全等三角形壓軸題與分類解析10808

1、. .PAGE22 / NUMPAGES228年級三角形綜合題歸類一、 雙等邊三角形模型1. （1）如圖7，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點E，連結(jié)BC求AEB的大??；（2）如圖8，OAB固定不動，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點O旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊），求AEB的大小.CBOD圖7AEBAODCE圖82. 已知:點C為線段AB上一點，ACM,CBN都是等邊三角形，且AN、BM相交于O. 求證：AN=BM 求AOB的度數(shù)。 若AN、MC相交于點P，BM、NC交于點Q，求證：PQAB。（中考

2、題）ABCMNOPQ同類變式： 如圖a，ABC和CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C，連接AF和BE.(1)線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系?請證明你的結(jié)論； (2)將圖a中的CEF繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖b，(1)中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷并說明理由； (3)若將圖a中的ABC繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，請你畫出一個變換后的圖形c(草圖即可)，(1)中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷不必說明理由.圖c3. 如圖9，若和為等邊三角形，分別為的中點，易證：，是等邊三角形 （1）當把繞點旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時，是否仍然成立？若成立,請證明；若不成立，請說明理由；（2）當繞點旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時，

3、是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，若不是，請說明理由圖9 圖10 圖11圖8同類變式：已知，如圖所示，在和中，且點在一條直線上，連接分別為的中點（1）求證：；CENDABM圖CAEMBDN圖（2）在圖的基礎上，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立. 4. 如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BG與DE相交于點H（1）證明：ABG ADE ；（2）試猜想BHD的度數(shù)，并說明理由；（3）將圖中正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（0BAE 180），設ABE的面積CFGEDBAH為，ADG的面積為，判斷與的大小關(guān)系，并給予證明

4、5.已知：如圖，是等邊三角形，過邊上的點作，交于點，在的延長線上取點，使，連接（1）求證：；（2）過點作，交于點，請你連接，并判斷是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論二、 垂直模型（該模型在基礎題和綜合題中均為重點考察容）考點1：利用垂直證明角相等如圖，ABC中，ACB90，ACBC，AE是BC邊上的中線，過C作CFAE，垂足為F，過B作BDBC交CF的延長線于D求證：（1）AECD； （2）若AC12 cm，求BD的長 （中考）如圖(1), 已知ABC中, BAC=900, AB=AC, AE是過A的一條直線, 且B、C在A、E的異側(cè), BDAE于D, CEAE于E 。 圖(1) 圖(2) 圖(3

5、)(1)試說明: BD=DE+CE.(2) 若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖(2)位置時(BDCE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的關(guān)系如何? 寫出結(jié)論,可不說明理由。3. 直線CD經(jīng)過的頂點C，CA=CBE、F分別是直線CD上兩點，且（1）若直線CD經(jīng)過的部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖1，若，則（填“”，“”或“”號）；如圖2，若，若使中的結(jié)論仍然成立，則與應滿足的關(guān)系是；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過的外部，請?zhí)骄縀F、與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明ABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖3考點2：利用角相等證明垂直已知BE，CF是ABC的高，且BP=A

6、C，CQ=AB，試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系2. 如圖，在等腰RtABC中，ACB=90，D為BC的中點，DEAB，垂足為E，過點B作BFAC交DE的延長線于點F，連接CF(1)求證：CD=BF；(2)求證：ADCF；(3)連接AF，試判斷ACF的形狀.拓展鞏固：如圖9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E，交AD于點F，求證：ADCBDEABCDEF圖9（提示：對比此題的條件和上面那題的條件，對比此題的圖形和上題的圖像，有什么區(qū)別和聯(lián)系？）3. 如圖1，已知正方形的邊在正方形的邊上，連接，.（1）試猜想與有怎樣的位置關(guān)系，并證明

7、你的結(jié)論；（2）將正方形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點落在邊上，如圖2，連接和.你認為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.4.如圖1，的邊BC在直線上，且的邊也在直線 上，邊與邊重合，且在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；將沿直線向左平移到圖2的位置時，交于點,連接.猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；（3）將沿直線向左平移到圖3的位置時，的延長線交的延長線于點Q,連結(jié),你認為（2）中所猜想的與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.l(1)AB(F)(E)CPABECFPQ

