指對(duì)同構(gòu)（教師版）g

1、同構(gòu)基礎(chǔ)：切線不等式常見(jiàn)的指數(shù)放縮：exx + l(x = 0); / exx = 1)1Y常見(jiàn)的對(duì)數(shù)放縮：1 In % x- l(x = 1);ln x (% = ) xe一 _ (常見(jiàn)三角函數(shù)的放縮：xe 0, ,sinxx0且awl, x0時(shí): 有嘀=光(2)當(dāng) a0且awl 時(shí)，有l(wèi)oga=x 再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的法那么，可以得到下述結(jié)論(其中x0 )xe=eM;x + lnx = ln(xe)XX = ,nx:x-lnx = ln x2eA = eA+21nA;x+2Inx = In(x2e)(6)(6)x-21nxx-2nxx1x1X再結(jié)合常用的切線不等式lnxx.L lnx

2、x + lnx+1. x+lnx = ln(xe) g(x)-x3.解析：先證明 e2x + l(xR),且 ln(x + l)1).設(shè)尸(x) = e“x l ,那么 F(x) = e“ 1.因?yàn)楫?dāng) x0 時(shí)，F(xiàn)x) 0 ,所以b(x)在(8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x = 0 時(shí)，/(x)取得最小值/(0) = 0.所以/。)之/(0) = 0,即e2x + l(xR).所以ln(x + l)0.由e 2x + l (xe R), eA+, x + 2 (當(dāng)且僅當(dāng)x = 1時(shí)取等號(hào)).因 為x1, ml,且己川2% + 2與ln(x + l)Wx不同時(shí)取等號(hào)，所以e

3、”. In(x+1) 2 = ei e+1-ln(x+l)-2 e-1 (x + 2)-x-2 = (e1-l)(x+2)0.綜上得證。.函數(shù)x) = /7ie，-lnx-l.當(dāng)m時(shí)，證明：/(x) 1.設(shè)歹(x) = e”一x 1 ,那么/(x) = e”一1.尸(x)取得最小值/(0) = 0.所以b(x) Nb(0) = 0 ,即e2x + l (當(dāng)且 僅當(dāng)x = 0時(shí)取等號(hào))由e*2x + l(xR),得(當(dāng)且僅當(dāng)尤=1時(shí)取等號(hào)).所以lnx0)(當(dāng) 且僅當(dāng)x = l時(shí)取等號(hào)).再證明2e-lnx-20,因?yàn)閤0, ml,且e Nx + 1與lnxx-l不同時(shí)取等號(hào)， 所以*In九一2

4、根(尤+1)(工一1)一2 =(加一1)(% + 1) 0.綜上可知，當(dāng)機(jī)21 時(shí)，/(%)1.假設(shè)/(x) = xex + ax,a e R,g(x) = axaInx + alnx + (tz-l)x,當(dāng)(l,+o)時(shí)，假設(shè)/(x)之 g(x)恒成立，那么a 的取值范圍()解析:xex + ax axaInx + alnx + ax-x x + xex Inxae1n + 岳x構(gòu)造：%(%) = % + xex 單增,h(x) hInxa),。0 時(shí)，/nZ=a/x0，/. x Inxa aea Inx.函數(shù)(e辦1)加x =，x,(qo)在xi,+oo)有三個(gè)不同的解，求。的范圍?解析：

5、(一- 1)歷x = ax、(eaxx- elnx -2-ax,當(dāng)x = l時(shí)，成立當(dāng)xwl時(shí)，上一-ax Inx Inxex-1 ，又因?yàn)間(%) = -XThyI在 x 1,+oc)單增，ax = Inx a =tze (0,-) xe10/ 77 V.設(shè)實(shí)數(shù)；l0,假設(shè)對(duì)于任意的工(0,+8),不等式e 20恒成立，那么4的取值范圍？ A解析：e -2 0n AxeZx xlnx n AxeZK xlnx = ex Inex xlnx2令 / W = xlnx9： x e (0,-),/(%)e (-,+oo),/(x) T; v 1,所以 e % = Ax ta= A nvix =-

