彈性力學問題一般解空間軸對稱問題學習教案

1、會計學1彈性彈性(tnxng)力學問題一般解空間軸對稱力學問題一般解空間軸對稱問題問題第一頁，共39頁。若以位移為基本未知量，必須將泛定方程改用位移 來表示?，F(xiàn)在來進行推導：將式(4-2)代人式(4-6)得 iu再將式(a)對j取導后再代人式(4-1)得 （4-1）)(022tuFiijj i222( )()()()xyzxyyzzxueGxveGyweGzauvGyxvwGzyuwGzx222222222()()0 xeuuvvwGGGFxxyx yzx z uvwexyz000yxyxxyxyyzyzyzxzzFxyzFxyzFxyz 第1頁/共38頁第二頁，共39頁。222()0 xee

2、GGuFxxyyz同理，并采用(ciyng)Laplac算符2222()yyz 222()0()0(81)()0 xyzeGGuFxeGGvFyeGGwFz如物體內質點(zhdin)處于運動狀態(tài)，式(8-1)也可寫為第2頁/共38頁第三頁，共39頁。當體力(tl)不計時，有式(8-2) (用位移表示的）平衡(pnghng)(運動)微分方程的展開式為上述式(8-3)或式(8-4)稱為Lame(拉梅）方程(或Lame-Navier（納維葉）方程)。式(8-1)、式(8-2)和式 (8-3)的推導過程是平衡方程、幾何方程及本構方程的綜合，因此以位移(wiy)形式表示的平衡(運動)微分方程是彈性力學問

3、題位移(wiy)解法的基本方程。Lame方程在彈性波動力學問題中是極為重要的理論基礎。 222222222()0()()0()(83)()0()xyzeuGGuFxtevGGvFytewGGwFzt第3頁/共38頁第四頁，共39頁。由此，用位移法解彈性(tnxng)力學問題歸結為按給定邊界條件積分Lame方程。 (式中 為函數(shù) 沿物體表面法線n的方向導數(shù))，其展開式為iu()()()()(86)()()xxxyzxyzyyxyzxyzxzxyzxyzuuuuvwFelGlllGlllxyzxxxvvvuvwFelGlllGlllxyzyyywwwuvwFelGlllGlllxyzzzz其方法與

4、將應力形式的平衡(pnghng)方程轉化為Lame方程的方法大致相同?，F(xiàn)推導如下：先后將式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得所求問題的邊界條件給定的是邊界上的位移 ，則可直接進行計算。iiuu如果全部邊界或部分邊界上給出的是應力邊界條件， 就要將應力形式的邊界條件轉換成為位移形式。iijjlF1()(42)2iji jijuu2(46)(1)(12 )(1)ijijijijijEEeeG第4頁/共38頁第五頁，共39頁。解 :以xy為邊界(binji)面，取z軸垂直向下。采用半逆解法(ji f)。由于載荷和幾何形狀都對稱于z軸，則各點位移只在z向有變化。試假設因此由Lame方程式(8

5、-3)的前兩式知，它們(t men)成為恒等式自然滿足，而第三式給出而 例8-1設有半空間無限體，容重為p，在上邊界上受均布壓力q，求體內的位移和應力。 pFFFzyx, 0體力分量如圖8-1所示。 0yxFFqFz面力分量在z=0處,于是 222222222()0()()0()(83)()0()xyzeuGGuFxtevGGvFytewGGwFzt第5頁/共38頁第六頁，共39頁。式中A、B為積分(jfn)常數(shù)。0yxll1zl邊界(binji)上邊界條件式(8-6)前兩式自然(zrn)滿足，0yxFF因為 只與z有關。其第三式為qFz又()()()()(86)()()xxxyzxyzyyx

6、yzxyzzzxyzxyzuuuuvwFelGlllGlllxyzxxxvvvuvwFelGlllGlllxyzyyywwwuvwFelGlllGlllxyzzzz將式(3)代入式(4)得 ，再代回式(3)，得第6頁/共38頁第七頁，共39頁。為了確定常數(shù)B，可以將無限的邊界條件轉化為有限的，即假定半空間體在距平面邊界h足夠遠處已經(jīng)很小而可以忽略，即 ，則由式(5)得于是(ysh)，式(3)給出的位移為G2E,將 換成 來表示，則位移解答為顯然(xinrn)最大位移發(fā)生在邊界上，由式(8-7)可知將式(8-7)代入幾何方程(4-2)求出應變，再引用式本夠方程(4-6)可得應力分量(fn lin

