材料分析方法第一章(第三節(jié))

1、第一章第一章 電磁輻射與材料結(jié)構(gòu)電磁輻射與材料結(jié)構(gòu)第三節(jié)第三節(jié) 材料結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)（二）材料結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)（二） 一、晶體結(jié)構(gòu)一、晶體結(jié)構(gòu) 二、二、倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣 三、晶帶三、晶帶一、晶體結(jié)構(gòu)一、晶體結(jié)構(gòu)1.1.空間點(diǎn)陣的概念空間點(diǎn)陣的概念：能體現(xiàn)晶體周期性的最小物能體現(xiàn)晶體周期性的最小物質(zhì)結(jié)構(gòu)質(zhì)結(jié)構(gòu)(分子，原子，原子團(tuán)，離子對等分子，原子，原子團(tuán)，離子對等)。晶體晶體: 結(jié)構(gòu)基元在三維空間有規(guī)則排列結(jié)構(gòu)基元在三維空間有規(guī)則排列形成的固體。形成的固體。 NaCl結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)點(diǎn)陣：點(diǎn)陣：將結(jié)構(gòu)基元抽象為幾何點(diǎn)將結(jié)構(gòu)基元抽象為幾何點(diǎn) (陣陣點(diǎn)點(diǎn)) 便得到一個(gè)空間陣列便得到一個(gè)空間陣列 (點(diǎn)陣點(diǎn)陣)；將陣點(diǎn)用直線

2、連接成的空間格子叫晶格。將陣點(diǎn)用直線連接成的空間格子叫晶格。點(diǎn)陣點(diǎn)陣 2.2.陣胞與點(diǎn)陣陣胞與點(diǎn)陣類型類型陣胞陣胞(晶胞晶胞)：在點(diǎn)陣中選擇一個(gè)由陣點(diǎn)在點(diǎn)陣中選擇一個(gè)由陣點(diǎn)連接而成的平行六面體來表達(dá)晶體結(jié)構(gòu)的連接而成的平行六面體來表達(dá)晶體結(jié)構(gòu)的周期性，稱為周期性，稱為陣胞陣胞(晶胞晶胞)陣胞陣胞點(diǎn)陣點(diǎn)陣點(diǎn)陣點(diǎn)陣陣胞陣胞陣胞的描述陣胞的描述: 陣胞由表示其形狀與大小的3個(gè)矢量a、b、c來描述。 a、b、c稱為點(diǎn)陣基矢。 陣胞更具體一點(diǎn)由點(diǎn)陣常數(shù)來描述。 cbaacb 為b、c邊夾角為a、c邊夾角 為a、b邊夾角點(diǎn)陣常數(shù)點(diǎn)陣常數(shù): 矢量a、b、c 的長度（a、b、c）+ 矢量間的夾角（ 、 、 ）

3、 注意注意:晶體學(xué)上的坐標(biāo)系均采用右手定晶體學(xué)上的坐標(biāo)系均采用右手定則則cbaacb 例如，例如，NaCl點(diǎn)陣常數(shù)點(diǎn)陣常數(shù):a = b = c = 5.62 ; = = = 90TiO2 (金紅石金紅石) 點(diǎn)陣常數(shù)點(diǎn)陣常數(shù):a = b = 4.59 , c= 2.96 , = = = 90晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) 空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣 晶胞晶胞陣胞在空間的重復(fù)堆砌陣胞在空間的重復(fù)堆砌 空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣陣胞與點(diǎn)陣的關(guān)系陣胞與點(diǎn)陣的關(guān)系:abco點(diǎn)陣中任一陣點(diǎn)的矢量表示：點(diǎn)陣中任一陣點(diǎn)的矢量表示：以陣胞任一陣點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，a、b、c分別為三坐標(biāo)軸單位矢量由原點(diǎn)向任一陣點(diǎn)（坐標(biāo)x,y,z)的連接矢量為rxyz，

