲線將一條線段三等分，先以中間的一段為底邊作一個正三角形，然后再去掉這個正三角形的底邊，于是我們可以得到一條由4條長度為原線段長度三分之一的線段構(gòu)成的折線。 如果我們對構(gòu)成這條折線的每一條線段不斷重復(fù)上述的步驟，得到的曲線就是所謂的“科赫曲線”（如圖1.7.1所示）。 現(xiàn)在，我們作一個邊長為a的正三角形，然后在這個正三角形的每條邊上不斷重復(fù)上述的變換，便可以得到科赫雪花圖案。圖1

21、.7.2給出的就是從一個正三角形開始依次進行了五次變換后所得到的結(jié)果：圖1.7.2 科赫雪花若記、分別表示第n步變換后的科赫雪花的周長和面積，則周長依次為面積依次為于是，我們有上述結(jié)果表明，科赫雪花圖案的面積是有限的，但該圖形的周長卻趨于無窮大！此類問題是分形幾何研究的內(nèi)容之一，有興趣的讀者可以參閱有關(guān)的書籍。 評注1. 理論依據(jù)：分形與數(shù)列極限的計算。2. 應(yīng)用與推廣：科赫雪花圖案的面積是有限的，但該圖形的周長卻趨于無窮大，這在傳統(tǒng)的歐氏幾何學(xué)看來是多么的不可思議！而這恰恰又是分形幾何的魅力所在。分形幾何為描述自然界和社會系統(tǒng)中大量存在的不規(guī)則圖形和現(xiàn)象提供了相應(yīng)的思想方法，為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾

22、多領(lǐng)域的難題提出了全新的思路，具有重大的理論意義和實用價值。參考文獻：吳振奎：分形漫話J.讀者.1998.101.8 復(fù)利、連續(xù)復(fù)利與貼現(xiàn)復(fù)利與連續(xù)復(fù)利不是同一個概念。下面，我們以銀行存款的增長情況為例說明這個問題。設(shè)某顧客向銀行存入本金元，若存款的年利率為，試計算年后該顧客存款的本利之和。若每年結(jié)算一次，則第一年末的本利之和是 第二年末的本利之和是 第年末的本利之和是: （1.8.1）若每月結(jié)算一次（即每年結(jié)算12次），則月利率可以計，于是由（1.8.1）式可得第年末的本利之和是 若每天結(jié)算一次（即每年結(jié)算365次），則日利率可以計，于是由（1.8.1）式可得第年末的本利之和是 綜上可知，若

23、每年（期）結(jié)算次，則第年（期）末的本利之和應(yīng)為這里不論是多少次，只要是按上式計算本利之和的都稱之為“復(fù)利”。利用二項式定理可以證明，對任意的正整數(shù)，有這意味著每年（期）結(jié)算的次數(shù)愈多，則第年（期）末的本利之和就愈大。但這絕不意味著隨著結(jié)算次數(shù)的增加可以使第年（期）末的本利之和無限制地增大！事實上，我們只要計算一下時第年（期）末的本利之和的極限，就不難得出正確的答案：（1.8.2）在這個計算過程中，表明結(jié)算周期變得無窮小，這就意味著銀行要連續(xù)不斷地向顧客付利息，這種計利方式就稱為“連續(xù)復(fù)利”。搞清了復(fù)利與連續(xù)復(fù)利的概念，有助于我們了解資本市場上“資金的時間價值”與“貼現(xiàn)”等問題。一般地，我們將稱

24、為資金的“現(xiàn)值”，而將按年利率以依連續(xù)復(fù)利形式計算出來的稱為資金的“年未來值”。這就是資金的時間價值。了解了這一點，就可以在我們準(zhǔn)備進行某項投資時判斷該項投資是否有價值。顯然，如果投資的預(yù)期收益小于按年利率以依連續(xù)復(fù)利形式計算出來的年未來值，那還不如把資金存在銀行里。由公式（1.8.2），可得（1.8.3）利用（1.8.3）式可以在已知資金的“年未來值”的情況下求資金的現(xiàn)值 ，這個過程稱為“貼現(xiàn)”。例如，財政部過去曾經(jīng)發(fā)行過一種 “貼現(xiàn)國債”，老百姓只要花八十幾元錢，就可以買到面值百元的國債（到期后可到銀行兌付現(xiàn)金一百元），它就是用貼現(xiàn)的方法計算出來的。評注1.理論依據(jù)：第二個重要極限。2.應(yīng)

