1079高等代數(shù)專題研究-國家開放大學(xué)2018年1月至2021年7月期末考試真題及答案（201801-202107不少于6套）

1、試卷代號：1079高等代數(shù)專題研究 試題（半開卷） 2018年1月一、單項選擇題（本題共20分，每小題4分）2若向量組ai，a，與pl，盧，均線性無關(guān)，則向量組ai，a，pl，盧；( ) A. -定線性無關(guān) B-定線性相關(guān) C不一定線性無關(guān) D以上說法都不對3如果線性空間V的線性變換A在V的基ei，。下的作用為：4.設(shè)A是n階實矩陣，則A為正交矩陣的充要條件是( ). A矩陣A的列向量組是R”的標(biāo)準(zhǔn)正交基BA-1=A CIAI=1 DA的列向量兩兩正交5設(shè)A是咒階實可逆矩陣，則A rA必是( ) A.A的主對角線上元素全為零 BE CIArA l =o D正定矩陣二、填空題（本題共20分，每小

2、題4分） 6有理數(shù)域上的不可約多項式昀次數(shù)是 次的 7全體正實數(shù)的集合R+對于下面定義的加法與標(biāo)量乘法： 構(gòu)成R上的線性空間，則R+的零向量為 8設(shè)A，B都是咒階方陣如果存在咒階可逆矩陣T，使T-1AT =B，則稱A與B 9設(shè)是歐氏空間V的對稱變換，則盯在V的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是 。 10雙線性函數(shù)，非退化的充分必要條件是它的度量矩陣M 三、計算題（本題共45分，每小題15分）11.在線性空間R3中有兩組基： 13.已知a1=(l，1，0)，a2=(1，0，1)，a3=(1，0，0)是歐氏空間R3的一組基，請用施密特正交化方法求R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基四、證明題（本題15分）14.如果A，B都是正

3、定對稱矩陣，證明：A+B也是正定對稱矩陣，試卷代號：1079高等代數(shù)專題研究 試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（半開卷）（供參考） 2018年1月一、單項選擇題（本題共20分，每小題4分） 1B 2C 3B 4A 5D二、填空題（本題共20分，每小題4分） 6任意 7. 1 8相似 9對稱矩陣 10非退化三、計算題（本題共45分，每小題15分）試卷代號：1079高等代數(shù)專題研究 試題（半開卷） 2019年1月一、單項選擇題（本題共20分，每小題4分）1下列法則是有理數(shù)域Q上的代數(shù)運算的是( ) Aab=ba+2b2 Bab=b Cab=2 Dab =2a +3b2設(shè)Vl，V2都是線性空間V的真子空間，則下列

4、集合中不是V的子空間的是( ) AV1UV2 BV1V2 C V1+V2 DV103設(shè)n階方陣A可對角化，則下列結(jié)論正確的是( ) AA有n個不同的特征值 BA是可逆矩陣 CA有n個線性無關(guān)的特征向量 DA是實對稱矩陣 4設(shè)A是n階實矩陣，則A為正交矩陣的充要條件是( ) A矩陣A的列向量組是Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基 BA-1=A CIAI=1 DA的列向量兩兩正交 5設(shè)AMn(R)是n元二次型q的矩陣，A的秩為r1，二次型q的秩為r2，則r1與r2的關(guān)系為( ) Ar1 r2 Dr1與r2沒有必然聯(lián)系二、填空題（本題共20分，每小題4分）6復(fù)數(shù)域上的不可約多項式的次數(shù)是_次的7向量組=(a，0，0)

5、，=(2，a，0)，=(1，3，2)線性相關(guān)，則a=_.8線性交換A的屬于不同特征值的特征向量一定是_的9設(shè)e1，e2是2維歐氏空間V中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，V，且(，e1) =3，(，e2)=-1，則=_.10雙線性函數(shù)f是對稱的充分必要條件是它的度量矩陣是_矩陣.三、計算題（本題共45分，每小題15分）11設(shè) f(x)=x4+2x3-x2-4x-2，g (x)=x4 +x3-x2-2x-2,求 f (x) ，g(x). 12在線性空間R3中有兩組基： 1=(1，0，0)， 2=(1，1，0)， 3=(1，1，1) 1=(1，2，3)，2=(2，3，5)，3 =(3，5，9)求基1，2，3到基1