6、TOC o 1-5 h z eex c e.假設(shè)不等式找工Ox12乙對(duì)任意的0都成立，那么的取值范圍()鏟行 心歷歷x + l)_/+淑一(及尤+ x)_ + x.角牟刃亍:k 421, . z 1XXX./(x) =+ x 求/(x)最大值解析：/(x) = Ox + x /Ke = Ox + x +1 +A+I-lb C, a = -1,當(dāng)工+/加=0;1一2-/加=0等號(hào)成立。.不等式x +對(duì)x(l,+oo)恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍()ex解析：x + aInx+ xa n x + ex xa - alnx = ex - Inex x0 -In 不妨令 exf(x) = x-Inx,x

7、e (0,1) J,(1,+oo)個(gè)，所以當(dāng)xl=0 ex 0時(shí)，/與無(wú)法比擬，不滿足恒成立。x當(dāng) 0 n x e (0,1)ex xa n -x -a a 2(x + xt(efA +1) (x2 +l)/nx2 = (etA +1)/* (a:2 +l)/nx2 xr jO構(gòu)造：F(x) = (x + l)Inx,知產(chǎn)(%)在(0,+oc)Tx2 tx2Inxtt xe.不等式以A2)2x+/加+ 1恒成立，那么。得取值范圍為()答案：ci 2x+Inx + l xypx _ x _ Jnx _ 1Ixex - x Inx -x：. 1,( Tnx + 2x = 0)取等。.= /z(x)

8、min = :.2ala0 e-同構(gòu)：v A(x) = ex-x-l0,(x = l) /. /z(x-2) = ex-2-(x-2)-l = ex-2-x + l0,(x = 2) TOC o 1-5 h z .ex-hix-2 _彳(X _ I幾Q +1 = exllx- -(x- Inx) + 1 + (1-)(x- Jnx)= h(x - Inx- 2) + (1 - =)(x- Inx) 0 eeh(x-Inx-2) 0,(x-Inx= 2)取等，*/ x-Inx 1 .二 1 一二 2 0nq / e27.(焦作市2021屆高三一模理12)對(duì)任意的。/尺都有(A-之尻-幽 恒成立，

9、那么實(shí)數(shù)2的取值范圍()解析：(b a)2 be Xzi = (b be + An - 0 (b a)e /l(Z? a) + be 0構(gòu)造/(x) = xe一如，即/Sa)+ /()NO,由于為任意實(shí)數(shù)，一./(x)20n ,f(x) = x(/20 x = 0,滿足題意尢 X21 x0, e“420=；11綜上所述：2 = 112.函數(shù)/。）= /心+ 10恒成立，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍（）解析：由/（x） = E分+ 10得:T一八 、Inx+ Jnex rInexInx- ax+ l 6/ = e= ek” = 1x ex ex.函數(shù)/(x) = x + /nx,g(x) = x/hx,

10、假設(shè)/(%) = x +加x, g(x) =,假設(shè)/(再)=7h，,g(%2)= %，那么%也歷，的最小值()解析：% + 歷* = Int, x2Inx2 =t, eX+lnX = x2Inx2 = xxeX = Inx2eInx-構(gòu)造 h(x) = xex,單增,x = In% xx2Int - xInxlnt - tintxx2Int -Im.函數(shù)/(x) = xeg(x) = x7nx,假設(shè)/(2)=g(%)= / 0,那么的最大值(xx2解析：由題意：/(xj = xxeXx = 10=x 0;(%2) = x2Inx2 = 0 x2 1而：g(%2)- %歷W - Inx2eI,l

11、X2 = f(Inx2)f) = f(Inx2)Int 1xx2 eA. j z 、 x ,. /八 tiVrr11Tt Int r Int構(gòu)造 /z(x) = xe 在(0, + oo)單增 /. x = Inx2 xx2 = x2Inx2 = t =,v maxxx2 t t31 .函數(shù)/(x) = x 0 x,實(shí)數(shù)q0,假設(shè)/(x) + a/ +岳在(0,+oo)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍 ()解析1：由題意知Inx x+ Inx TOC o 1-5 h z xx I構(gòu)造 %(x) = x+0 x,因?yàn)閱卧觯矗篴ex xa a max =- exex /一 W xe* = e aIn