25、用與推廣：連續(xù)復(fù)利條件下資金的時間價值廣泛應(yīng)用于各類資本運作的決策過程。1.9 出售相同產(chǎn)品的公司為什么喜歡扎堆按照常理，一組出售相同產(chǎn)品的公司分布在不同的地理位置，可以讓顧客得到均衡的服務(wù)。然而事實卻恰恰相反，這些公司往往喜歡聚集在一起。例如，我們經(jīng)?？梢钥匆姴恢挂粋€電腦公司或者是服裝店彼此坐落在街對面或者是緊挨著。這是為什么呢？為了建立一個簡單而又直觀的數(shù)學(xué)模型來說明這個問題，我們首先假設(shè)：1. 、兩家公司位于一條直線距離為1公里的街上，點、分別表示它們各自所處的位置，其中、；2. 兩家公司出售同樣的產(chǎn)品，且質(zhì)量相同，價格也相同；3.個顧客沿街呈均勻分布，在同一個時期，每一個顧客都會購買一

26、個單位的產(chǎn)品；4.若兩個公司處于同一個位置，則每個公司都會獲得一半的顧客；若兩個公司處于不同的位置，則顧客將選擇去距離較近的公司購物。顯然，當(dāng)?shù)谝患夜具M駐這條街的時候，不論它坐落在哪個位置，都將獲得百分之百的市場份額。現(xiàn)在的問題是：另一家公司加入進來，怎樣選址，才能獲得最大的市場份額？第一家公司又該如何應(yīng)對呢？如圖1.9.1所示，不妨假設(shè)，即公司已經(jīng)位于距離左邊街口0.2公里處。下面，我們就來分析公司從左到右位于不同位置時各自市場占有率的變化情況： 圖1.9.1如果，即公司位于左邊的街口，此時兩公司之間的距離為0.2公里。于是只有兩公司之間靠左邊二分之一街區(qū)的顧客會去公司購物，其余的顧客都將

27、去公司購物，即公司的市場占有率為0.1，公司的市場占有率為0.9；如果公司從左邊向公司靠攏，則市場占有率就會不斷地均勻增加，譬如當(dāng)時，其市場占有率會上升至0.15。但只要是在公司左邊，其市場占有率就始終不會超過0.2。換言之，此時公司市場占有率的極限是0.2；然而，一旦公司確切到達點處時，兩個公司將平分市場，因為此時對顧客而言它們是無差別的。于是在點處，公司的市場占有率會突然從左極限值0.2不連續(xù)地躍升至0.5；接下來，如果公司繼續(xù)向右越過公司一個微小的距離，即，則其市場占有率將再一次從0.5不連續(xù)地躍升至0.8，因為在點右邊所有原先公司的顧客都將轉(zhuǎn)到公司購物。隨著公司繼續(xù)向右側(cè)移動，其市場占

28、有率又將從0.8不斷地均勻降低，特別地，當(dāng)時，公司到達了右邊的街口，此時在兩公司之間0.8公里的距離中，只有靠右邊二分之一街區(qū)的顧客會去公司購物，其余的顧客都將去公司購物，即公司的市場占有率為0.4，公司的市場占有率為0.6。如果我們用表示公司的市場占有率，則在的前提下，公司的市場占有率函數(shù)可表示為如圖1.9.2所示。 圖1.9.2 時的市場占有率 圖1.9.3 時的市場占有率如果將假設(shè)的改為任意的，則可以得到一般情況下公司的市場占有率函數(shù)圖1.9.3給出的是時的情形。通過以上的討論，我們可以得到兩個結(jié)論：1. 對于公司來說，如果公司的位置在街區(qū)偏左的位置，即，則選擇恰好在右邊緊挨著公司時將會

29、獲得大于50%的市場份額；同理，如果公司的位置在街區(qū)偏右的位置，即，則就要選在左邊緊挨著公司的位置；2. 對于公司來說，為了不給公司留下市場份額超過自己的機會，選擇在街區(qū)正中的位置可以保證自己的市場份額不低于50%。正是基于這個結(jié)論，所以在一條商業(yè)街中，首先進駐的公司往往希望自己剛好位于中心點，以獲取最大的市場份額；此時公司的最佳選擇是使自己位于街道另一邊的中心點。這樣，兩個公司都可以獲得50%的市場，如圖1.9.4所示.在這個模型中，研究市場份額函數(shù)的連續(xù)性極其重要，因為模型的解是在不連續(xù)點得到的。而且，當(dāng)市場份額函數(shù)的不連續(xù)點逐漸演變?yōu)檫B續(xù)點（由圖1.9.1到圖1.9.4）的時候，我們最終

30、得到了模型的均衡解，即兩個公司都位于中心點。顯然，改變這個結(jié)果不會使任何一個公司的情況變得更好。評注1. 理論依據(jù)：分段函數(shù)的連續(xù)性及其由不連續(xù)點到連續(xù)點的演化過程。2. 應(yīng)用與推廣：本例通過研究市場份額函數(shù)連續(xù)性的方法解釋了同類公司喜歡“扎堆”這種現(xiàn)象是理性公司利潤最大化行為的必然結(jié)果。類似的方法還可以討論兩個以上公司的選址問題。參考文獻：霍伊等著、張偉等譯：經(jīng)濟數(shù)學(xué) M.中國人民大學(xué)出版社.2006.121.10 椅子為什么能放穩(wěn)我們都有這樣的生活經(jīng)驗：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)。但只要稍微挪動幾次，就可以四腳著地放穩(wěn)了。這是什么道理呢？為了能用數(shù)學(xué)語言說明這個問

