工程隨機數(shù)學：第3章 多維隨機變量及其分布

1、1第3章 多維隨機變量及其分布關鍵詞： 聯(lián)合分布 邊緣分布 條件分布 函數(shù)的分布2第3章 多維隨機變量及其分布1、二維隨機變量及其聯(lián)合分布2、邊緣分布3、條件分布4、隨機變量的獨立性5、二維隨機變量函數(shù)的分布31 二維隨機變量及其聯(lián)合分布圖示41.定義 將n個隨機變量X1，X2，.,Xn構成一個n維向量 (X1,X2,.,Xn)稱為n維隨機變量。一維隨機變量XR1上的隨機點坐標二維隨機變量(X,Y)R2上的隨機點坐標n維隨機變量(X1,X2,Xn)Rn上的隨機點坐標多維隨機變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律5實例1 炮彈的彈著點的位置 ( X, Y )

2、就是一個二維隨機變量. 二維隨機變量 ( X, Y ) 的性質不僅與 X、Y 有關,而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系.實例2 考查某一地 區(qū)學前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構成二維隨機變量 ( H, W ).說明 6幾何意義：分布函數(shù)F( x0,y0)表示隨機點(X,Y)落在區(qū)域 中的概率。如圖陰影部分： 設(X, Y)是二維隨機變量，(x, y)R2, 則稱 F(x,y)=PXx, Yy為(X, Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 （一）聯(lián)合分布函數(shù)7 對于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),則Px1X x2， y1Yy

3、2 F(x2, y2)F(x2, y1) F (x1, y2)F (x1, y1).(x1, y1)(x2, y2)(x2, y1)(x1, y2)8分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質：且(1)歸一性 對任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, (2)單調不減 對任意y R, 當x1x2時， F(x1, y) F(x2 , y)； 對任意x R, 當y1y2時， F(x, y1) F(x , y2). 9(3)右連續(xù) 對任意xR, yR, (4)矩形不等式 對于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F

4、(x2, y1)F (x1, y1)0.反之，任一滿足上述四個性質的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)。10例1.已知二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為1)求常數(shù)A，B，C。 2)求P0X2,0Y3解:11（二）聯(lián)合分布律 若二維隨機變量(X, Y)只能取至多可列對值(xi, yj), (i, j1, 2, )，則稱(X, Y)為二維離散型隨機變量。稱 PXxi, Y yj, pij , (i, j1, 2, )，為二維離散型隨機變量(X, Y)的分布律，或隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律.可記為 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2,

5、)，12X Y y1 y2 yj p11 p12 . p1j . p21 p22 . p2j . pi1 pi2 . pij . .聯(lián)合分布律的性質 (1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2)x1 x2xi二維離散型隨機變量的分布律也可列表表示如下:13例2 袋中有2只黑球、2只白球、3只紅球，在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù). (1)求(X,Y)的分布律. (2)求概率解 (1)X所有可能取的不同值為0,1,2;Y所有可能取的不同值為0,1,2. (X,Y)的分布律為14分布律也可寫成以下表格的形式. X Y01201/72/71/2112/74/

6、21021/210015(2)16（三）聯(lián)合概率密度函數(shù)1、定義 對于二維隨機變量(X, Y)，若存在一個非負函數(shù)f (x, y)，使對(x, y)R2，其分布函數(shù) 則稱 (X, Y)為二維連續(xù)型隨機變量，f(x,y)為(X, Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為 (X, Y) f (x, y)， (x, y)R2172、聯(lián)合密度f(x, y)的性質 (1)非負性： f (x, y)0, (x, y)R2; (2)歸一性： 反之，具有以上兩個性質的二元函數(shù)f (x, y)，必是某個二維連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)。18(4)對于任意平面區(qū)域G R2, (3)若f (x, y)

7、在(x, y)R2處連續(xù)，則有此外，f (x, y)還有下述性質19求：(1)常數(shù)A；(2) F(1,1)； (3)(X,Y)落在三角形區(qū)域 D:x0,y0,2x+3y6 內的概率。 例3. 設解 (1) 由歸一性20(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域D：x0, y0, 2X+3y6內的概率。解21 3. 兩個常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布* 若二維隨機變量(X, Y)的密度函數(shù)為則稱(X, Y)在區(qū)域D上(內) 服從均勻分布。 易見，若 (X, Y) 在區(qū)域D上(內) 服從均勻分布, 對D內任意區(qū)域G, 有22例4.設(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，(1)求(X,Y)的概率密

