地理信息系統(tǒng)下的空間分析——第六章_空間數(shù)據(jù)的量算及統(tǒng)計(jì)分析方法0

1、第六章 空間數(shù)據(jù)的量算及 統(tǒng)計(jì)分析方法6.1 空間數(shù)據(jù)的量算空間數(shù)據(jù)的量算主要量算方法有： 質(zhì)心量算 幾何量算(長(zhǎng)度、面積等) 形狀量算6.1.1 質(zhì)心量算質(zhì)心量算 地理目標(biāo)的質(zhì)心量算是描述地理目標(biāo)空間分布的最有用的單一量算量之一?？赏ㄟ^(guò)對(duì)目標(biāo)坐標(biāo)值加權(quán)平均實(shí)現(xiàn)質(zhì)心量算。iiiiiGXwxwiiiiiGYwyw式中，XG，YG為目標(biāo)的質(zhì)心坐標(biāo)，i為離散目標(biāo)物，wi為各離散目標(biāo)物的權(quán)重，xi，yi為各離散目標(biāo)物的坐標(biāo)。 6.1.2 幾何量算幾何量算 對(duì)于點(diǎn)、線、面、體4類(lèi)目標(biāo)物而言，幾何量算的含義是不同的。（1）對(duì)于0維的點(diǎn)狀目標(biāo)，幾何量算的主要內(nèi)容是坐標(biāo)； （2）對(duì)于1維的線狀目標(biāo)，幾何量算的

2、主要內(nèi)容包括長(zhǎng)度、曲率、方向等； （3）對(duì)于2維的面狀目標(biāo)，幾何量算的主要內(nèi)容包括面積、周長(zhǎng)、形狀等；（4）對(duì)于3維的體狀目標(biāo)，幾何量算的主要內(nèi)容包括表面積、體積等。 1、線狀地物的長(zhǎng)度計(jì)算、線狀地物的長(zhǎng)度計(jì)算 線狀地物對(duì)象最基本的幾何參數(shù)之一是長(zhǎng)度。在矢量數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)下，線表示為點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)(x，y)或(x，y，z)的序列，線長(zhǎng)度計(jì)算的一般公式為n1ii211-n0i2i1i2i1i2i1i)()()(Llzzyyxx 對(duì)于復(fù)合線狀地物對(duì)象，則需要在對(duì)諸分支曲線求長(zhǎng)度后，再求其長(zhǎng)度之和。 在柵格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)里，線狀地物的長(zhǎng)度就是累加地物骨架線通過(guò)的格網(wǎng)數(shù)目，骨架線通常采用8方向連接，當(dāng)連接方向?yàn)閷?duì)角線方

3、向時(shí)，還要乘上 。 2、面狀地物的面積 面積是面狀地物最基本的參數(shù)。 在矢量結(jié)構(gòu)下，面狀地物以其輪廓邊界弧段構(gòu)成的多邊形表示的。對(duì)于沒(méi)有空洞的簡(jiǎn)單多邊形，假設(shè)有n個(gè)頂點(diǎn)，其面積計(jì)算公式為： )-()-(21S2n1in11ni1i1iiyxyxyxyx即：表示多邊形的面積等于相鄰兩頂點(diǎn)縱橫坐標(biāo)交叉乘積之差的總和的一半。-.-21Sn11n344323321221）（）（）（）（yxyxyxyxyxyxyxyx 對(duì)于柵格結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，多邊形面積計(jì)算就是統(tǒng)計(jì)具有相同屬性值的格網(wǎng)數(shù)目。 但對(duì)計(jì)算破碎多邊形的面積有些特殊，可能需要計(jì)算某一個(gè)特定多邊形的面積，必須進(jìn)行再分類(lèi)，將每個(gè)多邊形進(jìn)行分割賦給單獨(dú)的

4、屬性值，然后再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。 3、面狀地物的周長(zhǎng)量算、面狀地物的周長(zhǎng)量算 在平面直角坐標(biāo)系中，面狀地物的周長(zhǎng)就是組成該面狀地物的各線段長(zhǎng)度之和。周長(zhǎng)的求取公式為：n1iiLd 式中，L為面狀地物的周長(zhǎng)，di為組成面狀地物的每一線段的長(zhǎng)度。 6.1.3 形狀量算形狀量算 在大多數(shù)情況下，面狀物體或線狀物體的形狀能提供對(duì)象與對(duì)象環(huán)境之間的認(rèn)識(shí)。 例如，河流的彎曲程度與下列因素有關(guān)：河流的沉積負(fù)載、坡度以及河流的流量。 1、線狀地物的形狀量算、線狀地物的形狀量算 線狀地物的形狀分析具有重要意義。 例如，公路的急轉(zhuǎn)彎處常有可能導(dǎo)致事故； 在河流急轉(zhuǎn)彎的外側(cè)導(dǎo)致強(qiáng)烈侵蝕，在拐彎處內(nèi)側(cè)則形成大量的沉積。 （1

5、）對(duì)象間直線距離與全長(zhǎng)之比）對(duì)象間直線距離與全長(zhǎng)之比 在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間，測(cè)量線性地物對(duì)象的全長(zhǎng)，再與直線距離加以比較。直線距離作為分子，實(shí)際距離作為分母，構(gòu)成比率，如圖所示。 比值越接近1，線的彎曲度越小。 這種方法，能確定任何線性對(duì)象的彎曲度值。 對(duì)線性地物形狀的量算。通常有兩種方法:（2）曲率半徑法）曲率半徑法 確定曲線上彎曲半徑，假定這些曲線本質(zhì)是圓形的，然后把半圓形對(duì)應(yīng)到每個(gè)曲線上，并測(cè)定半徑。 2、面狀地物的形狀量算、面狀地物的形狀量算 面狀地物形狀量測(cè)的兩個(gè)方面：（1）空間一致性問(wèn)題，即有孔多邊形和破碎多邊形的處理；（2）多邊形邊界特征描述問(wèn)題。（1）空間一致性）空間一致性 度量空