31、題，必須對椅子和地面作出一些合理的假設(shè)：1.椅子的四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處看作是一個點，四腳連線呈正方形；2.地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向不會出現(xiàn)間斷（如沒有臺階那種情況），即地面是數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；圖1.10.1 椅子四只腳位置示意圖O3.地面相對平坦，不會出現(xiàn)連續(xù)變化的深溝或凸峰，能夠使椅子在任何位置上至少有三只腳同時著地。這里的假設(shè)1是顯然的，假設(shè)2給出了椅子可以放穩(wěn)的條件，假設(shè)3則排除了三只腳無法同時著地的情況。下面，我們就在這些假設(shè)的基礎(chǔ)上建立椅子問題的數(shù)學(xué)模型。這里首先要解決的，是如何用數(shù)學(xué)語言把問題的條件和結(jié)論表示出來。如圖1.10.1所示，如果我們以 A、B、C、D表

32、示椅子的四只腳， 以正方形ABCD表示椅子的初始位置，則以原點為中心按逆時針將其旋轉(zhuǎn)角所得到的正方形就表示椅子位置的改變。換言之，椅子位置應(yīng)該是角的函數(shù)；另一方面，由于我們可以以椅腳與地面的豎直距離是否為零作為衡量椅腳是否著地的標(biāo)準(zhǔn)，而椅子旋轉(zhuǎn)就是在調(diào)整這一距離，因此該距離也應(yīng)該是角的函數(shù)；注意到正方形的椅子腿是中心對稱的，所以只要考慮兩組對稱的椅腳與地面的豎直距離就可以了。設(shè)A、C兩腳與地面距離之和為，B、D兩腳與地面距離之和為，顯然 且由假設(shè)2可知，、均為連續(xù)函數(shù)；由假設(shè)3可知，與中至少有一個為零，即對任意的，。不妨設(shè)時，有 于是，改變椅子的位置使其四腳著地，就歸結(jié)為證明下面的命題：已知、

33、均為的連續(xù)函數(shù)，對任意的，且、，證明至少存在一點，可使。注意到將椅子旋轉(zhuǎn)后對角線AC與BD交換,于是由、知 設(shè)輔助函數(shù) ，則在區(qū)間上連續(xù)，且 故由零點定理可知，至少存在一點，使得，即；又因為對任意的，所以與中至少有一個為零，故由以上模型的建立與求解過程不難看出，關(guān)鍵是選擇了變量表示椅子的位置，以及用的兩個函數(shù)表示椅腳與地面的距離，并且把問題的條件和結(jié)論翻譯成了數(shù)學(xué)語言。至于利用中心對稱和旋轉(zhuǎn)并不是本質(zhì)的東西。作為練習(xí)，請讀者求解下面的“爬山問題”：某游客計劃用兩天的時間游覽泰山。第一天上午七時開始登山，邊走邊看，共用了5個小時到達了山頂。第二天早晨看完日出之后，于上午七時開始按原路下山，回到起

34、點時也用了5個小時。試建立數(shù)學(xué)模型，證明在上下山的過程中至少有一次是在同樣的時刻經(jīng)過同樣的地點。評注1. 理論依據(jù)：函數(shù)的連續(xù)性與零點定理的應(yīng)用。2. 應(yīng)用與推廣：本例在合理假設(shè)的前提下，通過構(gòu)造輔助函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，并以零點定理為工具求解，用數(shù)學(xué)語言解釋了放在不平地面上的椅子的平穩(wěn)問題。對于文中提出的爬山問題，也可以仿照本例提供的方法，通過構(gòu)造輔助函數(shù)求解，其中表示登山者上山時在時刻所處的位置與山腳的距離，表示登山者下山時在時刻所處的位置與山腳的距離。參考文獻：常大勇等：經(jīng)濟管理數(shù)學(xué)模型M.北京經(jīng)濟學(xué)院出版社.1996.121.11 影子為什么那么長當(dāng)人們夜晚在馬路上行走時，如果身后有一盞路

35、燈，就會看到前方的路面上留下了一條長長的身影，而且人影移動的速度明顯比人行走的速度快了許多。下面，我們就用導(dǎo)數(shù)來解釋這種現(xiàn)象。 圖1.11.1如圖1.11.1所示，表示路燈與地面的距離，表示人的身高，人沿著軸的正向前進。如果人在時刻由燈下的點前進至點，那么人的影子則從點“前進”至點，換句話說，時刻影子移動的距離即為線段長度。由導(dǎo)數(shù)的物理意義知，就表示影子移動的速度。由于，所以 ，由此可求得 假設(shè)人以勻速行走，速度為，則時刻行走的距離，于是從而有如果我們以燈高米、身高米、速度（米/秒）計算，即可求得影子移動的速度為（米/秒）這比人行走的速度要快多了。評注1.理論依據(jù)：對作直線運動的物體來說，如果