12、 xex a a a aaYXI構(gòu)造 /z(x) = xex,在 x0 單增，/. h(In-) /z(x) n In aae13 TOC o 1-5 h z 1A32 .假設(shè)X（O,）時(shí)，關(guān)于x的不等式依3*+2/內(nèi)。恒成立，那么實(shí)數(shù)。的最大值（）eO J yi x，J ri x1 I解析：axeCLX + 2InxOn axeax H- W 0 n axe -n axeax InXXXX構(gòu)造 /(x) = xex, f(ax) /(/,),. In-r e (2,+oo)且單增 X- X所以：ax x所以：ax 67x + In+1，切點(diǎn)：x + lnx = O=xo = 0.568X如果

13、我把原式X替換成了 x 1那么又變成了：切點(diǎn)：X = ,又可表示為：XA YX如果我把之勿中的x替換成了一那么又變成了：e-(x0) 切點(diǎn)：x = nx2 25、% x、e %2e2 一ne x ;24 TOC o 1-5 h z nn日 Y/3 丫3 對(duì)于常見(jiàn)的變換：e -ex -x3 32722,下面我對(duì)其原式“丟1換x”并進(jìn)行推廣:令.xdY2令 xY3令第一丫X如果我把原式1丟掉，那么變成了：，x；/二；/士 j 產(chǎn)二427nn派如果我把，工中%替換成一 次 ,那么變成了： X; 幽數(shù)-/ ，(x 4ex + -;ex 2x + 2-2In2 223 .常見(jiàn)函數(shù)的切點(diǎn)構(gòu)造X對(duì)于原式我們

14、還可以有：exx2+l； ex-x2+x + l.(泰勒展開(kāi))； 2ex + (x-l)2(x0). ex1 2- er ex + (x-l)2(x0).x.9L省級(jí)國(guó)家級(jí)期刊，正規(guī)CN ISSN刊號(hào)，新聞出版）總署備案.國(guó)家級(jí)優(yōu)質(zhì)課、微課、輔導(dǎo)獎(jiǎng)、優(yōu)秀論文評(píng)選等證7，書(shū)，3著作副主編、專著出書(shū)，正規(guī)ISBN書(shū)號(hào).國(guó)家級(jí)課題，可做個(gè)人團(tuán)隊(duì)掛名課題.實(shí)用新型專利申請(qǐng)晉職稱的老師，抓緊時(shí)間與我聯(lián)系。 微信同號(hào)）畢老師（身份可核實(shí)可以打?qū)~戶可開(kāi)發(fā)票） ,（可先加好友，備用信息）二.對(duì)數(shù)x 12/心切線的放縮的推廣.下面我對(duì)其原式“加減乘除”并進(jìn)行推廣: In(n + 1)- Inn.派如果我把原

15、式X替換成了 1 + X那么又變成了： （l + x）1）?。簒 =那么： In(n +1) - Inn,取: n nX如果我把原式x替換成了,那么又變成了： Inx-xInxx-XX.對(duì)均不等式的兩種證明與幾個(gè)重要的不等式鏈a-b /7、（a b兩個(gè)正數(shù)和h的對(duì)數(shù)平均定義：兩個(gè)正數(shù)和h的對(duì)數(shù)平均定義：na-nb對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系:（Q = /?）.4abLb）-（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式） 取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)。=時(shí)，等號(hào)成立.只證：當(dāng)aw時(shí)，力）包心.不失一般性，可設(shè)ab.證明如下: 2(I)先證：yabL(a,b) TOC o 1-5 h z (II)不等式 olna-l

16、nb。21nx 1)yjab b b axv bi211構(gòu)造函數(shù)/(x) = 21nx_Q_),(xl),那么/(x) = _l_r = _(l_)2. XXXX因?yàn)?1時(shí)，1(%)0,所以函數(shù)/(%)在(1,+OQ)上單調(diào)遞減，故/(%)1)(其中戶潞1)i 72(a b) i q b i 2(x-l)不等式=In q - In b0 In = In x a + bb(x + 1)b,、,2(x-l) z,14 (x I)?構(gòu)造函數(shù)g= ln% - E，(“l(fā))那么且二一百?gòu)S苦宗因?yàn)閤l時(shí)，g(x)o,所以函數(shù)g(x)在(1,+上單調(diào)遞增，故g(x)0,b0,W，那么土心”b 瓢，其中 b