6、，2，3的過渡矩陣T13.求取何值時，下面的實二次型是正定的f(x1 , x2 , x3) =x12 + 4x22 + 4x32 + 2x1x2 - 2x1x3 + 4x2x3四、證明題（本題15分）14證明：若n階方陣A與B相似，則它們的行列式相等試卷代號：1079高等代數(shù)專題研究 試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（半開卷）（供參考）2019年1月一、單項選擇題（本題共20分，每小題4分）1B 2A 3C 4A 5B二、填空題（本題共20分，每小題4分） 61 70 8線性無關(guān) 93e1e2 10對稱三、計算題（本題共45分，每小題15分）11解：輾轉(zhuǎn)相除q2(x)x+1g(x)x4 +x3 -x2 -2

7、x - 2x4 +x3-2x2 - 2xf(x)x4 + 2x3 -x2-4x- 2x4 +x3 -x2-2x -2q1(x)1x2 -2x3-2xx3 -2xq3(x)x0 x1(x)x3 - 2x （6分） r2(x)x2-2 (10分)所以 (f(x)，g(x)x2-2 （15分）12解：1-1 -2+33 （4分）2-1 -22 +5 （8分）3-21 -42 +93 12（分）因此，(1，2，3)(1 , 2 , 3)-，即過度矩陣-1（分）13解：二次型的系數(shù)陣A-（分）利用A是正定實對稱矩陣的充分必要條件是它的各階順序主子式都大于零，可得1 44，-4+80. （10分）解得20

8、B.A的主對角線上的元素全為正C.A的元素全為正D.A是非退化的二、填空題（本題共20分，每小題4分）6.多項式f(x)=x4-2x3+2x2-1的有理根為_ .7.向量組a1=(1，2，3)，a2=(1，0，0)，a3=(10，19，30)線性_.8.如果存在可逆矩陣T，使得T-1AT為_，則n階方陣A稱為可對角化.9.若歐幾里得空間V上的線性變換A保持向量長度不變，則A是一變換.10.雙線性函數(shù)，非退化的充分必要條件是它的度量矩陣M_.三、計算題（本題共45分，每小題15分）11.已知1=(1，1，1)，2=(1，0，1，-1)，3=(1，-2，1，-5)，求W=L(1，2，3)的基與維數(shù)

9、.12.設(shè)A=101010101，求一個正交矩陣T，使T-1AT=TTAT為對角矩陣.13.將三元二次型f=2x1x2+2 x1x3-2 x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題（本題15分）14.證明：若A為可逆矩陣，則它的特征值均非零.試卷代號：1079高等代數(shù)專題研究 試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（半開卷）2019年7月一、單項選擇題（本題共20分，每小題4分） 1D 2B 3D 4A 5C二、填空題（本題共20分，每小題4分） 6. 1 7無關(guān) 8對角陣 9正交 10.非退化三、計算題（本題共45分，每小題15分） 11解：把1,2,3寫成列向量組成矩陣A，對A進(jìn)行初等行變換，化簡成行階梯形矩陣：A111

10、10-2111-21-51110-1-3000-20-6A111013000000（10分） 由此可知1,2是W的一組基，dimW=2（15分） 12.解：A的特征多項式E-A=(-1)(-2)，故A的特征值為0，1，2（5分） A是實對稱矩陣，可對角化，分別求得A的屬于每個特征值的特征向量： 當(dāng)1=0時，-AX=0的基礎(chǔ)解系為1T=(1，0，-1)；（7分） 當(dāng)2=1時，(E3-A)X=0的基礎(chǔ)解系為2T=(1，1 ，0)；（9分） 當(dāng)3=2時， 2E3-AX=0的基礎(chǔ)解系為3T=(1，0，1)（11分） 1，2，3已正交，單位化得 1T=(12,0，-12), 2T=0，1，0,3T=(1

