淺析小學(xué)生數(shù)學(xué)幾何空間思維能力的培養(yǎng)

1、 PAGE8 / NUMPAGES8 淺談小學(xué)生數(shù)學(xué)幾何空間思維能力的培養(yǎng)【內(nèi)容摘要】幾何初步知識是小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的主要內(nèi)容之一，本文對小學(xué)數(shù)學(xué)幾何知識教學(xué)的特點(diǎn)進(jìn)行了分析，并介紹了如何在教學(xué)過程中，采用豐富的感知活動，使學(xué)生逐步形成幾何形體的表象；運(yùn)用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)和幾何綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和積累水平；并展開發(fā)散思維訓(xùn)練，不斷豐富學(xué)生的空間思維能力?！娟P(guān)鍵字】幾何初步，表象，空間觀念，空間思維引言數(shù)學(xué)通常概括來說可以分成數(shù)和形，小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容同樣也包括數(shù)和形兩個(gè)部分，其中形就是指幾何初步知識。幾何初步知識是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識的主要內(nèi)容之一，在日常生活中有廣泛的應(yīng)用。在小學(xué)階段，學(xué)生

2、們主要學(xué)習(xí)簡單的幾何基礎(chǔ)知識，認(rèn)識一些常見的圖形，了解它們的特征，并學(xué)會計(jì)算他們的周長、面積、體積等。由于受傳統(tǒng)觀念與“應(yīng)試教育”思想的影響，學(xué)校教學(xué)中往往只重視求積的計(jì)算教學(xué)，重視概念教學(xué)或者過分強(qiáng)調(diào)抽象思維能力的培養(yǎng)，而忽視直觀和表象的作用，以至于造成學(xué)生對形成幾何圖形的表象不深刻，空間觀念淡漠。因此，在教學(xué)過程中，我們就要注意多層次、多渠道地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念和空間思維。一、通過豐富的感知活動，讓學(xué)生形成幾何形體的表象小學(xué)生對幾何形體特征的理解，對周長、面積、體積的計(jì)算，往往是離開了這些幾何實(shí)體，而依賴于頭腦中對物體的形狀、大小和相互位置關(guān)系的形象的反映，這就要求我們要重視引導(dǎo)學(xué)生

3、進(jìn)行觀察等感知活動，通過豐富的感知活動，使學(xué)生形成幾何形體的表象，得到正確清晰的幾何概念，形成一定的空間觀念。對于簡單的長方體和正方體，教材的介紹并不容易讓學(xué)生對此形成直觀的感知。往往由6個(gè)面、12條棱、8個(gè)頂點(diǎn)所組成的立體不一定都是長方體，所以在教學(xué)時(shí)，老師可以通過學(xué)生日常生活中熟悉的實(shí)物，如紙盒、鉛筆盒、磚塊等，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察這些實(shí)物的面、棱、頂點(diǎn)的情況。例如采用常見的紙盒子，我們把空紙盒展開成平面圖（見圖1.1），讓學(xué)生觀察、比較一下，著重加深對長方體的“6個(gè)面都是長方形（也可能有兩個(gè)相對的面是正方形），相對的面的面積相等”、“相對的棱的長度相等”的認(rèn)識，使具體事物的形象在頭腦里得到全

4、面的反映，從而使學(xué)生對長方體的理解更加深刻。在這個(gè)認(rèn)識過程中引入正方體的知識，學(xué)生通過對實(shí)物和平面展開圖的觀察，區(qū)分長方體和正方體的特點(diǎn)，突出正方體概念所具有的、區(qū)別于其它形體的性質(zhì)是長、寬、高都相等，并充分了解了正方體和長方體之間的關(guān)系。圖1.1 長方形紙盒展開平面圖對于幾何形體的概念，我們可以進(jìn)一步通過物體形體間的變換來加深學(xué)生對它的理解，形體之間的變換往往還可以激發(fā)學(xué)生的好奇心，由此產(chǎn)生了強(qiáng)烈的求知欲望和主動探索的興趣。比如在學(xué)習(xí)平行四邊形面積時(shí)，一般都是采用將平行四邊形割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為長方形而得出“底高等于平行四邊形面積”的教法。我們可以換一個(gè)方式，通過親手制作道具，用四根木條釘成一個(gè)平行四

5、邊形，讓學(xué)生觀察平行四邊形后，把它拉成一個(gè)長方形，提出問題：“這時(shí)長方形與原平行四邊形相比，面積相等嗎？”這一問題的提出，會引發(fā)出學(xué)生的不同答案：相等、增大了、減小了。爭論十分激烈，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生主動探求，最終得出結(jié)論：當(dāng)平行四邊形與長方形底邊即長相等時(shí)，拉動平行四邊形成為長方形，其高變化了，面積相應(yīng)增大了。這樣直觀的展現(xiàn)，不僅加深了學(xué)生對幾何形體的表象，還引發(fā)和培養(yǎng)了學(xué)生用動態(tài)的觀點(diǎn)研究平行四邊形與長方形面積之間關(guān)系的主動探索欲望和求知精神。圖1.2 平行四邊形和長方形的變換二、采用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念對于幾何空間這部分知識，學(xué)生往往較難建立空間觀念，我們就要多創(chuàng)設(shè)機(jī)會，讓學(xué)