4、則: rxyz = xa + yb + zcabc（x,y,z)rxyzr133 = a+3b+3c陣胞的選取原則：陣胞的選取原則：能同時(shí)反映出空間點(diǎn)陣的周期性和對稱性；能同時(shí)反映出空間點(diǎn)陣的周期性和對稱性；在滿足的條件下，有盡可能多的直角；在滿足的條件下，有盡可能多的直角；在滿足和的條件下，體積最小。在滿足和的條件下，體積最小。 無直角無直角有兩直角有兩直角布拉菲的研究布拉菲的研究表明，按上述三表明，按上述三原則選取的陣胞原則選取的陣胞只能有只能有14種，稱種，稱為為14種布拉菲種布拉菲點(diǎn)點(diǎn)陣陣。 PP按陣胞中按陣胞中陣點(diǎn)陣點(diǎn)位置的不同，位置的不同，14種布拉菲點(diǎn)種布拉菲點(diǎn)陣可分為陣可分為4

5、種點(diǎn)陣種點(diǎn)陣類型（類型（P、C、I、F）：）：簡單點(diǎn)陣，簡單點(diǎn)陣，P P 八個(gè)頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)，每個(gè)陣胞占有一個(gè)八個(gè)頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)，每個(gè)陣胞占有一個(gè)陣點(diǎn)，陣點(diǎn)坐標(biāo)為陣點(diǎn)，陣點(diǎn)坐標(biāo)為000000除八個(gè)頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)除八個(gè)頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)外，兩個(gè)相對的面心外，兩個(gè)相對的面心上有陣點(diǎn)，面心上的上有陣點(diǎn)，面心上的陣點(diǎn)為兩個(gè)相鄰的平陣點(diǎn)為兩個(gè)相鄰的平行六面體所共有。因行六面體所共有。因此，每個(gè)陣胞占有兩此，每個(gè)陣胞占有兩個(gè)陣點(diǎn)。陣點(diǎn)坐標(biāo)為個(gè)陣點(diǎn)。陣點(diǎn)坐標(biāo)為000，1/2 1/2 0底心點(diǎn)陣，底心點(diǎn)陣，C除除8個(gè)頂點(diǎn)外，體個(gè)頂點(diǎn)外，體心上還有一個(gè)陣心上還有一個(gè)陣點(diǎn)，因此，每個(gè)點(diǎn)，因此，每個(gè)陣胞含有兩個(gè)陣陣胞含有兩個(gè)陣

6、點(diǎn)點(diǎn), 其坐標(biāo)為其坐標(biāo)為:000，1/2 1/2 1/2體心點(diǎn)陣，體心點(diǎn)陣，I除除8個(gè)頂點(diǎn)外，每個(gè)頂點(diǎn)外，每個(gè)面心上有一個(gè)陣個(gè)面心上有一個(gè)陣點(diǎn)，每個(gè)陣胞上有點(diǎn)，每個(gè)陣胞上有4個(gè)陣點(diǎn)，其坐標(biāo)個(gè)陣點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為分別為:000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2面心點(diǎn)陣面心點(diǎn)陣, F按陣胞形狀的不同，按陣胞形狀的不同， 14種布拉菲點(diǎn)陣種布拉菲點(diǎn)陣可歸納為可歸納為7個(gè)晶系：個(gè)晶系：立方立方晶系晶系a=b=c = = =90四方四方晶系晶系a=b c = = =90正交正交晶系晶系a b c = = =90三方三方晶系晶系a=b=c = =90六方六方晶系晶系a=b c

7、= =90, =120單斜單斜晶系晶系a b c = =90, 90三斜三斜晶系晶系a b c 90 3.3.晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣將空間點(diǎn)陣的陣點(diǎn)復(fù)原為結(jié)構(gòu)基元，便將空間點(diǎn)陣的陣點(diǎn)復(fù)原為結(jié)構(gòu)基元，便得到晶體結(jié)構(gòu)，即：得到晶體結(jié)構(gòu)，即： 晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) = 空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣 + 結(jié)構(gòu)基元結(jié)構(gòu)基元面心面心F點(diǎn)陣點(diǎn)陣NaCl結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)+=結(jié)構(gòu)基元結(jié)構(gòu)基元0,0,01/2,0,0Na+ Cl-注意：注意：雖然空間點(diǎn)陣只有雖然空間點(diǎn)陣只有14種，但由種，但由于結(jié)構(gòu)基元是無窮盡的，因而晶體結(jié)構(gòu)于結(jié)構(gòu)基元是無窮盡的，因而晶體結(jié)構(gòu)也是無限的也是無限的 (同一點(diǎn)陣因結(jié)構(gòu)基元不同同一點(diǎn)陣因結(jié)構(gòu)基元