6、間一致性最常用的指標(biāo)是歐拉函數(shù)歐拉函數(shù)，用來(lái)計(jì)算多邊形的破碎程度和孔的數(shù)目。它只用一個(gè)單一的數(shù)描述這些函數(shù)，稱為歐拉數(shù)。 歐拉數(shù)=（空洞數(shù)）-（碎片數(shù)-1） 這里的空洞數(shù)是外部多邊形自身包含的多邊形空洞數(shù)量，碎片數(shù)是碎片區(qū)域內(nèi)多邊形的數(shù)量。 （2）多邊形邊界特征描述問(wèn)題）多邊形邊界特征描述問(wèn)題 由于地物的外觀是多變的，很難找到一個(gè)準(zhǔn)確的量對(duì)多邊形進(jìn)行描述。因此，對(duì)目標(biāo)屬緊湊型或膨脹型的判斷極其模糊。 最常用的指標(biāo)包括： 1）多邊形長(zhǎng)、短軸之比； 2）周長(zhǎng)面積比。 其中絕大多數(shù)指標(biāo)是基于面積和周長(zhǎng)之比的。根據(jù)多邊形的周長(zhǎng)面積之比確定的形狀系數(shù)計(jì)算公式如下： 式中，P為目標(biāo)物周長(zhǎng)，A為目標(biāo)物面積。

7、 （1）r 1，表示目標(biāo)物為膨脹型。 6.2 空間數(shù)據(jù)的內(nèi)插空間數(shù)據(jù)的內(nèi)插 空間數(shù)據(jù)往往是根據(jù)要求所獲取的采樣觀測(cè)值，諸如土地類(lèi)型、地面高程等。 這些點(diǎn)的分布往往是不規(guī)則的，在用戶感興趣或模型復(fù)雜區(qū)域可能采樣點(diǎn)多，反之則少。 由此而導(dǎo)致所形成的多邊形的內(nèi)部變化不可能表達(dá)得更精確、更具體，而只能達(dá)到一般的平均水平或“象征水平”。 但用戶在某些時(shí)候卻希望知道未觀測(cè)點(diǎn)的某種感興趣特征的精確值，這就導(dǎo)致了空間數(shù)據(jù)內(nèi)插空間數(shù)據(jù)內(nèi)插技術(shù)技術(shù)的誕生。 6.2 空間數(shù)據(jù)的內(nèi)插空間數(shù)據(jù)的內(nèi)插 空間內(nèi)插算法空間內(nèi)插算法是一種通過(guò)已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)推求同一區(qū)域其它未知點(diǎn)數(shù)據(jù)的計(jì)算方法?？臻g外推算法空間外推算法則是通過(guò)已知

8、區(qū)域的數(shù)據(jù)，推求其它區(qū)域數(shù)據(jù)的方法。 空間數(shù)據(jù)插值經(jīng)常用于以下的情況： 1、現(xiàn)有的離散曲面的分辨率，像元大小或方向與所要求的不符，需要重新插值。 例如將一個(gè)掃描影像(航空像片、遙感影像)從一種分辨率或方向轉(zhuǎn)換到另一種分辨率或方向的影像。 2、現(xiàn)有的連續(xù)曲面的數(shù)據(jù)模型與所需的數(shù)據(jù)模型不符，需要重新插值。 如將一個(gè)連續(xù)的曲面從一種空間切分方式變?yōu)榱硪环N空間切分方式，從TIN到柵格、柵格到TIN、或者是從矢量多邊形到柵格。 空間數(shù)據(jù)插值經(jīng)常用于以下的情況： 3、現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不能完全覆蓋所要求的區(qū)域范圍，需要進(jìn)行插值。 如將離散的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)內(nèi)插為連續(xù)的數(shù)據(jù)表面。 現(xiàn)實(shí)空間可分為具有漸變特征的連續(xù)空間和具

9、有跳躍特征的離散空間。 例如，土地類(lèi)型的分布屬于離散空間，而地形表面分布則屬于連續(xù)空間，如圖所示。 對(duì)于離散空間，假定任何重要變化發(fā)生在邊界上，如bc段上方為土地類(lèi)型B，下方則為類(lèi)型C，其邊界內(nèi)的變化則是均勻的、同質(zhì)的，在各個(gè)方向都是相同的。 對(duì)于這種空間的最佳內(nèi)插方法是鄰近元法，即以最鄰近圖元的特征值表征未知圖元的特征值。 這種方法在邊界會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，但在處理大面積多邊形時(shí)，則十分方便。 對(duì)于連續(xù)空間表面，鄰近元法不合適。 連續(xù)表面的內(nèi)插技術(shù)必須采用連續(xù)的空間漸變模型來(lái)實(shí)現(xiàn)這些連續(xù)變化，可用一種平滑的數(shù)學(xué)表面加以描述。 這類(lèi)技術(shù)可分為整體擬合整體擬合和局部擬合局部擬合兩大類(lèi)型。 整體擬合

