《微分幾何》第22頁(yè)習(xí)題解答1(略_第1頁(yè)
《微分幾何》第22頁(yè)習(xí)題解答1(略_第2頁(yè)
《微分幾何》第22頁(yè)習(xí)題解答1(略_第3頁(yè)
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1、 微分幾何第22頁(yè)習(xí)題解答1.(略)2.求證常向量的微商等于零向量.證明：設(shè)r(t)在其定義域內(nèi)是常向量,即對(duì)其定義域內(nèi)的任何ti和t2都有r(ti)=r(t2),于是由微商的定義r(t)=0.limr(t+?t)-?t-0?t3.證明dtpj=ptp(tr)p(t),其中pt)是t的標(biāo)量函數(shù).證明：利用向量微分的性質(zhì)(入)=Xr+入r直接計(jì)算即可利用向量函數(shù)的泰勒公式，證明如果向量在某區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)其微商為0,則此向量在該區(qū)間是常向量證明：設(shè)to(a,b)是向量函數(shù)r(t)在定義域內(nèi)的任意一個(gè)取定點(diǎn),則對(duì)?t=to+?t(a,b),由向量函數(shù)的泰勒公式有r(to+?t)-r(to)=?tr(t

2、o)+(?t)22!r(to)+ # =o,從而在(a,b)內(nèi)成立由題設(shè),對(duì)?t(a,b),r(t)=o,于是r(to)=r(to)=r(t)=r(to),?t(a,b).證明r(t)具有固定方向的充要條件是rxr=o.證明：設(shè)r(t)=X(t)e(t),其中入(t)=|r(t)|=0,e(t)是與r(t)同向的單位向量若r(t)具有固定方向，則e(t)為常向量e,因此r(t)=X(t)e,所以r(t)xr(t)=XXxe=0.反之，若rxr=0,我們來(lái)證明r(t)具有固定方向,換句話說(shuō)即證明e(t)與t無(wú)關(guān).事實(shí)上,對(duì)r(t)=入(t)e(t)兩邊求導(dǎo)得r(t)=入(t)e(t)+入(t)e

3、(t).由題設(shè)0=rxr=f(t)e(t)xe(t),由于ft)=0,故e(t)xe(t)=0.另一方面由Lagrange恒等式,22222(e(t)xe(t)2=e2(t)e(t)-(e(t)(t)2=(e)2(t),(這里利用e(t)是單位向量,所以e2(t)=1).所以e=0,即e(t)是常向量,或者說(shuō)r(t)具有固定方向.證明r(t)平行于固定平面的充要條件是(r,r,r)=0.證明：設(shè)固定平面的法向量為n(非零常向量).注意到若rxr=0時(shí),結(jié)論顯然成立,所以我們以下假定rxr=0.=?)由r(t)-n=0,兩邊求導(dǎo)得對(duì)上式兩邊再求導(dǎo)得r(t)n=0,r(t)-n=0,于是非零矢量n同時(shí)垂直于r,r,r.故r,r,r共面,或(r,r,r)=0.?=)若(r,r,r)=0,則r,r,r共面，而rxr=0說(shuō)明r與r不共線，從而可設(shè)r=fr(ir,其中f，為純量函數(shù).此時(shí)令n=rxr,

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