數(shù)理分析方法PPT

1、 數(shù)理分析方法11、經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究對象2、經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)2第一講 基本概念第二講 經(jīng)濟(jì)理論中的最優(yōu)化（1）第三講 應(yīng)用(1)：消費(fèi)者行為理論第四講 應(yīng)用(2)：廠商理論第五講 經(jīng)濟(jì)理論中的最優(yōu)化（2）（略）第六講 應(yīng)用(3)：最優(yōu)增長理論 （略）3第一章 基本概念一、集合 二、笛卡爾積與空間三、線性變換、特征值與特征向量、二次型四、收斂性、閉集與緊集、連續(xù)性五、凸集和凹函數(shù)4一、集合 20 世紀(jì)的數(shù)學(xué)革命，是從Cantor（康托） 建立集合論開始的，繼而是積分學(xué)的革命Lebesgue（勒貝格）積分理論的建立。到了20 世紀(jì)30 年代，在集合中引進(jìn)各種結(jié)構(gòu)，包括代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、測度結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)以

2、及這些基本結(jié)構(gòu)的各種復(fù)合，形成了各種各樣的抽象空間。研究這些抽象空間的性質(zhì)及其映射，就構(gòu)成了十分龐大的現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系。這是繼歐氏幾何和微積分之后，數(shù)學(xué)發(fā)展史和數(shù)學(xué)教育發(fā)展史上的第三個里程碑。51、集合的基本概念1）定義：集合就是任何種類的對象的集體。集合中的對象稱為集合的元素。所有自然數(shù)的集合方程x2 - 3x+2=0 的所有根的集合平面上全部點(diǎn)的集合某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中全體消費(fèi)者的集合，滿足收入約束的所有商品向量的集合，等等。61、集合的基本概念2）標(biāo)記a S , a屬于集合S，a是集合S的元素。a S , a不屬于集合S，a不是集合S的元素。71、集合的基本概念3）有限集與無限集當(dāng)集合中元素的個數(shù)

3、是有限的，就稱它為有限集合，否則稱為無限集合。81、集合的基本概念4）表示方法列舉法： 用確定的性質(zhì)表示集合： 例如，92、子集、集合相等、交與并1）子集若屬于A的元素都屬于B，則稱A是B的子集，也稱A包含于B，或稱B包含A，記做： A B 或B A 。102、子集、集合相等、交與并2）真子集如果A是B 的子集，且B中至少有一個元素不屬于A，則稱A是B的真子集，記做A B 。112、子集、集合相等、交與并3）集合相等如果兩個集合A、B含有的元素相同，則稱集合A與B是相等的，記做A=B，或A B 且B A ，則A=B122、子集、集合相等、交與并4）并所有屬于A和屬于B的，以及同時屬于A和B的元

4、素組成，即：132、子集、集合相等、交與并5）交由所有同時屬于A和B的元素組成，即：142、子集、集合相等、交與并6）空集不包含任何元素的集合為空集，記為 。152、子集、集合相等、交與并7）全集 在某個范圍內(nèi)，若所有集合都是某一集合的子集，則該集合稱為全集。如果B是全集，A在全集中的補(bǔ)集，就簡稱為A的補(bǔ)集，記做A或 。162、子集、集合相等、交與并8) 記法的問題：有時A B 稱為A,B的積，記為 ； 稱為A,B的和，記為A+B .若B是A的子集，則稱A B 是B關(guān)于A的補(bǔ)集，即 由所有屬于A且不屬于B的元素組成。172、子集、集合相等、交與并8) 記法的問題：圖示：Ac為A關(guān)于全集的補(bǔ)集1

5、83、集合的運(yùn)算性質(zhì)多個集合的交與并記為：194、分劃（或劃分）集合A的一個分劃是由A的一些非空子集構(gòu)成的集合，表示為 ，使得這些非空子集Ai 的并等于A，并滿足任意兩個不同的子集 。分劃中每一個非空子集Ai稱為分劃的塊。換言之，一個集合的分劃就是把該集合中的元素分為不相交的非空子集。205、有序?qū)蓚€對象排成一個固定的次序。用符號(a,b)表示一個有序?qū)?，其中第一個元素是a，第二個元素是b。注意，(a,b)和(b,a)是兩個不同的有序?qū)Α?16、笛卡爾積定義：如果A和B是集合，所有第一個坐標(biāo)是A的一個元素，而第二個坐標(biāo)是B的一個元素的有序?qū)Φ募?，就稱為A和B的笛卡爾積集，記作A x B，

6、用符號表示為： A B = (a, b) | a A, b B。約定：若A = 或B = ，則A B = 。例：若C = a,b,D = x, y， 則C D = (a, x),(a, y),(b, x),(b, y) DC = (x, a),(x,b),( y, a),( y,b)若F = 1,2則F F = (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)227、集合中元素間的二元關(guān)系 1）定義：設(shè)A與B是集合，從A到B的關(guān)系是 A B 的一個子集，用符號表示為：當(dāng)且僅當(dāng)r A B時，從A到B的關(guān)系是r。設(shè)r是從A到B的一個二元關(guān)系，若有序?qū)?a,b)r ，則稱元素a 相關(guān)于元素b ，記做a

7、(r)b 。237、集合中元素間的二元關(guān)系關(guān)系的例子常常出現(xiàn)于日常生活的經(jīng)驗(yàn)之中例如，若P是一個意義明確的人的集合，則“x是y的兒子”，x是y的姐姐”，“x是y的學(xué)生”就是確定關(guān)系的例子。這就是說，第一句話意味著，所有第一坐標(biāo)是第二坐標(biāo)的兒子，這樣的人的有序?qū)Φ募辖M成一個PxP的子集。又如，S是聯(lián)合國成員組成的集合，x 進(jìn)入聯(lián)合國不遲于y 或者成立，或者不成立，關(guān)系 “進(jìn)入聯(lián)合國不遲于”是二元關(guān)系。247、集合中元素間的二元關(guān)系2）基本的二元關(guān)系從集合S到S本身的關(guān)系r，稱為S上的二元關(guān)系。基本的二元關(guān)系包括：（1）自反關(guān)系：如果x(r)x 對于S中的每一個元素x成立，則稱r為自反關(guān)系。 換

8、言之，在自反關(guān)系中，S中每一個元素都與其自身相關(guān)。對于所有的 x S，x(r)x。257、集合中元素間的二元關(guān)系（2）傳遞關(guān)系：設(shè)r是S上的一個二元關(guān)系，若對于(a,b)r 且(b,c)r ，必有(a,c)r，則稱r為傳遞關(guān)系。（3）對稱關(guān)系：設(shè)r是S上的一個二元關(guān)系，若對于(a,b)r 必有(b,a)r ，則稱r為對稱關(guān)系。267、集合中元素間的二元關(guān)系（4）反對稱關(guān)系：設(shè)r是S上的一個二元關(guān)系，若對于(a,b)r ，除非a = b ， (b,a)必不屬于r，則稱r為反對稱關(guān)系，換言之，對于反對稱關(guān)系，若(a,b)和(b,a)都屬于r，則有a = b 。（5）非對稱關(guān)系：如果(a,b)r，則