7、g)解答(),(),0(89)1xyzxyyzzxqpzqpz )21)(1 (E)1 (2EG第7頁/共38頁第八頁，共39頁。二、應力(yngl)法以應力作為基本未知量，需將泛定方程(fngchng)改用應力分量表示。應力方程(fngchng)可由應變協(xié)調方程(fngchng)(4-4)和平衡微分方程(fngchng)(4-1)，用應力應變關系就可得到用應力表示的應變協(xié)調方程(fngchng)。不過也可從位移方程(fngchng)，即已求得的Lame方程(fngchng)式(8-1)出發(fā)來推導： 第一步，先將Lame方程轉變?yōu)槿齻€正應力和的關系式，供以下(yxi)推證使用。將式(3-27)

8、和式(3-28)代人式(8-1)得 將式(d)簡化，可得使式(e)對k取導，則第8頁/共38頁第九頁，共39頁。再將式(f)乘以以(展開式相加)，可得由于 ，再使 ；前兩項合并，得eujj令 ，由式(4-12)知 ，化簡則有 第9頁/共38頁第十頁，共39頁。第二步，再由Lame方程，利用幾何方程與虎克定律得到應力公式。再按式(f)改變(gibin)下標符號，可寫出以下兩式 將式(j)及式(k)相加，得出(d ch)利用式(4-5)，式(1)中 ，簡化后得由式(i)并將下標符號(fho)i改為k可得 第10頁/共38頁第十一頁，共39頁。于是(ysh)有其展開式為（ 用應力表示的協(xié)調方程(fn

9、gchng)）6個方程(fngchng)可以解6個應力分量）由 ，式(8-10)可寫成xyz第11頁/共38頁第十二頁，共39頁。當不計體力(tl)時，有式(812)和式(813)稱為(chn wi)BeltramiMichell(貝爾特拉米米歇爾)方程，也即應力協(xié)調方程。 由此，用應力法解彈性力學問題歸結為按給定邊界條件滿足平衡微分方程(4-1)和協(xié)調方程。注意到：BeltramiMichell方程是以應力形式表示的變形協(xié)調方程，并且在推導中雖然用到了平衡方程(此處引用Lame方程推出)，但推導中進行了對平衡方程的求導見式(f)已不能代表平衡方程本身了，故而要重新考慮平衡方程，于是得出(d

10、ch)上述應力法求解的結論。 下一節(jié)我們舉等截面懸臂梁的彎曲為空間問題按應力求解的實例?，F(xiàn)在我們來討論兩種求解方法的特點： 按位移法求解彈性力學問題時，未知函數(shù)的個數(shù)比較少，僅有三個未知量 、 、 。但必須求解三個聯(lián)立的二階偏微分方程。 uvw第12頁/共38頁第十三頁，共39頁。應力法系以六個應力分量作為基本未知函數(shù)，用應力法雖然比位移法多了三個，而得到比位移法更復雜的方程組，但由于用應力作為未知函數(shù)后，邊界條件比位移法簡單得多，所以對于已知表面力邊界的問題，用應力法所得的最后(zuhu)基本方程式，在多數(shù)實際問題中反而比位移法簡單而且容易求解。應該指出，用位移法解彈性力學問題時，在滿足位移

11、表示的平衡方程及邊界條件求得物體各點位移后，用幾何條件得出應變分量，則變形連續(xù)條件自行滿足(因為所設位移函數(shù)是單值連續(xù)函數(shù))。而用應力法解彈性力學問題時，還須注意所謂位移單值性的問題，因為由應變求位移時，需要進行積分運算，這就涉及到積分的連續(xù)條件問題。對于單連體(即只有一個連續(xù)邊界的物體，也就是內部無空洞的物體)問題，如滿足平衡方程、應力協(xié)調方程及應力邊界條件，則應力分量完全確定，其解是唯一確定的。而對于多連體(即內部有空洞的物體)問題，則除了滿足上述方程及邊界條件外，還要考慮位移的單值性條件(即物體中任意(rny)一點的位移是單值的)，這樣才可能完全確定應力分量(這一點已經(jīng)在本書第六章中厚壁

12、筒解答里進行過討論)。 第13頁/共38頁第十四頁，共39頁。 雖然上面所說按應力法求解比位移法求解容易些，但就解決彈性體問題的普遍性而言，按位移求解是更為普遍適用的方法，特別是在彈性波傳播理論及在數(shù)值(shz)計算方法中，例如有限差分法、有限單元法等得到了廣泛的應用。 對于具體實際問題，應根據(jù)問題的特點或者所要求的未知參量，恰當?shù)剡x擇求解方法。不論以位移或應力作為未知函數(shù)的位移法或應力法(相當于材料力學(l xu)和結構力學(l xu)中求解超靜定問題時的位移法與應力法)，在彈塑性力學(l xu)中為便于構設未知函數(shù)，具體解題大多采用逆解法與半逆解法。 第14頁/共38頁第十五頁，共39頁。