36、位移可以表達為時刻的函數(shù)，則即表示時刻物體移動的速度。2.應(yīng)用與推廣：任何一個可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，都可以理解為因變量相對于自變量的變化“速度”，如總產(chǎn)量對時間的增長速度、利潤對產(chǎn)量的變化速度等。1.12 邊際是什么“邊際”是經(jīng)濟學(xué)文獻中經(jīng)常出現(xiàn)的一個詞匯，如“邊際成本”、“邊際利潤”、“邊際效用”等等。那么，這里所說的“邊際”是什么含義？下面，我們就以“邊際成本”為例來說明這個問題。設(shè)某產(chǎn)品的總成本是產(chǎn)量的函數(shù)于是，當(dāng)產(chǎn)量為時，總成本即為。如果在此基礎(chǔ)上產(chǎn)量增加單位，那么總成本相應(yīng)的改變量為它與的比值表示產(chǎn)量由到這段生產(chǎn)過程中，平均每增加一個單位產(chǎn)量時總成本的改變量，即在這段生產(chǎn)過程中總成本的平均

37、變化率。顯然，越小，比值就越接近于產(chǎn)量為時增加一個單位產(chǎn)量時總成本的改變量。如果當(dāng)時，的極限存在，則在經(jīng)濟學(xué)上就把該極限值稱為產(chǎn)量為時的邊際成本。由導(dǎo)數(shù)定義可知，這里的邊際成本，實際上就是在點處總成本對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)，也就是產(chǎn)量為時總成本的變化率，即總成本的增長速度。注意到較小時，總成本在處的改變量可以用總成本的微分來近似，即于是，當(dāng)時，有這表明，當(dāng)產(chǎn)量達到時，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)量，總成本的增加值可以用邊際成本近似地表示。在經(jīng)濟學(xué)中，通常略去“近似”二字，將邊際成本解釋為：當(dāng)產(chǎn)量達到時，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的總成本為，或者說是生產(chǎn)第單位產(chǎn)品所需要的生產(chǎn)成本為。從以上的討論不難看出，所謂邊際成本，

38、實際上就是總成本對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)。一般地，在經(jīng)濟學(xué)中，某經(jīng)濟總量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為該經(jīng)濟量的邊際函數(shù)。例如，若收益是產(chǎn)（銷）量的函數(shù)，則就稱為邊際收益函數(shù)；若利潤是產(chǎn)（銷）量的函數(shù)，則就稱為邊際利潤函數(shù)。它們分別近似地表示產(chǎn)（銷）量為時再產(chǎn)（銷）一個單位產(chǎn)品所增加的收益和利潤。類似地，在經(jīng)濟學(xué)中還有邊際需求、邊際供給等等。根據(jù)邊際函數(shù)與邊際量的求法及它們所表示的經(jīng)濟學(xué)含義，我們就可以對一些經(jīng)濟現(xiàn)象進行量化的“邊際分析”。例如，如果某產(chǎn)品投放市場獲得的利潤是日產(chǎn)量（噸）的函數(shù)（元）則邊際利潤函數(shù)就是（元 / 噸）于是，當(dāng)日產(chǎn)量分別為30噸、45噸時的邊際利潤為（元/噸） （元/噸）上述結(jié)果表明，當(dāng)日產(chǎn)量

39、為30噸時，再增產(chǎn)1噸，利潤可望增加約60元；而當(dāng)日產(chǎn)量為45噸時，再增產(chǎn)1噸，利潤將減少約30元。特別需要指出的是，如果我們令 可得，即，這表明當(dāng)日產(chǎn)量為40噸時，再增產(chǎn)1噸，利潤已經(jīng)不再增加，經(jīng)過進一步的判定可知，此時企業(yè)獲得的利潤是最大的。評注1. 理論依據(jù)：導(dǎo)數(shù)的概念及其經(jīng)濟學(xué)含義。2. 應(yīng)用與推廣：邊際概念的建立，把導(dǎo)數(shù)引入了經(jīng)濟學(xué)，從此許多經(jīng)濟現(xiàn)象開始由定性分析轉(zhuǎn)入了定量分析，從而為推動經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展作出了卓越的貢獻。 1.13 彈性是什么“彈性”是經(jīng)濟學(xué)文獻中經(jīng)常出現(xiàn)的另一個重要詞匯，如“需求的價格彈性”、“消費的收入彈性”、“市場彈性與企業(yè)（產(chǎn)品或服務(wù)）彈性”等等。那么，這里所說