9、有(b,a)r。277、集合中元素間的二元關(guān)系3）幾種重要的二元關(guān)系：序關(guān)系、等價關(guān)系和函數(shù)關(guān)系 287、集合中元素間的二元關(guān)系（1）擬序關(guān)系：S上的二元關(guān)系r被稱為擬序關(guān)系，如果下列性質(zhì)成立：自反性、傳遞性。例如：如果r表示“進(jìn)入聯(lián)合國不遲于”，那么對于這一關(guān)系，自反性和傳遞性成立；如果r表示“出口小麥至”，那么這一關(guān)系是自反的，但不具備傳遞性。297、集合中元素間的二元關(guān)系（2）偏序關(guān)系：如果集合S上的一個二元關(guān)系具有自反性、反對稱性和傳遞性，則稱它為S上的偏序關(guān)系。例如，實(shí)數(shù)集上的關(guān)系“”是偏序關(guān)系： a b 且 b a , 意味著 a = b。307、集合中元素間的二元關(guān)系（3）等價關(guān)

10、系：若集合上的一個二元關(guān)系是自反的、對稱的和傳遞的，則稱它為等價關(guān)系。317、集合中元素間的二元關(guān)系（4）函數(shù)關(guān)系327、集合中元素間的二元關(guān)系4）一個重要的應(yīng)用定義在商品向量x=(x1,x2,xn ) 構(gòu)成的集合X 上的偏好關(guān)系 是X 上的一個二元關(guān)系，其意義為：x y表示 x 至少與y 一樣好。此二元關(guān)系通常被假定為擬序關(guān)系。337、集合中元素間的二元關(guān)系 由導(dǎo)出的X 中的關(guān)系：x y 表示：x y且y x 。x y讀作“ x 和y 無差異”，通常假定為等價關(guān)系。x y 表示：x y但y x不成立。x y讀作“ x （嚴(yán)格）優(yōu)于y ”，通常假定為非對稱關(guān)系（即如果x(r) y ，則有y(r

11、)x不成立）。34二、笛卡爾積與空間351、笛卡爾積與n 元組1）笛卡爾積：設(shè)A和B是兩個集合，A和B的笛卡爾積用A B 表示，它是形如（a, b） 的有序?qū)Φ募?，其中a A, b B 。幾何意義：元素（a, b）可以稱為點(diǎn)，集合A與B可以稱為坐標(biāo)軸。如x 為橫坐標(biāo)或第一坐標(biāo)， y 稱為縱坐標(biāo)或第二坐標(biāo)。于是，一個平面上的點(diǎn)的集合可以看作是笛卡爾積R R，其中R是實(shí)數(shù)的集合。361、笛卡爾積與n 元組2）n 元組集合族的笛卡爾積： 這個集合的元素稱為n 元組（n-tuple），就象有序?qū)Γ╬air）一樣，只不過有n個元素。例如：1,2,3,4,5,6,7,8,9的笛卡爾積為： (1,4,7)

12、,(1,4,8),.， 其中元素(1,4,7)稱為n元組。n元組中的單個元素稱為分量或坐標(biāo)。372、空間1）向量令R是所有實(shí)數(shù)的集合，那么實(shí)數(shù)的一個有序n元組x ，x = (x1 , x2,.,xn) 稱為一個向量，數(shù)n是x 的維數(shù)。Rn 表示所有（有序）實(shí)數(shù)n元組的集合， Rn = (x1 , x2,.,xn)|xi R, i=1, 2, . . . , nx Rn 的第i 個元素xi稱作是x 的第 i 個坐標(biāo)。當(dāng)n=1時，x 顯然是一個實(shí)數(shù)，稱為數(shù)量或標(biāo)量。38例：二維空間R2 中的向量用兩個沿列向順序排列的元素表示。設(shè)392、空間2）向量運(yùn)算：加法與數(shù)乘兩個n維向量x 和y 的加法定義為

13、對應(yīng)坐標(biāo)相加，即 x+ y = ( x1+y1 , x2+y2 , xn+yn) 顯然， x+ y也在Rn 中。換句話說，在上面的加法運(yùn)算中，Rn是封閉的。給定一個任意的標(biāo)量a R ，一個向量x Rn與a 的乘積（稱作數(shù)乘）定義為a 與x 的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積，即： ax = (ax1 , ax2,.,axn) 顯然，x Rn且a R 可推出ax Rn，也就是說，Rn在數(shù)乘運(yùn)算下也是封閉的。40412、空間3）定義線性空間的性質(zhì)Rn是所有有序?qū)崝?shù)n元組的集合。在Rn 中給定上述加法和數(shù)乘規(guī)則，我們可以很容易檢驗(yàn)下面8條性質(zhì)，對Rn中任意元素x, y, z 和標(biāo)量, R ，都是成立的： L1: x+

14、(y+z)=(x+ y)+z L2: 存在一個稱為0 的元素，使得x+0=0+x L3：對每個x ，存在一個元素x，使得x+(x)=0 L4：x+y=y+x L5: (x)=()x L6: 1x=x L7: (x+y)= x+ y L8: (+)x= x+ x注意：0既可表示標(biāo)量，也可是0的n元組，即零向量或原點(diǎn)。422、空間4）向量空間給定任一集合X（不必是Rn ），如果定義了加法和數(shù)乘，且X在這兩種運(yùn)算下是封閉的，并滿足性質(zhì)L1到L8，則X稱作一個（實(shí)）線性空間，或（實(shí)）向量空間。X的一個元素稱為一個向量。433、線性相關(guān)、Rn 子空間與基1）子空間定義：Rn 中的一個子空間是Rn中的集合

15、H，具有以下三個性質(zhì)： a.零向量屬于H b.對H 中任意的向量u和v，u+v屬于H c.對H中任意向量u和數(shù)c，cu屬于H.也就是說，子空間對加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，并且子空間經(jīng)過原點(diǎn)。44下圖是一個三維空間中通過兩個向量張成一個平面子空間的例子。 H = Span v1 , v2 45 注意：Rn是它本身的子空間，因?yàn)槿齻€性質(zhì)都滿足。另一個特殊的例子是僅含零向量的集合（即原點(diǎn)），它也滿足子空間的條件，稱為零子空間。另外，上圖中H是R3的一個子空間，它是一個平面，盡管H看起來是R2，但其向量有三個分量。463、線性相關(guān)、Rn 子空間與基2）線性無關(guān)我們希望盡可能“有效率地”生成一個向量空間V

16、 或一個子空間H ，關(guān)鍵的思想是線性無關(guān)。473、線性相關(guān)、Rn 子空間與基2）線性無關(guān)（1）線性組合：令X是任一線性空間（可以不是Rn ），因此加法和數(shù)乘定義在X中，并且X在這些運(yùn)算下是封閉的。給定X中的k 個向量x1 , x2, . . . , xk ，由 定義的向量z 稱為這k 個向量的一個線性組合。483、線性相關(guān)、Rn 子空間與基2）線性無關(guān)（2）線性無關(guān)：線性空間中的k 個向量x1, x2, , xk被稱為是線性無關(guān)的，如果由 可推出對于每個j，有aj=0 ；相反，如果 aj 不全為0，那么稱 k 個向量線性相關(guān)。49從方程組的角度看，下面的齊次方程： 肯定有零解，問題在于是否只有