11、2，0，12)令T=12012010-12012（13分） 則T是正交陣，且TTAT=T-1AT=diag0,1,2.（15分） 13.解：作非退化線性替換x1=y1+y2x2=y1-y2x3=y3造平方項得（5分） f=2y12-2y22+4y2y3=2y12-(y2-y3)2+2y32（10分） z1=y1z2=y2-y3z3=y3（12分） 則有f=2z12-2z22+2z32（15分）四、證明題（本題15分） 14證明：若A為可逆矩陣，則它的特征值均非零 證明：反證法，設(shè)為A的一個特征值，且=0，則存在非零向量X，使得 AX=X=0（5分） 又A是可逆矩陣，在上式兩邊左乘A-1可得 A

12、-1AX=A-10 即X=0（10分） 這與X是非零向量相矛盾故假設(shè)不成立，0.由此可得，A的特征值均非零（15分）試卷代號：1079 座位號口口國家開放大學(xué)2 01 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試高等代數(shù)專題研究試題（半開卷） r2020年1月一、單項選擇題本題共20分，每小題4分）1設(shè)，f(x)在有理數(shù)域Q內(nèi)不可約，則( ) Af(x)在實數(shù)域內(nèi)一定不可約 B. f(x)在復(fù)數(shù)域內(nèi)一定可約 Cf(x)在實數(shù)域內(nèi)一定可約 D以上說法都不正確2若向量組1，r，與1，s均線性無關(guān)，則向量組1，r，1，s ( ) A一定線性無關(guān) B一定線性相關(guān) C不一定線性無關(guān) D以上說法都不對3矩陣A與B相似的充分必

13、要條件是( ) A.A與B的特征多項式相等 BA與B的行列式相等 CA與B的秩相等 D. 存在可逆矩陣丁，使T-1AT=B4實對稱矩陣的特征值都是( ) A實數(shù) B零或純虛數(shù) C非零實數(shù) D模為1的復(fù)數(shù)5線性空間V上的雙線性函數(shù)f(，)在不同基下的度量矩陣( ) A相似 B相合 C正交相似 D. 相等二、填空題（本題共20分每小題4分）6當(dāng)a= ，b=_時，x2+1l x3+ax+b.7全體正實數(shù)的集合R+對于下面定義的加法與標(biāo)量乘法：ab=ab，k a= ak構(gòu)成R上的線性空間，則R+的零向量力_8線性變換A的屬于不同特征值的特征向量一定是_ 的9第二類正交矩陣的行列式的值等于_10若A為正

14、定實對稱矩陣，則A的主對角線上的元素全為_三、計算題（本題共45分，每小題15分）11求多項式，f(x)=x4 -5x3+11x2-16x+12的有理根12求A=122212221的特征值和特征向量13.已知1=(1，1，0)，2=(1，0，1)，3=(l1，0，0)是歐氏空間R3的一組基，請用施密特正交化方法求R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.四、證明題（本題15分）14設(shè)A，B都是n階正定對稱矩陣，證明：A+B也是正定對稱矩陣試卷代號：1079國家開放大學(xué)2 0 1 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試高等代數(shù)專題研究試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（半開卷）（供參考） 2020年1月一、單項選擇題（本題共20分，每小題4分）

15、 1D 2C 3D 4A 5B二、填空題（本題共20分，每小題4分） 6=1，b=0 7. 1 8線性無關(guān) 9-1 10正三、計算題（本題共45分，每小題lo分） 11解：因為a4=1，a0=12，所以方程可能的有理根是1，2，3，4，6，12. （3分） 因為f(1)0,f (-2)0，(3)0，f(4)0，f(6)0，f(12)0，故1，-2，3，4，6，12都不是根 (8分) 而f(2)=0，故2是f(x)的根 （12分） 用綜合除法驗證，2是f(x)的二重根 （15分） 12解：A的特征多項式 A=E-A=-1-2-2-2-1-2-2-2-1=+12(-5) 所以A的特征值是-1，-1