8、(2)lABECFPl(3)Q三、 等腰三角形（中考重難點之一）考點1：等腰三角形性質(zhì)的應用如圖，中，是中點，與交于，與 交于求證：，兩個全等的含，角的三角板和三角板，如圖所示放置，三點在一條直線上，連結(jié)，取的中點，連結(jié)試判斷的形狀，并說明理由壓軸題拓展：（三線合一性質(zhì)的應用）已知中，為邊的中點，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于、當繞點旋轉(zhuǎn)到于時（如圖1），易證當繞點旋轉(zhuǎn)到和不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立? 若成立，請給予證明；若不成立，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明提示：此題為上面題目的綜合應用，思路與第一題相似。已知：如圖，ABC中，ABC

9、=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結(jié)DH與BE相交于點G。(1) BF=AC (2) CE=BF (3)CE與BC的大小關(guān)系如何?？键c2：等腰直角三角形（45度的聯(lián)想）如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與CBM的平分線BF相交于點F. 如圖141，當點E在AB邊的中點位置時： 通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是； 連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是； 請證明你的上述兩猜想. 如圖

10、142，當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N, 使得NE=BF，進而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明2. 在RtABC中，ACBC，ACB90，D是AC的中點，DGAC交AB于點G.（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，點F在線段DG上，且DE=DF，連結(jié)EF與 CF，過點F作FHFC，交直線AB于點H求證：DG=DC判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明圖1圖2（2）若E為線段DC的延長線上任意一點，點F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變（本小題直接寫出結(jié)論，不必證明）同類變

11、式：（期末考試原題哦）已知：ABC為等邊三角形，M是BC延長線上一點，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點A，且60角的頂點E在BC上滑動，（點E不與點B、C重合），斜邊與ACM的平分線CF交于點F（1）如圖（1）當點E在BC邊得中點位置時 eq oac(,1)猜想AE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是. eq oac(,2)連結(jié)點E與邊得中點，猜想和滿足的數(shù)量關(guān)系是. eq oac(,3)請證明你的上述猜想；（）如圖（）當點在邊得任意位置時，和EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由？E四、 角平分線問題1. 如圖：E在線段CD上，EA、EB分別平分DAB和CBA, AEB=90,設AD, BC，且滿足（1）求AD

12、和BC的長；（2）你認為AD和BC還有什么關(guān)系？并驗證你的結(jié)論；ACBDE（3）你能求出AB的長度嗎？若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由.2. 如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，

13、請證明；若不成立，請說明理由。3.(市中考模擬題)如圖，在四邊形中，平分，過作，并且，則等于多少？4. 如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.五、中點問題1. 在ABC中,為的中點， 過點的直線交于,交的平行線于點。, 并交于點. 連結(jié).（1）求證: ；（2）請猜想與的大小關(guān)系, 并加以證明如右下圖，在中，若，為邊的中點求證：已知中，為的延長線，且，為的邊上的中線求證（提示：倍長中線試試）附加思考題：（此題有很好地思維訓練價值，值得深入思考探究）以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰

14、，.連接，、分別是、的中點探究：與的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系如圖 當為直角三角形時，與的位置關(guān)系是；線段與的數(shù)量關(guān)系是；將圖中的等腰繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)()后，如圖所示，問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由1判斷與說理（1）如圖111，ADE中，AE=AD且AED=ADE，EAD=90，EC、DB分別平分AED、ADE，交AD、AE于點C、B，連接BC請你判斷AB、AC是否相等，并說明理由；圖111圖112O（2）ADE的位置保持不變，將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖112的位置，AD、BE相交于O，請你判斷線段BE與CD的關(guān)系，并說明理由圖122圖1212某課外學習小組在一次學習研討中，得到如下

15、兩個命題：如圖12-1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若BON = 60，則BM = CN.如圖12-2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若BON = 90，則BM = CN.圖123圖124學習小組成員根據(jù)上述兩個命題運用類比的思想又提出了如下的命題：如圖12-3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若BON = 108，則BM = CN.（友情提示：正多邊形的各邊相等且各角也相等）（1）請你從、三個命題中選擇一個說明理由；（2）請你繼續(xù)完成下面的探索：圖125如圖12-