10、技術(shù)整體擬合技術(shù)即擬合模型是由研究區(qū)域內(nèi)所有采樣點(diǎn)上的全部特征觀測(cè)值建立的。 通常采用的技術(shù)是整體趨勢(shì)面擬合。 這種內(nèi)插技術(shù)的特點(diǎn)是不能提供內(nèi)插區(qū)域的局部特性，因此該模型一般用于模擬大范圍內(nèi)的變化。 局部擬合技術(shù)局部擬合技術(shù)是僅僅用鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)估計(jì)未知點(diǎn)的值，因此可以提供局部區(qū)域的內(nèi)插值，而不致受局部范圍外其它點(diǎn)的影響。 這類(lèi)技術(shù)包括：雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插、移動(dòng)擬合法、最小二乘配置法等。 由于整體插值方法將短尺度、局部的變化看作隨機(jī)的和非結(jié)構(gòu)的噪聲，從而丟失了這一部分信息，局部插值方法恰好彌補(bǔ)了整體插值方法的缺陷，可以用于局部異常值的內(nèi)插，而且不受插值表面上其它點(diǎn)的內(nèi)插值影響。 6.2.1 整體

11、擬合技術(shù)整體擬合技術(shù) 1 1、趨勢(shì)面擬合技術(shù)、趨勢(shì)面擬合技術(shù) （1）基本概念）基本概念 某種地理屬性在空間的連續(xù)變化，可以用一個(gè)平滑的數(shù)學(xué)平面加以描述。 思路是先用已知采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合出一個(gè)平滑的數(shù)學(xué)平面方程，再根據(jù)該方程計(jì)算無(wú)測(cè)量值的點(diǎn)上的數(shù)據(jù)。 這種只根據(jù)采樣點(diǎn)的屬性數(shù)據(jù)與地理坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)行多元回歸分析得到平滑數(shù)學(xué)平面方程的方法，稱為趨勢(shì)面擬合趨勢(shì)面擬合。 （2）數(shù)學(xué)曲面類(lèi)型的確定因素）數(shù)學(xué)曲面類(lèi)型的確定因素 數(shù)學(xué)曲面類(lèi)型的確定取決于以下兩個(gè)因素： 1）對(duì)空間分布特征的認(rèn)識(shí)，對(duì)于在空間域上具有周期性變化特征的空間分布現(xiàn)象， 從理論上說(shuō)宜選用一個(gè)周期函數(shù)作為數(shù)學(xué)表達(dá)式，但這在地理數(shù)據(jù)分析中使

12、用的并不多， 一般情況下多選用多項(xiàng)式函數(shù)作為數(shù)學(xué)表達(dá)式。 2）表達(dá)式確定的另外一個(gè)因素就是求解上的可行性和便利性， 目前趨勢(shì)面的求解大多采用最小二乘法。 （3）多項(xiàng)式回歸）多項(xiàng)式回歸 多項(xiàng)式回歸分析是描述大范圍空間漸變特征的最簡(jiǎn)單方法。 多項(xiàng)式回歸的基本思想是用多項(xiàng)式表示線(數(shù)據(jù)是一維時(shí))或面(數(shù)據(jù)是二維時(shí))，并按最小二乘法原理對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，擬合時(shí)假定數(shù)據(jù)點(diǎn)的空間坐標(biāo)(x，y)為獨(dú)立變量，而表征特征值的z坐標(biāo)為因變量。 當(dāng)數(shù)據(jù)為一維(x)時(shí)，這種變化可用回歸線近似表示為： 式中，a0，a1為多項(xiàng)式系數(shù)。 當(dāng)n個(gè)采樣點(diǎn)上的方差和為最小時(shí)，則認(rèn)為線性回歸方程與被擬合曲線達(dá)到最佳配準(zhǔn)，如下圖。

13、在實(shí)際空間中，數(shù)據(jù)往往是二維的，而且以更為復(fù)雜的方式變化，如下圖所示，在這種情況下，需用二次或高次多項(xiàng)式：n1i2iimin)zz(其中，線性變化曲面方程為：2210XbXbbZ二次變化曲面方程為：25423210YbXYbXbYbXbbZ如圖所示為高次多項(xiàng)式的擬合曲線示意圖。 趨勢(shì)面的次數(shù)并非越高越好，超過(guò)三次的復(fù)雜多項(xiàng)式往往會(huì)導(dǎo)致解的奇異，因此，一般控制在二次變化曲面。 趨勢(shì)面是一種平滑函數(shù)，很難正好通過(guò)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，這就是說(shuō)在多重回歸中的殘差屬正常分布的獨(dú)立誤差，而且趨勢(shì)面擬合產(chǎn)生的偏差幾乎都具有一定程度的空間非相關(guān)性。 整體趨勢(shì)面擬合除應(yīng)用整體空間的獨(dú)立點(diǎn)內(nèi)插外，另一個(gè)最有成效的應(yīng)用之一

14、是揭示區(qū)域中不同于總趨勢(shì)的最大偏離部分。 因此，在利用某種局部?jī)?nèi)插方法以前，可以利用整體趨勢(shì)面擬合技術(shù)從數(shù)據(jù)中去掉一些宏觀特征。 （4）趨勢(shì)面擬合程度的檢驗(yàn)）趨勢(shì)面擬合程度的檢驗(yàn) 趨勢(shì)面擬合程度的檢驗(yàn)，同多元回歸分析一樣，可用F分布進(jìn)行檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： 式中，U為回歸平方和，Q為殘差平方和(剩余平方和)，p為多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)(不包括常數(shù)項(xiàng))，n為使用數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目。當(dāng)FFa時(shí)，趨勢(shì)面顯著，否則不顯著。2 2、變換函數(shù)插值、變換函數(shù)插值 根據(jù)一個(gè)或多個(gè)空間參量的經(jīng)驗(yàn)方程進(jìn)行整體空間插值，也是經(jīng)常使用的空間插值方法，這種經(jīng)驗(yàn)方程稱為變換函數(shù)變換函數(shù)。 下面以一個(gè)研究實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明： 沖積平原的土壤重金屬

