[新整理]三角形“四心”向量形式的結(jié)論及證明(附練習(xí)答案)

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了平面向量一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后，學(xué)生們通過(guò)課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件?，F(xiàn)歸納總結(jié)如下：一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1）2）O是ABC的重心oOA+OB+OC，0S，S，S，丄S若0是ABC的重心，貝yBOCAOCAOB3ABC故OA+OB+OC，0PG，3(PA+PB+PC)oG為ABC的重心.0是ABC的垂心oOAOB，OBOC，OCOA.若0是ABC(非直角三角形)的垂心，則SBOC：SAOC:SAAQB二伽A:伽B:伽C故tanAOA+tanBOB+tanCOC，03)若o是ABC的外心則S:S:S，sinBO

2、C：sinAOC：sinAOB，sin2A:sin2B:sin2C則BOCAOCAOB故sin2AOA+sin2BOB+sin2COC，0O是內(nèi)心ABC的充要條件是OA(ABAC)OB(BABC)OC(CACB)0OA()，OB()，OC()，0IABIACIBAIIBCIICAIICBI0是ABC的外心IOA曰OB曰OCI(或OA2二OB2二OC2)引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果i記AB,BC,Ca的單位向量為ei，e2，e3，則剛才0是3）ABC內(nèi)心的充要條件可以寫成：OA-（e1+e3）=OB-（ei+e2）,OC（e?+e_）,0+II0是ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA+bO

3、B+cOC，0若0是ABC的內(nèi)心，則SBOC：SAOC：SAOB=&:b:故aOA+bOB+cOC，0或sinAOA+sinBOB+sinCOC，0ABIPC+IBCIPA+ICAIPB，0oPABC的內(nèi)心；向量量（rABi+1AC嚴(yán)豐0）所在直線過(guò)沁的內(nèi)心（是BAC的角平分線所在直線）：范例（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1.0是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P），Xeb,+）則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)ABC的（滿足OP，OA+九（ABACABAC+（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)锳B是向量AB的單位向量設(shè)AB與AC方向上的單位向量分別為e和e,又A

4、B12OP-OAAP,則原式可化為AP=X（e,e）,由菱形的基本性質(zhì)知AP平分BAC,那么在12ABC中，AP平分BAC,則知選BAB點(diǎn)評(píng)：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”，首先AB是什么？沒(méi)見(jiàn)過(guò)！想想，一個(gè)非零AB向量除以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡(jiǎn)單的基本知識(shí)，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起,解這道題一點(diǎn)問(wèn)題也沒(méi)有。（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2.H是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，HA-HBHB-HCHC-HAo點(diǎn)H是ABC的垂心.由HA-HBHB-HCoHB-（HC-HA）=0o

5、HB-AC=0oHB丄AC,同理HC丄AB，HA丄BC故H是AABC的垂心.（反之亦然（證略）例3.（湖南）卩是厶ABC所在平面上一點(diǎn)，若PA-PBPBPCPCPA，則P是厶ABC的（D）A.夕卜心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析:由PAPBPBPC得PAPBPBPC0.即PB（PAPC）0,即PBCA0則PB丄CA,同理PA丄BC,PC丄AB所以P為AABC的垂心.故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí).將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。HC2,AB變式：若円為厶ABC所

6、在平面內(nèi)一點(diǎn)，且HA2,BC2HB2,CA2則點(diǎn)H是AABC的垂心證明:HA2HB2CA2BC2(HA,HB)BA(CA,CB)BA得(HA,HBCACB)BA0即(HC,HC)BA0AB丄HC同理AC丄HB，BC丄HA故H是AABC的垂心F.（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4.G是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，GA+GB+GC=0o點(diǎn)G是厶ABC的重心.證明作圖如右，圖中GB+GCGE連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCoBGCE為平行四邊形D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將GB+GCGE代入GA+GB+GC=0，得GA+EG=0,GA=-GE=-2GD，故G是厶ABC的

7、重心.(反之亦然(證略)例5.P是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是ABC的重心pg=；(pa+pb+pc).證明PGPA+AGPB+BG=PC+CG,3PG=(AG+BG+CG)+(PA+PB+PC)VG是ABC的重心:GA+GB+GC=0,AG+BG+CG=0，即卩3PG=PA+PB+PC由此可得PG=3qBE-GB23CF二一GC23AD+BE+CF-GA+GB+GC)GA+GB+GC0DC=OC-OD=OC,OBTOC o 1-5 h z.OH=OA,AH=OA,DC圖3k故OH=OA+OB,OC，所以m二1評(píng)注：外心的向量表示可以完善為:若OAABC的外心,H為垂心，則OH=OA,OBC。

8、其逆命例6.已知向量OP，OP，OP滿足條件OP+OP+OP=0，IOP1=1OP1=1OP1=1，123123123求證：是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組_證明：由已知OP+OP=-OP，兩邊平方得OPOP=-1，123122同理OPOP=OPOP=1，.IPP1=1PP1=1PPI=3，從而P1P2P3是正三角形.23312122331123反之，若點(diǎn)O是正三角形P1P2P3的中心，則顯然有OP+OP+OP=0且IOPI=IOPI=IOPI，即O是ABC123123123所在平面內(nèi)一點(diǎn)，OP+OP+OP=0且IOPI=IOPI=IOPIo點(diǎn)O是正P1P2P3的中心.1231

9、23123四、練習(xí)已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),0是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足op；（2oa+1ob+2oc）,322則點(diǎn)P定為三角形ABC的(B)C.重心D.AB邊的中點(diǎn)A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)分析：取AB邊的中點(diǎn)M,則OAOB=20M，由0P=3(20A+20B+20C)可得3OP=30M2MC，MP=2MC，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的個(gè)三等分點(diǎn),且點(diǎn)P不過(guò)重心-在同一個(gè)平面上有mbC及一點(diǎn)。滿足關(guān)系式：0A2+BC2二0B2+CA20C2丨AB2，貝廿為ABC的(D)A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P

10、滿足：PAPBPC=0，則paabE的(1)A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心已知0是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足:0P=0A+九(ABAC)，則P的軌跡一定通過(guò)AABC的(C)A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心TOC o 1-5 h z已知AABC,b為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn),且滿足：PAPC+PAPBPB*PC=0，則_角形的(D)A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心已知ABC,P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：aPAbPBcPC=0，則P點(diǎn)為三角形的(B)A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：CA2=CB2-2ABCP，則p點(diǎn)一定通過(guò)AA

11、BC的(B)A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心非零向量AB與AC滿足(-AB+-AC)bc=0且-AB-AC=1,則厶ABC為(D)IABIIACIIABIIACI2A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形解析：非零向量與滿足(_AB+AC)BC=0，即角A的平分線垂直于BC,FABIIaci】AB二AC,又cosA=-ABAC=1,ZA=蘭,所以ABC為等邊三角形.IABIIACH23AABC的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H0H=m(0A0B0C)，則實(shí)數(shù)m二點(diǎn)0是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足0A-0B=0B0C=0C0A，則點(diǎn)0是4ABC的(B)(A)三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)(B)三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)(C)三條中線的交點(diǎn)(D)三條高的交點(diǎn)如圖1,已知點(diǎn)6是厶ABC的重心，過(guò)G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N