拉普拉斯變換的基本原理和性質(zhì)PPT通用課件

1、第14章 線性動態(tài)電路的 復(fù)頻域分析重點 (1) 拉普拉斯變換的基本原理和性質(zhì) (2) 掌握用拉普拉斯變換分析線性電 路的方法和步驟 下 頁(3) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的概念(4) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點和零點 拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時域問題通過數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，把時域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應(yīng)用拉氏變換進行電路分析稱為電路的復(fù)頻域分析法，又稱運算法。14.1 拉普拉斯變換的定義1. 拉氏變換法下 頁上 頁例一些常用的變換對數(shù)變換下 頁上 頁乘法運算變換為加法運算相量法時域的正弦運算變換為復(fù)數(shù)運算拉氏變換F(s)(頻域象函數(shù))

2、對應(yīng)f(t)(時域原函數(shù))下 頁上 頁2. 拉氏變換的定義定義 0 , )區(qū)間函數(shù) f(t)的拉普拉斯變換式：正變換反變換s 復(fù)頻率積分下限從0 開始，稱為0 拉氏變換 。積分下限從0 + 開始，稱為0 + 拉氏變換 。 積分域下 頁上 頁注意今后討論的均為0 拉氏變換。0 ,0區(qū)間 f(t) =(t)時此項 0象函數(shù)F(s) 存在的條件：如果存在有限常數(shù)M和 c 使函數(shù) f(t) 滿足： 則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因為總可以找到一個合適的s 值使上式積分為有限值。下 頁上 頁象函數(shù)F(s) 用大寫字母表示,如I(s)，U(s)。原函數(shù)f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(

3、t)。3.典型函數(shù)的拉氏變換 (1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)下 頁上 頁(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)下 頁上 頁14.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1.線性性質(zhì)下 頁上 頁證例1解例2解 根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個函數(shù)相加減的象函數(shù)時，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進行相乘及加減計算。下 頁上 頁結(jié)論2. 微分性質(zhì)下 頁上 頁證若足夠大0例解下 頁上 頁利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)推廣：解下 頁上 頁下 頁上 頁3.積分性質(zhì)證應(yīng)用微分性質(zhì)下 頁上 頁例解4.延遲性質(zhì)下 頁上 頁證例1例2求矩形脈沖的象函數(shù)解根據(jù)延遲性質(zhì)求三角波的象函數(shù)解下 頁上 頁TTf(t)01T

4、tf(t)0求周期函數(shù)的拉氏變換 設(shè)f1(t)為一個周期的函數(shù)例3解下 頁上 頁.tf(t)1T/2T0下 頁上 頁對于本題脈沖序列5.拉普拉斯的卷積定理下 頁上 頁證14.3 拉普拉斯反變換的部分分式展開 用拉氏變換求解線性電路的時域響應(yīng)時，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對簡單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)下 頁上 頁(3)把F(s)分解為簡單項的組合部分分式展開法利用部分分式可將F(s)分解為：下 頁上 頁象函數(shù)的一般形式待定常數(shù)討論待定常數(shù)的確定：方法1下 頁上 頁方法2求極限的方法令s = p1下 頁上 頁例解法1解法

5、2下 頁上 頁原函數(shù)的一般形式下 頁上 頁K1、K2也是一對共軛復(fù)數(shù)注意下 頁上 頁例解下 頁上 頁下 頁上 頁例解下 頁上 頁 n =m 時將F(s)化成真分式和多項式之和 由F(s)求f(t) 的步驟： 求真分式分母的根，將真分式展開成部分分式 求各部分分式的系數(shù) 對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換 。下 頁上 頁小結(jié)例解下 頁上 頁14.4 運算電路基爾霍夫定律的時域表示：1.基爾霍夫定律的運算形式下 頁上 頁根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得KCL、KVL的運算形式對任一結(jié)點對任一回路u=Ri2.電路元件的運算形式 電阻R的運算形式取拉氏變換電阻的運算電路下 頁上 頁uR(t)i(t)R+-

6、時域形式：R+- 電感L的運算形式取拉氏變換,由微分性質(zhì)得L的運算電路下 頁上 頁i(t)+ u(t) -L+ -sLU(s)I(s)+-時域形式：sL+ U(s)I(s ) - 電容C的運算形式C的運算電路下 頁上 頁i(t)+ u(t) -C時域形式：取拉氏變換,由積分性質(zhì)得+ -1/sCU(s)I(s)+-1/sCCu(0-)+ U(s)I(s ) - 耦合電感的運算形式下 頁上 頁i1*L1L2+_u1+_u2i2M時域形式：取拉氏變換,由微分性質(zhì)得互感運算阻抗耦合電感的運算電路下 頁上 頁+-+sL2+sM+ +sL1- + 受控源的運算形式受控源的運算電路下 頁上 頁時域形式：b

7、i1+_u2i2_u1i1+R取拉氏變換+_+R3. RLC串聯(lián)電路的運算形式下 頁上 頁u (t)RC-+iLU (s)R1/sC-+sLI (s)時域電路 拉氏變換運算電路運算阻抗下 頁上 頁運算形式的歐姆定律u (t)RC-+iL+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)拉氏變換下 頁上 頁+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-) 電壓、電流用象函數(shù)形式； 元件用運算阻抗或運算導(dǎo)納表示； 電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。下 頁上 頁電路的運算形式小結(jié)例給出圖示電路的運算電路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解t=0 時開關(guān)打開

