高斯的連分?jǐn)?shù)

1、除數(shù)函數(shù)除數(shù)函數(shù)為定義一個(gè)整數(shù)之和th權(quán)力(正整數(shù))因數(shù)的,(1)它的實(shí)現(xiàn)Wolfram語言作為DivisorSigma(k,n)。的符號(hào)(哈代和賴特1979,p . 239),(礦石1988,p . 86)(伯頓1989,p . 128)有時(shí)用于,提供的因數(shù)。而令人驚訝的是,許多因素的多項(xiàng)式也給出了。的值可以找到逆默比烏斯變換1,1,1,(斯隆和普勞夫1995,p . 22)。Heath-Brown(1984)證明經(jīng)常無限。數(shù)字因數(shù)叫做的增量最大數(shù)量高度綜合的數(shù)字。這個(gè)函數(shù)滿足身份(2)(3)在哪里不同的素?cái)?shù),是質(zhì)因數(shù)分解的數(shù)量.除數(shù)函數(shù)是奇怪的敵我識(shí)別是一個(gè)平方數(shù).這個(gè)函數(shù)出的因子的總和通

2、常是沒有下標(biāo)寫的,也就是說,.作為一個(gè)說明性的例子的計(jì)算,考慮到140號(hào)因數(shù)、2、4、5、7、10、14、20、28歲,35歲,70年到140年,總共因數(shù)。因此,(4)(5)(6)(7)下面的表總結(jié)了前幾的值對(duì)小和2 .斯隆為,2,0A0000051、2、2、3、2、4、2、4、3、4、2、61A0002031、3、4、7、6、12、8、15日,13日,18日2A0011571、5、10,21歲,26歲,50歲,50歲,85年,91年,130年3A0011581,9日,28日,73,126,252,344,585,757,1134,的總和因數(shù)的不包括本身(即。,適當(dāng)?shù)囊蜃拥?稱為限制因子函數(shù)并

3、表示。最初幾個(gè)值是0,1,1,3,1、6、1、7、4、8、1,16日(OEISA001065).因子的總和可以找到如下。讓與和。對(duì)于任何因子的,在那里的因子和的因子。的因數(shù)1,。的因數(shù)1, .,?？偨Y(jié)的因數(shù)(8)(9)對(duì)于一個(gè)給定的,(10)對(duì)所有求和,(11)所以。分裂和為主要因素,(12)對(duì)于一個(gè)權(quán)力因數(shù)是1, .,所以(13)為因此,(14)(Berndt 1985)。的特殊情況一個(gè), (14)簡(jiǎn)化(15)同樣的,對(duì)一個(gè)權(quán)力2、(14)簡(jiǎn)化(16)身份()和()可以推廣到(17)(18)金額涉及的除數(shù)函數(shù)(19)為,(20)為更一般的,(21)為和(哈代和賴特1979,p . 250)。

4、一個(gè)生成函數(shù)為給出的蘭伯特系列(22)(23)(24)(25)在哪里是一個(gè)q-polygamma函數(shù).的函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(26)哈迪(1999)。Ramanujan給美麗的公式(27)在哪里是函數(shù)和(威爾遜1923),這是使用英的證據(jù)素?cái)?shù)定理(哈代1999,pp . 59-60)。這就給了特例(28)(哈代1999年,p . 59)。除數(shù)函數(shù)也滿足不平等(29)在哪里是Euler-Mascheroni常數(shù)(1984年羅賓,Erds 1984)。Gronwall定理州(30)在哪里是Euler-Mascheroni常數(shù)(哈代和賴特1979,p . 266)。是2的冪嗎敵我識(shí)別或是不同的產(chǎn)品嗎梅森素