15、污染與幾個(gè)重要因子有關(guān)，其中距污染源(河流)的距離、高程這兩個(gè)因子最重要。 由于距河流的距離和高程是比較容易得到的空間變量，可以用各種重金屬含量與它們的經(jīng)驗(yàn)方程進(jìn)行空間插值，提高對(duì)重金屬污染的預(yù)測(cè)精度。 本例回歸方程的形式如下： 式中：z(x)是某種重金屬含量，b0，b1，b2是回歸系數(shù)，p1，p2是獨(dú)立空間變量， 本例中：p1是距河流的距離因子，p2是高程因子。 這種回歸模型通常叫做轉(zhuǎn)換函數(shù)轉(zhuǎn)換函數(shù)，轉(zhuǎn)換函數(shù)可以應(yīng)用于其它獨(dú)立變量，如溫度、高程、降雨量。 地理位置及其屬性可用盡可能多的信息組合成需要的回歸模型，然后進(jìn)行空間插值。 但應(yīng)該注意的一點(diǎn)是，必須清楚回歸模型的物理意義。 還要指出的是

16、所有的回歸轉(zhuǎn)換函數(shù)都屬于近似的空間插值。 整體插值方法通常使用方差分析和回歸方程等標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計(jì)方法，計(jì)算比較簡(jiǎn)單。 其它的許多方法也可用于整體空間插值，如傅立葉級(jí)數(shù)和小波變換，特別是遙感影像分析方面，但它們需要的數(shù)據(jù)量大。 6.2.2 局部擬合技術(shù)局部擬合技術(shù) 實(shí)際連續(xù)空間表面很難用一種數(shù)學(xué)多項(xiàng)式表達(dá)，因此，常采用局部擬合技術(shù)局部擬合技術(shù)利用局部范圍內(nèi)的已知采樣點(diǎn)擬合內(nèi)差值。這在表達(dá)地形變化特征的數(shù)字高程模型(DEM)內(nèi)插中應(yīng)用尤為廣泛。 局部擬合方法只使用鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)估計(jì)未知點(diǎn)的值，包括以下幾個(gè)步驟： （1）定義一個(gè)鄰域或搜索范圍； （2）搜索落在此鄰域范圍的數(shù)據(jù)點(diǎn)； （3）選擇表達(dá)這有限點(diǎn)

17、的空間變化的數(shù)學(xué)函數(shù)； （4）為落在規(guī)則網(wǎng)格單元上的數(shù)據(jù)點(diǎn)賦值。 重復(fù)這個(gè)步驟直到網(wǎng)格上的所有點(diǎn)賦值完畢。 1、線性內(nèi)插法 此方法用于三角網(wǎng)網(wǎng)格內(nèi)的插值。假設(shè)ABCD為一平面，三頂點(diǎn)的（x,y,z）坐標(biāo)已知，現(xiàn)求A點(diǎn)的插值 。插值函數(shù)為： AZ = a0+a1x+a2y AZ把B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，聯(lián)立就可以解出a0，a1，a2三個(gè)系數(shù)，從而求出A點(diǎn)的內(nèi)插值。如圖所示。 2、雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插法 此方法一般在格網(wǎng)插值時(shí)使用。假設(shè)插值點(diǎn)A的值在與x軸或y軸平行的方向上分別與坐標(biāo)x和y成線性比例關(guān)系。其表達(dá)式為：AZ=a0+a1x+a2y+a3xy 利用格網(wǎng)的基本長(zhǎng)度單位a，b以及矩形4頂點(diǎn)

18、E，F(xiàn)，C，D的坐標(biāo)就可求得A點(diǎn)的內(nèi)插值。如圖所示。 1）利用E,F,C,D四點(diǎn)的坐標(biāo)線性內(nèi)插出ZG,ZH。ZG= ZE+(ZF-ZE)* （公式1）ZH= ZC+(ZD-ZC)* （公式2）axax(1)假設(shè)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EF= a ,EC= b 。過(guò)A點(diǎn)作EC或FD的平行線，它們與EF、CD邊分別交于G、H。2）利用ZG，ZH的值再次進(jìn)行線性內(nèi)插，就可得到：ZA= ZG+(ZH-ZG ) * （公式3）by聯(lián)立方程（1）、（2）、（3）得：)1 (*)1)(1 (*)1 (b*ZZCAbyaxZbyaxZbyaxZaxyFED帶入圖中點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)的格網(wǎng)序號(hào)得到如下方程：)1 (*)1)

19、(1 (*)1 (b*ZZj1iji1j1i1)j(iAbyaxZbyaxZbyaxZaxy），（），（），（，3、移動(dòng)擬合法 移動(dòng)擬合法以待定點(diǎn)為中心進(jìn)行內(nèi)插。 其原理是：定義一個(gè)合適的局部函數(shù)去擬合周?chē)臄?shù)據(jù)點(diǎn)，通過(guò)求解擬合函數(shù)，求出待定點(diǎn)的內(nèi)插值，如圖所示。 移動(dòng)擬合法的過(guò)程如下：（1）確定內(nèi)插候選點(diǎn)）確定內(nèi)插候選點(diǎn) 為了選擇鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)，以待定點(diǎn)P為圓心，以R為半徑確定一個(gè)圓，凡落在圓內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)即被選用。即所采用的數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)應(yīng)滿足： 所選擇的點(diǎn)數(shù)根據(jù)所采用的局部擬合函數(shù)來(lái)確定，在二次曲面內(nèi)插時(shí)，要求選用的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)n6。 當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi(xi，yi)到待定點(diǎn)P (xp，yp)的