17、零解。在只有零解的情況下，方程組中的三個向量線性無關(guān)。50確定下列向量組是否線性無關(guān)：解答：a：因v2 是v1 的倍數(shù)，即v2 = 2v1 ，因此 2v1 + v2=0 ，表明v1 , v2 線性相關(guān)。b：v2和v1中任意一個不是另一個的倍數(shù)，設(shè)c v1 + d v2 =0 ，若c 0，我們可以用v2表示v1 ，即v1 = (d / c) v2 ，但因?yàn)閮烧邲]有倍數(shù)關(guān)系，這是不成立的，因此，只有c = 0，類似地必然d = 0。于是，兩向量線性無關(guān)。在兩個向量的情況下，我們可以通過觀察兩個向量之間是否存在倍數(shù)關(guān)系來判斷線性相關(guān)或無關(guān)。51523、線性相關(guān)、Rn 子空間與基3）基（1）定義：Rn

18、 的子空間H的一組基是H中的一個線性無關(guān)集，它生成H。在線性空間理論中，基是一個非常重要的概念。因?yàn)樽涌臻g一般含有無窮多個向量，子空間中的問題最后能夠通過研究生成這個子空間的一個小的有限集合來解決，這個集合越小越好，可以證明，最小可能的生成集合必是線性無關(guān)的。533、線性相關(guān)、Rn 子空間與基543、線性相關(guān)、Rn 子空間與基553、線性相關(guān)、Rn 子空間與基563、線性相關(guān)、Rn 子空間與基573、線性相關(guān)、Rn 子空間與基3）基（2）子空間的維數(shù)令X是一個線性空間，若X中的一個線性無關(guān)集S具有性質(zhì)：X中的每一個向量x 都可以表示為S中向量的線性組合，則稱S為X的一個基。一個基S可由有限或無

19、限多個元素組成。如果它是有限的，X稱作是有限維的；否則X稱作是無限維的。對于一個給定的線性空間X，可以有很多基。但是可以證明，一個給定線性空間的任何兩個基都可以通過一一對應(yīng)聯(lián)系起來。因此，一個有限維空間的任何一個基的元素數(shù)目和該空間其他基的數(shù)目都是相等的。于是我們可以定義一個有限維空間的基的元素數(shù)目為這個空間的維數(shù)。58 R3的子空間可用維數(shù)分類：0維子空間：只有零子空間是0維子空間；1維子空間：任一由單一非零向量生成的子空間，這樣的子空間是經(jīng)過原點(diǎn)的直線；2維子空間：任一個由兩個線性無關(guān)向量生產(chǎn)的子空間，這一子空間是通過原點(diǎn)的平面；3維子空間：只有R3本身是3維子空間，R3中任意3個線性無關(guān)

20、向量生成整個R3。59604、向量內(nèi)積和正交性前面對各基向量的要求只是線性無關(guān)，實(shí)際工程中往往還要求他們之間互相正交，并且長度為1，從而引出內(nèi)積和單位向量的概念。二維和三維空間中的長度、距離和垂直等幾何概念已經(jīng)為人們所熟知，這里則需要把這些概念引入到Rn空間。在Rn中，這三個概念建立在兩個向量的內(nèi)積基礎(chǔ)之上。614、向量內(nèi)積和正交性1）內(nèi)積與向量的長度（1）內(nèi)積的定義在三維空間中，u和v兩個向量的內(nèi)積定義為： u, v = u1v1 + u2v2 + u3v3 。n 維情況可以寫成：注意，內(nèi)積是一個標(biāo)量。我們把uTv稱為u和v的內(nèi)積，記做u,v或u v或。624、向量內(nèi)積和正交性1）內(nèi)積與向量

21、的長度（2）內(nèi)積的性質(zhì)定理：設(shè)u, v 和w 是Rn空間中的向量，c 是一個數(shù)，那么634、向量內(nèi)積和正交性1）內(nèi)積與向量的長度（3）向量的長度向量 v 與自身求內(nèi)積： 得到的是其各分量的平方和，其平方根就等于向量的長度（或模、或范數(shù)norm）:64654、向量內(nèi)積和正交性2）Rn空間中的距離Rn 空間中的距離可用于描述一個向量如何逼近另一個向量。定義：Rn 中向量u和v的距離,記做dist(u,v)，表示向量u-v的長度，即： dist(u,v) =u v6667684、向量內(nèi)積和正交性3)正交向量正交向量是把二維空間中的直線垂直概念擴(kuò)展到Rn 空間。當(dāng)向量u和v看作幾何點(diǎn)時，通過這些點(diǎn)和原

22、點(diǎn)的兩條直線相互垂直，就稱Rn 空間中兩個向量是正交的。694、向量內(nèi)積和正交性如圖所示，兩條直線幾何上垂直，當(dāng)且僅當(dāng)從u到v的距離與從u到-v的距離相等。也就是要求他們距離的平方要相等?？梢宰C明，如果兩個向量u和v的內(nèi)積為0，那么兩個向量是（相互）正交的。704、向量內(nèi)積和正交性4）超平面Hyperplane設(shè)一個n維常向量a = (a1, a2 ,., a n) ，x是一個n維向量，方程a x = 0左邊是一個內(nèi)積，該方程的含義是：滿足該方程的某個向量x 是任意與給定向量a 相垂直的向量。方程的解，在2維的情況下，與一個給定的向量垂直的向量構(gòu)成一條直線；在3維的情況下，是一個平面；在n維的

23、情況下，是我們所稱的超平面。因此，超平面是由Rn中與給定的向量a內(nèi)積等于0的點(diǎn)構(gòu)成的集合。714、向量內(nèi)積和正交性724、向量內(nèi)積和正交性735、抽象空間1）線性空間，或向量空間本講第二節(jié)“笛卡爾積與空間”對空間概念的介紹，是針對線性空間或向量空間的。本節(jié)首先把這一概念重述一遍，然后在此基礎(chǔ)上把空間的概念擴(kuò)展到其他類型的抽象空間。745、抽象空間1）線性空間，或向量空間定義：一個（R上的）向量空間（或線性空間）是一元素為向量的集合V，其中兩種運(yùn)算：“加法”（V V V ）和“數(shù)量乘法”（R V V ），對于所有V中的元素x, y, z 和R中的任意實(shí)數(shù)和，滿足： L1: x+(y+z)=(x+