40、的“彈性”又是什么含義？要解釋清楚這個問題，可以先從“需求的價格彈性”談起。先介紹一個與彈性相關(guān)的概念絕對改變量與相對改變量。設(shè)變量由初值改變到終值，則稱為變量在處的（絕對）改變量，稱為變量在處的相對改變量。不難看出，絕對改變量指的是改變量的具體數(shù)值，而相對改變量則描述了改變量相對于初始值的變化幅度（后者常常用百分?jǐn)?shù)來表示）。從某種意義上說，相對改變量更能反映變化的實質(zhì)。例如，某品牌服裝的價格從160元降為80元和某品牌空調(diào)的價格從2060元降為1980元相比，其價格的絕對改變量均為元，但服裝的降價幅度是，而空調(diào)的降價幅度還不到。從以下的具體實例中，我們可以發(fā)現(xiàn)相對改變量與彈性之間有著十分密切

41、的關(guān)系。假設(shè)某百貨公司根據(jù)市場需求對金飾品的價格進行了調(diào)整，由銷售記錄，可以得到調(diào)價前一周和調(diào)價后一周金飾品銷售價格和需求量（即銷售量）的有關(guān)數(shù)據(jù)如表1.13.1。表1.13.1 調(diào)價前后金飾品的售價和需求量調(diào)價前調(diào)價后單價需求量單價需求量420元350克399元420克現(xiàn)在就讓我們借助于絕對改變量和相對改變量的概念，根據(jù)以上的數(shù)據(jù)設(shè)計出一個指標(biāo)，使之能從數(shù)量上反映出金飾品價格波動對需求量的影響程度。第一步，我們要分別計算出價格和需求量的絕對改變量和相對改變量：價格的絕對改變量和相對改變量為（元），需求量的絕對改變量和相對改變量為（克），上述結(jié)果表明，降價5，使得金飾品的需求量增加了20；第二

42、步，計算需求量的相對改變量是價格相對改變量的倍數(shù)：由比值可知，需求量的變動幅度是價格變動幅度的4倍，也就是說，若價格平均變動1，需求量將隨之變動4（這里的負號表示需求量和價格變動方向相反，即價格上浮，需求減少；價格下調(diào)，需求增加）。顯然，我們第二步得到的這個指標(biāo)從數(shù)量上比較精確地描述出了金飾品價格波動對需求量的影響程度。以上所討論的雖然只是金飾品價格在和兩點之間需求量受價格影響的平均變動情況，但卻給我們提供了度量價格波動對需求量影響程度的一種方法。如果我們把這種處理問題的方法推廣到更一般的情形，就得到了“需求量的價格彈性”（簡稱“需求彈性”）的概念：設(shè)某商品需求量是價格的函數(shù)，則稱為該商品在價

43、格與兩點間的需求彈性，記為，即它表示在區(qū)間上，價格波動1%，需求量平均變動。特別地，若當(dāng)時，與之比的極限存在，則稱此極限值為該商品在價格為時的需求彈性，記為，即它表示在價格為時，價格波動1%，需求量將隨之變動約。兩點間的彈性稱為“弧彈性”，點處的彈性稱為“點彈性”。不難看出，我們在上面所舉實例中計算的正是在價格為420元399元兩點間金飾品需求量對價格的弧彈性。由于價格升高（）會導(dǎo)致需求量的降低，所以需求函數(shù)一般都是價格的單調(diào)減函數(shù)，從而需求彈性一般也都是負值。這也是為什么需求量變動的幅度要表示為的原因。由需求彈性的概念可知，如果某商品需求彈性的絕對值大于1，則說明需求量變動的幅度大于價格變動

44、的幅度，也就是說價格提高（或降低）1所引起的需求減少（或增加）的幅度將超過1。此時我們就稱該商品是“高彈性”的，或者說該商品的需求對價格波動的反映是敏感的，市場中的奢侈品多屬于這一類；反之，如果某商品需求彈性的絕對值小于1，則說明需求量變動的幅度小于價格變動的幅度，也就是說價格提高（或降低）1所引起的需求減少（或增加）的幅度不會超過1。此時我們稱該商品是“低彈性”的，或者說該商品的需求對價格波動的反映是不敏感的，市場中的生活必需品多屬于這一類。因此，需求彈性絕對值的大小實際上反映的是需求量對價格變動是否敏感的程度。不論是對同一種商品還是多種商品，用彈性來描述需求量對價格變動敏感的程度都比用邊際

45、來描述要方便的多，這是因為邊際（即導(dǎo)數(shù)）表示的是變化率，是有單位的；而彈性表示的是“相對變化率”，是無量綱化的。更重要的是，需求彈性在經(jīng)濟學(xué)中還有許多其它的應(yīng)用，因而是一個非常重要的概念。仿照需求彈性的定義，還可以得到一般函數(shù)彈性的概念：可導(dǎo)函數(shù)在處的相對變化率稱為函數(shù)在處的彈性，記為，即它表示自變量在處變動1%時，因變量將隨之變動約。評注1.理論依據(jù)：函數(shù)相對變化率的概念、含義及計算方法。2.應(yīng)用與推廣：彈性與彈性分析在需求與價格理論中有許多重要的應(yīng)用，是一個非常重要的概念。1.14 商家應(yīng)該怎樣制定自己的價格策略“降價促銷”是商家銷售商品時經(jīng)常要打的一張“牌”，然而是不是所有的商品都能采用