16、和5 （7分） 當(dāng)=-1時，解齊次線性方程組(-E-A)X=0，得基礎(chǔ)解系 110-1，201-1 因此，屬于-1的全部特征向量為k11+k22，k1，k2是不全為零的全部數(shù)對（11分） 當(dāng)=5時，解齊次線性方程組(5E-A)X=0，得基礎(chǔ)解系南3111 因此，屬于5的全部特征向量為k3，k0. （15分） 13解：用施密特正交化方法可得1=a1=（1，1，0） (3分)1=a1-a2，11，11=1，0，1-12 1，1，0=（12，-12，1）（6分） 3=a3-a3，11，11-（a3，2）（2，2）2 =1，0，0-121，1，0-13（12，-12，1） =(13，-13，-13)

17、（9分） 單位化可得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為 1=（22，22，0） (11分) 2=（66，-66，63） (13分) 3=（33，-33，-33） (15分)四、證明題(本題15分) 14設(shè)A，B都是n階正定對稱矩陣，證明：A+B也是正定對稱矩陣 證明：(A+B)T=AT+BT=A+B，故A+B是對稱矩陣 （5分） 對任一n維列向量X0，都有XTA+BX=XTAX+XTBX0，因此，A+B是正定對稱矩陣 （15分）試卷代號：1079座位號國家開放大學(xué)2 0 2 0年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試高等代數(shù)專題研究 試題 2020年7月一、單項選擇題（每小題4分，共20分）1下列法則是整數(shù)集Z上的代數(shù)運算的是(

18、 ) A。b=+b B。b=b2 C。b=2 D。b=13 2若向量組1，2，t與，1以均線性無關(guān)，則向量組1+1，t+t。( ) A一定線性無關(guān) B一定線性相關(guān) C可能線性相關(guān)，也可能線性無關(guān) D以上說法都不對3設(shè)咒階方陣A可對角化，則下列結(jié)論正確的是( ) AA有n個不同的特征值 BA是可逆矩陣 CA有n個線性無關(guān)的特征向量 DA是實對稱矩陣4設(shè)是n維歐氏空間V上的線性變換，在基1，2，n。下的矩陣為對稱矩陣A，則( ) A為可逆變換 B當(dāng)1，2，n為標(biāo)準(zhǔn)正交基時，為對稱變換 C為正交變換 D為對稱變換5線性空間V上的雙線性函數(shù)f(，)在不同基下的度量矩陣( ) A相似 B相等 C正交相似

19、 D相合二、填空題（每小題4分，共20分） 6有理數(shù)域上的不可約多項式的次數(shù)是_次的 7在有限維線性空間中，任意兩個基所含向量酌個數(shù)是_的 8 設(shè)A，B都是n階方陣，如果存在n階可逆矩陣T，使T-1AT=B，則稱A與B_ 9若歐幾里得空間V上的線性變換A保持向量長度不變，則A是_變換 10設(shè)A是n階實矩陣，當(dāng)A是_矩陣時，ATA是正定矩陣.三、計算題（每小題15分，共45分）11已知1，2，3是3維線性空間V的一組基，向量組1，2，3滿足1+3=1+2+3，1+2=2+3，2+3=1+3求由基1，2，3到基1，2，3的過渡矩陣12設(shè)R3的線性變換定義如下：x1，x2，x3=（2x1-x2，x2

20、-x3，x2+x3），求在基1=1，0，0，2=0，1，0，3=（0，0，1）下的矩陣13用正交線性替換化實二次型x12+2x22+3x32-4x1x2-4x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題（共15分）14設(shè)fx，g(x)是數(shù)域P上的一元多項式，且fx，gx=1證明：fx，fx+gx=1試卷代號：1079國家開放大學(xué)2 0 2 0年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試高等代數(shù)專題研究 試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（供參考） 2020年7月一、單項選擇題（本題共20分，每小題4分） 1.A 2.C 3.C 4.B 5.D二、填空題（本題共20分，每小題4分） 6.任意 7.相等 8.相似 9.正交 10.可逆三、計算題（本題共