20、距離小于R時(shí)，該點(diǎn)即被選用。 若選擇的點(diǎn)數(shù)不夠時(shí)，則應(yīng)增大R的數(shù)值，直至數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)n滿足要求為止。 同時(shí)還應(yīng)考慮數(shù)據(jù)表面的連續(xù)變化特征，在出現(xiàn)躍變的數(shù)據(jù)范圍，應(yīng)另選局部函數(shù)。（2）列出誤差方程式）列出誤差方程式考慮到數(shù)據(jù)表面的光滑性，選擇二次曲面作為擬合曲面。其公式為：則數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi對(duì)應(yīng)的誤差方程式為： 由n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)列出的誤差方程為： (3)計(jì)算每一數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán) 這里的權(quán)pi并不代表數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi的觀測(cè)精度，而是反映了該點(diǎn)與待定點(diǎn)相關(guān)的程度。 因此，對(duì)于pi確定的原則應(yīng)與該數(shù)據(jù)點(diǎn)與待定點(diǎn)的距離di有關(guān)，di愈小，它對(duì)待定點(diǎn)的影響應(yīng)愈大，則權(quán)應(yīng)愈大； 反之當(dāng)di愈大，權(quán)應(yīng)愈小。 具體地說(shuō)，當(dāng)內(nèi)插點(diǎn)無(wú)限

21、接近于某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)，則該數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)應(yīng)無(wú)限大。 常用的權(quán)有如下幾種形式： 其中R是選點(diǎn)半徑；di為待定點(diǎn)到數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離；K是一個(gè)供選擇的常數(shù)；e是自然對(duì)數(shù)的底。 這三種權(quán)的形式都可符合上述選擇權(quán)的原則，但是它們與距離的關(guān)系有所不同，究竟采用何種加權(quán)方式，應(yīng)視具體的情況而定。 利用二次曲面移動(dòng)擬合法內(nèi)插DEM時(shí)，對(duì)點(diǎn)的選擇除了滿足n6外，還應(yīng)保證各個(gè)象限都有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而且當(dāng)?shù)匦纹鸱^大時(shí)，半徑R不能取得很大。 4、克里金法、克里金法 （1）地統(tǒng)計(jì)學(xué)）地統(tǒng)計(jì)學(xué) 1）基本概念）基本概念 地統(tǒng)計(jì)(Geostatistics)又稱地質(zhì)統(tǒng)計(jì)，是法國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家Georges Matheron在大量理論研究的基

22、礎(chǔ)上逐漸形成的一門(mén)新的統(tǒng)計(jì)學(xué)分支，它是以區(qū)域化變量為基礎(chǔ)，借助變異函數(shù)，研究既具有隨機(jī)性又具有結(jié)構(gòu)性，或具有空間相關(guān)性和依賴性的自然現(xiàn)象的一門(mén)科學(xué)。 凡是與空間數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)性和隨機(jī)性，或空間相關(guān)性和依賴性，或空間格局與變異有關(guān)的研究，并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)無(wú)偏內(nèi)插估計(jì)，或模擬這些數(shù)據(jù)的離散性、波動(dòng)性時(shí)，皆可應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論與方法。 2）地統(tǒng)計(jì)學(xué)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的比較）地統(tǒng)計(jì)學(xué)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的比較 共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：它們都是在大量采樣的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)樣本屬性值的頻率分布、均值、方差等關(guān)系及其相應(yīng)規(guī)則進(jìn)行分析，確定其空間分布格局與相關(guān)關(guān)系。 不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：地統(tǒng)計(jì)學(xué)區(qū)別于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的最大特點(diǎn)是：地統(tǒng)計(jì)學(xué)既考慮

23、到樣本值的大小， 又重視樣本空間位置及樣本間的距離和樣本之間的空間相關(guān)性，彌補(bǔ)了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)忽略空間相關(guān)性的缺陷。 （2）克里金法）克里金法 克里金法(Kriging)是法國(guó)地理數(shù)學(xué)家Georges Matheron 和南非礦業(yè)工程師D.G. Krige創(chuàng)立的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中礦品位的最佳內(nèi)插方法。 近年來(lái)它已廣泛用于地理信息系統(tǒng)中的空間內(nèi)插，用于地下水制圖，土壤制圖和其它有關(guān)領(lǐng)域。 （2）克里金法）克里金法 這種方法充分吸收了地理統(tǒng)計(jì)地理統(tǒng)計(jì)的思想，認(rèn)為任何在空間連續(xù)性變化的屬性是非常不規(guī)則的，不能用簡(jiǎn)單的平滑數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行模擬，可以用隨機(jī)表面給予較恰當(dāng)?shù)拿枋觥?這種連續(xù)性變化的空間屬性稱為“ 區(qū)域性

24、變量”， 可以描述氣壓、高程及其它連續(xù)性變化的指標(biāo)變量。 這種應(yīng)用地理統(tǒng)計(jì)方法地理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行空間插值的方法，被稱為克里金克里金(Kriging)插值插值。 地理統(tǒng)計(jì)方法為空間插值提供了一種優(yōu)化策略，即在插值過(guò)程中根據(jù)某種優(yōu)化準(zhǔn)則函數(shù)動(dòng)態(tài)的決定變量的數(shù)值。 Matheron，Krige等人研究的插值方法著重于權(quán)重系數(shù)的確定，從而使內(nèi)插函數(shù)處于最佳狀態(tài)，要求插值方法滿足如下兩個(gè)要求： 要求插值方法滿足如下兩個(gè)要求： 1）對(duì)給定點(diǎn)上的變量值提供最好的線性無(wú)偏估線性無(wú)偏估計(jì)計(jì)。 所謂無(wú)偏估計(jì)是指待估計(jì)的樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際值與其估計(jì)值之間的偏差平均數(shù)為0，即估計(jì)誤差的期望為0，則稱這種估計(jì)是無(wú)偏的。 無(wú)偏

