數(shù)學(xué)分析申大維chap10第3次

1、2 ( 1)n nn2 ( 1)n再如，設(shè) vn 2n，n 1 ，2 ， ,則vn 42極限 lim n v 不存在！nn這表明：級數(shù) 2 (1)n n 的斂散性不能直接利用n122nCauchy根式判別法得出. 能否由比值判別法得出？注意到：0 vn 3 n , 故由比較判別法 , 級數(shù) v 收斂 .4n思考題：試分析根式判別法與比值判別法的優(yōu)劣.回憶：an 0,且 lim an1 A lim n an An ann以上兩個斂散性判別法的條件是充分的, 但并不必要.例如，設(shè) u 2 ( 1)n ，n 1 ，2， 則有 u 3 ,nnnn22由比較判別法可知：級數(shù) un 收斂； un12 (

2、1)n11考慮數(shù)列 un an , 有 lim a2n ,n2( 2 ( 1) )n6lim a2n1 3 , 極限 lim un1 不存在！n2n un這表明：級數(shù) 2 (1)n 的斂散性不能直接利用n12n比值判別法得出. 注意：該級數(shù)的斂散性可由 Cauchy判別法得出:n 2 ( 1)n1lim 1 級數(shù)收斂n2n2以上兩個斂散性判別法的條件是充分的, 但并不必要.例 判別下列級數(shù)的斂散性: (1) (n!)2 /(2 n)! ;n1( 2) n! ; ( 3) 3 3 5 7 9 ;n110n n101 4 7 10解22記 u (n!) , 則 lim un1 lim (n 1)

3、1 1n(2n)!n unn (2n 1)(2n 2)4記 v n! , 則 lim vn1 lim (n 1) n10 1n 10n n10n vnn 10 ( n 1)10 級數(shù) (1)收斂, 級數(shù) ( 2) 發(fā)散.級數(shù)(3) 的通項公式為an 1 3 5(2n 1) , n 1, 2,1 4 7(3n 2)lim an1 lim 2n 3 2 1 , 級數(shù) (3) 收斂.n ann 3n 13以幾何級數(shù) 0 ) 為標(biāo)準(zhǔn)建立的判別法：Cauchy 根式判別法：設(shè)un 是正項級數(shù),且 lim n un r 存在或 lim n un r ,nn則 r 1 時un 收斂；r 1 時un 發(fā)散.(

4、 DAlembert)比值判別法：設(shè) n 充分大時，un 0 ，且 lim un1 ( 0 ) .n un若 1，則 un 收斂；若 1 ，則 un 發(fā)散.正項級數(shù) un 收斂lim n u 1 或 lim un1 1nnn un以上兩個斂散性判別法的條件是充分的, 但并不必要.( dAlembert) 比值判別法：設(shè) n 充分大時，un 0 ，且 lim un1 ( 0 ) .n un若 1，則 un 收斂；若 1 ，則 un 發(fā)散.附注 1 滿足 lim un1 1的正項級數(shù)u 有些收斂( 如n unn(1 / n2 ) ，有些是發(fā)散的( 如(1 / n ) ；判別法的條件充分而非必要2

5、若 lim | a n1 | 1, 則an 絕對收斂 an 收斂；n an若 lim | an1 | 1，則| an |發(fā)散； 由極限性質(zhì)，n ann 充分大以后，| an1 | 1, 即 n 充分大以后數(shù)列| a | ann嚴(yán)格遞增，從而 an不收斂于 0，故 an 必發(fā)散！Cauchy 根式判別法： 設(shè) un 是正項級數(shù),n1且 lim n un r 存在或 lim n un r ,nn則 r 1 時 un 收斂； r 1 時 un 發(fā)散.n1附注 1 lim n u 1 時無法根據(jù)此判別法判別級數(shù)u 的nnn斂散性； （該判別法在此種情況下失效?。?. 若 lim n | un | r