13、這里將討論任意等截面懸臂梁，在自由端受力P作用(zuyng)的問題。P力過自由端的彎曲中心T，并與過截面形心A的一個主形心軸平行。取固定端截面的形心為坐標原點，取梁的軸線為z、x、y軸與截面的形心主軸重合，圖8-2。用半逆解法解此題，參考材料力學(ci lio l xu)結果，設式中 為截面對y軸的慣性矩。yJ將式(a)代入平衡方程(4-1)，略去體力，得zxzy由式(b)前兩式知剪應力 和 與坐標z無關，只是x、y的函數(shù)。 000yxyxxyxyyzyzyzxzzFxyzFxyzFxyz0,0,0( )yzzxzxzxypxbzzxyJ()0,( )xyxyzyP lzxaJ 第15頁/共3

14、8頁第十六頁，共39頁。使則式(8-14)滿足(mnz)方程式(b)，式中的f(y)為y的任意函數(shù)，以式(8-14)代人式(c)，有 zx為滿足 與沿x向的面力邊界條件。以式(a)代入應力協(xié)調方程(8-13)則式(8-13)的前四式成為(chngwi)恒等式，第五及第六式為 并注意到0,0,0( )yzzxzxzxypxbzzxyJ,zxzyyx 扭轉0zyzxyx扭轉取應力函數(shù) ）（yx,210(813)1ijij222222222222222101101101(813)101101101xyzxyyzzxxyzx yy zz x xyz220,( )(1)yzyzyPcJ 220,( )(

15、 )(1)yPfydxyJ( )2(814)zxyyzPfyyJx 第16頁/共38頁第十七頁，共39頁。由式(d)式的第二式積分(jfn)可知 式中C是積分常數(shù)。這個常數(shù)有簡單的物理意義，我們考察懸臂梁的橫截面上任意一微分(wi fn)體的轉動角(剛性轉動位移)220,( )( )(1)yPfydxyJ22( )(1)( )(1)yyPfyyJPyfyCJ2( )( )(1)yPyfyCeJ它沿軸的變化率是 第17頁/共38頁第十八頁，共39頁。由式(i)可見該旋轉角沿z方向的變化率 (相當單位長度的軸向轉角)包括兩項；z/z現(xiàn)在(xinzi)再考察邊界條件式(4-13)。以式(e)代人式(

16、h)，得 實際上，C(2G)就是單位長度(chngd)的扭轉角。若P力通過截面的彎曲中心T，柱體無扭轉發(fā)生，應取C=0，這時式(e)化為 其中y的一次項表示對不同y坐標的縱向微條，將產(chǎn)生不同的單位長度的軸向轉角，因此這部分將引起橫截面的畸變；其中常數(shù)項表示對桿中所有(suyu)的縱向微條，將產(chǎn)生相同的單位長度的軸向轉角，這時桿的任意一個橫截面，只是剛性地轉過某一角度，因此這部分表不桿的扭轉變形。0zl柱體的側面有 無外力作用，邊界條件前兩式自動滿足以式(8-14)代人，有 ( )2(814)zxyyzPfyyJx 第18頁/共38頁第十九頁，共39頁。將式(8-14)代人式(j)有 所以 我們

17、(w men)可以選取任意函數(shù)f(y)，使式(8-16)方括號內的項等于零，即于是，側面無外力的邊界條件轉化為 ，也就是在周邊上 是常數(shù)，如取這常數(shù)為零，則 。如考慮自由端端面邊界條件，可以求出截面上無扭矩的條件，也即彎曲中心T距形心A的位置e(圖8-2)，此部分計算從略。 0/dsd0s 于是彎曲問題歸結為解微分方程(8-15)，而在周邊上滿足式(8-17)及 。注意到式(8-15)也就是Boisson方程，柱體彎曲問題也可以通過薄膜比擬法求解。0s而第三式因有2( )0( )2ydyPxdydxfyky dsJdsx ds因為 dydxdy dsx dsds第19頁/共38頁第二十頁，共3