24、 y)+z L2: 存在一個稱為0 的元素，使得x+0=0+x L3：對每個x ，存在一個元素x，使得x+(x)=0 L4：x+y=y+x L5: (x)=()x L6: 1x=x L7: (x+y)= x+ y L8: (+)x= x+ x75與前面定義的不同之處： 1、我們只討論R 上的線性空間。因此，此定義中的V實(shí)際上就是Rn空間。 2、上述對加法和數(shù)乘的記法為：“加法”（V V V ）和“數(shù)量乘法”（R V V ），其中的乘號表示某種運(yùn)算，前者是V 中的兩個向量的運(yùn)算結(jié)果為V 中的一個向量，后者是一個實(shí)數(shù)與V 中一個向量的運(yùn)算結(jié)果為V 中的一個向量，這也就是線性空間中的加法和數(shù)乘運(yùn)算的

25、結(jié)果仍然在線性空間中，即在線性空間中封閉。765、抽象空間2）內(nèi)積空間從線性運(yùn)算得到線性空間，我們還可以從其他的運(yùn)算得到不同的空間。根據(jù)上面對內(nèi)積及其運(yùn)算性質(zhì)的界定，我們進(jìn)一步定義內(nèi)積空間。775、抽象空間2）內(nèi)積空間 定義：（R上的）向量空間V中的內(nèi)積是一個函數(shù)，對每一對屬于V的向量u和v，存在一個實(shí)數(shù)，對于任意屬于V的w和所有數(shù)c，滿足以下公理： （1）= （2) = + （3) = c （4) 0，且= 0的充分必要條件是u = 0。 一個賦予上面內(nèi)積的向量空間稱為內(nèi)積空間。785、抽象空間3）度量空間度量是距離的一種測量，一個度量空間只是一個集合它具備由集合內(nèi)的點(diǎn)之間定義的距離的概念。

26、有了度量空間，我們便能精確地知道各點(diǎn)之間彼此“相接近”的含義是什么。79例如： 實(shí)直線R是一個度量空間，兩點(diǎn)x，y的距離d(x, y) =| x y |為一實(shí)數(shù)。 一個R2平面也是一個度量空間，平面上的兩點(diǎn) 之間的距離： 也是一個實(shí)數(shù)。 據(jù)此可以類推到Rn。80 =因此,有: 81825、抽象空間3）度量空間定義：度量空間是一個集合 M，具有距離函數(shù) d :M M R，使得對于所有M 中的元素x, y, z，滿足以下公理： （a）d(x, y) 0，并且d(x, y) = 0 x = y； （b）d(x, y) = d(y, x)； （c）d(x, y) d(x, z) + d(z, y)。

27、距離函數(shù) d 稱為M 上的一個度量。83三、線性變換、特征值與特征向量、二次型841、線性變換1）定義：變換（或映射）T 稱為線性的，若（1）對T的定義域中的一切u，v，有 T(u + v) = T(u) + T(v)（2）對一切u和標(biāo)量c，T(cu) = cT(u)85如下 的矩陣變換就屬于線性變換： 由此，線性變換推廣了函數(shù)的概念，通常的函數(shù)是把一個實(shí)數(shù)變?yōu)榱硪粋€實(shí)數(shù)的規(guī)則，而由 的變換則是由一個向量集到另一個向量集的函數(shù)。 由Rn到Rm的一個變換（或稱函數(shù)、映射）T是一個規(guī)則，它把Rn中的每個向量x對應(yīng)于Rm中的一個向量T(x)。86871、線性變換2）若干變換的幾何說明：882）剪切8

28、9902、特征值與特征向量盡管變換 有可能使向量往各個方向移動，但通常會有某些特殊向量，A對這些向量的作用很簡單。91例如： 可以看出Av正好是2v，A僅僅拉伸了v，而我們正是要研究形如Ax = 2x，或Ax = 4x的方程，并且去尋找那些被變換成自身一個數(shù)量倍的向量。92定義：A為n n矩陣，x為非零向量，若存在數(shù) ，使得Ax = x成立，則稱 為A的特征值， x 稱為對應(yīng)于 的特征向量。求解特征值與特征向量可以通過求解方程： (A I ) = 0 而得到。933、二次型1）二次型含義94寫成矩陣形式：952）二次型的分類當(dāng) A是一個n n矩陣時，二次型Q(x) = x Ax是一個定義域?yàn)镽

29、n的實(shí)值函數(shù)。三維空間中，對于二次型Q(x)的定義域中的每一個點(diǎn)(x1,x2) ，可畫出點(diǎn)(x1,x2,z )，其中z = Q(x)。9697定義：一個二次型Q(x)，以及相應(yīng)的對稱矩陣A是：（1）正定的，如果對于所有x 0，有Q(x) 0；（2）負(fù)定的，如果對于所有x 0，有Q(x) 0之間的t，如果z = tx1 + (1 t)x2，我們稱z是x1與x2的凸組合。由于t介于0與1之間，凸組合z在一定意義上也就是“介于”點(diǎn)x1與x2之間的一個點(diǎn)。128Minkowski 分離定理：超平面x | a x = A，a x A a y對于所有x S和所有y T 成立，稱為分離。1292、凹函數(shù)和凸

30、函數(shù)1）映射與實(shí)值函數(shù) 定義：給定集合X 和Y ，一個從X 到Y(jié) 的映射是使X 中的每一個元素，對應(yīng)于Y中一個非空子集的規(guī)則。如果Y 中的這些非空子集都僅由一個元素組成，則稱這個映射是單值的，并記為：f : X Y 。否則稱為多值的，并記為F : X Y 。簡單地說，當(dāng)X 中的每個點(diǎn)只與Y 中的一個點(diǎn)相對應(yīng)，我們稱其為單值函數(shù)，簡稱為函數(shù)。當(dāng)Y R時，函數(shù)稱為實(shí)值函數(shù)。也就是說，如果定義域是Rn的子集，那么，一個實(shí)值函數(shù)將會把Rn中的向量映射到R上的點(diǎn)。1302、凹函數(shù)和凸函數(shù)2）水平集level sets（1）水平集的定義:圖示Rn到R的函數(shù)的另外一種方法是將函數(shù)的圖像投影到定義域空間上。因

31、為三維以上的空間是難以想象的。這一方法只適用于圖像是R3中曲面的情況，只能用于R2到R的函數(shù)（下面正式表述中允許有更高維的定義域）。函數(shù)f : Rn R的水平集是f 定義域中的一個子集，該子集中的每一點(diǎn)都被變換為值域中的同一個點(diǎn)。換句話說，水平集是R 中的點(diǎn)的f 映射的前象點(diǎn)集。我們還可以用另外一種函數(shù)圖示方式來描述R2到R的函數(shù)的圖像，它是R3中的一個曲面。假設(shè)有一個平行于平面( x1,x2 ) 并在其上方的平面，高度為x3 = a ，該平面將橫切那一曲面，曲面和平面的交點(diǎn)構(gòu)成R3中的一個曲線。令這一曲線垂直落到平面(x1 , x2) 上，就是該函數(shù)對應(yīng)于a點(diǎn)的水平集。這正是水平集這一名稱的

