高數(shù)第十一章(1)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分

1、第十一章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)域曲線(xiàn)域曲面域曲面域曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線(xiàn)積分與曲面積分 第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分 第十一章 AB一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線(xiàn)形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線(xiàn)密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求

2、極限” kkkks),(可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線(xiàn),義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分,記作szyxfd),(若通過(guò)對(duì) 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱(chēng)此極限為函數(shù)在曲線(xiàn)或第一類(lèi)曲線(xiàn)積分.),(zyxf稱(chēng)為被積函數(shù)， 稱(chēng)為積分弧段 .曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對(duì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

3、束 如果 L 是 xoy 面上的曲線(xiàn)弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是閉曲線(xiàn) , 則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問(wèn)Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意注意:(1) 對(duì)于第一類(lèi)曲線(xiàn)積分，應(yīng)注意函數(shù)是定義在曲線(xiàn)上的，因此其自變量要滿(mǎn)足曲線(xiàn)方程式。以后我們常利用曲線(xiàn)方程式來(lái)對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行變形,以此來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。(2) 可以證明

4、,只要函數(shù)在曲線(xiàn)上連續(xù),其第一類(lèi)曲線(xiàn) 積分就存在。（P187 定理） 3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfkd),() 1 (（k 為常數(shù))szyxfkd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 szyxfd ),()2(),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線(xiàn)弧 的長(zhǎng)度)l21d),(d),(szyxfszyxf則(5). 若在 上),(zyxf, ),(zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 szyxszyxfd),(d),(特別的，有.d| ),(|d),(szyxfszyxf則(6). 若在 上,),(MzyxfmlM

5、szyxflmd),(7).(第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的中值定理),(zyxf設(shè)在曲線(xiàn) 上連續(xù), l 為的弧長(zhǎng),則存在,),(使得szyxfd),(lf),(8. 設(shè)函數(shù)),(zyxf在空間曲線(xiàn) 上連續(xù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若關(guān)于xoy面對(duì)稱(chēng),記1為位于xoy面上方的部分. 在上),(),() 1 (zyxfzyxf則szyxfd),(1d),(2szyxf),(),()2(zyxfzyxf則szyxfd),(0當(dāng)曲線(xiàn)關(guān)于 yoz 面對(duì)稱(chēng), 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性； 仍有類(lèi)似結(jié)果.或者,曲線(xiàn)關(guān)于 zox 面對(duì)稱(chēng), 函數(shù)關(guān)于變量 y 有奇偶性時(shí), 8設(shè)函數(shù)),(yxf記 L1為L(zhǎng) 位于

6、 x 軸上方的部分, ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfLsyxfd),(0d),(Lsyxf當(dāng)曲線(xiàn)關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng), 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍在 L 上1d),(2Lsyxf在曲線(xiàn) L 上連續(xù), L關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng),則則有類(lèi)似結(jié)果.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 平面曲線(xiàn)的情形：tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),* *證證:是定義在光滑曲線(xiàn)弧則曲線(xiàn)積分),(:txL,d),(存在Lsyx

7、f求曲線(xiàn)積分根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , ,1kkktt點(diǎn)),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為), 1 ,0(nktk對(duì)應(yīng)參數(shù)為 則,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿(mǎn)足!(2) 注意到

8、22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 因此機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果曲線(xiàn) L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線(xiàn)弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 第一類(lèi)曲線(xiàn)積分計(jì)算時(shí)應(yīng)遵循以下步驟

9、(1)注意利用對(duì)稱(chēng)性、曲線(xiàn)方程、性質(zhì)和形心公式；(2)選取合適的曲線(xiàn)表示形式,抓住弧長(zhǎng)微元.平面曲線(xiàn)直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系參數(shù)化方程22)(d)(ddyxs空間曲線(xiàn) （參數(shù)化方程）222)(d)(d)(ddzyxs(3)代入,轉(zhuǎn)化為定積分,注意上限要大于下限.例例1. 計(jì)算,dLsy其中 L 是拋物線(xiàn)2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyo例例2. 設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲

10、線(xiàn), ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 解解: 分段積分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注：逐段光滑的曲線(xiàn)求曲線(xiàn)積分時(shí)要注意利用性質(zhì)3.例例3. 計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線(xiàn))0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對(duì)稱(chēng)性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 計(jì)算半徑為 R ,中心角為2的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱(chēng)軸的

11、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I (設(shè)線(xiàn)密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R則 )(sincos:RyRxL機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 有一半圓弧cosRx ),0(其線(xiàn)密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. RkRkF2,4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

12、回 結(jié)束 例例6. 計(jì)算曲線(xiàn)積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線(xiàn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 d d s例例7. 計(jì)算,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線(xiàn)與平面 zx292 z化為參數(shù)

13、方程 21cos2x sin2y則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明：說(shuō)明：對(duì)于第一類(lèi)曲線(xiàn)積分,仍有三個(gè)以下經(jīng)常使用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的公式:（只對(duì)空間曲線(xiàn)進(jìn)行描述,平面曲線(xiàn)類(lèi)似）(1)若對(duì)于曲線(xiàn) ,作 xy 后表示方式不變,則szyxfd),(szxyfd),(同樣地,若對(duì)于曲線(xiàn) ,作 xz (或yz )后表示方式不變,則仍有類(lèi)似的結(jié)論.(2)作坐標(biāo)平移或旋轉(zhuǎn)(x, y, z)(u, v, w),則szyxfd),(.d),(swvuf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3)對(duì)于一些能知道形心和弧長(zhǎng)的特殊曲線(xiàn) ,可利用以下形心公式：,dlsxx,dlsyylszzd

14、的弧長(zhǎng)為sld來(lái)求曲線(xiàn)積分.d,d,dszsysx例例8. 計(jì)算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱(chēng)性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考: 例8中 改為0)1()1(2222zyxazyx計(jì)算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 則sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圓的形心在原點(diǎn), 故0XaX22, 如何機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義

15、定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線(xiàn)弧 的長(zhǎng)度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線(xiàn)弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線(xiàn)弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)

16、光滑曲線(xiàn)弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓134:22yxL周長(zhǎng)為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對(duì)稱(chēng)性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標(biāo)為),0,0(k作業(yè)作業(yè)P190 3第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyo備用題備用題1. 設(shè) C 是由極坐