46、這種價格策略、以及采用這種價格策略的效果如何卻不能一概而論。事實上，對于這個問題，我們只要深入研究價格波動過程中所產(chǎn)生的改變量對收益改變量的影響，就可以找到正確的答案。我們知道，收益是價格與銷售量（即需求量）的乘積，即根據(jù)微分用于近似計算的原理，當(dāng)價格改變量的絕對值較小時，收益的改變量可以用收益的微分來近似，即（1.14.1）聯(lián)想到需求彈性，因此通過提取，可將（1.14.1）式化為由于需求彈性，所以上式又可改寫為這個表達式向我們揭示了需求彈性在價格規(guī)律中所起的重要作用，具體分析如下：當(dāng)時，商品是高彈性的。此時要使收益有所增加（即），必須，即需要采取降價促銷、薄利多銷的策略； 當(dāng)時，商品是低彈性

47、的。因為此時需求量變動的幅度小于價格變動的幅度，所以即使?jié)q價也不會造成銷售量大幅度的降低。而單價的提高（）同樣可以保證收益的增加（）。故此時適當(dāng)?shù)靥岣邇r格才是正確的應(yīng)對措施；作為一種特殊的情況，如果，則稱商品是單位彈性的。由于此時需求量變動的幅度與價格變動的幅度相等，因而也就沒有對現(xiàn)行價格進行調(diào)整的必要了。評注1. 理論依據(jù)：微分的計算與應(yīng)用以及需求彈性在價格規(guī)律中所起的作用。2. 應(yīng)用與推廣：需求彈性的大小對制定銷售策略和合理確定價格有重要的參考價值。1.15 不同消費群體的需求彈性問題文獻1中有一道這樣的練習(xí)：“假設(shè)某商品的50%為75個消費者購買，他們每個人的需求彈性為，另外50%為25

48、個消費者購買，他們每個人的需求彈性為，試問這100個消費者合計的彈性為多少？”這個練習(xí)涉及到一個很普遍的現(xiàn)象：若干個消費群體購買同一種商品，且各個消費群體的需求彈性各不相同。那么在這種情況下，該商品總的需求彈性應(yīng)該如何計算？它是否與每個消費群體的人數(shù)有關(guān)？下面我們就來討論這一個問題。為簡單起見，我們假設(shè)購買同一種商品的只有A、B兩個消費群體，其人數(shù)分別為m、n ，需求彈性分別為和。如果記A、B兩個消費群體各自的需求量分別為、，且其中消費群體A中每個人購買商品的數(shù)量為，消費群體B中每個人購買商品的數(shù)量為，則該商品總的需求量為（1.15.1）而在消費群體A中，每個人的需求彈性都可以表示為（1.15

49、.2）在消費群體B中，每個人的需求彈性都可以表示為（1.15.3）于是，由（1.15.2）、（1.15.3）式可得（1.15.4）（1.15.5）故總的需求彈性 （1.15.6）將（1.15.4）、（1.15.5）代入（1.15.6）式，即得分析以上的推導(dǎo)過程和所得的結(jié)果，可以得出以下的兩個結(jié)論：1.不論m、n取什么數(shù)值，都不會對結(jié)果產(chǎn)生任何影響。這也就是說，該商品總的需求彈性只與兩個消費群體各自的需求彈性和需求比例有關(guān)，而與每個消費群體的人數(shù)無關(guān)；2.由于、分別表示A、B兩個消費群體各自的需求量占總需求量的比例（即概率），因此上述結(jié)果也表明，總的需求彈性恰好是各消費群體需求彈性的數(shù)學(xué)期望（即

50、平均值）！如果我們把上述的結(jié)果推廣到n個消費群體的情形，就可以得到更一般的結(jié)論：設(shè)有n個消費群體購買同一種商品，如果每個消費群體的需求量與需求彈性分別為 與，則總需求量對價格的彈性可表示為各消費群體需求彈性的數(shù)學(xué)期望。即這個結(jié)論可以幫助我們解決實踐中很多類似的問題。譬如說，某個企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品要銷往若干個地區(qū)，只要能估算出各地區(qū)的銷售量及需求彈性，就可以根據(jù)上述公式計算出總的需求彈性，這就為該企業(yè)制定相應(yīng)的價格策略提供了重要的參考依據(jù)。最后再讓我們回過頭來看看本文開頭提出的練習(xí)，極易計算出所求的彈性為這與文獻1用了大量的篇幅所計算出的結(jié)果是完全一致的。評注1. 理論依據(jù)：彈性的概念與計算。2.