5、數(shù)(Sierpiski 1958/59,1989年Sivaramakrishnan Kaplansky 1999)。最初幾個(gè)這樣的是1、3、7、21日31日,93,127,217,381,651,889,2667,(OEISA046528的權(quán)力),這些對(duì)應(yīng)于2 0,2,3,5,5,7,7,8,9,10,10,12日,12日,13日,14日,(OEISA048947).好奇的身份得到使用模塊化的形式理論是由(31)(32)(很有1997,p . 1997),一起(33)(34)(35)(m . Trott per。通訊)。除數(shù)函數(shù)(事實(shí)上,為)是奇怪的敵我識(shí)別是一個(gè)平方數(shù)或兩次平方數(shù)。除數(shù)函數(shù)滿

6、足同余(36)對(duì)所有質(zhì)數(shù)也沒有合數(shù)除了4、6和22(蘇巴拉奧1974)。因子的數(shù)量是每當(dāng)本身是(Honsberger 1991)。分解的為由Sorli給出。1838年,狄利克雷顯示的平均數(shù)量因數(shù)所有的數(shù)字從1到是漸近(37)哈迪(康威和蓋1996;1999年,p . 55;Havil 2003年,頁112 - 113),正如上文所述,薄固體曲線地塊實(shí)際值和厚短劃線情節(jié)漸近函數(shù)。這是相關(guān)的狄利克雷除數(shù)問題,旨在找到“最好”的系數(shù)在(38)(哈代和賴特1979,p . 264)。的summatory功能為與是(39)為,(40)(哈代和賴特1979,p . 266)。除數(shù)函數(shù)也可以推廣到高斯整數(shù)。

7、定義需要一些護(hù)理從原則上,有歧義的,四個(gè)同事每個(gè)因子的選擇。斯派拉(1961)定義了復(fù)數(shù)的因子的總和通過分解在權(quán)力截然不同的高斯質(zhì)數(shù)的乘積,(41)在哪里是一個(gè)單位,每個(gè)位于第一象限的復(fù)平面,然后寫作(42)這使得一個(gè)乘法函數(shù),也給了。這個(gè)擴(kuò)展的實(shí)現(xiàn)Wolfram語言作為DivisorSigma(1 z GaussianIntegers - 真實(shí))。下面的表給出對(duì)于小型非負(fù)的值和.012345611234456參見:模塊化的判別定義(參看通常省),是在半平面上。然后定義的模塊化判別(1)然而,一些保健需要一些作者忽略的因素當(dāng)定義判別(蘭金1977,p . 1977;Berndt 196,p .

8、 326;米爾恩2000)。如果和是橢圓不變量的維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)與時(shí)間和,然后定義判別(2)讓,然后(3)(4)(5)的傅里葉級(jí)數(shù)的為,在那里是半平面上,是(6)在哪里是函數(shù),是整數(shù)(很有1997年,p . 20)。判別還可以表達(dá)的綽金函數(shù)通過(7)(很有1997年,p . 51)。橢圓不變量的不變量維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)被定義的艾森斯坦級(jí)數(shù)(1)(2)在這里,(3)在哪里和的half-periods嗎橢圓函數(shù)。的Wolfram語言命令WeierstrassInvariants,給出了不變量和half-periods對(duì)應(yīng)和.寫作,(4)(5)和不變量傅里葉級(jí)數(shù)(6)(7)在哪里是半周期比和是

9、除數(shù)函數(shù)(很有1997)。參見:綽金函數(shù)窗體頂端最小值馬克斯窗體底端綽金函數(shù)的定義半平面上通過(1)(2)(3)(4)(5)(6)(OEISA010815),的平方省,是半周期比,是一個(gè)q系列(韋伯1902,pp。85年和112年,特金和Morain 1993;Berndt 1994,p . 139)。綽金函數(shù)的實(shí)現(xiàn)Wolfram語言作為DedekindEta()。重寫的定義明確的半周期比給出了產(chǎn)品(7)窗體頂端最小值馬克斯再保險(xiǎn)即時(shí)通訊窗體底端上文所述的復(fù)平面.是一個(gè)模塊化的形式綽金在1877年首次引入的特性,是相關(guān)的模塊化的判別的維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)通過(8)(很有1997年,p . 47