18、9頁。例8-2 試求半徑為ro的圓截面懸臂梁，端點(dun din)受P力作用時截面內的彎曲剪應力(圖8-3)。解: 截面(jimin)周邊為一圓周，其方程為 為了使周邊(zhu bin)上滿足式(8-17)，取于是方程(8-15)為 式中m為常系數(shù)。以式(4)代入式(3)，即可求得可見 可以是關于y三次、關于x二次的多項式，為使周邊上 ，取 0s第20頁/共38頁第二十一頁，共39頁。將式(5)代人式(4)，得將式(6)和式(2)代入式(8-14)，得剪應力討論：現(xiàn)在對應力分布作一些分析。在水平直徑(zhjng)上(x=O)，由式(8-18)得到當y=0，即在圓心處， 取得最大值，即 zx第

19、21頁/共38頁第二十二頁，共39頁。在水平直徑(zhjng)兩端x=0，處，有 對一般鋼材，取 ，則有 3 . 0v所以對于最大剪應力，初等理論的解答(jid)誤差約為4。 式中A為截面的面積。由式(8-19)給出的水平(shupng)直徑上的分布如圖8-4所示。 根據(jù)材料力學梁的初等理論，設剪應力均勻分布在截面的水平直徑上,)/(yzxbJQS得出 ，則第22頁/共38頁第二十三頁，共39頁。 在工程中有不少問題的幾何形狀是回轉體，物體的幾何約束和所受的載荷亦是對稱于回轉軸z的。此時用柱坐標表達更為方便，所有各個力學參量分量都是r和z的函數(shù)而與無關(圖8-5)。這種問題稱為空間軸對稱問題，

20、它是解決彈性接觸問題的基礎。現(xiàn)用相距dr的兩個圓柱面，互成d的兩個鉛直面和相距dz的兩個水平面，從彈性體中截取一個微小(wixio)六面單元體圖8-5(a)，仿照直角坐標及極坐標的基礎理論推導方法，建立圓柱坐標的泛定方程?，F(xiàn)將公式介紹如下。 1平衡(pnghng)方程 第23頁/共38頁第二十四頁，共39頁。式(8-23)即為空間軸對稱問題(wnt)的平衡微分方程。 注意到應力分量是(r，z)的函數(shù)，如圖8-5(b)將微分體各面上的應力分量寫出。單位體積內的體力在r、z方向的分量分別表示Fr、Fz，根據(jù)此微分體在r方向的平衡條件 ，得 在得式(8-23)第一式，同理取z向平衡條件 ，得式(8-

21、23)的第二式，也即0Zdzzzrzrzr在式(a)中， 及 分別為微分體上、下面的剪應力；22sinddddzrdrd因為 很小,可取 ,并略去高階微量，全式除以第24頁/共38頁第二十五頁，共39頁。于是兩者疊加可得空間(kngjin)軸對稱問題的位移應變關系式 2幾何(j h)方程 由徑向位移 引起的應變分量為 u而由軸向位移 引起的應變分量為w第25頁/共38頁第二十六頁，共39頁。3本構方程(fngchng) 正交坐標系，可直接由這一性質(xngzh)按Hooke定律得到 或 式(8-26)中共有rzzrrzzrwu、式中為體積(tj)應變。 10個未知函數(shù)，必須滿足上述10個泛定方

22、程。 第26頁/共38頁第二十七頁，共39頁。4空間(kngjin)軸對稱問題的Lame方程 當體力(tl)Fr=Fz=0時，將式(8-26)代人式(8-23)，如計及 ，則式(8-27)也可寫為當由式(8-27)得到滿足邊界條件的位移(wiy)函數(shù)后，再代回式(8-24)、式(8-26)即可求得應變分量和應力分量。便可得到以位移表達的平衡方程，即解空間軸對稱問題的位移法的基本方程為并采用記號第27頁/共38頁第二十八頁，共39頁。 當無限彈性空間體上表面受一垂直集中力作用時，其體內各點的應力分布與變形問題(wnt)，是一個在許多科學技術領域(如彈性接觸研究及巖石在鉆具作用下的破碎理論中)常會

23、遇到的問題(wnt)，通常稱之為Boussinesq（布西內斯克）問題(wnt)。這是一個空間軸對稱問題(wnt)，與所有彈性力學問題(wnt)一樣，可以采用位移解法與應力解法。現(xiàn)在我們只簡單介紹該問題(wnt)求解的位移法。 設半無限體表面受法向集中力P作用，坐標選取如圖86所示，當用位移(wiy)法求解時，其方法就是如何求出方程(8-27)的解，并使之滿足邊界條件。Boussinesq找到了滿足式(8-27)的兩組特解，也即滿足上述平衡方程的兩組位移(wiy)函數(shù)，分別為 第28頁/共38頁第二十九頁，共39頁。以下利用邊界條件來確定(qudng)常數(shù)A、B。將式(c)代人式(8-26)并