8、不同形成多種結(jié)構(gòu)形成多種結(jié)構(gòu))。例：例：Cu和和NaCl 同屬面心同屬面心F點(diǎn)陣，因結(jié)點(diǎn)陣，因結(jié)構(gòu)基元不同，而晶體結(jié)構(gòu)不同構(gòu)基元不同，而晶體結(jié)構(gòu)不同面心面心F點(diǎn)陣點(diǎn)陣NaCl結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)+=結(jié)構(gòu)基元結(jié)構(gòu)基元0,0,01/2,0,0Na+ Cl-面心面心F點(diǎn)陣點(diǎn)陣Cu 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)+=結(jié)構(gòu)基元結(jié)構(gòu)基元0, 0, 0Cu4.4.晶向指數(shù)與晶面指數(shù)晶向指數(shù)與晶面指數(shù)晶體中連接基元的直線和平面分別稱為晶體中連接基元的直線和平面分別稱為晶向晶向和和晶面晶面;國際上通用國際上通用密勒指數(shù)密勒指數(shù) 來標(biāo)識晶向和晶面。來標(biāo)識晶向和晶面。(1) 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系: 以任一陣點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以以任一陣點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以晶

9、軸為坐標(biāo)軸晶軸為坐標(biāo)軸, 并以點(diǎn)陣基矢并以點(diǎn)陣基矢a、b、c為相為相應(yīng)坐標(biāo)軸單位矢量應(yīng)坐標(biāo)軸單位矢量;yzx0,0,01,1,1B 晶向指數(shù)確定方法：晶向指數(shù)確定方法：(4) 將三個(gè)坐標(biāo)值按比例化將三個(gè)坐標(biāo)值按比例化為互質(zhì)的整數(shù)，并加方括為互質(zhì)的整數(shù)，并加方括號號 111.(3) 求出該直線上任意求出該直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)一點(diǎn)的坐標(biāo) 1,1,1;(2) 通過坐標(biāo)原點(diǎn)引一直線，通過坐標(biāo)原點(diǎn)引一直線，使其平行于待標(biāo)識的晶向使其平行于待標(biāo)識的晶向;abc晶向組晶向組: 空間所有相互平行（方向一空間所有相互平行（方向一致）的晶向，其晶向指數(shù)相同致）的晶向，其晶向指數(shù)相同, 稱之為稱之為晶向組晶向組右圖

10、中三個(gè)右圖中三個(gè)晶向的晶向指數(shù)晶向的晶向指數(shù)均為均為 111, 稱之為稱之為111晶向組晶向組 abc晶向族晶向族: 晶體中方位不同但基元晶體中方位不同但基元排列狀況相同的所有晶向的組合排列狀況相同的所有晶向的組合.例例: 立方系立方系100 晶向族包含晶向族包含6個(gè)晶向個(gè)晶向組組:010001100oabc =100 + 010 +001 + 100 +010 + 001(1) 建立坐標(biāo)系: 以任一陣點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以晶軸為坐標(biāo)軸, 并以點(diǎn)陣基矢a、b、c為相應(yīng)坐標(biāo)軸單位矢量; 晶面指數(shù)確定方法(2)在待標(biāo)識的晶面組中,選擇最靠近坐標(biāo)原點(diǎn)的晶面, 求出其在3個(gè)坐標(biāo)軸上的截距;(3) 取3個(gè)截距

11、值的倒數(shù);(4) 將倒數(shù)按比例化為互質(zhì)的整數(shù), 并加圓括號: 型如 (hkl). 若某截距為負(fù)值，則在相應(yīng)指數(shù)上加 “-” 號。(2) 求出待標(biāo)識晶面在求出待標(biāo)識晶面在3個(gè)個(gè)坐標(biāo)軸上的截距坐標(biāo)軸上的截距: : x = 1, y = 1, z = 1(3) 取取3個(gè)截距值的倒數(shù)個(gè)截距值的倒數(shù): 1/x = 1, 1/y = 1, 1/z = 1(4) 將倒數(shù)按比例化為互質(zhì)的整數(shù)將倒數(shù)按比例化為互質(zhì)的整數(shù), 并加圓括號并加圓括號: (111)yzxA(1) 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系abco例例1: 求點(diǎn)陣面求點(diǎn)陣面 A的密勒指數(shù)的密勒指數(shù)例例2: 求點(diǎn)陣面求點(diǎn)陣面 MSR的的密勒密勒指數(shù)指數(shù)(2)截距