10、)。一個(gè)緊湊的導(dǎo)數(shù)是由封閉的形式(9)在哪里是維爾斯特拉斯函數(shù)和和相對(duì)應(yīng)的不變量是half-periods嗎。的導(dǎo)數(shù)滿足(10)在哪里是一個(gè)艾森斯坦級(jí)數(shù),(11)是由一種特殊的價(jià)值(12)(13)(OEISA091343),是函數(shù)。另一個(gè)特殊情況是(14)(15)(16)在哪里是塑料常數(shù),代表一個(gè)多項(xiàng)式的根,.讓是一個(gè)根的團(tuán)結(jié),滿足(17)(18)(19)在哪里是一個(gè)整數(shù)(韋伯1902,p . 113;特金和Morain 1993;很有1997年,47頁)。綽金函數(shù)有關(guān)雅可比的函數(shù)通過(20)(韋伯1902,3卷,112頁)(21)(很有1997年,p . 1997)。麥克唐納(1972)相關(guān)

11、的大多數(shù)擴(kuò)張的形式以仿射根系。不包括在麥克唐納的治療包括異常由Hecke和羅杰斯發(fā)現(xiàn),發(fā)現(xiàn)Ramanujan,賴寧格,發(fā)現(xiàn)特金(和米爾恩1999)。使用綽金函數(shù)雅可比三重積身份(22)可以寫(23)(雅可比1829年,哈代和賴特1829年,赫塞豪恩1999年,林文杰和米爾恩1999)。綽金,如果函數(shù)方程的狀態(tài),在那里是模塊化組織,(是半平面上),然后(24)在哪里(25)和(26)是一個(gè)綽金總和(很有1997,pp。52-57)的層功能.層功能地板上功能,也被稱為最偉大的整數(shù)函數(shù)或整數(shù)值(Spanier和奧爾德姆1987),給出了最大整數(shù)小于或等于。地板上函數(shù)的名稱和標(biāo)志是由ke艾弗森(Gra

12、ham et al . 1994年)。不幸的是,在許多年長(zhǎng)的和當(dāng)前(如工作。Honsberger 1976,30頁;Steinhaus指出1976,p。小腿Ribenboim 1996;1993;300;希爾伯特Cohn-Vossen 1999 p。38歲;哈代1999年,18頁),象征而不是使用(Graham et al . 1994年,p . 67)。事實(shí)上,這個(gè)符要追溯到高斯在他的第三個(gè)1808年二次互反性的證據(jù)。然而,由于地板的優(yōu)雅的對(duì)稱函數(shù)的和天花板上的函數(shù)符號(hào)和,因?yàn)檫@是一種有用的符號(hào)當(dāng)解釋為一個(gè)嗎艾弗森支架,使用表示函數(shù)應(yīng)該棄用的地板上。在這部作品中,象征是用來表示最近的整數(shù)的函

13、數(shù)因?yàn)樗匀黄俨贾g和符號(hào)。窗體頂端最小值馬克斯再保險(xiǎn)即時(shí)通訊窗體底端地板上函數(shù)的實(shí)現(xiàn)Wolfram語言作為地板上z,推廣到復(fù)雜的值正如上文所述。因?yàn)槭褂眯?shù)部分/值和整數(shù)部分/值可以迷惑,下表給出了總結(jié)的名稱和符號(hào)使用。在這里,所以顯示Spanier和奧爾德姆(1987)。符號(hào)的名字年代格雷厄姆et al。Wolfram語言天花板上的函數(shù)- - -天花板,最小整數(shù)天花板x同余- - - - -國(guó)防部(m,n)層功能地板上,最大的整數(shù),整數(shù)部分地板上x分?jǐn)?shù)值小數(shù)部分或SawtoothWavex小數(shù)部分沒有名字FractionalPartx整數(shù)部分沒有名字IntegerPartx最近的整數(shù)的函數(shù)