21、45分，每小題15分）11.解：1，2，3=1，2，3001100121212，T=0011001212120所以1，2，3是一組基. (5分)因為1，2，3=1，2，3001100121212， (10分)故1，2，3=1，2，3010-1-12100，即基 1，2，3到基1，2，3的過渡矩陣為 010-1-12100 (15分)12.解：1=(2,0,0)=21, 2=-1,1,1=-1+2+3, 3=0,-1,1=-2+3, （10分）因此在基1=1，0，0，2=(0，l，0)，3=(0，0，1)下的矩陣為 A=2-1001-1011 （15分） 13.解：二次型的系數(shù)矩陣A=1-20-

22、22-20-23 （1分）A的特征多項式E-Al=(+1)(-2)（-5），由此得，A的特征值為-1，2，5（3分）解相應(yīng)的齊次線性方程組，得單位正交的基礎(chǔ)解系為1=232313， 2=-231323，3=13-2323 (8分)令T=232313-23132313-2323為正交矩陣，則正交線性替換為 x1x2x3=232313-23132313-2323y1y2y3 所得標(biāo)準(zhǔn)形為一y12+2y22+5y32， （15分）四、證明題（本題15分） 14.設(shè)f(x)，g(x)是數(shù)域P上的一元多項式，且fx，gx=1. 證明：fx，fx+gx=1. 證明：由fx，gx=1可知，存在u(x)，(x

23、)Px使得 u(x)fx+(x)gx=1 由此可得uxfx+xfx+gx-(x)fx=1 即 (ux-x)fx+xfx+gx=1 （10分） 故 fx，fx+gx=1 （15分） 試卷代號：1079國家開放大學(xué)2020年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試高等代數(shù)專題研究 試題2021年1月一、單項選擇題（本題共20分，每小題4分）1.下列結(jié)論正確的是( ).A.可約一定有根B.不可約一定無根C.有根一定可約D.無根未必不可約2.若向量組1，2，r，與1，2，r，均線性無關(guān)，則下列向量組中一定線性無關(guān)的是( ).A. 1+1，2+2，r+rB. 1-1，2-2，r-rC. 1，22，rrD. 1，2，r，1，

24、2，r3.如果線性空間V的線性變換A在V的基1，2下的作用為：A1=a1+b2A2=c1+d2那么A在基1，2下的矩陣為( ).A.abcdB.cadbC. acbdD.cdab4.實對稱矩陣的特征值都是( ).A.實數(shù)B.零或純虛數(shù)C.非零實數(shù)D.模為1的復(fù)數(shù)5.線性空間V上的雙線性函數(shù)f(,)在不同基下的度量矩陣( ).A.相似B.相合C.正交相似D.相等二、填空題（本題共20分.每小題4分）6.當(dāng)a=_時，x+1|x3+x+a.7.從基1，2，3到基2，1，3的過渡矩陣T=_.8.n階方陣A稱為可對角化，如果存在可逆矩陣T，使得T-1AT為_.9.歐幾里得平面上的正交變換一定是_或鏡射.

25、10.實對稱矩陣A是正定的充分必要條件是A的順序主子式_.三、計算題（本題共45分，每小題15分）11.已知1=(1，1，1，1)，2=(1，0，1，-1)，3=（1，3，0，-4），求W=L(1，2，3)的基與維數(shù).12.求A=122212221特征值和特征向量.13.已知1=1，1，0，2=1，0，1，3=(1，0，0)是R3的一組基，求R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.四、證明題（本題15分）14.如果A，B都是正定實對稱矩陣，證明：A+B也是正定實對稱矩陣.試卷代號:1079國家開放大學(xué)2020年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試高等代數(shù)專題研究試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)(供參考)2021年1月一、單項選擇題(本題共2