12、截距 x=1/4, y=2/3, z=1/2步驟如下步驟如下: (1) 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系(3)倒數(shù)倒數(shù): 1/x = 4, 1/y =3/2, 1/z =2(4)將倒數(shù)乘公因子將倒數(shù)乘公因子2, 化為最小整數(shù)化為最小整數(shù) (5)加圓括號加圓括號: (834)問題：問題：求下列點(diǎn)陣面的求下列點(diǎn)陣面的密勒密勒指數(shù)？指數(shù)？ aaaaxyz(100)(111)(110)晶面組晶面組: (hklhkl) 表示的不是一個(gè)晶面，而是空表示的不是一個(gè)晶面，而是空間所有相互平行間所有相互平行(方位一致方位一致)的一組晶面的一組晶面, 稱之為稱之為晶面組晶面組晶面組晶面組晶面組晶面組晶面組晶面組晶面族晶面族

13、hkl: 晶體中方位不同但基元晶體中方位不同但基元排列狀況相同的所有晶面的組合排列狀況相同的所有晶面的組合.例例: 立方晶系立方晶系,111 = (111) + (111) + (111) + (111) + (111) + (111) + (111) + (111) (111)晶面在背面晶面在背面xyz(111)(111)(111)右圖中四個(gè)晶右圖中四個(gè)晶面的基元排列相面的基元排列相同同, 同屬同屬111晶晶面族面族 注意注意: : 立方晶系中立方晶系中, 凡指數(shù)相同的晶向凡指數(shù)相同的晶向與晶面均互相垂直與晶面均互相垂直, 如如100100(100100), 110110(110110)等等

14、除用密勒指數(shù)標(biāo)識外，還可用四軸定向法標(biāo)識即以a1、a2、a3 、 c為坐標(biāo)軸單位矢量建立四軸坐標(biāo)系，然后仍按密勒標(biāo)識法的步驟確定晶向和晶面指數(shù);但此時(shí)獲得的晶向和晶面指數(shù)均由4個(gè)數(shù)值組成，型如uvtw 和(hkil)。a1a2a3c六方晶系晶向與晶面指數(shù)六方晶系晶向與晶面指數(shù) 六方系四數(shù)值晶向指數(shù)六方系四數(shù)值晶向指數(shù)uvtw 和晶面指和晶面指數(shù)數(shù)(hkil) 中均只有中均只有3 3個(gè)值是獨(dú)立的：個(gè)值是獨(dú)立的：t = -(u+v)i = -(h+k)5.5.干涉指數(shù)干涉指數(shù)問題：問題：在（在（hkl）晶面組（其晶面間距晶面組（其晶面間距為為d dhklhkl）同一空間方位上，設(shè)若有晶面間同一空間

15、方位上，設(shè)若有晶面間距為距為 d dhklhkl/n (n為任意整數(shù)）的晶面組，應(yīng)為任意整數(shù)）的晶面組，應(yīng)如何標(biāo)識？如何標(biāo)識？ A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x圖中圖中: A1A1，A2A2，A3A3，為（為（010010）晶面）晶面組（其面間距為組（其面間距為d d010010），在此組晶面中分），在此組晶面中分別插入別插入B1，B2B2，晶面，則形成面間距晶面，則形成面間距為為d d010010/2/2的的A1A1， B1B1， A2A2， B2B2，晶面晶面組組應(yīng)如何標(biāo)識？應(yīng)如何標(biāo)識？A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x答：答：按照以前晶面指數(shù)

16、的確定方法按照以前晶面指數(shù)的確定方法, (1) A1,B1, A2, B2, 最靠近坐標(biāo)原點(diǎn)的晶面最靠近坐標(biāo)原點(diǎn)的晶面 B1在在3個(gè)坐標(biāo)軸上的截距為個(gè)坐標(biāo)軸上的截距為: , , (2) 截距的倒數(shù)為截距的倒數(shù)為: 0，2，0(3) 將倒數(shù)除公因子將倒數(shù)除公因子2, 化為最小整數(shù)化為最小整數(shù): 0，1，0(4) 加圓括號可表示為加圓括號可表示為:（010）A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x結(jié)論：結(jié)論：若僅考慮晶面的空間方位，則若僅考慮晶面的空間方位，則A1A1，B1B1，A2A2，B2B2，與與A1A1，A2A2，A3A3，一樣，一樣，均以晶面指數(shù)（均以晶面指數(shù)（01001