25、的是指，平均來(lái)說(shuō)樣本的任何過(guò)高或過(guò)低的估計(jì)都應(yīng)該避免。 2）估計(jì)樣本與實(shí)際樣本之間的單個(gè)偏差應(yīng)該盡可能小，即誤差平方的期望值應(yīng)該盡可能小。 最合理的估計(jì)方法應(yīng)該提供一個(gè)無(wú)偏估計(jì)且估計(jì)方差為最小的估計(jì)值。 克里金插值方法的區(qū)域性變量理論假設(shè)任何變量的空間變化都可以表示為下述三個(gè)主要成分的和來(lái)表示：1）與均值或趨勢(shì)面有關(guān)的結(jié)構(gòu)部分；2）與局部變化有關(guān)的隨機(jī)變量；3）隨機(jī)噪聲或者稱觀測(cè)誤差。令x是一維、二維或三維空間中的某一位置，變量z在x處的值由下式計(jì)算： 式中，m(x)是描述z(x)的結(jié)構(gòu)性成分的確定性部分； 是與空間變化有關(guān)的隨機(jī)變量項(xiàng)； 是剩余誤差項(xiàng)，空間上具有零平均值、與空間無(wú)關(guān)的高斯噪聲

26、項(xiàng)。 克里金法的第一步是確定合適的m(x)函數(shù)，最簡(jiǎn)單的情況是，m(x)等于采樣區(qū)的平均值。 克里金法的第二步是確定合適的隨機(jī)變量項(xiàng)。 具體方法如下：距離h的兩點(diǎn)x和x+h間的差分期望值應(yīng)為零。 式中，z(x)，z(x+h)是隨機(jī)變量z在x和x+h處的值，同時(shí)假設(shè)兩點(diǎn)之間的方差只與兩位置之間的距離h有關(guān)。于是： 式中， 是一種函數(shù)，稱為半方差函數(shù)或者半變異函數(shù)。 半變異函數(shù)(半方差函數(shù))是一個(gè)關(guān)于數(shù)據(jù)點(diǎn)的半變異值(或變異性)與數(shù)據(jù)點(diǎn)間距離的函數(shù)。 對(duì)半變異函數(shù)的圖形描述可得到數(shù)據(jù)點(diǎn)與其相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)的空間相關(guān)關(guān)系圖。 區(qū)域性變量理論的兩個(gè)內(nèi)在假設(shè)條件是差異的穩(wěn)穩(wěn)定性定性和可變性可變性，一旦結(jié)構(gòu)性成

27、分確定后，變量在一定范圍內(nèi)的隨機(jī)變化是同性變化，因此位置之間的差異僅是位置間距離的函數(shù)。 這樣，區(qū)域性變量計(jì)算公式可以寫(xiě)成下列形式：半方差值為：式中，n為分隔間隔數(shù)；hj稱為延遲，它可能有不同的間距，即hj有一系列的值，對(duì)應(yīng)每個(gè)hj可以計(jì)算相應(yīng)的 。)(jhr 以h為橫軸，以r(h)為縱軸，將實(shí)驗(yàn)半方差值展到平面上得到半變異函數(shù)曲線圖，如圖所示。 可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，選擇適當(dāng)?shù)睦碚撃Ｐ瓦M(jìn)行擬合。主要的理論半變異函數(shù)有球狀模型、指數(shù)模型、高斯模型、冪函數(shù)模型和拋物線模型等。 半變異函數(shù)曲線反映了一個(gè)采樣點(diǎn)與其相鄰采樣點(diǎn)的空間關(guān)系，并且對(duì)異常采樣點(diǎn)具有很好的探測(cè)作用。 圖中關(guān)鍵參數(shù)解釋如下：1）C0

28、稱塊金方差塊金方差，表示區(qū)域化變量小于觀測(cè)尺度時(shí)的非連續(xù)變異。理論上，當(dāng)采樣點(diǎn)間的距離為0時(shí)，半變異函數(shù)值應(yīng)為0；但由于測(cè)量誤差和空間變異，使得兩采樣點(diǎn)非常接近時(shí)，它們的半變異函數(shù)值不為0，即存在塊金值。測(cè)量誤差是儀器內(nèi)在誤差引起的，空間變異是自然現(xiàn)象在一定空間范圍內(nèi)的變化，它們?nèi)我庖环交騼烧吖餐饔卯a(chǎn)生了塊金值。2）C0+C為基臺(tái)值，表示半變異函數(shù)隨著間距遞增到一定程度后出現(xiàn)的平穩(wěn)值。當(dāng)采樣點(diǎn)間的距離h增大時(shí)，半變異函數(shù)r(h)從初始的塊金值達(dá)到一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的常數(shù)時(shí)，該常數(shù)值稱為基臺(tái)值。當(dāng)半變異函數(shù)值超過(guò)基臺(tái)值時(shí)，即函數(shù)值不隨采樣點(diǎn)間隔距離而改變時(shí)，空間相關(guān)性不存在。 3）C為拱高或稱結(jié)構(gòu)方