26、0分,每小題4分)1.D2.C3.C4.A5.B二、填空題(本題共20分,每小題4分)6.27.0101000018.對角陣9.旋轉(zhuǎn)10.全大于零三、計算題(本題共45分,每小題15分)11.已知1=(1,1,1,1),2=(1,0,1,-1),3=(1,3,0,-4),求W=L(1,2,3)的基與維數(shù).解:把1,2,3寫成列向量組成矩陣A,對A進(jìn)行初等行變換,化成簡化的行階梯形矩陣:A=1111031101-1-4111012001000(10分)由此知1,2,3是W的一組基,dimW=3.(15分)12.求A=122212221的特征值和特征向量.解:A的特征多項式A()=E-A=-1-2

27、-2-2-1-2-2-2-1=(+1)2(-5)所以A的特征值是-1和5.(7分)當(dāng)=-1時,解齊次線性方程組(-E-A)X=0,得基礎(chǔ)解系1=10-1,2=01-1.因此屬于-1的全部特征向量為k11+k22,k1,k2為P中不全為零的全部數(shù)對.(11分)當(dāng)=5時,解齊次線性方程組(5E-A)X=0,得基礎(chǔ)解系3=111.因此屬于5的全部特征向量為k3,kP,k0.(15分)13.已知1=(1,1,0),2=(1,0,1),3=(1,0,0)是R3的一組基,求R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.解:用施密特正交化方法可得1=1=(1,1,0)(3分)2=2-(2,1)(1,1)1=(1,0,1)-12(1

28、,1,0)=12，-12，1(6分)3=3-(3,1)(1,1)1-(3,2)(2,2)2=(1,0,0)-12(1,1,0)-1312，-12，1 =13，-13，-13(9分)單位化可得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為1=22，22，0(11分)2=66，-66，63(13分)3=33，-33，33(15分)四、證明題(本題15分)14.如果A,B都是正定實對稱矩陣,證明:A+B也是正定實對稱矩陣.證明:(A+B)T=AT+BT=A+B,故A+B是實對稱矩陣, (5分)對任一n維列向量X0,都有XT(A+B)X=XTAX+XTBX0.因此,A+B為正定實對稱矩陣.(15分)試卷代號：1079國家開放大學(xué)2

29、021年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試高等代數(shù)專題研究 試題2021年7月一、單項選擇題（本題共20分，每小題4分）1.下列運算中，（ ）是有理數(shù)域Q上的代數(shù)運算.A.a。b=abB.a。b=bC.a。b=abD.a。b=2a2.按通常數(shù)的加法與乘法，復(fù)數(shù)域C可以看成實數(shù)域R上的線性空間，則它的維教是（ ）.A.0B.1C.2D.無限3.矩陣A與B相似的充分必要條件是（ ）.A.A與B的特征多項式相等B.A與B的行列式相等C.A與B的秩相等D.存在可逆矩陣T，使T-1AT = B4.設(shè)A是正交矩陣，則下列選項中錯誤的是（ ）.A.A2=EB.AT=A-1C.A的每一行的元素的平方和等于1D.A的不同行的

30、對應(yīng)元素乘積之和等于O5.設(shè)A是n階實對稱矩陣，則A是正定的充分必要條件是（ ）.A.A的行列式大于零B.存在矩陣C，使得A=CTCC.A的特征值全為正D.存在n維非零向量X，使得XTAXO二、填空題（本題共20分，每小題4分）6.實數(shù)域上的不可約多項式的次數(shù)是 次的.7.向量組a=(0，O，1)，=（0，1，2)，=(a，3，5)線性相關(guān)，則a = .8.設(shè)A是線性空間V的線性變換，則A的屬于不同特征值的特征向量線性 _.9.設(shè)是歐氏空間V的對稱變換，則在V的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是 .10.線性空間V上的雙線性函數(shù)f(，)在不同基下的度量矩陣 .三、計算題（本題共45分，每小題15分）11.設(shè)R3的線性變換定義如下：(x1，x2，x3)=(2x1-x2，x2-x3，x2+x3)，求在基1=(1，O，O)，2=(0，1,0)，3=(0，O，1)下的矩陣.12.設(shè)A=2-20-21-20-20，求一個正交矩陣T，使T -1AT = T TAT為對角矩陣.13.求取何值時，下面的實