17、為對(duì)數(shù)平均數(shù)。 2 In a-nbn a-nb.重要不等式鏈的證明 (x-) lnx, xe (0, 1)； TOC o 1-5 h z 2 xx+1_2 nx_L(%_L), xei,+oo).x + l2 x證明：構(gòu)造函數(shù)/(x) = lnx !(x L),那么/(x) = _L _L-!_ = _(z1L0 ,而 /(1) = 0,故當(dāng) 0 x (%)；當(dāng) x 三時(shí) Inx工(x). 2 x2 x2構(gòu)造函數(shù) g(x) = lnx-2a 0,那么，(x) =，4 ，?、22。，而/(1) =。，故當(dāng)0 xl 時(shí)，In x J ；x + 1% (x + 1) x(x + l)x + 1當(dāng)時(shí),

18、(證明對(duì)數(shù)平均不等式的常用模型).把上式中的*換成x+l得:XG(-l,0；1 (1 2 九=-x + 1ln(x + l)21X +1Jx+22x 八/ 八 , 1 x(x + 2) 八 、ln(x + l), x e 0,+oo).x+22x+1所以，整理得：光22尤X 11 X-(l + x)-(l + x -)0)2 x + 2J1 + x 21 + x5e 11 IX- 7n(l + x) 2 x + 2犬2 x- x,(-l x 0)21 + x ,Jl + x2-x e-0) Xxx In(l + x) + xl + xex l-xXX1)同構(gòu)基礎(chǔ)：常見(jiàn)的同構(gòu)函數(shù)圖像A函數(shù)表達(dá)式

19、圖像函數(shù)表達(dá)式圖像/y.3/)=/n+x尸-nx-x/1y=In x + x1/(b 1n函數(shù)極值點(diǎn)14-3 -2 -1 o一12-X-4 -3 -2 -1 o1ib -1)4X-X10,T)-1cnx-x一一一1J73-4、y.-4-/V3-/Inx4y = xinx2-/y 一V-函數(shù)極值點(diǎn)1/函數(shù)極值點(diǎn)/Ai-1 1、4-3-2JO1*4 Xr p.4321 o1/z?z?1e,一Z2Xe e)4-T1V4L_._Vj/X y = Inx”4-/O*-. -ex + x r/1x-1/函數(shù)極值點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)/1-J -2-1 O1(0,1)432/J/o1*(e，e)-1r/一z5-3-/-4

20、4y = ex - x函數(shù)極值點(diǎn)(0,1)Vy = xex函數(shù)極值點(diǎn)211/1-/43 -2 -1 O1x( 1)一1, 0?=2=*-11一石2-d-nexy 二X函數(shù)極值點(diǎn)（l，e）yAH /XV = 一 ex函數(shù)極值點(diǎn)Vi41/AA X3一1-3-（n 1,一4-3-2-1/A13同構(gòu)基礎(chǔ):同構(gòu)式的基本概念與導(dǎo)數(shù)壓軸題1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式2、同構(gòu)式的應(yīng)用:（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程/（。）=0和/3）=。呈現(xiàn)同構(gòu)特征，那么乃可視為方程/（x）=o的兩個(gè)根（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，那么可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的

21、單調(diào)性找到聯(lián)系?？杀葦M大小或解不等式。同構(gòu)小套路指對(duì)各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；常用“母函數(shù)” ：x） = xe /（x） =，x；尋找親戚函數(shù)”是關(guān)鍵;信手拈來(lái)湊同構(gòu)，湊常數(shù)、工、參數(shù)；復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍.（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果A（石,%）,3（%,%）滿足的方程為同構(gòu)式，那么為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)。特別的，假設(shè)滿足的方程是直線方程，那么該方程即為直線A3的方程（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于（4,）與（4_,-1）的同構(gòu)式，從而將 同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解.假設(shè)0玉 In x2 - In B. eX - eX1 In x2