32、由來。131 定義（水平集）：當(dāng)且僅當(dāng)L( y0 ) = x | x D, f (x) = y0時，這里y0 R為實(shí)數(shù)，L( y0 )是實(shí)值函數(shù)f : D R的水平集。132（2）上優(yōu)集與下劣集我們首先定義相對于某一點(diǎn)的水平集：如果l(x0 ) = x | x D, f (x) = f (x0 )，那么，l(x0 )則是一個相對于x0的水平集。這一概念與水平集的區(qū)別可以理解為：水平集L( y0 ) = x | x D, f (x) = y0是具有同樣高度為y0 的x 點(diǎn)的集合， 而相對于某一點(diǎn)的水平集l(x0 ) = x | x D, f (x) = f (x0 )則是與x0點(diǎn)的高度f (x0

33、 )具有相同高度的x點(diǎn)的集合。133從右圖我們可以看出不同點(diǎn)間的相對高度，但這要取決于函數(shù)f (x)是遞增還是遞減的。如果f (x)嚴(yán)格遞增，那么f (x1 )與f (x3 )大于y0，而f (x2 )與f (x4 )則小于y0；如果f (x)嚴(yán)格遞減，則情況正好相反。134定義：上優(yōu)集與下劣集 S( y0 ) = x | x D, f (x) y0被稱為相對于水平y(tǒng)0的上優(yōu)集或上水平集、上等高線集； I ( y0 ) = x | x D, f (x) y0被稱為相對于水平y(tǒng)0的下劣集或下水平集、下等高線集； S( y0 ) = x | x D, f (x) y0被稱為相對于水平y(tǒng)0的嚴(yán)格上優(yōu)

34、集；I ( y0 ) = x | x D, f (x) f (x) + (1 ) f (x0 )1411426）擬凹函數(shù) 凹性無論嚴(yán)格與否，都是對函數(shù)所提出的一種比較強(qiáng)的限制，而在理論工作中，我們更傾向于采用一種相對較弱的性質(zhì)，也就是只強(qiáng)調(diào)那些必要的性質(zhì)。這里，在凹函數(shù)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了擬凹函數(shù)。143定義1：（利用水平集概念） f (x)在凸集S Rn上是擬凹的，如果（上）水平集合：P = x S | f (x) a 對于每一實(shí)數(shù)a 是凸的。144 右圖為一個典型的二元擬凹函數(shù)。145定義2：f (x)是在Rn中開凸集S 上的擬凹函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有屬于S的x1與x2，以及所有t 0,1

35、，有： f (xt ) = f (tx1 + (1 t)x2 ) min f (x1 ), f (x2 )說明：（1）含義：如果我們在定義域內(nèi)任取兩點(diǎn)，并形成此兩點(diǎn)的凸組合，那么函數(shù)值必定不會小于在這兩點(diǎn)所取的最低值。（2）擬凹函數(shù)的定義式為 f (xt ) = f (tx1 + (1 t)x2 ) min f (x1 ), f (x2 )，而凹函數(shù)的定義式為 f (x + (1 )x0 ) f (x) + (1 ) f (x0 )，可以看出，擬凹性相對于凹性是一個較弱的性質(zhì)。146定義3：（嚴(yán)格擬凹函數(shù)） f (x)是在Rn中開凸集S 上的嚴(yán)格擬凹函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) f (x) f (x0 )

36、f (x + (1 )x0 ) f (x0 )對于所有x x0 S和所有 0,1成立。147定義4：定義在Rn中凸集S上的實(shí)值函數(shù)f (x)稱為擬凸函數(shù)，如果- f (x)是擬凹函數(shù)。實(shí)值函數(shù)f (x)稱為嚴(yán)格擬凸函數(shù)，如果- f (x)是嚴(yán)格擬凹函數(shù)。148幾點(diǎn)結(jié)論：（1）f (x)是凹的 f (x)是擬凹的；（2）f (x)是凸的 f (x)是擬凸的；（3）任意遞增或遞減的一元函數(shù)是擬凹的和擬凸的；（4）一組擬凹函數(shù)的和不一定是擬凹的；（5）一組擬凸函數(shù)的和不一定是擬凸的；（6）如果f (x)是擬凹（擬凸）的，且F 是遞增的，則F( f (x)是擬凹（擬凸）的；（7）如果f (x)是擬凹（

37、擬凸）的，且F 是遞減的，則F( f (x)是擬凸（擬凹）的； 149作為上面第（6）條的推廣： 如果f 1,., fm 是定義在Rn中的凸集S上的凹函數(shù)，g對于每一x S定義為 g(x) = F (f 1(x ),., f m(x ) 且F(u1,.,um ) 對每一變量是擬凹和遞增的，則g是擬凹的。150第二講 經(jīng)濟(jì)理論中的最優(yōu)化（1）一、導(dǎo)數(shù)與微分二、無約束最優(yōu)化三、約束最優(yōu)化四、比較靜態(tài)分析151一、導(dǎo)數(shù)與微分1521、單變量函數(shù)153154定義：令X 是R 中的一個開集，令x0 是X 中的一點(diǎn)，函數(shù)f : X R 稱作在x0可微，如果存在一個實(shí)數(shù)a ，使得 這里h 0 且x0 + h

38、 X ，我們稱a 為f 在x0 點(diǎn)的導(dǎo) 數(shù)，記做f (x0 ) 。如果f 對X 中的每個x 都可導(dǎo)，那么f 稱作X 中的一個可微函數(shù)。由于在上面的定義中，極限依賴于x0 ，當(dāng)x0 在X 中變化時， f (x0 ) 的值也在R 中變化，因此f是x0的函數(shù)，記為f (x0 )。155156微分定義： 如果y = f (x) ，且dx 是任一數(shù)，dy = f (x)dx 是y 的微分。幾何圖示：157158進(jìn)一步推廣：1593）利用導(dǎo)數(shù)判斷凹性：a）設(shè)函數(shù)f 在區(qū)間D上二次連續(xù)可微，則f 在區(qū)間D 為凹函數(shù)（嚴(yán)格凹函數(shù)）的充分必要條件是f 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)下降（嚴(yán)格單調(diào)下降）；b）設(shè)函數(shù)f 在區(qū)間D上二

39、次連續(xù)可微，則f 在區(qū)間D為凹函數(shù)的充分必要條件是：二階導(dǎo)數(shù)小于等于0，即f (x) 0；如果f (x) 0，則f 是嚴(yán)格凹的；160c）形如右圖的凹函數(shù)，兩條切線l0與l1完全處于函數(shù)f 的上方。因?yàn)橐粭l斜率為 f (x0) 的直線，經(jīng)過點(diǎn)(x0, f (x0 ) ，該直線方程為： l0(x )= f (x0) (x- x0 )+ f (x0 )由于l0位于f 之上，也就是對于所有x ， l0(x ) f (x) ，也就是對于一切x，有： f (x) f (x0) (x- x0 )+ f (x0 )，以此對凹性進(jìn)行描述。161我們把這些判斷標(biāo)準(zhǔn)歸納為關(guān)于凹性與一階和二階導(dǎo)數(shù)的定理：設(shè)D是一個

