概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件：1-2 概率的定義及其性質(zhì)

1、唯一可以確定無疑的是任何事情都不是確定無疑的Pliny the Elder（公元23-79 羅馬學(xué)者）【哈佛大學(xué)經(jīng)濟學(xué)教授曼昆對大學(xué)生提出的5條建議】1，學(xué)點經(jīng)濟學(xué)，知道經(jīng)濟規(guī)律，把握自己人生。2，學(xué)點統(tǒng)計學(xué)，統(tǒng)計是現(xiàn)實中最經(jīng)常用到的技能。3，學(xué)點金融學(xué)，要有人生風(fēng)險的概念。4，學(xué)點心理學(xué)，認清人類理性的暇疵，包括你自己的。5，相信直覺，忽視你認為應(yīng)該忽視的忠告。1.2 概率的定義及其性質(zhì) 幾何定義 統(tǒng)計定義 古典定義概率的公理化定義定義 設(shè) E 是一隨機試驗，它具有下列特點： 基本事件的個數(shù)有限 每個基本事件發(fā)生的可能性大小相同則稱 E 為 等可能概型記 則 等可能（古典）概型求概率問題轉(zhuǎn)化

2、為計數(shù)問題 ，排列組合是計算古典概率的重要工具 . 非負性： 規(guī)范性： 有限可加性：其中 為兩兩互斥事件。古典概型的性質(zhì)：例1.從1至9這九個號碼中，隨機的取4個號碼，數(shù)碼之和為奇數(shù)的概率p=例2投擲三顆骰子，其中一個出現(xiàn)點數(shù)為5，而另外兩個出現(xiàn)的點數(shù)不同且不等于5的概率為給一個陷阱，以什么為樣本空間。例35個有區(qū)別的球隨機的放入10個盒內(nèi)，求恰有且僅有2個球放在同一盒內(nèi)的概率。以放球的方法為樣本！例4 （分房問題）設(shè)有 k 個不同的球，每個球 等可能地落入 N 個盒子中（ ）, 設(shè)每 個盒子容納的球數(shù)無限，求下列事件的概 率（1）某指定的 k 個盒子中各有一球；（2）恰有 k 個盒子中各有一

3、球；（3）某指定的一個盒子沒有球；（4）某指定的一個盒子恰有 m 個球 ( )；（5）至少有兩個球在同一盒子中解設(shè)（1）（5）的各事件分別為則例5 某人的表停了，他打開收音機聽電臺報時， 已知電臺是整點報時的，問他等待報時的時 間短于十分鐘的概率9點10點10分鐘幾何概型 ( 等可能概型的推廣)幾何概型 設(shè)樣本空間是一個有限區(qū)域S，若樣本點落入S內(nèi)任何區(qū)域A 中的概率與區(qū)域A 的測度成正比，則樣本點落入A內(nèi)的概率為 非負性： 規(guī)范性： 有限可加性：其中 為兩兩互斥事件。幾何概型的性質(zhì)： 可列限可加性：其中 為兩兩互斥事件。例6 兩船欲?？客粋€碼頭, 設(shè)兩船到達碼頭的時間各不相干，而且到達碼頭

4、的時間在一晝夜內(nèi)是等可能的. 如果兩船到達碼頭后需在碼頭停留的時間分別是1 小時與2 小 時，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達時，需 要等待空出碼頭的概率.解 設(shè)船1 到達碼頭的瞬時為 x ，0 x 24 船2 到達碼頭的瞬時為 y ，0 y 24設(shè)事件 A 表示任一船到達碼頭時需要等待 空出碼頭xy2424y = xy = x + 1y = x - 2定義 設(shè)在 n 次試驗中，事件 A 發(fā)生了nA 次， 則稱為事件A 在這 n 次試驗中發(fā)生的頻率 統(tǒng)計定義頻率意義:(1) 提供了估計概率的方法;(2)提供了一種檢驗理論正確與否的準則.頻率的性質(zhì) 事件 A, B互斥，則可推廣到有限個兩兩互斥事件的和

5、事件非負性 規(guī)范性可加性 穩(wěn)定性投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù)Buffon n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069Pearson n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005頻率穩(wěn)定性的實例 蒲豐投幣 皮爾森投幣擲一枚均勻硬幣，記錄前400次擲硬幣試驗中頻率P*的波動情況。（正面出現(xiàn)頻率的趨勢，橫軸為對數(shù)尺度） 例：Dewey G. 統(tǒng)計了約438023個英語單詞中各 字母出現(xiàn)的頻率，發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率 不同：A: 0.0788 B: 0.0156

6、C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006概率的公理化定義 設(shè) 是隨機試驗E 的樣本空間，若能找到一個法則，使得對于E 的每一事件 A 賦于一個實數(shù)，記為P ( A ), 稱之

7、為事件 A 的概率，這種賦值滿足下面的三條公理： 非負性： 規(guī)范性： 可列可加性：其中 為兩兩互斥事件，概率的定義概率的公理化理論由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫(A.H.)1933年建立.概率的性質(zhì) 有限可加性: 設(shè) 為兩兩互斥事件， 若 加法公式：對任意兩個事件A, B, 有 推廣：一般： 例7 小王參加“智力大沖浪”游戲, 他能答出第 一類問題的概率為0.7, 答出第二類問題的概率為0.2, 兩類問題都能答出的概率為0.1. 求小王解 設(shè)事件Ai 表示“能答出第 i 類問題” i = 1,2(1)(1) 答出第一類而答不出第二類問題的概率 (2) 兩類問題中至少有一類能答出的概率 (3) 兩類問題都答不出的概率(2)(3)排列、組合有關(guān)知識復(fù)習(xí)：加法原理：完成一件事情有n 類方法，第 i 類方法中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情共有 種不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 個步驟，第 i 個步驟中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情共有 種不同的方法排列：從 n 個不同的元素中取出 m 個 （不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有全排列可重復(fù)排列：從 n 個不同的元素中可重復(fù)地 取出 m 個排成一排, 不同的排法有種不盡相異元素的全排列：n 個元素中有 m 類，第 i 類中有