51、應(yīng)用與推廣：如果某個企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品要銷往若干個地區(qū)，而每個地區(qū)的需求彈性又各不相同，則根據(jù)本例得到的公式可以方便地計算出總的需求彈性，這就為該企業(yè)制定相應(yīng)的價格策略提供了重要的參考依據(jù)。參考文獻：1 尹伯成：現(xiàn)代西方經(jīng)濟學(xué)習(xí)題指南（微觀經(jīng)濟學(xué)）M.復(fù)旦大學(xué)出版社.1993.1。1.16 機械與人工的調(diào)配問題某工程公司采用機械和人力聯(lián)合作業(yè)的形式在各個工地進行施工。經(jīng)長期統(tǒng)計分析知，每周完成的工程量與投入施工的機械臺數(shù)和工人人數(shù)之間有如下的關(guān)系：一個時期以來，工地一直是9臺機械和16名工人在施工。如果這個時候需要從工地抽調(diào)一臺機械支援工地，則應(yīng)補充多少名工人，才能使工地的工程進度不受影響呢？由于

52、工地現(xiàn)在每周的工程量為 因此，上述問題即轉(zhuǎn)化為在工程量41472保持不變的情況下，如何根據(jù)關(guān)系式 即 求出工人人數(shù)相對于機械臺數(shù)的變化率。利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，上式兩邊同時對求導(dǎo)，得從而當(dāng)、時，有于是這里的負號表示人數(shù)與機械臺數(shù)變化的方向正好相反，即這時減少一臺機械，大約需要增加3名工人才能使工程進度不受影響。評注1. 理論依據(jù)：變化率的“邊際”含義及隱函數(shù)求導(dǎo)法。2. 應(yīng)用與推廣：在許多實際問題中，如果兩個變量與之間可以建立起可導(dǎo)的函數(shù)關(guān)系（不論是顯函數(shù)還是隱函數(shù)），則就近似地表示自變量在處變化一個單位時因變量也隨之變化個單位。1.17 易拉罐的形狀我們知道，制造一個容積一定的罐頭狀圓柱形容器，

53、當(dāng)它的高與底面直徑相等時用料是最省的。然而易拉罐的形狀卻并非如此，它的高比底面直徑要大一些。這又是為什么呢？如果我們仔細地觀察一下易拉罐的結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)它的上、下底要比側(cè)壁厚一些。其實問題就在這里：我們原先的結(jié)論是建立在容器上、下底厚度與側(cè)壁相同的前提下推導(dǎo)出來的，如果厚度不同，結(jié)論當(dāng)然會有所不同。下面，我們就來討論在用料最省問題中圓柱形容器上、下底與側(cè)壁厚度對高與底面直徑之比的影響。設(shè)易拉罐的底面半徑為，高為，容積為。如果側(cè)壁的厚度是1個單位，上、下底的厚度是側(cè)壁厚度的倍，則所用材料的體積為令，得惟一駐點，易知它就是的極小值點，也是實際問題的最小值點，此時這表明，制造一個容積一定的罐頭狀圓柱

54、形容器，如果上、下底的厚度是側(cè)壁厚度的倍，則要使所用材料最省，高也應(yīng)該是底面直徑的倍。明白了這個道理，就不難理解為什么易拉罐要做成那樣的形狀了。評注1.理論依據(jù)：極值應(yīng)用中的用料最省問題。2.應(yīng)用與推廣：善于從熟知的結(jié)論中多問幾個為什么，是啟迪人們創(chuàng)新思維的有效方法之一。1.18 這批酒什么時候出售最好？*本問題為1998年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)四試題。某酒廠有一批新釀的好酒，如果現(xiàn)在就售出，總收入為元；如果窖藏年后按陳酒價格出售，則總收入為元。假定銀行的年利率為，并以連續(xù)復(fù)利計息，那么，這批酒窖藏多少年售出才能使總收入的現(xiàn)值最大呢？要解決這個問題，首先應(yīng)該搞清楚什么是“總收入的現(xiàn)值”。我

55、們知道，資金的時間價值體現(xiàn)在計算公式（1.18.1）之中，其中為資金的現(xiàn)值，為按年利率以連續(xù)復(fù)利計息的年未來值；另一方面，我們由（1.18.1）式又可以得到（1.18.2）公式（1.18.2）稱為“貼現(xiàn)”公式，根據(jù)這個公式就可以把按年利率以連續(xù)復(fù)利計息的年未來值折合成現(xiàn)值?，F(xiàn)在我們重新回到原來的問題之中。如果記年未總收入的現(xiàn)值為，則令 ，得唯一駐點 ；由于時，時，故是極大也是最大值點，即這批酒窖藏年售出可使總收入的現(xiàn)值最大。至于這批酒是現(xiàn)在出售還是窖藏起來待來日出售，取決于按上述方法計算出來的現(xiàn)值是否大于現(xiàn)在出售的總收入與窖藏成本之和，實際操作時根據(jù)具體情況是不難作出決策的。評注1. 理論依據(jù)