24、注意到式中，r、z是被考察點M的兩個坐標； 是點M到坐標原點的距離；A、B是兩個任意常數(shù)。據(jù)此，上述兩線性無關的特解可以相加得到該二階偏微分方程式(8-27)的通解： 則可得到以下四個應力(yngl)分量的函數(shù) 第29頁/共38頁第三十頁，共39頁。解式(f)與式(h)兩式可得又可設想過M點作一個(y )與邊界平行的截面，將彈性半空間體的上部分切下。根據(jù)被切下部分的z向平衡條件，可得為求得任意(rny)常數(shù)A、B，先由邊界上無剪應力的條件，將式(e)中的以代人上式得0rz0z即當z=0，r0時， (如z=0，r=0時， ，自然滿足)，可由式(e)最后一式得出第30頁/共38頁第三十一頁，共39

25、頁。把所得到(d do)的A、B代回式（c），最后得位移的計算式為再將A、B代回式(e)可得應力(yngl)分量的計算式為討論：由以上(yshng)得到的位移及應力計算公式(8-29)、式(8-30)可以看出： (1)隨著R的增大，位移和應力分量迅速減小。當R時，位移和應力分量皆趨于零。這說明此物體受力狀態(tài)下的應力與位移均帶有局部的性質。 (2)當r=0 ,R0，各應力分量都趨于無限大。所以在集中力P作用點處材料早已進入塑性，由于實際載荷不可能加在一個幾何點上，而實際上是分布在一個小面積上，由圣維南原理說明，只在要稍偏離接觸區(qū)的地方，其計算公式仍是正確的。第31頁/共38頁第三十二頁，共39頁

26、。(4)由位移(wiy)計算公式(8-29)第二式，當z=0半無限體邊界處任一點的法向位移(wiy)沉陷量為 (5)當r=0，R=z時，亦即在外力作用(wi l zu yn)線z線上的各點，由式(8-30)其應力為 這說明，在z軸上各點受到兩向拉伸，一向(yxing)壓縮，它的主應力分別為 以絕對值比較， 比徑向及周向應力 、 大得多。zr(3)由應力計算公式(8-30)，z=0時半無限體邊界上的各點應力為這說明，邊界面上各點受到純剪切作用。 第32頁/共38頁第三十三頁，共39頁。彈塑性力學與所有力學的分析方法一樣，用數(shù)學公式來表達彈塑性體受力的變形(bin xng)問題有兩條不同的途徑：其

27、中一條途徑是以牛頓定律作為依據(jù)，通過(tnggu)微分體各力學參量之間的關系建立微分方程及其邊界條件，這屬于“矢量力學”范疇，我們要求的解就是應當既滿足泛定方程，又滿足邊界條件，如果是精確滿足就是精確解，如果是近似滿足就是近似解(我們在以前所討論的都是這部分內容)；另一途徑是以功能原理作為依據(jù)在上述微分關系上，最后通過積分建立整個物體的能量表達式(泛函)求其駐值或極值問題，這屬于“分析力學”的范疇。我們要求的解就是精確或近似滿足邊界條件，同時使能量具有極值(一般為最小值)。上述兩種途徑：前者稱為幾何法(矢量法)，后者稱為變分法(能量法)。在一定條件下它們所討論的內容可以互相轉化，它們所得到的結

28、果可以為函數(shù)解，是等價的，統(tǒng)稱為力學分析的解析法。 第33頁/共38頁第三十四頁，共39頁。 對于彈塑性力學邊值問題的求解，真正能解出精確的函數(shù)解的只是極少數(shù)的簡單問題，特別在二維和三維問題中更為困難，這是因為客觀事物的復雜性與多樣性不可能(knng)用有限的閉合的“解析函數(shù)”來描述。矢量法與能量(nngling)法在應用上各有特點，一般說來： 矢量法中微分方程的形成是與矢量相聯(lián)系的，所以對于(duy)二維或三維問題就有聯(lián)立的兩個或三個微分方程組，而且方程的形式隨著坐標的變換而改變。而能量法是以虛功或余虛功原理作依據(jù)，綜合三大力學規(guī)律以能量形式表示的，是不隨坐標變換的改變量。而能量法(指應用能量原理的變分法)卻為求近似解提供了有利條件，因為能量計算中的最高階次導數(shù)只有微分方程中的最高階次導數(shù)階次的一半(可以材料力學梁的彈性曲線方程為例)。另外，微分方程的邊界條件在用能量法時可以相應放松。所以能量法更容易構造近似解。 第34頁/共38頁第三十五頁，共39頁。