幾何體的內(nèi)切球和外接球三視圖教師版講義全

1、PAGE9 / NUMPAGES9專(zhuān)題：幾何體的切球和外接球 三視圖學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握幾何體的切球和外接球問(wèn)題；2.掌握幾何體的三視圖。自主研讀學(xué)習(xí)單1.如果一個(gè)球與幾何體的各個(gè)面都相切，球?yàn)閹缀误w的切球；2.如果一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都在球面上，球?yàn)閹缀误w的外接球；3.棱長(zhǎng)為的正四面體的高為_(kāi);它的外接球半徑為_(kāi);切球半徑為_(kāi);球心為高的_等分點(diǎn)。解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)是切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為由圖形的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)也是外接球的球心設(shè)切球半徑為，外接球半徑為正四面體的表面積正四面體的體積，在中，即，得，得變式：一個(gè)正四面體切球的表面積為，求正四面體的棱長(zhǎng)。（答案為：）4.正方體的切球：5.與正方體各

2、棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，6.正方體的外接球：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，。變式：一棱長(zhǎng)為的框架型正方體，放一能充氣吹脹的氣球，求當(dāng)球與正方體棱適好接觸但又不至于變形時(shí)的球的體積。（答案為）7.正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心與底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。合作探究學(xué)習(xí)單題型一 幾何體的切球和外接球例1.正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，正三棱錐有一個(gè)球與其四個(gè)面相切求球的表面積與體積解：如圖，球是正三棱錐的切球，到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑是正三棱錐的高，即是邊中點(diǎn)，在上，的邊長(zhǎng)為， 可以得到 由等體積法， 得：， 例

3、2.求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比分析：首先畫(huà)出球與它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；， ， ，例3.已知正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。分析：先畫(huà)出過(guò)球心的截面圖，再來(lái)探求半徑之間的關(guān)系。解：如圖，由題意得兩球心、是重合的，過(guò)正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，則，正三棱柱的高為，由中，得，例4.設(shè)棱錐的底面是正方形，且，如果的面積為1，試

4、求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.解：平面，由此，面面.記是的中點(diǎn)，從而.平面，設(shè)球是與平面、平面、平面都相切的球.如圖2，得截面圖與切圓不妨設(shè)平面，于是是的心.設(shè)球的半徑為，則，設(shè),.,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足條件的球最大半徑為. 例5.在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為A.B.C.D.解 設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知.點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，外接球的半徑.故.選C.題型二 幾何體的三視圖三視圖?？疾椋喝晥D的識(shí)別與還原問(wèn)題；以三視圖為載體考查空間幾何體的表面積、體積等問(wèn)題主要考查學(xué)生的空間想象能

5、力與運(yùn)算能力，是近幾年高考的熱點(diǎn)例1.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是()A.eq f(4 000,3) cm3B.eq f(8 000,3) cm3C2 000 cm3D4 000 cm3 審題視點(diǎn) 畫(huà)出直觀圖后求解 此幾何體的圖為SABCD，且平面SCD平面ABCD，ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為20 cm，S在底面的射影為CD的中點(diǎn)E，SE20 cm，VSABCDeq f(1,3)SABCDSEeq f(8 000,3) cm3.故選B. 解答此類(lèi)題目時(shí)：(1)可以從熟知的某一視圖出發(fā)，想象出直觀圖，再驗(yàn)證其他視圖是否正確；(2)視圖中標(biāo)注的

6、長(zhǎng)度在直觀圖中代表什么，要分辨清楚；(3)視圖之間的數(shù)量關(guān)系：正俯長(zhǎng)對(duì)正，正側(cè)高平齊，側(cè)俯寬相等例2.如圖是某三棱柱被削去一個(gè)底面后的直觀圖與側(cè)(左)視圖、俯視圖已知CF2AD，側(cè)(左)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形；俯視圖是直角梯形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示求該幾何體的體積解如圖，取CF的中點(diǎn)P，過(guò)P作PQCB交BE于Q，連接PD，QD，ADCP，且ADCP.四邊形ACPD為平行四邊形，ACPD.平面PDQ平面ABC，該幾何體可分割成三棱柱PDQCAB和四棱錐DPQEF，VV三棱柱PDQCABVDPQEFeq f(1,2)22sin 602eq f(1,3)eq f(122,2)eq r(3)3eq r