17、0）標(biāo)識）標(biāo)識若要考慮二者晶面間距的不同，則分別若要考慮二者晶面間距的不同，則分別用用 (020020) 和和 (010010) 標(biāo)識，此即標(biāo)識，此即干涉指數(shù)干涉指數(shù)A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x干涉指數(shù)干涉指數(shù): 將將(hkl)晶面間距記為晶面間距記為dhkl，則晶面間距為，則晶面間距為dhkl/n (n為整數(shù)為整數(shù)) 的虛擬晶面的晶面指數(shù)為的虛擬晶面的晶面指數(shù)為(nh nk nl)，記為記為(HKL), 稱稱。例：例：晶面間距為晶面間距為d d110110/2， d d110110/3的虛的虛擬晶面的干涉指數(shù)分別為擬晶面的干涉指數(shù)分別為 (220) 和和(3303

18、30) 。 干涉指數(shù)的定義干涉指數(shù)的定義:（HKL) = (nh nk nl) = n(hkl);可見：干涉指數(shù)可以看成是帶有公約數(shù)可見：干涉指數(shù)可以看成是帶有公約數(shù)的晶面指數(shù)，即廣義的晶面指數(shù)。的晶面指數(shù)，即廣義的晶面指數(shù)。將干涉指數(shù)按比例化為互質(zhì)整數(shù)時(shí)將干涉指數(shù)按比例化為互質(zhì)整數(shù)時(shí)(n=1)，不論晶面間距如何，干涉指數(shù)均還原為不論晶面間距如何，干涉指數(shù)均還原為晶面指數(shù)晶面指數(shù)(hkl)。干涉指數(shù)和晶面指數(shù)：干涉指數(shù)和晶面指數(shù)：干涉指數(shù)同時(shí)標(biāo)識出晶面的空間方位干涉指數(shù)同時(shí)標(biāo)識出晶面的空間方位和晶面間距；和晶面間距；而晶面指數(shù)僅僅標(biāo)識了晶面的空間方位。而晶面指數(shù)僅僅標(biāo)識了晶面的空間方位。求晶面

19、指數(shù)時(shí)求晶面指數(shù)時(shí), 要將截距的倒數(shù)化為互要將截距的倒數(shù)化為互質(zhì)的整數(shù)質(zhì)的整數(shù);而求干涉指數(shù)時(shí)而求干涉指數(shù)時(shí), 要將截距的倒數(shù)化為整要將截距的倒數(shù)化為整數(shù)數(shù), 但不必互質(zhì)。但不必互質(zhì)。干涉指數(shù)和晶面指數(shù)：干涉指數(shù)和晶面指數(shù)：干涉指數(shù)表示的晶面不一定真有結(jié)構(gòu)干涉指數(shù)表示的晶面不一定真有結(jié)構(gòu)基元存在。干涉指數(shù)概念的建立基元存在。干涉指數(shù)概念的建立主要為主要為簡化布拉格方程，分析衍射。簡化布拉格方程，分析衍射。干涉指數(shù)和晶面指數(shù)：干涉指數(shù)和晶面指數(shù)：yzxc 二、二、倒易點(diǎn)陣X射線衍射分析射線衍射分析: 通過對通過對衍射花樣衍射花樣的分析來反推的分析來反推出出晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)。正點(diǎn)陣: 晶體中的原子

20、在三維空間周期性排列，這種點(diǎn)陣稱為正點(diǎn)陣。正點(diǎn)陣: 與晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)，描述的是晶體中物質(zhì)的分布規(guī)律。 倒易點(diǎn)陣: 以長度倒數(shù)為量綱與正點(diǎn)陣按一定法則對應(yīng)的虛擬點(diǎn)陣-稱倒易點(diǎn)陣。倒易點(diǎn)陣:與晶體的衍射現(xiàn)象相關(guān)，描述的是衍射強(qiáng)度的分布規(guī)律。1. 倒易點(diǎn)陣定義：對于一個(gè)由點(diǎn)陣基矢a、b、c 定義的正點(diǎn)陣，如果存在另一個(gè)由點(diǎn)陣基矢a*、b*、c* 定義的空間點(diǎn)陣，滿足： aa*=1， ab*= 0， ac*= 0 ba*= 0， bb*=1， bc*= 0 ca*= 0， cb*= 0， cc*= 1則稱由a*、b*、c*所定義的點(diǎn)陣為a、b、c所定義的點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣。 aa*=1， ab*= 0， a