29、差，表示基臺(tái)值和塊金方差之間的差值。 4）a為變程，即半變異函數(shù)達(dá)到基臺(tái)值時(shí)的間距。 在變異理論中，通常把變程a視為空間相關(guān)的最大間距，也稱極限距離。 變程表示了在某種觀測(cè)尺度下，空間相關(guān)性的作用范圍，其大小受觀測(cè)尺度的限定。 在變程范圍內(nèi)，樣點(diǎn)間的距離越小，其相似性，即空間相關(guān)性越大。 當(dāng)樣點(diǎn)間距離h大于變程a時(shí)，區(qū)域化變量的空間相關(guān)性不存在，即當(dāng)某點(diǎn)與已知點(diǎn)的距離大于變程時(shí)，該點(diǎn)數(shù)據(jù)不能用于內(nèi)插或外推。 以上介紹了克里金插值法的基本原理。 克里金方法主要有以下幾種類(lèi)型： 常規(guī)克里金插值法、簡(jiǎn)單克里金插值法、泛克里金插值法、概率克里金插值法、指示克里金插值法、析取克里金插值法、協(xié)同克里金插值

30、法等。 以上介紹了4類(lèi)局部?jī)?nèi)插法：線性內(nèi)插法、雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插法、移動(dòng)擬合法、克里金法。 除此之外，還有其它的一些內(nèi)插方法，如最小二乘配置法，有限元內(nèi)插法等。 但是這些方法一般用于數(shù)據(jù)表面復(fù)雜，待求點(diǎn)眾多的地形表面，用于生成規(guī)則的格網(wǎng)數(shù)字地面模型。 6.3 空間信息分類(lèi)空間信息分類(lèi) 空間信息分類(lèi)是空間分析的基本功能之一。 空間信息分類(lèi)和評(píng)價(jià)的問(wèn)題通常涉及大量的相互關(guān)聯(lián)的地理因素。 常用的空間信息分類(lèi)方法包括：（1）主成分分析法；（2）層次分析法；（3）系統(tǒng)聚類(lèi)分析法；（4）判別分析法。 下面對(duì)這些空間信息分類(lèi)方法分別加以介紹：6.3.1 主成分分析法主成分分析法 地理問(wèn)題往往涉及大量相互關(guān)聯(lián)的

31、自然和社會(huì)要素，眾多的要素常常給分析帶來(lái)很大困難，同時(shí)也增加了運(yùn)算的復(fù)雜性。 為使用戶易于理解和解決現(xiàn)有存儲(chǔ)容量不足的問(wèn)題，有必要減少某些數(shù)據(jù)而保留最必要的信息。 主成分分析方法可以從統(tǒng)計(jì)意義上將各影響要素的信息壓縮到若干合成因子上，從而使模型大大地簡(jiǎn)化。6.3.1 主成分分析法主成分分析法 主成分分析法通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析，將眾多要素的信息壓縮表達(dá)為若干具有代表性的合成變量， 這就克服了變量選擇時(shí)的冗余和相關(guān)，然后選擇信息最豐富的少數(shù)因子進(jìn)行各種聚類(lèi)分析。 設(shè)有n個(gè)樣本，p個(gè)變量。將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成一組新的特征值主成分，主成分是原變量的線性組合且有正交特征。 即將x1，x2， ，xp綜合成m(mp

32、)個(gè)指標(biāo)z1，z2， ，zm。具體的線性組合公式如下： 這樣決定的綜合指標(biāo)z1，z2， ，zm分別稱做原指標(biāo)的第一、第二、第m主成分。其中z1在總方差中占的比例最大，其余主成分z2，z3，zm的方差依次遞減。 在實(shí)際工作中常挑選前幾個(gè)方差比例最大的主成分，這樣既減少了指標(biāo)的數(shù)目，又抓住了主要矛盾，簡(jiǎn)化了指標(biāo)之間的關(guān)系。 從幾何上看，找主成分的問(wèn)題，就是找p維空間中橢球體的主軸問(wèn)題，從數(shù)學(xué)上容易得到它們是x1，x2， ，xp的相關(guān)矩陣中m個(gè)較大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，通常用雅可比(Jacobi)法計(jì)算特征值和特征向量。 顯然，主成分分析這一數(shù)據(jù)分析技術(shù)是把數(shù)據(jù)減少到易于管理的程度，也是將復(fù)雜數(shù)據(jù)

33、變成簡(jiǎn)單類(lèi)別便于存儲(chǔ)和管理的有力工具。 6.3.2 層次分析法（層次分析法（AHPAHP） 層次分析法層次分析法(Analytic Hierarchy Process, AHP)是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一，它把人的思維過(guò)程層次化、數(shù)量化，并用數(shù)學(xué)方法為分析、決策、預(yù)報(bào)或控制提供定量的依據(jù)。 這是一種定性和定量分析相結(jié)合的方法。 層次分析法在分析涉及到大量相互關(guān)聯(lián)、相互制約的復(fù)雜因素時(shí)，各因素對(duì)問(wèn)題的分析有著不同程度的重要性，決定它們對(duì)目標(biāo)的重要性序列，對(duì)問(wèn)題的分析十分重要。6.3.2 層次分析法（層次分析法（AHPAHP） AHP方法把相互關(guān)聯(lián)的要素按隸屬關(guān)系劃分為若干層次，請(qǐng)有經(jīng)驗(yàn)的專(zhuān)家們對(duì)各