6、生通過畫、量、擺、拼等動手活動，在活動中鞏固與加深對抽象知識的理解，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。如在接觸圓柱的側(cè)面積和體積時(shí)，可以設(shè)計(jì)這樣的題：用一XA4的長方形紙X，先讓學(xué)生用尺量出其長和寬，然后記錄下來。接下去將紙卷成圓柱形，那么圓柱的高是（ ）或（ ），底面直徑是（ ）或（ ），圓柱形的（ ）是相同的，體積最大會是（ ）。此題有一定的綜合性和靈活性。讓學(xué)生用長方形紙卷一卷，就會發(fā)現(xiàn)有兩種不同的卷法，但無論哪種卷法，只有側(cè)面積是相同的，體積是不同的，只有以最大的數(shù)為底面周長時(shí)，體積才會最大。這樣就使學(xué)生在動手操作的過程中，初步理解幾何概念。在學(xué)生運(yùn)用幾何初步知識的過程中，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用

7、圖形的分解、組合、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)方法，加深對幾何形體的感知，培養(yǎng)初步的空間觀念，把豐富的圖形變換運(yùn)動運(yùn)用到解題中?；o為動，領(lǐng)會運(yùn)動變化觀點(diǎn)這是一道求圖形陰影部分面積的題目（見圖2.1左圖），已知圖2.1中四塊小陰影部分的形狀大小面積都相等?？臻g觀念較弱的學(xué)生一般只會從兩個(gè)角度去思考，或按步就班地先算出一塊陰影部分的面積，再算出四塊陰影部分的面積；或者從大長方形面積里減去空白部分的面積，得到陰影部分的面積，但這樣就不能兩次計(jì)算十字空白交叉處的面積。圖2.1 具有四小塊相同形狀大小陰影部分的長方形如果化靜為動，從運(yùn)動的觀點(diǎn)出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生通過想象圖形中空白十字的移動，合并四個(gè)陰影部分，使它們變換

8、成圖2.2的樣子，從而就可以較簡便地計(jì)算出圖形陰影部分的面積。圖2.2 長方形陰影部分的變換多角度變換，啟發(fā)空間思考如在涉及到立體圖形時(shí)，針對立體的表面積計(jì)算，我們就可以設(shè)計(jì)出一些巧妙、具有較高思維價(jià)值的題目，通過多角度的空間變換，組合和分離，來啟發(fā)學(xué)生的空間思考：把一個(gè)長15厘米，寬9厘米，高6厘米的長方體木條沿橫截面切2段后，表面積增加了多少？一個(gè)底面直徑9厘米，高6厘米的圓柱體沿底面直徑切開后，表面積增加了多少？把這個(gè)圓柱截成兩個(gè)小圓柱后，表面積又有什么變化？（3）把3個(gè)棱長為6厘米的正方體粘合成一個(gè)長方體，表面積減少了多少？ 分解、組合平面圖形和進(jìn)行圖形的變換，在學(xué)習(xí)幾何概念和幾何圖形

9、計(jì)算時(shí)具有重要的意義。一方面使學(xué)生初步體會到幾何圖形的位置變換和轉(zhuǎn)化是有規(guī)律的，為將來學(xué)習(xí)圖形的變換積累一些感性經(jīng)驗(yàn)，另一方面有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念。如果學(xué)生掌握了圖形的本質(zhì)特征，通過領(lǐng)會幾何空間運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，不論圖形的形狀、大小、方位等如何變化，都能方便正確地求解。三、聯(lián)系幾何知識綜合運(yùn)用，提高空間觀念的積累水平在學(xué)生掌握了部分幾何知識，且具有初步的空間觀念以后，我們需要幫助學(xué)生進(jìn)一步貫通幾何知識內(nèi)在的聯(lián)系。我們可以把學(xué)過的幾何知識和具有代表性的題目通過變式，強(qiáng)化綜合運(yùn)用知識解題的靈活性，引導(dǎo)學(xué)生的空間思考能力，以利于提高空間觀念的積累水平。在學(xué)生具有初步幾何空間知識后，我們可以設(shè)計(jì)綜合

10、幾何題型來鍛煉學(xué)生的空間分析能力。這是一道圓柱體和長方體組合的題目：在一只底面半徑是10厘米的圓柱形玻璃瓶中，水深8厘米。要在瓶中放入長和寬都是8厘米，高是15厘米的一塊鐵塊：（1）如果把鐵塊橫放在水中，水面上升幾厘米？（2）如果把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？對于此題的解答，我們可以對學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)演示，或者先讓學(xué)生大膽地想象出鐵塊浸沒在水中的兩種情況之下的不同的形狀、方位、大小，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。圖3.1 圓柱形玻璃瓶和長方體鐵塊第（1）小題，學(xué)生可以很容易地理解，把鐵塊橫放在水中，鐵塊將會全部浸沒。上升的容積就是鐵塊的體積。若用算術(shù)方法解：則水面上升部分的容積（也就是鐵塊體積）圓柱底面