14、- - - - -輪x商- - - - -商(m,n)地板函數(shù)滿足的身份(1)所有整數(shù).許多geometric-like序列與地板功能分子可以做分析。例如,資金的形式(2)可以做理性分析嗎。為一個(gè)單位分?jǐn)?shù),(3)這種形式的資金導(dǎo)致魔鬼的樓梯式的行為。對(duì)不合理的,連分?jǐn)?shù)的收斂,(4)(Borwein et al . 2004年,p . 12)。這導(dǎo)致了相當(dāng)驚人的結(jié)果有關(guān)的地板的倍數(shù)的函數(shù)到連分?jǐn)?shù)的通過(5)(馬勒Borwein et al . 1929;1929年,12頁)。參見:天花板上的函數(shù)這個(gè)函數(shù)這使最小的整數(shù),顯示為厚曲線在上面的陰謀。施羅德(1991)調(diào)用上限函數(shù)符號(hào)“木架上“因?yàn)橥獗?/p>

15、相似的結(jié)構(gòu)用于這個(gè)函數(shù)這使最小的整數(shù),顯示為厚曲線在上面的陰謀。施羅德(1991)調(diào)用上限函數(shù)符號(hào)“木架上“因?yàn)橥獗硐嗨频慕Y(jié)構(gòu)用于絞刑。上限函數(shù)的名稱和符號(hào)創(chuàng)造的ke艾弗森(Graham et al . 1994年)。窗體頂端最小值馬克斯再保險(xiǎn)即時(shí)通訊窗體底端上限函數(shù)的實(shí)現(xiàn)Wolfram語言作為天花板z,推廣到復(fù)雜的值正如上文所述。雖然有些作者使用了象征表示上限函數(shù)(通過類比與年長(zhǎng)的符號(hào)為層功能五次方程與二次、三次和四次多項(xiàng)式,一般五次不能用代數(shù)方法解決有限數(shù)量的添加,刪除工作,乘法,分歧,拔根嚴(yán)格證明了亞伯(亞伯的不可能性定理)和伽羅瓦。然而,某些類的五次方程可以用這種方式解決。不可約五次方

16、程可以被關(guān)聯(lián)到一個(gè)伽羅瓦群,這可能是一個(gè)對(duì)稱群,metacyclic集團(tuán),反組,互聯(lián),或循環(huán)群正如上文所述?？山庑缘奈宕尉徒⑵湎鄳?yīng)的組作為一個(gè)可解群。五次方程可解的循環(huán)群的一個(gè)例子(1)中出現(xiàn)的計(jì)算.可以解決的五次的情況下,可以找到根使用公式發(fā)現(xiàn)1771年由極糟,誰是第一個(gè)來“解決”五次使用溶劑的第六度(皮蓬特1895年)。一般五次可以解決的雅可比的函數(shù)在1858年,最初是由埃爾米特?？肆_內(nèi)克隨后獲得相同的解決方案更簡(jiǎn)單,而且Brioschi派生的方程。為此,減少一般五次(2)成把五次形式(3)定義(4)(5)(6)在哪里是橢圓模量,最初的五次的根是由(7)(8)(9)(10)(11)在哪里

17、(12)是逆省,這是表述的比率雅可比的函數(shù).歐拉減少一般五次(13)五次也可以用代數(shù)方法減少主五次形式(14)通過求解四次、五次可以用代數(shù)方法減少的把五次形式,最初是由Jerrard完成。龍格(1885)和Cadenhad和年輕的找到了一個(gè)可以解決的五次的參數(shù)化形式(15)顯示所有不可約可解的五次系數(shù)的,失蹤有以下形式(16)在哪里和是理性的.斯皮爾曼和威廉姆斯(1994)表明,一個(gè)不可約五次的形式(15)有理性的系數(shù)由激進(jìn)分子可以解決的敵我識(shí)別存在有理數(shù),這樣(17)(18)(斯皮爾曼和威廉姆斯1994)。的根然后(19)在哪里(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)