34、層次各因素的相對(duì)重要性給出定量指標(biāo)，利用數(shù)學(xué)方法，綜合眾人意見(jiàn)給出各層次各要素的相對(duì)重要性權(quán)值，作為綜合分析的基礎(chǔ)。 例如要比較n個(gè)因素 對(duì)目標(biāo)Z的影響，確定它們?cè)赯中的比重，每次取兩個(gè)因素yi和yj，用aij表示yi與yj對(duì)Z的影響之比，全部比較結(jié)果可用矩陣表示 ，A稱為對(duì)比矩陣，它應(yīng)滿足： 層次分析法的整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了人的決策思維的基本特征，即分解、判斷與綜合，易學(xué)易用，而且定性與定量相結(jié)合，便于決策者之間彼此溝通，是一種十分有效的系統(tǒng)分析方法， 廣泛地應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)管理規(guī)劃、能源開(kāi)發(fā)利用與資源分析、城市產(chǎn)業(yè)規(guī)劃、人才預(yù)測(cè)、交通運(yùn)輸、水資源分析利用等方面。6.3.3 系統(tǒng)聚類(lèi)分析系統(tǒng)聚類(lèi)分析 聚

35、類(lèi)分析可根據(jù)地理實(shí)體之間影響要素的相似程度，采用某種與權(quán)重和隸屬度有關(guān)的距離指標(biāo)，將評(píng)價(jià)區(qū)域劃分若干類(lèi)別。 系統(tǒng)聚類(lèi)是根據(jù)多種地學(xué)要素對(duì)地理實(shí)體劃分類(lèi)別的方法。 對(duì)不同的要素劃分類(lèi)別往往反映不同目標(biāo)的等級(jí)序列，如土地分等定級(jí)、水土流失強(qiáng)度分級(jí)等。6.3.3 系統(tǒng)聚類(lèi)分析系統(tǒng)聚類(lèi)分析 系統(tǒng)聚類(lèi)根據(jù)實(shí)體間的相似程度逐步合并為若干類(lèi)別，其相似程度由距離或相似系數(shù)定義， 主要有絕對(duì)值距離、歐氏距離、切比雪夫距離、馬氏距離等。 進(jìn)行合并的準(zhǔn)則是使得各類(lèi)類(lèi)間差異最大、類(lèi)內(nèi)差異最小。 下面給出一個(gè)用歐幾里德距離進(jìn)行聚類(lèi)的方法： 用xik表示第i個(gè)樣本的第k個(gè)指標(biāo)的數(shù)據(jù)，xjk表示第j個(gè)樣本的第k個(gè)指標(biāo)的數(shù)據(jù)

36、； dij表示第i個(gè)樣本和第j個(gè)樣本之間的距離，根據(jù)歐式距離法確定的距離計(jì)算公式如下： 依次求出任何兩個(gè)點(diǎn)的距離系數(shù)dij(i，jl，2，n)以后，就形成一個(gè)距離矩陣： 它反映了地理單元的差異情況，在此基礎(chǔ)上就可以根據(jù)最短距離法或最長(zhǎng)距離法或中位線法等,進(jìn)行逐步歸類(lèi)，最后形成一張聚類(lèi)分析譜系圖。6.3.4 判別分析判別分析 判別分析根據(jù)各要素的權(quán)重和隸屬度，采用一定的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)將各地理實(shí)體判歸最可能的評(píng)價(jià)等級(jí)或以某個(gè)數(shù)據(jù)值所示的等級(jí)序列上。 判別分析與聚類(lèi)分析同屬分類(lèi)問(wèn)題 所不同的是：判別分析是預(yù)先確定出等級(jí)序列的因子標(biāo)準(zhǔn)，再將分析的地理實(shí)體安排到序列的合理位置上。 對(duì)于諸如水土流失評(píng)價(jià)、土地適

37、宜性評(píng)價(jià)等有一定理論根據(jù)的分類(lèi)系統(tǒng)的定級(jí)問(wèn)題比較適用。 判別分析依其判別類(lèi)型的多少與方法的不同，可分為兩類(lèi)判別、多類(lèi)判別和逐步判別等。 通常在兩類(lèi)判別分析中，要求根據(jù)已知的地理特征值進(jìn)行線性組合，構(gòu)成一個(gè)線性判別函數(shù)Y，即： 式中， 為判別系數(shù)，它反映各要素或特征值的作用方向、分辨能力和貢獻(xiàn)率的大小。 xk為已知各要素（變量）的特征值。只要確定了ck，判別函數(shù)Y就確定了。 確定判別函數(shù)后，根據(jù)每個(gè)樣本計(jì)算判別函數(shù)值，可以將其歸并到相應(yīng)的類(lèi)別中。 常規(guī)的判別分析主要有距離判別法和Bayes最小風(fēng)險(xiǎn)判別法等。 6.4 空間統(tǒng)計(jì)分析空間統(tǒng)計(jì)分析 空間統(tǒng)計(jì)分析主要用于空間數(shù)據(jù)的分類(lèi)與綜合評(píng)價(jià)，它涉及到空間和非空間數(shù)據(jù)的處理和統(tǒng)計(jì)計(jì)算。 為了將空間實(shí)體的某些屬性進(jìn)行橫向或縱向比較，往往將空間實(shí)體的某些屬性制成統(tǒng)計(jì)圖表，以便進(jìn)行直觀的綜合評(píng)價(jià)。 6.4 空間統(tǒng)計(jì)分析空間統(tǒng)計(jì)分析 有時(shí)，人們不僅需要絕對(duì)指標(biāo)的顯示與分析，同時(shí)還需要了解它的相對(duì)指標(biāo)，因此反映相對(duì)指標(biāo)的密度計(jì)算也是空間統(tǒng)計(jì)分析的常用方法。 另外，空間數(shù)據(jù)之間存在著許多相關(guān)性和內(nèi)在聯(lián)系，為了找出空間數(shù)據(jù)之間的主要特征和關(guān)系，