8、uc(0-)=25V iL(0-)=5A時域電路注意附加電源下 頁上 頁1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t 0 運算電路14.5 應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路 由換路前的電路計算uc(0-) , iL(0-) ； 畫運算電路模型，注意運算阻抗的表示和附加電源的作用； 應(yīng)用前面各章介紹的各種計算方法求象函數(shù)； 反變換求原函數(shù)。下 頁上 頁1. 運算法的計算步驟例1(2) 畫運算電路解(1) 計算初值下 頁上 頁電路原處于穩(wěn)態(tài)，t =0 時開關(guān)閉合，試用運算法求電流 i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(

9、s)+-1+-uC(0-)/s(3) 應(yīng)用回路電流法下 頁上 頁1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s下 頁上 頁(4)反變換求原函數(shù)下 頁上 頁例2，求uC(t)、iC(t)。圖示電路RC+ucis解畫運算電路1/sC+Uc(s)R下 頁上 頁1/sC+Uc(s)Rt = 0時打開開關(guān) ,求電感電流和電壓。例3下 頁上 頁解計算初值+-i10.3H0.1H10V23i2畫運算電路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23下 頁上 頁10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23注意UL1(s)下 頁上 頁10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-

10、233.75ti1520下 頁上 頁uL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190下 頁上 頁注意 由于拉氏變換中用0- 初始條件，躍變情況自動包含在響應(yīng)中，故不需先求 t =0+時的躍變值。 兩個電感電壓中的沖擊部分大小相同而方向相反，故整個回路中無沖擊電壓。 滿足磁鏈?zhǔn)睾恪Ｉ?頁14.6 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義1. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H（s）的定義 線性線性時不變網(wǎng)絡(luò)在單一電源激勵下，其零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵的像函數(shù)之比定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)。下 頁上 頁由于激勵E(s)可以是電壓源或電流源，響應(yīng)R(s)可以是電壓或電流，故 s 域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以是驅(qū)動點阻抗（導(dǎo)納），轉(zhuǎn)移

11、阻抗（導(dǎo)納），電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)或電流轉(zhuǎn)移函數(shù)。下 頁上 頁注意若E(s)=1，響應(yīng)R(s)=H(s)，即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是該響應(yīng)的像函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖擊響應(yīng) h(t)。2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的應(yīng)用由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)求取任意激勵的零狀態(tài)響應(yīng)例下 頁上 頁1/4F2H2i(t)u1+-u21解畫運算電路下 頁上 頁I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s)2+-1例下 頁上 頁解畫運算電路電路激勵為，求沖激響應(yīng)GC+ucissC+Uc(s)G下 頁上 頁3. 應(yīng)用卷積定理求電路響應(yīng)結(jié)論 可以通過求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)與任意激勵的象函數(shù)E(s)之積的拉氏反變換求得該網(wǎng)絡(luò)在任何激勵下的零狀態(tài)響應(yīng) 。 K1=3 ,

12、K2= -3例解下 頁上 頁圖示電路 ，沖擊響應(yīng)，求uC(t)。線性無源電阻網(wǎng)絡(luò)+-usCuc+-14.7 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點和零點1. 極點和零點下 頁上 頁當(dāng) s =zi 時，H(s)=0， 稱 zi 為零點， zi 為重根，稱為重零點；當(dāng) s =pj 時，H(s) ， 稱 pj 為極點，pj 為重根，稱為重極點；2. 復(fù)平面（或s 平面） 在復(fù)平面上把 H(s) 的極點用 表示 ，零點用 o 表示。零、極點分布圖下 頁上 頁zi ， Pj 為復(fù)數(shù)jo0例繪出其極零點圖。解下 頁上 頁下 頁上 頁24 -1jo0o14.8 極點、零點與沖激響應(yīng)零狀態(tài)e(t)r(t)激勵 響應(yīng)下 頁上 頁1.

13、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖擊響應(yīng)零狀態(tài)(t)h(t) 1 R(s)沖擊響應(yīng)H(s) 和沖激響應(yīng)構(gòu)成一對拉氏變換對。結(jié)論H0=-10例 已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有兩個極點為s =0、s =-1，一個單零點為s=1，且有 ，求H(s) 和 h(t）。解由已知的零、極點得：下 頁上 頁下 頁上 頁2. 極點、零點與沖擊響應(yīng) 若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為真分式且分母具有單根，則網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)為：討論當(dāng)Pi為負(fù)實根時，h(t)為衰減的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)Pi為正實根時，h(t)為增長的指數(shù)函數(shù)； 極點位置不同，響應(yīng)性質(zhì)不同，極點反映網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)動態(tài)過程中自由分量的變化規(guī)律。注意下 頁上 頁j0不穩(wěn)定電路穩(wěn)定電路下 頁上 頁j0當(dāng)Pi為共軛復(fù)數(shù)時，h(t)為衰減或增長的正弦函數(shù)； 不穩(wěn)定電路穩(wěn)定電路下 頁上 頁j0當(dāng)Pi為虛根時，h(t)為純正弦函數(shù)，當(dāng)Pi為零時，h(t)為實數(shù)； 注意 一個實際的線性電路是穩(wěn)定電路，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點一定位于左半平面。根據(jù)的極點分布情況和激勵變化規(guī)律可以預(yù)見時域響應(yīng)的全部特點。14.9 極點、零點與頻率響應(yīng) 令