18、(28)費(fèi)力克斯克萊茵用Tschirnhausen轉(zhuǎn)換一般五次減少到表單(29)然后他解了相關(guān)的二十面體方程(30)在哪里是一個(gè)函數(shù)的激進(jìn)分子的,。這個(gè)方程的解可以得到的超幾何函數(shù)作為(31)另一個(gè)可能的方法使用一系列擴(kuò)張,使一個(gè)根(下面列表中的第一個(gè))把五次形式。五根可以用微分方程導(dǎo)出(折皺1860年,哈雷1860)。讓(32)(33)(34)(35)(36)然后根是(37)(38)(39)(40)(41)這種技術(shù)給出了封閉形式的解決方案超幾何函數(shù)在任何一個(gè)變量多項(xiàng)式方程可以寫在表單中(42)考慮到五次(43)在哪里和和是復(fù)數(shù),這是相關(guān)的de Moivre的五次(斯皮爾曼和威廉姆斯1994)

19、,和總結(jié)(44)擴(kuò)張,(45)在哪里(46)(47)(48)(49)(50)(51)(斯皮爾曼和威廉姆斯1994)。的年代滿足(52)(53)(54)(55)(56)(斯皮爾曼和威廉姆斯1994)。參見:亞伯的不可能性定理一般來說,多項(xiàng)式方程高于第四度不能在有限數(shù)量的代數(shù)解添加,刪除工作,乘法,分歧,拔根。這也是顯示羅菲尼于1813年(威爾斯1986年,p . 59)。四次方程四次方程是一個(gè)四階多項(xiàng)式方程的形式(1)雖然一些作者(拜爾1987 b,34頁)使用術(shù)語“雙二次方程“四次方程的同義詞,其他人(Hazewinkel 1988年,據(jù)傳et al . 1989年)儲(chǔ)備的術(shù)語四次方程沒有立方

20、項(xiàng),即:,一個(gè)二次方程在.法拉利是第一個(gè)開發(fā)一個(gè)代數(shù)方法求解一般的四次,被盜,Cardano Ars的麥格納在1545年出版(Boyer Merzbach 1991,p . 283)。的Wolfram語言可以解決四次方程完全使用內(nèi)置的命令嗎解決a4 x 4 + a3 x 3 a1 + a2 x 2 + x + a0 = = 0,x)。解決方案也可以表達(dá)的Wolfram語言代數(shù)根對(duì)象首先發(fā)行setoption(根、四次- 錯(cuò)誤)。的根這個(gè)方程的滿足Vieta的公式:(2)(3)(4)(5)右側(cè)分母都是哪里。寫作的四次標(biāo)準(zhǔn)形式(6)的屬性對(duì)稱多項(xiàng)式出現(xiàn)在Vieta的公式然后給(7)(8)(9)(1

21、0)消除,分別給出了關(guān)系(11)(12)(13)以及他們的循環(huán)排列。法拉利是第一個(gè)開發(fā)一個(gè)代數(shù)方法求解四次。他應(yīng)用技術(shù)(被偷了,發(fā)表的Cardano)方程(14)(史密斯1994年,p . 1994)。的術(shù)語可以消除從一般四次()通過一個(gè)替換的形式(15)所以(16)讓所以(17)然后給出了標(biāo)準(zhǔn)形式(18)在哪里(19)(20)(21)四次可以通過寫作來解決它的一般形式,允許它是代數(shù)可分解,然后找到條件用這種形式。必須解決的方程可分解因子的叫做有溶解力的立方。要做到這一點(diǎn),請(qǐng)注意,四次將可分解因子的如果它可以寫成兩個(gè)平方項(xiàng)的區(qū)別,(22)事實(shí)證明,這種形式的分解可以通過加減(現(xiàn)在任意數(shù)量,但不