16、4，在正n邊形（n6）中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，問當BON等于多少度時，結(jié)論BM = CN成立？（不要求證明）如圖12-5，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點，BM與CN相交于點O，當BON = 108時，請問結(jié)論BM = CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.解：（1）我選 .（僅填寫、中的一個）理由如下：（2）3. 如圖9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E，交AD于點F。 請你猜想ADC和BDE關(guān)系，并證明你的猜想。ABCDEF圖94. 如下幾個圖形是五角星和它的

17、變形ABCDE(1)ABCDE(2)BACDE(3)（1）圖 中是一個五角星形狀，求A+B+C+D+E=；（2）圖中的點A向下移到BE上時（如圖）五個角的和（即CAD+B+C+D+E）有無變化？說明你的結(jié)論的正確性；（3）把圖中的點C向上移動到BD上時（如圖），五個角的和（即CAD+B+ACE+D+E）有無變化？說明你的結(jié)論的正確性（4）如圖，在中，CD、BE分別是AB、AC邊上的中線，延長CD到F，使FD=CD，延長BE到G，使EG=BE，那么AF與AG是否相等？F、A、G三點是否在一條直線上？說說你的理由.ABCABCABCD圖（1）圖（2）圖（3）5、操作實驗：如圖，把等腰三角形沿頂角平

18、分線對折并展開，發(fā)現(xiàn)被折痕分成的兩個三角形成軸對稱所以ABDACD，所以B=CABC 圖(4)歸納結(jié)論：如果一個三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等根據(jù)上述容，回答下列問題：思考驗證：如圖（4），在ABC中，AB=AC試說明B=C的理由圖（5）CABDE探究應用：如圖（5），CBAB，垂足為A，DAAB，垂足為BE為AB的中點，AB=BC，CEBD（1）BE與AD是否相等？為什么？（2）小明認為AC是線段DE的垂直平分線，你認為對嗎？說說你的理由。（3）DBC與DCB相等嗎？試說明理由6.如圖13-1，在邊長為5的正方形中，點、分別是、邊上的點，且，.（1）求的值；（2）延長交正方形

19、外角平分線（如圖13-2），試判斷的大小關(guān)系，并說明理由；（3）在圖13-2的邊上是否存在一點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由圖13-1ADCBE圖13-2BCEDAFPF7. 團體購買某 “素質(zhì)拓展訓練營”的門票，票價如表（a為正整數(shù)）：團體購票人上每人門票價a元（a3）元（a6）元某中學高一（1）、高一（2）班同學準備參加“素質(zhì)拓展訓練營”活動，其中高一（1）班人數(shù)不超過50，高一（2）的人數(shù)超過50但不超過80。當a=48時，若兩班分別購票，兩班總計應付門票費4914元；若合在一起作為一個團體購票，總計支付門票費4452元。問這

20、兩個班級各有多少人？某校學生會現(xiàn)有資金4429元用于購票，打算組織本校初三年級團員參加該項活動。為了讓更多的人能參加活動，學生會統(tǒng)一組織購票，購票資金恰好全部用完，且參加人數(shù)超過了100人，問共有多少人參加了這一活動？并求出此時a的值。8. 如下圖，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，則BC的值為ABCDEFO9.如左下圖，ABCD，ADBC，OE=OF，則圖中全等三角形的組數(shù)是 （ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 610.兩個全等的含300, 600角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E,A,C三點在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC試判斷EMC的形

21、狀，并說明理由11、（1）不用量角器，只利用刻度尺就能畫出一個角的平分線，下面是小明的畫法，你認為他的畫法對嗎？請你按照小明的畫法，畫出圖形，說明理由 。利用刻度尺在AOB的兩邊上分別取OCOD；連結(jié)CD，利用刻度尺畫出CD的中點E畫射線OE射線OE即為AOB的角平分線。（2）請你探索只利用你的三角尺（可以量長度、畫直角）畫出一個角的平分線的畫法。（要求：畫出圖形；簡要說明畫法；說明理由。）12.（1）如圖（1），正方形ABCD中，E為邊CD上一點，連結(jié)AE，過點A作AFAE交CB的延長線于F，猜想AE與AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（2），在（1）的條件下，連結(jié)AC，過點A作AMAC