6、1, 則un 絕對收斂 un 收斂；n若 lim n | un | r 1，則 | un |發(fā)散，且此時可推出n un 也發(fā)散； 一般情況下 | an |發(fā)散 an 發(fā)散；注意：極限 lim n a 有時不易計算，如 a 3 n n! ；nnnn n例級數(shù)enn! 的斂散性，其中 p 為參數(shù).n1 nn pnna解 記 a e n! ，liman lim n1 1nn pnn an nn( an 1) n( enn! (n 1) n1 p 1) n(1 1 )n p ean1nn p en1(n 1)!en(1 x)p (1/ x) e(1 x) p(1/ x ) ( px 1) ln(1 x

7、) lim limx0 xx01x lim n( an 1) p 1 ( p 1 )enan122p 3時，級數(shù) enn! 收斂由拉貝判別法：2n1 nn pp 3時，級數(shù) enn! 發(fā)散.2n1 nn p拉貝( Raabe )判別法：設(shè) n 充分大時， un 0，且極限 lim n( un 1) Ln un1存在( 或為 ， ) .若L 1，則 un 收斂；若 L 1，則 un 發(fā)散.例 3 n 的斂散性.n1nan1這表明：解 記 an 1 / 3 n ， liman lim a 1nn nn( an 1) n( n 1 n) 3 n 1 n 1an1n 1 nlim 3x 1 lim e

8、 x ln 3 1 ln 3 lim n( an 1) x0 xx0 xn an1所以， n 1n13收斂.以 p-級數(shù) n p 為比較標(biāo)準(zhǔn)建立的判別法：若 p 1, 使得 n 充分大時un 1 ，則 un cgt.np若 p 1, 使得 n 充分大時ln un p ln n，則un cgt.對數(shù)比值判別法：設(shè) n 充分大時un 0，且 lim ln(1 / un ) L.nln n若L 1，則 un cgt.；若L 1 ，則 un dgt.對于滿足L 1 的正項級數(shù)un ，此法不能判別.例 3 n 的斂散性.n1解 lim l 1/ 3 n )n( lim n ln 3 1 1 cgt.nl

9、n nn ln nn1 3 nL可以是 例 1 的斂散性. 根式判別法失效!n1 3 n解法二 注意到：x 時, 1 x o( 1 ) ,3x4 1 n 時, 1 o( 1 ) ,即有 lim 3 n 03 nn2n 1 n2由比較判別法的極限形式，可知原級數(shù)收斂.9例 1 的斂散性. 根式判別法失效!n1 3 n解 利用積分判別法，設(shè) N 是某個自然數(shù)， f (x ) 在 N , ) 內(nèi)單調(diào)遞減，且 f ( x) 0 . 又設(shè) a n f( n) , n N , N 1, , 則級數(shù)a 收斂 數(shù)列極限 lim n f ( x) dx 存在.n N nn Nf ( x) 1 在x 1內(nèi)單調(diào)遞減

10、，非負(fù)， f (n) 1 .3 x3 n令 x t , n dxn 2tdt n 2tet ln 3dt 1 3 x13t1練習(xí)題8 lim n dx 存在n 1 3 x例 判別下列級數(shù)的斂散性: n 1 .n n 1 n12 n( 2n 1)解 lim2n(2n 1) 1 Cauchy 根式判別法失效ndAlembert 比值判別法也一定失效！注意到：n 1 n 1 1 / n 2n(2n 1)n n 2(2 1 / n) 1 1 o(1) 1 o( 1 ) , n n n 44n3 / 2n3 / 2 limn 11 1 , 由比較判別法的極限形式，n 2n(2n 1) n3 / 24級數(shù) n 1 與 1 有相同的斂散性 ,n1 2n(2n 1)n1 n3 / 2 級數(shù) n 1 收斂.n1 2n(2n 1)補充題 1. 設(shè)有數(shù)列 xn. 已知存在常數(shù)M 0, 使得對一切自然數(shù) n,3 n M.求證：數(shù)列 xn收斂.補充題 2. 設(shè)un 0 (n 1, 2,)，且 lim n 1，n un級數(shù) ( 1 1 )的斂散性.n1 unun1補充題 3. 設(shè) an 0 , n 1, 2 , ，且極限 lim an1 qn an存在，求證：對任意的 r q， lim