22、久將指定)方程()獲得(23)這個(gè)方程可以改寫(24)(比爾科夫和Mac巷1966)。立即注意,第一項(xiàng)是一個(gè)完美的正方形與(25)和第二項(xiàng)將是一個(gè)完美的正方形如果選擇的是平方可以完成(26)這意味著我們想要的(27)這要求(28)或(29)這是有溶解力的立方.因?yàn)榱⒎降慕馕鼋馐且阎?我們可以立即解決代數(shù)的三個(gè)方程解(29日),說,將方程(29日)方程(26),那么讓(30)與(31)因此是線性的和是二次,所以每一項(xiàng)和使用二次,可以解決嗎二次方程,從而使所有四個(gè)解決方案最初的四次。明確,堵塞,回()(32)這可以簡(jiǎn)化通過替換(33)使溶劑三次方程(34)讓是一個(gè)真正的根(34),然后四個(gè)根由原

23、來的四次根方程的(35)這是(36)(37)(38)(39)在哪里(40)(41)(42)(阿布拉莫維茨和Stegun 1972,p . 17,拜爾1987,p。12)。另一種方法解決四次()定義了(43)(44)(45)第二種形式遵循從哪來(46)和定義(47)(48)這個(gè)方程可以寫成的原始系數(shù),作為(49)的根三次方程然后給,方程()()可以解決的四根最初的四次(Faucette 1996)。Lauricella功能Lauricella函數(shù)是高斯超幾何函數(shù)的推廣到多個(gè)變量。四個(gè)這樣的歸納調(diào)查L(zhǎng)auricella(1893),和更充分地阿佩爾和Kampe de Feriet(1926,第11

24、7頁)。讓變量的數(shù)量,那么Lauricella函數(shù)定義如果減少,那么這些功能阿佩爾超幾何函數(shù),分別。如果,所有四個(gè)成為高斯超幾何函數(shù)(Exton 1978年,p . 29)。參見:麥克羅伯特的E-Function在哪里是函數(shù)和其他細(xì)節(jié)討論Gradshteyn和Ryzhik(2000)。梅耶爾準(zhǔn)備功能梅耶爾的函數(shù)是一個(gè)非常通用功能,減少在許多常見情況下簡(jiǎn)單的特殊功能。梅耶爾的函數(shù)被定義為(1)在哪里是函數(shù)(Erdelyi et al . 1981年,p . 1068;Gradshteyn和Ryzhik 2000)。形式不同但功能等價(jià)的形式被Prudnikov et al .(1990,第793頁

25、),(2)這種形式提供了更多的一致性的定義這個(gè)函數(shù)通過一個(gè)逆梅林變換.梅耶爾的函數(shù)的實(shí)現(xiàn)Wolfram語言作為MeijerGa1,一個(gè),(n + 1),美聯(lián)社,b1、bm,b(m + 1),bq,z。一個(gè)廣義的定義的函數(shù)形式(3)實(shí)現(xiàn)的Wolfram語言作為MeijerGa1,一個(gè),(n + 1),美聯(lián)社,b1、bm,b(m + 1),bq,z,r)。在這兩種(2)和(3),輪廓之間的謊言波蘭人的和波蘭人的。例如,輪廓為如上圖,在嗎復(fù)平面和疊加函數(shù)本身(m . Trott)。Prudnikov et al。(1990)包含了一個(gè)廣泛的近200頁的清單梅耶爾的公式函數(shù)。特殊情況包括(4)(5)(

26、6)(7)的一個(gè)特例2-argument形式(8)參見:Ramanujan超幾何身份(1)(2)(3)(4)在哪里是一個(gè)超幾何函數(shù),是一個(gè)廣義超幾何函數(shù),是一個(gè)函數(shù).正則化超幾何函數(shù)給定一個(gè)超幾何或廣義超幾何函數(shù),相應(yīng)的正則化超幾何函數(shù)的定義在哪里是一個(gè)函數(shù)。正則化超幾何函數(shù)的實(shí)現(xiàn)Wolfram語言的功能Hypergeometric0F1Regularizedb,z,Hypergeometric1F1Regularized(a,b,z),Hypergeometric2F1Regularized(a,b,c,z),一般來說,HypergeometricPFQRegularizeda1,美聯(lián)社,b