22、 交CB的延長線于M，觀察并猜想CE與MF的數(shù)量關(guān)系（不必說明理由）；（3）解決問題：王師傅有一塊如圖所示的板材余料，其中=90，AB=AD王師傅想切一刀后把它拼成正方形請你幫王師傅在圖（3）中畫出剪拼的示意圖；王師傅現(xiàn)有兩塊同樣大小的該余料，能否在每塊上各切一刀，然后拼成一個大的正方形呢？若能，請你畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由ABCD圖4ABCD圖3ABCDABCDFE圖MABCDFE圖13.下圖是按一定規(guī)律排列的方程組集合和它解的集合的對應關(guān)系圖，若方程組集合中的方程組自左至右依次記作方程組1、方程組2、方程組3、方程組n(1)將方程組1的解填入圖中；方程組集合對應方程組解的集合

23、(2)請依據(jù)方程組和它的解變化的規(guī)律，將方程組n和它的解直接填入集合圖中；(3)若方程組的解是，求m、n的值，并判斷該方程組是否符合 (2)中的規(guī)律？14某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種無蓋的長方體紙盒(長方形的寬與正方形的邊長相等)(1)現(xiàn)有正方形紙板50，長方形紙板l 00，若要做豎式紙盒x個，橫式紙盒y個根據(jù)題意，完成以下表格：若紙板全部用完，求x、y的值；(2)若有正方形紙板80，長方形紙板a，做成上述兩種紙盒，紙板恰好全部用完已知162n172，求n的值15（1）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點（

24、說明：每條邊都相等，每個角都相等的多邊形叫做正多邊形）如圖1，求證：；探究：如圖1，；如圖2，；如圖3，（2）如圖4，已知：是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊；是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊的延長相交于點猜想：如圖4，（用含的式子表示）；根據(jù)圖4證明你的猜想16按照指定要求畫圖(1)如下圖1所示，黑粗線把一個由18個小正方形組成的圖形分割成兩個全等圖形，請在圖2中，仿圖1沿著虛線用四種不同的畫法，把每圖形分割成兩個全等圖形(2)請將下面由16個小正方形組成的圖形，用兩種不同的畫法沿正方形的網(wǎng)格線用粗線把它分割成兩個全等圖形17.用兩個全等的等邊三角形ABC和ACD拼成四邊形ABCD，把一個含6

25、0角的三角尺與這個四邊形疊合，使三角尺的60角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。（1）當三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD相交于點E、F時（如圖a），通過觀察或測量BE、CF的長度，你能得出什么結(jié)論？并說明理由；（2）當三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時（如圖b），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由。（本題12分）18. 如圖，在下列網(wǎng)格中，ABC和DEF全等，且DE與AB是對應線段，則符合條件的F點的個數(shù)為（）.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個19、已知：如圖所示，在和中，BAC=DAE=，且點在一

26、條直線上，連接分別為的中點（1）求證：； （2）在圖的基礎上，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；CENDABM圖CAEMBDN圖第27題圖(3)在旋轉(zhuǎn)的過程中，若直線BE與CD相交于點P，試探究APB與MAN的關(guān)系，并說明理由。（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）ABCDE21.如右圖所示，方格紙中有A、B、C、D、E五個格點(圖中的每一個方格均表示邊長為1個單位的正方形)，以其中的任意3個點為頂點，畫出所有的三角形，數(shù)一下，共構(gòu)成_個三角形，其中有_對全等三角形，它們分別_ _請選取一對非直角全等三角形，說明全等的理由22已知AOB=900，

27、在AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB(或它們的反向延長線)相交于點D、E 當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(如圖1)，易證：CD=CE 當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明23如圖，DAC和EBC均是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，有如下結(jié)論：ACEDCB； CMCN； EMBN其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）A3個 B2個 C1個 D0個 24銳角為45o的直角三角形的兩直角邊長也相等，這樣的三角形稱為等腰直角三角形我們常用的三角板中有一塊就是這樣的三角形，也可稱它為等腰直角三角板把兩塊全等的等腰直角三角板按如圖1放置，其中邊BC、FP均在直線l上，邊EF與邊AC重合(1)將E