56、：資金未來值的貼現(xiàn)與收益的最大值。2. 應(yīng)用與推廣：不論是哪一類的經(jīng)濟活動，都不能忽視資金的時間價值。1.19 該不該接受供貨商的優(yōu)惠條件東風(fēng)化工廠每年生產(chǎn)所需的12000噸化工原料一直都是由勝利集團以每噸500元的價格分批提供的，每次去進貨都要支付400元的手續(xù)費，而且原料進廠以后還要按每噸每月5元的價格支付庫存費。最近供貨方的勝利集團為了進一步開拓市場，提出了“一次性訂貨600噸或以上者，價格可以優(yōu)惠5%”的條件，那么，東風(fēng)化工廠該不該接受這個條件呢？這里所涉及的實際上是如下的兩個問題：1. 東風(fēng)化工廠原來使總費用最低的進貨批量是多少；2.在新的優(yōu)惠條件下，原來已經(jīng)達到最低的總費用能不能繼

57、續(xù)降低。為簡單計，不妨假設(shè)東風(fēng)化工廠全年的生產(chǎn)過程是均勻的，于是第一個問題就可以轉(zhuǎn)化為“最優(yōu)經(jīng)濟批量問題”求解：設(shè)化工廠每批購進原料噸，則全年需采購次，從而支付的手續(xù)費為（元）另一方面，由于化工廠全年的生產(chǎn)過程是均勻的，根據(jù)一致性存貯模型（見1.3庫存問題與庫存曲線）知“日平均庫存量恰為批量的一半”，即噸，故全年的庫存費為 （元）。于是可得該化工廠全年化在原料上的總費用（原料費、庫存費與手續(xù)費之和）為（元）令 ，可得唯一駐點 再由時及時即知，是極大值點也是最大值點，即當(dāng)化工廠每批購進原料400噸時可使全年化在原料上的總費用最低。此時不難算得最低總費用為602.4（萬元），全年的采購次數(shù)為30。

58、現(xiàn)在，假如接受供貨方的優(yōu)惠條件，那就意味著批量要由原來的400噸至少提高到600噸。如果就以600噸計算，則全年的采購次數(shù)變成了20，平均庫存量也變成了300噸，這樣一來，原料費、庫存費、手續(xù)費都會發(fā)生相應(yīng)的變化。于是，全年的總費用變?yōu)椋ㄈf元）通過比較即知，只要庫房容量允許，將每批的進貨量由400噸提高到600噸，全年就可以節(jié)約資金（萬元）。因此供貨商的優(yōu)惠條件是應(yīng)該接受的。注意：由時知總費用函數(shù)當(dāng)批量時是單調(diào)增加的，既然已經(jīng)算得600噸是優(yōu)惠條件限制之下的最優(yōu)批量，因此當(dāng)批量超過600噸時我們是不予考慮的。評注1. 理論依據(jù)：求最優(yōu)批量，使總費用最低。2. 應(yīng)用與推廣：最優(yōu)批量問題廣泛應(yīng)用于

59、各類庫存管理與生產(chǎn)決策之中。1.20 作者與出版商的利益沖突一本新書上架以后，通常出版商會將該書的收入按一定的比例支付給作者作為稿酬，這就是所謂的“版稅”。銷量大，不但出版商可以獲得較大的利潤，作者獲得的版稅也會水漲船高，因此很多人會認為作者與出版商所期望達到的目標(biāo)應(yīng)該是一致的。其實不然，通過以下的分析，你會發(fā)現(xiàn)在市場需求的制約之下，作者與出版商所期望的銷量會有明顯的差異。先來看一個具體的例子：某作者準(zhǔn)備出版一本專著，并與出版商簽訂了按銷售收入10%的比例提取版權(quán)費的合同。假設(shè)該專著的印刷成本為每冊36元，市場需求為 （為銷售量，為價格）則作者的收益為令，得惟一駐點；再由知是極大值點，也是實際

60、問題的最大值點，即銷售50冊、每冊定價100元時作者獲得的收益最大，最大收益為元；而對于出版商來說，他的利潤必須要考慮付給作者版權(quán)費：令，得惟一駐點；再由知是極大值點，也是實際問題的最大值點，即銷售40冊、每冊定價120元時出版商獲得的利潤最大，最大利潤為元。此時作者的收益是元。事實上，作者與出版商之間的這種利益沖突總會產(chǎn)生而不是因為特殊例子的選擇。如果我們以表示版權(quán)費率，則作者的收益與出版商的利潤可以分別表示為如果是作者收益最大化時的銷售量，則應(yīng)該有 或 （1.20.1）如果是出版商利潤最大化時的銷售量，則應(yīng)該有 或 注意到邊際成本，所以又有（1.20.2）由于我們通常假設(shè)邊際收入隨產(chǎn)量的增