21、c*= 0 ba*= 0， bb*=1， bc*= 0 ca*= 0， cb*= 0， cc*= 1式中，等于1的3式?jīng)Q定了a*、b*、c* 的長度，而另外6式?jīng)Q定了a*、b*、c* 的方向。亦即: a* b, a* c, b* a, b* c, c* a, c* b, bc*a*b*(001)(010)ac(100) a* b, a* c, b* a, b* c, c* a, c* b, a*/(bc)， a*= K(bc) b*/(ca)， b*= K(ca) c*/(ab)， c*= K(ab)又 a*a = K(bc)a = 1而(bc)a 為正點(diǎn)陣晶胞體積V a*a = KV = 1

22、 K = 1/V a*= K(bc) = (bc)/V b*= K(ca) = (ca)/V c*= K(ab) = (ab)/V這就是倒易點(diǎn)陣的基矢表達(dá)式，即教材中（1-43）式。2. 倒易點(diǎn)陣晶胞參數(shù)和正點(diǎn)陣晶胞參數(shù)關(guān)系正點(diǎn)陣晶胞用六個(gè)參數(shù)a,b,c, , 表示。倒易點(diǎn)陣也用六個(gè)參數(shù)來表示，即：a*,b*,c*,*, *, *其中a*,b*,c*為倒易晶胞三個(gè)棱邊的長度 *為b * 、c *邊夾角 *為a * 、c *邊夾角 *為a * 、b *邊夾角c*b*a* * * * 從正點(diǎn)陣參數(shù)求取a*、b*、c* a*= (bc)/V = (bcsin/V)nn為bc方向的單位矢量。 a* 之

23、長度a* = bcsin/V同理 b* 之長度b* = casin/V c* 之長度c* = absin/V 注意: 習(xí)慣上，點(diǎn)陣常數(shù)以為單位，故倒易點(diǎn)陣參數(shù)a*、b*、c*的單位是-1。(2) 從正點(diǎn)陣參數(shù)求取*、 *、 * b* c* = b* c* cos* cos* = b* c*/ b*c* = (ca) (ab)/V2 b*c* =(ca)(ab)-(cb)(aa)/V2 b*c* = c a cosa b cos- c b cos a2/ /(c a sina b sin) = (coscos-cos)/sinsin同理 cos*= (coscos -cos)/sinsin co

24、s*= (coscos -cos)/sinsin b* = casin/Vc* = absin/V a* = bcsin/V b* = casin/V c* = absin/V cos*=(coscos-cos)/sinsin cos*=(coscos-cos)/sinsin cos*=(coscos-cos)/sinsin 總結(jié): 如果正點(diǎn)陣晶胞參數(shù)：a,b,c, , 倒易點(diǎn)陣晶胞參數(shù):a*,b*,c*,*,*,*則它們之間有下列關(guān)系:這就是教材中（1-44）式。從從正點(diǎn)陣參數(shù)求取正點(diǎn)陣參數(shù)求取倒易點(diǎn)陣參數(shù)的例子倒易點(diǎn)陣參數(shù)的例子 一個(gè)立方晶系的化合物， 其正點(diǎn)陣參數(shù) a = b = c =

25、10.000 , = = = 90, 求其倒易點(diǎn)陣參數(shù).a* = bcsin/V = 1/a = 0.1 -1b* = casin/V = 1/b = 0.1 -1c* = absin/V = 1/c = 0.1 -1cos* = (coscos-cos)/sinsin= 0cos*= (coscos -cos)/sinsin= 0cos*= (coscos -cos)/sinsin= 0 * = * = * = 903. 倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)：倒易矢量：由倒易點(diǎn)陣原點(diǎn)向任一倒易陣點(diǎn)的連接矢量，用r*表示:r*HKL= Ha*+Kb*+Lc*(式中a*、b*、c*為三坐標(biāo)軸單位矢量， H，K，L為倒