40、定義域區(qū)間，在此區(qū)間上f (x)是二次連續(xù)可微的，如下a)至c)的闡述是等價的： a） f (x)是凹的； b） f (x) 0，對于x D； c）對于一切x0 D：f (x) f (x0) (x- x0 )+ f (x0 )，對于x D； 此外，d）如果f (x) f (x)，我們稱函數(shù)在點(diǎn)x*處獲得唯一局部極大值。如果對于點(diǎn)x*的定義域內(nèi)的所有x x*，有f (x* ) f (x)，我們稱函數(shù)在點(diǎn)x*處獲得全局最大值。1841852）多變量實(shí)值函數(shù)的極值定義：設(shè)D Rn，并且令f : D R是n個變量的二次連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)。如果沿任意方向偏離x*的微小移動不會引致函數(shù)值增加，那么函數(shù)在點(diǎn)

41、x*處獲得了局部極大值。在Rn中，一些以x*為中心，以 為半徑的球B (x* ) 包含了我們所選擇的所有越來越接近x*的點(diǎn)，并且，對于任意的 0，使對于一切x B (x* ) ，將有f (x* ) f (x)，那么函數(shù)在x*處獲得一個局部極大值。1861872、單變量函數(shù)局部內(nèi)點(diǎn)最優(yōu)化 我們知道：如果函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處有極值，且f (x0 )存在，則f (x0 )0。也就是說，如果函數(shù)在某點(diǎn)處有極值，且一階導(dǎo)數(shù)存在（有時通過“二次連續(xù)可微”來定義；另外，一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是），那么它的一階導(dǎo)數(shù)必為0。我們一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)。駐點(diǎn)給出了單變量函數(shù)局部內(nèi)點(diǎn)最優(yōu)化

42、的一階必要條件。1881893、多變量極值的一階和二階條件如何將單變量的情形擴(kuò)展到多變量的情形，我們需要記住的是：對于各種向量x與z，怎樣才能充分利用函數(shù)g(t) = f (x + tz)，將有關(guān)多變量函數(shù)的問題簡化成關(guān)于單變量函數(shù)的問題。在這樣一種聯(lián)系的基礎(chǔ)上，如果多變量函數(shù)在x*處最大化，那么對于任何向量z，單變量函數(shù)g(t) = f (x* + tz)將會在點(diǎn)t = 0處被最大化，因此，可以在t = 0處把單變量函數(shù)的一階與二階必要條件應(yīng)用于g 。這時對函數(shù)f 而言，我們所要考察的是它在x*處關(guān)于函數(shù)f 的梯度和海賽矩陣的條件約束。1901）一階條件（必要條件）對應(yīng)于單變量函數(shù)最優(yōu)化的一

43、階條件在最優(yōu)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為 0，多變量函數(shù)在最優(yōu)點(diǎn)處的梯度為0。它的含義是：通過讓其中的任何一個變量xi 增加或減少，同時使其他所有變量保持不變，將無法增加f 的值。實(shí)際上，只要梯度向量為0，則所有方向?qū)?shù)都為0，因?yàn)榉较驅(qū)?shù)是梯度的線性組合。1911922）二階條件一階條件是一個必要條件，如果某點(diǎn)為極值點(diǎn)，那么在一點(diǎn)上函數(shù)的梯度為必為0。但從一階必要條件我們并不能知道該點(diǎn)處函數(shù)是極大值還是極小值。為此，同單變量函數(shù)一樣，我們需要二階必要條件。從直觀上來看，對于f (x* ) = 0的點(diǎn)x*，如果函數(shù)在該點(diǎn)的一個鄰域里，函數(shù)是“局部凹的”，那么該點(diǎn)是一個極大點(diǎn)；如果是“局部凸的”，則是一個極小點(diǎn)。

44、因?yàn)楹瘮?shù)的曲率又依賴于海賽矩陣的正負(fù)定性質(zhì)，從直觀上說，如果海賽矩陣H(x)是負(fù)半定，顯然函數(shù)在x 附近是局部凹的；如果是正半定的，則是局部凸的。193194說明：二階必要條件中，強(qiáng)調(diào)了在駐點(diǎn)上，如果獲得極大值，則函數(shù)是負(fù)半定的，也就是凹函數(shù)；如果獲得極小值，則函數(shù)是正半定的，也就是凸函數(shù)；而在二階充分條件中，則強(qiáng)調(diào)了在駐點(diǎn)上，如果函數(shù)是嚴(yán)格凹函數(shù)，則獲得極大值，如果是嚴(yán)格凸函數(shù)則獲得極小值。二階充分條件同二階必要條件相比，顯得更為嚴(yán)格，要求所討論的點(diǎn)如果是一個駐點(diǎn)，并且要求在其嚴(yán)格形式上曲率條件成立，也就是H(x* )負(fù)定或正定，那么，在一些以x*為中心的球的周圍，函數(shù)是嚴(yán)格凹的，或凸的。兩

45、者的區(qū)別表明，如果函數(shù)在某點(diǎn)是負(fù)半定，而非負(fù)定的，我們?nèi)圆荒芘袛嘣擖c(diǎn)是否是局部最大值點(diǎn)。195 定理（海賽矩陣是負(fù)定與正定的充分條件）：設(shè)f (x)是二次連續(xù)可微的，并設(shè)Di(x) 是海賽矩陣H(x)的第i階順序主子式： 1）如果(1)i Di(x) 0 ，i = 1,.,n，那么H(x)是負(fù)定的； 2）如果Di (x) 0 ，i = 1,.,n，那么H(x)是正定的。也就是說，在定義域內(nèi)，對所有x 條件1 成立，那么f 是嚴(yán)格凹的，如果條件2 成立，那么f 是嚴(yán)格凸的。這也就是說，如果海賽矩陣的順序主子式總在改變符號，并由負(fù)號開始，那么函數(shù)是嚴(yán)格凹的，如果海賽矩陣的順序主子式全是正號，那么函

46、數(shù)將是嚴(yán)格凸的。196（3）全局最優(yōu)化進(jìn)一步，對于凹函數(shù)，如果存在一個局部極大值，那么該點(diǎn)也必然是全局最大值；同時，如果是嚴(yán)格凹函數(shù)，那么這一全局最大值是唯一的。極小值的情況與之類似。需要注意的是，局部內(nèi)點(diǎn)最大值的二階必要條件是該點(diǎn)處海賽矩陣是凹的，二階充分條件則是該點(diǎn)處海賽矩陣是嚴(yán)格凹的，而這里凹函數(shù)對應(yīng)全局最大值，而嚴(yán)格凹函數(shù)對應(yīng)唯一全局最大值，其中的凹性是針對所研究的原函數(shù)而言的。197定理：（無約束）局部與全局最優(yōu)化 設(shè)f 是D上一個二次連續(xù)可微的實(shí)值凹函數(shù)，這里，點(diǎn)x*是D的一個內(nèi)點(diǎn)，那么，如下三個命題等價： a）f (x* ) = 0； b）在x*處f 獲得一個局部極大值； c）在