27、1、bq,z。黎曼p系列的解決方案黎曼P-differential方程被稱為黎曼嗎系列,或者有時(shí)黎曼函數(shù),由(1)給出的解決方案超幾何函數(shù)通過(2)(3)(4)(5)在哪里(6)參見:黎曼P-Differential方程微分方程在哪里首先獲得形式Papperitz巴恩斯(1885;1885)。解決方案黎曼p系列(阿布拉莫維茨和Stegun 1972,頁564 - 565)。Zwillinger(1995,第414頁)是調(diào)用這個(gè)方程的“超幾何方程”。Saalschutz定理(1)在哪里是一個(gè)廣義超幾何函數(shù)和是函數(shù)。它可以源自于Dougall-Ramanujan身份和書面的對(duì)稱形式(2)為(3)與

28、一個(gè)負(fù)的整數(shù)和的Pochhammer象征(貝利1935年,p . 9;Petkovek et al . 1996;1998年Koepf 32頁)。如果一個(gè)人的,是負(fù)的,但現(xiàn)在還不知道,另一個(gè)由于w高斯伯(per配方。通訊)給出了形式(4)它是對(duì)稱的和.如果不是(5)然后(6)(w高斯伯,珀耳斯。通訊)。斯萊特的公式斯萊特(1960,31頁)的身份為一個(gè)非負(fù)整數(shù)的“求和定理?！霸谶@里,是一個(gè)廣義超幾何函數(shù)與參數(shù)和是一個(gè)Pochhammer象征.這是一個(gè)更一般的身份的特殊情況這適用于(o . Marichev珀耳斯。都會(huì)定理都會(huì)定理,也叫做都會(huì)的轉(zhuǎn)換,是廣義超幾何函數(shù)身份(1)在哪里是函數(shù),是一個(gè)

29、廣義超幾何函數(shù),(2)和(貝利1935年,p . 14)。這是一個(gè)概括的迪克森定理(斯萊特1966,52頁)。一個(gè)等價(jià)的配方是由(3)(哈代1999,p . 104)。這種形式的對(duì)稱性被Ramanujan在他的身份證明,這都會(huì)是一樣的。有趣的是,這是為數(shù)不多的情況下,Ramanujan給出一個(gè)明確的證明了他的一個(gè)命題(哈代1999年,p . 1999)。給出定理的一個(gè)特例(4)(j . Sondow per。通訊,2003年5月25日)。參見:沃森的定理在哪里是一個(gè)廣義超幾何函數(shù)和是函數(shù)(貝利1935年,p . 16;Koepf 1998年,32頁)?；萜諣柕纳矸莼萜諣栄苌S多身份廣義超幾何函

30、數(shù),其中許多是因此被稱為惠普爾身份(轉(zhuǎn)換,等等)。包括在惠普爾的身份(貝利1935年,p . 15;Koepf 1998年,32頁),在那里是一個(gè)廣義超幾何函數(shù)和是一個(gè)函數(shù),(貝利1935年,p . 28)?；萜諣柕霓D(zhuǎn)變(貝利1935年,p . 25)和是廣義超幾何函數(shù)與參數(shù)和是函數(shù).另一個(gè)轉(zhuǎn)換將惠普爾(1926 ab)給出為一個(gè)和一個(gè)非負(fù)整數(shù)(1993年安德魯斯和伯吉斯)。封閉的形式一個(gè)離散函數(shù)稱為閉型(有時(shí)“超幾何”)在兩個(gè)變量如果比率和都是理性的功能。一對(duì)閉型函數(shù)據(jù)說是一個(gè)Wilf-Zeilberger一對(duì)如果“超幾何函數(shù)”這個(gè)詞不太常用的意思是“封閉的形式,”和“超幾何級(jí)數(shù)”有時(shí)被用來