26、易點(diǎn)的坐標(biāo)值）a*b*c*231r*231=2a*+3b*+1c*倒易矢量的兩個(gè)基本性質(zhì)： 倒易矢量的方向垂直于正點(diǎn)陣中的同指數(shù)晶面(HKL), r*HKL (HKL); 倒易矢量的長度等于對應(yīng)晶面 (HKL)面間距的倒數(shù), | r*HKL| = 1/ dHKL xyzABCO(O*)a/Hb/Kc/Ln0r*HKL(HKL)證明證明( (自學(xué)）：自學(xué)）：如圖所示，正點(diǎn)陣坐標(biāo)系O-xyz中；設(shè)平面ABC為(HKL)晶面組中距原點(diǎn)最近的晶面，則平面ABC在3個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為1/H、1/K和1/L，即有: OA = a/H, OB = b/K, OC = c/LxyzABCO(O*)a/Hb

27、/Kc/Ln0r*HKL(HKL)又設(shè)n0為（HKL）法線單位矢量，并設(shè)倒易原點(diǎn)O*與正點(diǎn)陣坐標(biāo)原點(diǎn)O重合由由 AB = OB - OA = b/K - a/H有r*HKL AB = (Ha*+Kb*+Lc*) (b/K - a/H) = 0 (此處用到倒易點(diǎn)陣的定義) r*HKL AB 同理r*HKL BC r*HKL 平面ABC 即 r*HKL （HKL）xyzABCO(O*)a/Hb/Kc/Ln0r*HKL(HKL) r*HKL （HKL） r*HKL與n0共線n0 = r*HKL/|r*HKL| = (Ha*+Kb*+Lc*)/|r*HKL|又 dHKL為OA在在n0方向上的投影，即d

28、HKL= OA n0 =a/H (Ha*+Kb*+Lc*)/|r*HKL| = 1/ |r*HKL| |r*HKL| = 1/ dHKLxyzABCO(O*)a/Hb/Kc/Ln0r*HKL(HKL)如果正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣具有共同的坐標(biāo)原點(diǎn)，則正點(diǎn)陣中的一組（hkl）晶面在倒易點(diǎn)陣中可用一個(gè)倒易點(diǎn) hkl 來表示。(1) 倒易陣點(diǎn)與正點(diǎn)陣(HKL)晶面的對應(yīng)關(guān)系討論：討論：晶面與倒易矢量晶面與倒易矢量(倒易點(diǎn)倒易點(diǎn))的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系倒易點(diǎn)陣正點(diǎn)陣Oa(200)的晶面間距 d d200 200 = d d100100/2 (200) 晶面的倒易矢量長度比(100) 的倒易矢量長度大一倍。 倒易

29、點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的倒易關(guān)系倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的倒易關(guān)系 晶體點(diǎn)陣參數(shù)p18, 式1-44 相應(yīng)的倒易點(diǎn)陣參數(shù)平行六面體的平移堆砌建立倒易點(diǎn)陣(平行六面體的頂點(diǎn)就是倒易點(diǎn)) 或用作圖法，在正點(diǎn)陣中取若干不同方位的（HKL）晶面，據(jù)其作出各對應(yīng)的r*HKL ，各r*HKL終點(diǎn)的陣列即為倒易點(diǎn)陣。(2) 倒易點(diǎn)陣的建立已知:晶體點(diǎn)陣參數(shù)a,b,c, , 按下式求出相應(yīng)的倒易點(diǎn)陣參數(shù) a* = bcsin/V b* = casin/V c* = absin/V cos*=(coscos-cos)/sinsin cos*=(coscos-cos)/sinsin cos*=(coscos-cos)/sinsin

30、 畫出a*,b*,c*,*,*,*定義的平行六面體該平行六面體的平移堆砌, 就建立起倒易點(diǎn)陣 (平行六面體的頂點(diǎn)就是倒易陣點(diǎn)). 如何用第一種方法建立倒易點(diǎn)陣 ?例例: : 一個(gè)立方晶系的化合物， 其正點(diǎn)陣參數(shù) a = b = c =10.000 , = = = 90, 畫出其倒易點(diǎn)陣.解解: : a* = bcsin/V = 1/a = 0.1 -1b* = casin/V = 1/b = 0.1 -1c* = absin/V = 1/c = 0.1 -1cos* = (coscos-cos)/sinsin= 0cos*= (coscos -cos)/sinsin= 0cos*= (cosc