47、x*處f 獲得一個全局極大值。198199三、約束最優(yōu)化2001、等式約束與拉格朗日方法201202拉格朗日方法則是一種解決這類困難問題的有效方法。實(shí)際上，它也無非是一種把等式約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題，從而使問題得以解決的一種方法。對于上面的原問題，構(gòu)造一個新的函數(shù)拉格朗日函數(shù)，并轉(zhuǎn)換為求該無約束函數(shù)的最優(yōu)：2032、拉格朗日方法的有效性現(xiàn)在我們要就拉格朗日方法解決等式約束最優(yōu)化問題的有效性進(jìn)行說明，也就是說：對拉格朗日函數(shù)求最優(yōu)化所獲得的結(jié)果，即一階條件所得到的駐點(diǎn)(x1*, x2* , * )對于一切滿足約束條件的d x1 與d x2 ,d(x1*, x2*)=0204具體說明如

48、下：205我們所需要證明的是：對于所有dx1 、dx2 與d ，dL = 0蘊(yùn)含著，或可推導(dǎo)出，對于所允許的 dx1 、dx2，df = 0，也就是證明：拉格朗日函數(shù)L的一階條件也優(yōu)化了受g(x)約束的f (x)，或者說，在駐點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)f (x)的全微分等于0。206我們的說明是從全微分公式（2.4）開始，對它逐步簡化的過程，分為以下4個步驟：2072083、基于圖形的說明(Dixit)2092102112122132142154、多個變量216結(jié)合m個約束條件，得到的方程數(shù)正好等于未知數(shù)的個數(shù)，從而獲得方程的解x,。2172185、二階條件1）加邊海賽矩陣21922022122222322

49、46、非負(fù)約束2252262277、庫恩塔克條件228229230231232四、比較靜態(tài)分析2331、比較靜態(tài)分析拉格朗日方法把約束的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束問題，但是對于拉格朗日乘子 本身具有怎樣的經(jīng)濟(jì)含義，我們并未給出說明，而這正是這里所要解決的問題。實(shí)際上，我們在約束條件最優(yōu)化問題中，有多個參數(shù)，如約束G(x) = c下最大化F(x)問題中的參數(shù)c，以及其他在函數(shù)F和G 中的參數(shù)，如價格水平等。我們往往想知道的是，當(dāng)這些參數(shù)值改變的時候，將對最優(yōu)問題的結(jié)果產(chǎn)生什么樣的影響。例如，在消費(fèi)者理論中，我們通過比較不同價格和收入帶來預(yù)算線的變動，并進(jìn)一步影響到最優(yōu)選擇，由此討論價格變動的收入效應(yīng)

50、和替代效應(yīng)。這種比較最優(yōu)解如何隨著參數(shù)的變動而變動的一般方法被稱為比較靜態(tài)分析。拉格朗日乘子的重要性在于，它為一個非常重要的比較靜態(tài)問題提供了答案。2342、影子價格1）拉格朗日乘子的含義2352）推廣到用矩陣表示的多個選擇變量和多個約束2363）拉格朗日乘子的解釋237238更為簡潔的一個例子是：考慮兩種資源，資源1 為勞動，資源2 為土地，在這兩種資源約束下， 1和2分別表示各自的乘子?，F(xiàn)在假定增加勞動投入dc1，相應(yīng)要減少土地使用 dc2 。在這一交易中，如果社會福利凈收益 1 dc1 2dc2 是正的，就能得到社會福利的增加。因此，計劃者最多愿意放棄的土地為(1 /2 )dc1。同時，

51、把比例( 1/ 2) 稱為以土地單位來衡量的每單位勞動需求價格。239 3、值函數(shù)與包絡(luò)定理比較靜態(tài)分析中，得出拉格朗日乘子 = dv / dc = v(c)，即目標(biāo)函數(shù)最大值與約束等式右邊參數(shù)兩者變化的比率。實(shí)際上，目標(biāo)函數(shù)和約束等式還包括其他參數(shù)，而目標(biāo)函數(shù)所能達(dá)到的最大值也依賴于所有這些參數(shù)。本部分正是對這種依賴關(guān)系的更為一般的擴(kuò)展。2401）目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)：參數(shù)只影響目標(biāo)函數(shù)的情形問題1：生產(chǎn)者選擇一組投入要素的組合，以最小成本生產(chǎn)給定的產(chǎn)量。目標(biāo)函數(shù)是成本函數(shù)，這時投入價格成為影響目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)，但約束函數(shù)，即應(yīng)該生產(chǎn)的產(chǎn)量，只涉及生產(chǎn)函數(shù)，而不涉及價格。問題2：一國選擇生產(chǎn)方式，

52、使用世界價格衡量的全國產(chǎn)出最大化。這時目標(biāo)函數(shù)是產(chǎn)出，受價格參數(shù)的影響。241242243244245246247 2）影響所有函數(shù)的參數(shù)：G和F都含有參數(shù)248249 3）值函數(shù)與包絡(luò)定理250251252第三講 應(yīng)用(1)：消費(fèi)者行為理論一、基本概念二、從偏好關(guān)系到效用函數(shù)三、消費(fèi)者問題四、間接效用函數(shù)五、支出函數(shù)六、間接效用函數(shù)與支出函數(shù)的關(guān)系七、消費(fèi)者需求的性質(zhì)八、可積分性九、反需求函數(shù)253一、基本概念消費(fèi)者選擇模型主要由四個部分構(gòu)成，即消費(fèi)集、可行集、偏好關(guān)系與行為假定。2541、消費(fèi)集消費(fèi)集X 代表一切備擇物或整個消費(fèi)計劃的集合，它們是消費(fèi)者所能夠設(shè)想到的集合，而不管其中一些它可

53、能是無法得到的。因此，我們可以看到消費(fèi)者即使對于他們在其能力范圍內(nèi)所無法得到的消費(fèi)選擇仍然可以有一個優(yōu)劣的評判，我們正是探討消費(fèi)集之上的偏好關(guān)系。消費(fèi)集有時稱為選擇集。255如果令x i R代表第種商品的數(shù)量，假定其有意義時為非負(fù)，則令x=(x1,xn )為一個向量，它包含n種不同數(shù)量的商品，并稱 x 為消費(fèi)束或消費(fèi)計劃。顯然，一個消費(fèi)束x X可由一個點(diǎn)x Rn+表示。也就是將消費(fèi)集視為整個非負(fù)象限。因此，消費(fèi)集有如下性質(zhì)：消費(fèi)集的最低條件：1） X Rn+ ; 2）X 是閉的; 3）X 是凸的; 4）0 X 。2562、可行集可行集不僅是可想象到的，也是在現(xiàn)實(shí)條件下消費(fèi)者可以獲得的消費(fèi)備擇物