7、(3).例3.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的個(gè)條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為.6 .4答案：B課堂小結(jié)幾何體的切球和外接球 三視圖鞏固提升學(xué)習(xí)單1若一個(gè)正三棱柱存在外接球與切球，則它的外接球與切球表面積之比為（ ） A. 3 ：1 B . 4 ：1 C . 5 ：1 D. 6 ：1答案C解析設(shè)切球的半徑為r,外接球的半徑為R,底邊邊長(zhǎng)為a,則,所以2在正四棱錐S-ABCD中，側(cè)面與底面所成的角為，則它的外接球半徑R與切球半徑之比為（）A5BC10D答案D3已知四面體ABCD中，ABAD6，AC4，CD2，AB平面ACD，則四面體 ABCD外接球的表面積

8、為（ ）A36 B88 C92 D128答案B解析試題分析：在中，由，可得，則，又，故，則.4一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為_(kāi).正視圖側(cè)視圖俯視圖解析由三視圖可得，該幾何體為一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，如下圖中，其中底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，由圖可知，該四棱錐的外接球球心即該四棱錐所在的正方體的中心，由此可得球半徑，所以其表面積為5在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是SC、BC的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱SA=，則正三棱錐 S-ABC外接球的表面積為_(kāi).解析如圖，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以。而是正三棱錐，所以，所以。因?yàn)?，所以?/p>

9、，從而可得面，故。將此正三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有一樣的外接球。因?yàn)閭?cè)棱，所以補(bǔ)成的正方體的邊長(zhǎng)為，則它們的外接球半徑，所以外接球表面積為6已知四面體的外接球的球心在上，且平面， ， 若四面體的體積為，則該球的體積為_(kāi)；答案解析試題分析：設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍蛐脑谏?，所以為的中點(diǎn)，且為直角三角形，因?yàn)?，所以，所?所以該球的體積為考點(diǎn)：本小題主要考查四面體的接球的體積計(jì)算.點(diǎn)評(píng)：解決此小題的關(guān)鍵是分析出是直角三角形，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.7在平行四邊ABCD中，,若將其沿BD折成直二面角 A-BD-C,則三棱錐ABCD的外接球的體積為_(kāi).答案解析試題分析：因?yàn)榍蛐牡礁鞫c(diǎn)的距離相

10、等，所以易知該外接球的球心在AC的中點(diǎn)，又在平行四邊ABCD中，,所以,而折成直二面角后，,所以該外接球的球半徑為1，所以體積為考點(diǎn)：本小題主要考查空間幾何體的外接球的體積.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于這種折疊問(wèn)題，要搞清楚折疊前后的量有哪些發(fā)生了變化，哪些沒(méi)有發(fā)生變化.8如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為. 答案8解析試題分析：由三視圖可知空間幾何體為三棱錐，底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面，設(shè)底面為,側(cè)棱所以其外接球球心在中點(diǎn)處，球的半徑，所以表面積考點(diǎn)：三視圖與球的表面積計(jì)算點(diǎn)評(píng)：先由三視圖還原直觀圖在求其外接球的表面積9圓臺(tái)的軸截面面積是Q，母線與下底面成60角，則圓臺(tái)的切球的表

11、面積是（ ）。（A） （B）Q （C）Q （D）Q答案D10已知球是棱長(zhǎng)為的正方體的切球，則平面截球的截面面積為.答案11如圖，多面體ABCDEFG的底面ABCD為正方形，F(xiàn)CGD2EA，其俯視圖如下，則其正視圖和側(cè)視圖正確的是 ()解析注意BE，BG在平面CDGF上的投影為實(shí)線，且由已知長(zhǎng)度關(guān)系確定投影位置，排除A，C選項(xiàng)，觀察B，D選項(xiàng)，側(cè)視圖是指光線，從幾何體的左面向右面正投影，則BG，BF的投影為虛線，故選D.答案D12如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐ABCD正視圖和俯視圖如圖，則三棱錐ABCD側(cè)視圖的面積為 ()A.eq f(6,13)B.eq f(18,13)C.eq f(2,13)D.eq f(3,13)解析由正視圖與俯視圖可得，在三棱錐ABCD中，平面ABD平面BCD，該幾何體的側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為eq f(23,r(2232)eq f(6,r(13)的等腰直角三角形，其面積為eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,r(13)eq sup12(2)eq f(18,13).答案B13某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ()A.eq f(560,3)B.eq f(580,3)C200 D240解析由三視圖還原的幾何體為兩底面為等腰梯形的直棱柱，梯形的面積為eq f(1,2