11、積=水面上升的高度，即1588（1023.14）3（厘米）；第（2）小題，我們首先要讓學(xué)生思考，把鐵塊豎放在水中，鐵塊能全部浸沒嗎？顯然不能。因?yàn)闄M放在水中，水面只上升了約3厘米，而豎放在水中，鐵塊的體積不變，底面積變小了，所以水面不可能上升到15厘米這一高度。進(jìn)而再考慮，把鐵塊豎放在水中，水面是肯定要上升的，因?yàn)橛胁糠骤F塊將浸沒在水中。若用方程解：我們假設(shè)把鐵塊豎放在水中，水面上升到x厘米，則當(dāng)前水面的總?cè)莘e-鐵塊浸沒在水中的體積=原來水面的總?cè)莘e，即：1023.14x- 82x= 1023.148。解得：x10（厘米），得到水面上升為：10-82（厘米）。對于很多幾何應(yīng)用題，解題所需的條件

12、并不是完全已知的，需要學(xué)生通過分析提煉出隱蔽的數(shù)據(jù)，這部分需要學(xué)生具有一定的綜合分析能力。我們設(shè)計(jì)這個(gè)題目來訓(xùn)練學(xué)生的解題思路：如做一個(gè)底面直徑為6分米的圓柱形鐵皮油桶，共用鐵皮282.6平方分米。這只油桶的容積是多少升？這是一道幾何形體的應(yīng)用題，有一定的難度。對于完全用文字抽象表示的立體圖形應(yīng)用題的認(rèn)知，光有空間知覺能力是不夠的，還需要有更高水平的空間想象能力。我們只能憑感知獲取到立體圖形局部的明顯的部分和已知的條件，而對某些隱蔽的部分、未知的條件，必須在空間知覺的基礎(chǔ)上，經(jīng)過分析綜合、抽象概括、假設(shè)推理等思維方法，產(chǎn)生出豐富的空間想象，才能完整全面地認(rèn)識它。并且在解題過程中，把構(gòu)成幾何形體

13、的諸要素溝通起來，依賴已有的空間觀念，求出答案。我們可以在教學(xué)中提出如下問題來引導(dǎo)學(xué)生解題：要求容積需要知道哪兩個(gè)條件？根據(jù)條件，你能求出底面積嗎？要求高必須知道哪兩個(gè)條件？怎樣求出高？根據(jù)什么求底面周長？怎樣求出側(cè)面積？當(dāng)然，這樣的題目不一定要讓學(xué)生去做，主要在于訓(xùn)練學(xué)生的基本思考方法，通過學(xué)生的邏輯思維過程，提升學(xué)生的空間觀念的積累水平。培養(yǎng)學(xué)生探索意識的養(yǎng)成在幾何綜合知識的教學(xué)中具有重要意義，通過引導(dǎo)學(xué)生的探索活動，去發(fā)現(xiàn)某些內(nèi)在的特性和某幾種圖形的內(nèi)在聯(lián)系?；瘜?shí)為虛、化虛為實(shí)，幫助學(xué)生把抽象幾何概念具體化、形象化，使復(fù)雜化的操作過程變得直觀形象，便于學(xué)生掌握幾何初步概念的內(nèi)涵，不僅能體

14、現(xiàn)出學(xué)生探索能力的養(yǎng)成，還有助于學(xué)生空間想象能力的發(fā)展。四、展開發(fā)散思維的訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的空間觀念在數(shù)學(xué)幾何空間的教學(xué)中，我們通過適當(dāng)?shù)臈l理和邏輯來培養(yǎng)學(xué)生理解和掌握知識的能力，同時(shí)我們也要注重學(xué)生發(fā)散思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生從同樣的已知條件中探求不同的（包括奇異的）解題方法的思維能力，這種思維形式能開發(fā)學(xué)生的思維能力，活躍解題思路，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。根據(jù)學(xué)生的知識層次、實(shí)際水平，我們可以設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)題目，例如圖4.1是由一個(gè)長5厘米、寬3厘米的長方形和一個(gè)邊長為3厘米的正方形組成，求出陰影部分的面積？你能用多少種方法？圖4.1 長方形和正方形組合這道題只有求出陰影部分面積這一個(gè)問題。學(xué)生通過“補(bǔ)”、“移”等方法，發(fā)散思維，得出多種解法：（1）從整個(gè)圖形中減去空白三角形。53+33-（3+3）529（平方厘米）（2）添加輔助線，從添加輔助線后形成三角形中減去一個(gè)長方形（見圖4.2）。652-3（5-3）9（平方厘米）圖4.2 添加輔助線將陰影三角形旋轉(zhuǎn)到對稱的空白三角形位置，所形成的正方形面積就是陰影部分面積（見圖4.3）。339（平方厘米）圖4.3 旋轉(zhuǎn)陰影三角形總結(jié)幾何初步知識比較抽象，有賴于我們教師的精心指導(dǎo)和培養(yǎng)。在教學(xué)過程中，我們要根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的幾何知識水平和不同學(xué)生間的層次水平，遵循小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與心理特點(diǎn)，堅(jiān)持由淺入深，由易到