54、。因此，可行集B 代表一切可選擇的消費(fèi)計劃。因此，可以想象可行集B 是消費(fèi)集X 的子集，即B X 。2573、偏好關(guān)系偏好關(guān)系就是消費(fèi)者對想要的各種消費(fèi)束的排序。2584、行為假設(shè)行為假設(shè)確保消費(fèi)者作出選擇的指導(dǎo)原則。一般假定消費(fèi)者在其可獲得的備擇物中，依照其個人偏好，作出最受偏好的選擇。259二、從偏好關(guān)系到效用函數(shù)2601、偏好關(guān)系消費(fèi)者偏好是以公理化為特征的。消費(fèi)者選擇的公理旨在為消費(fèi)者行為的基本方面及其對選擇對象的態(tài)度給予正式的表達(dá)。通過公理化體系表達(dá)了消費(fèi)者能夠選擇，并且這些選擇以特定方式保持一致性。261我們正式用定義在消費(fèi)集X 上的二元關(guān)系 代表消費(fèi)者偏好。如果x1 x2，我們稱

55、對于這個消費(fèi)者“x1 與 x2至少一樣好”。如下公理提出了二元比較必須遵循的基本標(biāo)準(zhǔn)：公理1（完備性）：對于屬于X 的任意兩個選擇x1 與 x2 ，要么x1 x2 ，要么x2 x1 。公理2（傳遞性）：對于屬于X 的任意三個選擇x1 、x2 與 x3，如果x1 x2 且x2 x3 ，則x1 x3 。262完備性公理表明消費(fèi)者具有辨別能力，并能夠?qū)θ魏蝺蓚€消費(fèi)計劃作出比較。傳遞性公理表明消費(fèi)者的選擇具有一致性，可以將成對的比較按一種一致性的方式聯(lián)系起來，并排斥了循環(huán)偏好的出現(xiàn)。我們把消費(fèi)集X上滿足公理1 與公理2 的二元關(guān)系 稱為一種偏好關(guān)系。偏好關(guān)系使消費(fèi)者建立一種排序，并反映那些消費(fèi)者的偏好

56、。滿足上面兩個公理，將使消費(fèi)者能夠完整地對消費(fèi)集X 中的任何有限的要素排序（從最好到最壞，包括有些同樣好）。如果偏好關(guān)系 滿足以上兩個公理，我們就稱偏好關(guān)系 是理性的。263264265公理1 和公理2 告訴我們，相對于x0 ，消費(fèi)者必須把X 中的每一點(diǎn)放到三種相互排斥的類型中去：每個其他點(diǎn)或劣于x0 ，或與x0無差異，或比x0更受偏愛。因此，對于任何消費(fèi)束，三個集合 (x0 )、 (x0 ) 與 (x0 )，劃分了消費(fèi)集。266267268269270局部非飽和性指的是消費(fèi)者無論在一個多么小的選擇區(qū)域里，都可以作出選擇，但并沒有給出具體偏好關(guān)系的信息。一般來說，人們總認(rèn)為“多比少好”，但局部

57、非飽和性并沒有作出類似這樣的限定，也就是在沒有更加限制性的條件下，非飽和性并不排除受偏好的備擇物可能涉及較少的商品，也意味著并沒有賦予消費(fèi)者更多的每件東西就必然使消費(fèi)者得到改善。2712722732742752、效用函數(shù)把偏好關(guān)系轉(zhuǎn)換為效用函數(shù)，使我們便于利用微積分方法進(jìn)行分析。效用函數(shù)的定義如下：定義：代表偏好關(guān)系 的效用函數(shù) 如果對于所有x0 , x1 Rn+ ， u(x0 ) u(x1 ) x0 x1, 那么實(shí)值函數(shù)u : Rn+ R被稱為代表偏好關(guān)系的一個效用函數(shù)。276因此，如果一個效用函數(shù)分派一個較大的數(shù)給所偏愛的消費(fèi)束，那么該函數(shù)則代表了一個消費(fèi)者的偏好關(guān)系。因此，在偏好關(guān)系與效

58、用函數(shù)之間能否具有這種聯(lián)系，也就是能否保證偏好關(guān)系能由一個連續(xù)的實(shí)值函數(shù)來代表的問題。在數(shù)學(xué)上，這一問題就是代表偏好關(guān)系的一個連續(xù)效用函數(shù)的存在性問題?？梢宰C明, 任何一個具備完備性、傳遞性與連續(xù)性的二元關(guān)系才能被用一個連續(xù)實(shí)值函數(shù)來表達(dá)，如Debreu在其1983 年文獻(xiàn)中所給出的證明。但通常教科書中的有關(guān)效用函數(shù)存在性的證明，為簡化分析的需要，往往附加嚴(yán)格單調(diào)性的假定，但不要求任何凸性。277定理：代表偏好關(guān)系的實(shí)值函數(shù)的存在性如果二元關(guān)系 是完備的、可傳遞的、連續(xù)的及嚴(yán)格單調(diào)的，那么，必存在一個連續(xù)的實(shí)值函數(shù)u : Rn+ R ，它一定代表 。 （證明略）278以上定理把用基本的集合論所

59、表示的偏好關(guān)系轉(zhuǎn)換為用一個連續(xù)效用函數(shù)來對偏好關(guān)系加以表述。但效用函數(shù)不是唯一的，如果函數(shù)u 代表一個消費(fèi)者偏好,那么u + 5和u 3同樣是對該消費(fèi)者偏好的表述。對這一性質(zhì)，我們有：定理：效用函數(shù)對正單調(diào)變化的不變性令 是Rn+上的一個偏好關(guān)系，并設(shè)u(x)是一個代表此偏好關(guān)系的效用函數(shù)。對于每個x，當(dāng)且僅當(dāng)v(x) = f (u(x)，這里f : R R ，在由u所確定的值集上是嚴(yán)格遞增的，那么v(x)也代表偏好關(guān)系。（證明略）279效用函數(shù)的序數(shù)性實(shí)際上就是指效用函數(shù)具有單調(diào)遞增變換的性質(zhì)。進(jìn)一步關(guān)于偏好性質(zhì)與效用函數(shù)間的關(guān)系如下：定理：偏好性質(zhì)與效用函數(shù)令 是由u : Rn+ R表示，

60、那么：1）當(dāng)且僅當(dāng) 是嚴(yán)格單調(diào)的，u(x)是嚴(yán)格遞增的；2）當(dāng)且僅當(dāng) 是凸的，u(x)是擬凹的；3）當(dāng)且僅當(dāng) 是嚴(yán)格凸的，u(x)是嚴(yán)格擬凹的。因此，效用函數(shù)作為實(shí)值函數(shù)一般具有連續(xù)性、嚴(yán)格遞增性和嚴(yán)格擬凹性。280281282三、消費(fèi)者問題 現(xiàn)在我們所要研究的消費(fèi)者將具有如下一些要素：1）他擁有一個消費(fèi)集X = Rn+ ，包含消費(fèi)者所可想象到的消費(fèi)備擇物；2）他對備擇物的傾向由定義在Rn+上的偏好關(guān)系 描述；3）消費(fèi)者受限定而實(shí)際可獲得的備擇物構(gòu)成一個可行集B Rn+ ；4）消費(fèi)者按偏好關(guān)系選擇最受偏愛的可行備擇物，即：x* B，使得對于所有x B， x* x.在將偏好關(guān)系轉(zhuǎn)換為效用函數(shù)后，