31、指超幾何函數(shù)。一個(gè)微分k-form據(jù)說是一個(gè)封閉的形式如果.值得注意的是,這個(gè)形容詞“封閉”用于描述一個(gè)數(shù)學(xué)概念,例如:的概念封閉的解。松說,解決一個(gè)方程是封閉的解,如果解決特定的問題,所以從一個(gè)給定的功能和數(shù)學(xué)操作組公認(rèn)的“基本概念?！斑@個(gè)封閉的概念是完全分開的觀念封閉收獲正如上面所討論的:特別是,超幾何函數(shù)(,因此,任何封閉函數(shù)繼承其屬性)被為是一個(gè)“特殊函數(shù)”,不是使用的操作通常被視為“小學(xué)。“更重要的是,某些像的insolvability公認(rèn)的真理五次失敗是真實(shí)的如果一個(gè)人考慮擴(kuò)展到一個(gè)類的功能包括超幾何函數(shù),結(jié)果由于克萊因(1877)有理函數(shù)一個(gè)商兩個(gè)多項(xiàng)式和,被稱為有理函數(shù),有時(shí)一

32、個(gè)理性的多項(xiàng)式函數(shù)。更一般的,如果和是多項(xiàng)式在多個(gè)變量,他們的商被稱為多元有理函數(shù)。“有理多項(xiàng)式”一詞有時(shí)被用作有理函數(shù)的同義詞。然而,這種用法不提倡通過類比Wilf-Zeilberger一對(duì)一雙封閉的形式功能據(jù)說是一對(duì)Wilf-Zeilberger如果(1)Wilf-Zeilberger形式主義提供了簡(jiǎn)潔的已知身份的證明,并允許新的身份被發(fā)現(xiàn)時(shí)成功地找到了為一個(gè)已知的身份證明證書。然而,如果出發(fā)點(diǎn)是一個(gè)未知的超幾何和,然后Wilf-Zeilberger方法不能發(fā)現(xiàn)一個(gè)封閉形式的解決方案,Zeilberger的算法可以。Wilf-Zeilberger對(duì)證明非常有用超幾何身份的形式(2)的加數(shù)都

33、消失了外一些有限區(qū)間。現(xiàn)在除以右邊獲得(3)在哪里(4)現(xiàn)在使用一個(gè)有理函數(shù)所提供的Zeilberger的算法,定義(5)身份(),那么結(jié)果。對(duì)所有整數(shù)加法的關(guān)系然后望遠(yuǎn)鏡右側(cè)為0,(6)因此,是獨(dú)立于,所以必須一個(gè)常數(shù)。如果合理規(guī)范化,那么它會(huì)是真的嗎.例如,考慮一下二項(xiàng)式系數(shù)身份(7)這個(gè)函數(shù)返回的Zeilberger的算法是(8)因此,(9)和(10)(11)(12)(13)采取(14)然后給出了所謂的身份(15)擴(kuò)大和評(píng)估表明身份并持有,也可以驗(yàn)證(16)所以(Petkovek et al . 1996年,頁25日- 27日)。對(duì)于任何Wilf-Zeilberger一對(duì),(17)每當(dāng)兩側(cè)收斂(Zeilberger 1993)。此外,(18)(19)和(20)在哪里(21)(22)(Amdeberhan和Zeilberger 1997)。后者的身份已經(jīng)被用于計(jì)算摹仿的常數(shù)大量的小數(shù)(Wedeniwski)。參見:微分k-Form一個(gè)微分構(gòu)成是一個(gè)張量的張量排名這是反對(duì)稱在交換任何一對(duì)指數(shù)。的數(shù)量代數(shù)無關(guān)組件維度的二項(xiàng)式系數(shù)。特別是,一個(gè)1 -(通常是簡(jiǎn)單地稱為“微分”)是一個(gè)數(shù)量(1)在哪里, ., .,的組件嗎協(xié)變張量。改變變量來給了(2)(3)(4)在哪里(5)這是協(xié)變轉(zhuǎn)換法。一個(gè)- - - - - -交替多重