31、os -cos)/sinsin= 0 * = * = * = 900.1 -1a* = b* = c* = 0.1 -1, * = * = * = 90其倒易點(diǎn)陣可建立如下：每個(gè)小球代表一個(gè)倒易陣點(diǎn)000100010020001002101102o*a*b*c*用作圖法，在正點(diǎn)陣中取若干不同方位的（HKL）晶面，據(jù)其作出各對應(yīng)的r*HKL ，各r*HKL終點(diǎn)的陣列即為倒易點(diǎn)陣。如何用第二種方法建立倒易點(diǎn)陣 ?例例: :立方晶格倒易點(diǎn)陣的建立1(210)(100)(110)(010)cba正晶格a=b=4 (220) r*100 (100); |r*100| = 1/ d100 = 0.25 -

32、1 r*010 (010); | r*010| = 1/ d010 = 0.25 -1r*110 (110); | r*110| = 1/ d110 = 0.252 -1公式：1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2例例: :立方晶格倒易點(diǎn)陣的建立1(210)(100)(110)(010)cba正晶格a=b=4 (220)r*210 (210); | r*210| = 1/ d210 = 0.25(22+12) -1r*220 (220); | r*220| = 1/ d220 = 0.25 22 -1公式：1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2例例: :立方

33、晶格倒易點(diǎn)陣的建立0.25 -1200100000r210r110210110010220120020C*b*a*倒易晶格r2201(210)(100)(110)(010)cba正晶格a=b=4 (220)1(120)(100)(110)(010)cba正晶格a=b=4 , =120例例: :六方晶格倒易點(diǎn)陣的建立 r*100 (100); |r*100| = 1/ d100 = 0.25(4/3) -1 r*010 (010); | r*010| = 1/ d010 = 0.25(4/3) -1公式：1/ dHKL2 = 4(H2 + K2 + HK)/(3a2)1(120)(100)(11

34、0)(010)cba正晶格a=b=4 例例: :六方晶格倒易點(diǎn)陣的建立r*110 (110); | r*110| = 1/ d110 = 0.25(8/3) -1r*120 (120); | r*120| = 1/ d120 = 0.25(20/3) -1公式：1/ dHKL2 = 4(H2 + K2 + HK)/(3a2)0.25 -1200100000r120r110210110010220120020c*b*a*倒易晶格例例: :六方晶格倒易點(diǎn)陣的建立1(120)(100)(110)(010)cba正晶格a=b=4 (1) 晶面間距公式 晶面間距: 兩個(gè)相鄰的平行晶面間的垂直距離，通常用

35、dHKL或簡寫為d來表示。公式推導(dǎo)： |r*HKL| = 1/ dHKL 1/ dHKL2 = |r*HKL| 2 = r*HKL r*HKL= (Ha*+Kb*+Lc*) (Ha*+Kb*+Lc*)= H2 a*2 + K2b*2 + L2c*2 + 2HK a*b* + 2HL a*c* + 2KL b*c*4. 晶面間距與晶面夾角公式:1/ dHKL2 = H2 a*2 + K2b*2 + L2c*2 + 2HK a*b* + 2HL a*c* + 2KL b*c*為晶面間距的一般表達(dá)式，適用于各個(gè)晶系。以立方晶系為例，a*2 = b*2 = c*2 = 1/a2cos* = cos*

36、= cos* = 0 1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2例1 金屬鎳的立方晶胞參數(shù)a = 3.524 ，試求d100, d200, d110, d220, d111公式：1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2答案： 3.524；1.762; 2.492; 1.246; 2.035(2) 晶面夾角公式 晶面夾角：兩晶面(H1K1L1) 、 (H2K2L2)法線間夾角。也等于兩晶面對應(yīng)之倒易矢量間夾角，故有:為晶面夾角的一般表達(dá)式，適用于各個(gè)晶系以立方晶系為例，a*2 = b*2 = c*2 = 1/a2cos* = cos* = cos* = 0r*HKL = 1/ dHKL = (H2 + K2 + L2)1/2/a代入到上式后，得立方系晶面夾角公式： 222222212121212121LKHLKHLLKKHHcos+=例： 求立方晶系中下列幾組晶面間的夾角:(001)與(010), (111)與(11-1) ?222222212121212121LKHLKHLLKKHHcos+=NaClNaCl晶體晶體( (立方體立方體) )明礬晶體明礬晶體( (八面體八面體) )