22、 - In xC. x2eXl xeX2D. x2eX In x2 - In x, eX2 - In x2 eXl - In x,設(shè)/(x) = e lnx/. fx) = ex=,設(shè)g(x) = x/1,那么有g(shù) (月=(1+ 1)產(chǎn)0恒成立，所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，所以g(o) = l0,從而存在不(0)，使得且() = 0,由單調(diào)性可判斷出：x g(O,xo),g (x) f (x) 0 f (x) 0 ,所以/(x)在(0,1)不單調(diào)，不等式不會(huì)恒成立 B 選項(xiàng)：e - ex- In 9 In% o eXl +nx e, + Inx2,設(shè)= eA +lnx可知 單調(diào)遞增。所以

23、,西電,X(X-ex應(yīng)該/(xj v/(%)，B 錯(cuò)誤 C 選項(xiàng)：x2eXl xeX2 ，構(gòu)造函數(shù),f(x) = ， f (x) = -J,那么X1x2X廠/(司/(%)成立D選項(xiàng)：同樣構(gòu)造了( 二 ,由C選項(xiàng)分析可知D錯(cuò)誤.X1犬2X.函數(shù)/(冗)=111% +慶1一( + 2)% + 4.(，b為常數(shù))假設(shè)6 = 2 ,假設(shè)對(duì)任意的xi1, +8), /(%)20恒成立, 求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：由題意得：cilnx + 2A 1 (6Z + 2)X + 0, - 1) ?a(Inx-x + l) 2(+ x)n。(0 x-x +1)2 2(x 1 -+1)n 2(e(x-1)- 1) N

24、a(x-Inx-1) BP：久e1(x 1) l)Na(eK Ox 1),因?yàn)閤 1之刀窗，當(dāng)且僅當(dāng)x = l時(shí)等號(hào)成立，構(gòu)造g(x) = x 1容易得:g(x)0,所以只需要滿足。妙(x)對(duì)/x0, +oc)恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.解析:由題意得：ex-x-lkx-In(x + V) = kx + l-In(x + I)-l9 即ex-x-l keIn(x+i) - In(x +1) -1,又因?yàn)?x20,所以：x In(x+l)0 9 又 y = x 1 在0, + oo)單增，且x = 0,y = 0,所以不等式恒成立滿足kKI即可。.函數(shù)= +mx- ,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).假設(shè)

25、關(guān)于x的不等式/(%) + ln(x + l)0在0, +00)上恒成 立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.解析：由題意得：ex +優(yōu)一1 + 歷(x + 1) 0= -x-l-x + l- l-Inx +1) + (m + 2)x0ex-x-i-elH(x+) -In(x +1)-1 + (m + 2)x 0 ,構(gòu)造 g(x) = ex 1,工2/(x + l)當(dāng)且僅當(dāng) x = O 時(shí)等號(hào)成 立，即(加+ 2)%之O,.卜，4-00)，即加之一2.函數(shù)/(X)= ot + M;(q e R).當(dāng)a = 1時(shí)，不等式xex +1 /(x) +相對(duì)于任意x(0,+oo)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取 值范圍.解析：x

26、e+lx+歷工 + m=+ 一12機(jī)一2,當(dāng)x+/幾x = O取等，所以：m2.函數(shù)f(x)=媽+ ,(&, g(x) = e2x -2.假設(shè)/(%)WgCx)在(0,+oo)上成立,求。的取值范圍.x解析：工 /x _ 2 = inx+ a 一 2x n Inx+ a e2x+Inx - 2xxa- eInx+2x -Inx-2x-1,當(dāng) /nx+2x = 0取等，a VO = a0時(shí)，求/(X)的最小值. x解析：/(x) = ex,fVC + a(x- Inx), x-Inx=tl g(t) = e1 - at. (t 1) /. g(Z)min = g(Ina) = a-Ina .設(shè) /(x) = xex - ax2, (x) = lnx + x-x2+l-.當(dāng) a0 時(shí)，設(shè)/z(x) = /(x)-ag(x)NO 恒成立,求 a 的取值范圍. 解析：xex - a(Inx + x + l) + e20n ex+Inx - ax + Inx + 1) + 620,令/ = Inx+ x/.