8、度；(2)求PY0, 20, |0, 則稱同理，對固定的i, pi. 0, 稱為X xi的條件下，Y的條件分布律;39例140解由上述分布律的表格可得4142例2 一射手進行射擊,擊中目標的概率為p(0p0，極限存在，則稱此極限為在條件下X的條件分布函數(shù).記作可證當 時 46若記 fX|Y(x|y) 為在Y=y條件下X的條件概率密度，則當 時 類似定義，當 時47答請同學們思考48解例349又知邊緣概率密度為50解例45152定義 如果對任意實數(shù)ab,cd，有PaXb,cYd=PaXbPcYd 即事件aXb與事件cYd獨立，則稱隨機變量X與Y獨立。4 隨機變量的獨立性53（一） 二維的情形54

9、由上述定理可知，要判斷兩個隨機變量X與Y的獨立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對(X,Y)的每一對可能取值點, 邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可55解: 因為 X 與 Y 相互獨立,所以求隨機變量 ( X, Y ) 的分布律.例1 設兩個獨立的隨機變量 X 與Y 的分布律為56例2 某種保險絲的壽命(以一百小時計) X 服從指數(shù)分布,其概率密度為有兩只這種保險絲，其壽命分別為 X1, X2, 設 X1, X2 相互獨立，求X1, X2 的聯(lián)合概率密度.(2) 在(1)中，一只是原裝的，另一只是備用的，備用的只在原裝的熔斷時自動投入工作，于是兩只保險絲的總壽命為 X1+X2 ，求PX1+

10、X21.57因X1, X2 相互獨立，故 X1, X2 的聯(lián)合概率密度為, 2概率密度為解 (1) 58(2) 59（二） 二維隨機變量的推廣(1) N維隨機變量60(2) 分布函數(shù)61(3) 概率密度函數(shù)62 其它依次類推.(4) 邊緣分布函數(shù)63(5) 邊緣概率密度函數(shù)64(6) 相互獨立性65定理 設(X1,X2, ,Xn )與(Y1,Y2,，Ym )相互獨立，則Xi (i=1,2,n)與Yj (j=1,2, m)相互獨立；又若h, g是連續(xù)函數(shù)，則h(X1,X2, , Xn)與g(Y1,Y2,，Ym )相互獨立.665 二維隨機變量函數(shù)的分布67（一）離散型隨機變量的情況Z=X+Y 的

11、分布Z=max(X,Y)的分布Z=min(X,Y)的分布6869例3. 設隨機變量X與Y獨立，且均服從0-1 分布，其分布律均為 X 0 1 P q p (1) 求WXY的分布律;(2) 求Vmax(X, Y)的分布律；(3) 求Umin(X, Y)的分布律。(4) 求W與V的聯(lián)合分布律。70(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijq2pqpqp2WXY0112Vmax(X, Y)0111Umin(X, Y)0001VW0 10 1 20007172（二）連續(xù)型隨機變量的情況1、一般的方法：分布函數(shù)法 若(X1, X2, , Xn)f (x1, x2, , xn), (x1,

12、x2, ,xn)Rn, Y=g(X1, X2, , Xn), 則可先求Y的分布函數(shù): 然后再求出Y的密度函數(shù):7374兩邊對 z 求導可得 Z 的概率密度函數(shù)由于 X 與 Y 對稱,這兩個公式稱為卷積公式, 可記為75例4.設隨機變量X與Y獨立且均服從標準正態(tài)分布，求證：Z=X+Y服從N（0，2）分布。76一般地，設隨機變量X1, X2，., Xn獨立且Xi服從正態(tài)分布N(i ,i2),i=1,.,n, 則設X,Y相互獨立，77解例5.7879故有考慮到定義域80對任意的實數(shù)有81推廣82例683解8485(3)商和積的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, ZY/X, Z=XY的密度特別，當X，Y相互獨立時，上式可化為其中fX(x), fY(y)分別為X和Y的密度函數(shù)。證明見后 86