高數(shù)下冊復(fù)習(xí)

1、2022-7-5微積分20121微積分（下）復(fù)習(xí)微積分（下）復(fù)習(xí)2022-7-5微積分20122可分離變量可分離變量方程方程可降階可降階方程方程齊次方程齊次方程一階線性一階線性微分方程微分方程二階線性常系數(shù)二階線性常系數(shù)微分方程微分方程微分方程微分方程應(yīng)用應(yīng)用(導(dǎo)數(shù)的幾何、物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何、物理意義，微元法微元法, , 牛頓第二定律牛頓第二定律, , 質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律)全微分全微分方程方程一階一階二階二階伯努利方程伯努利方程常微分方程常微分方程2022-7-5微積分20123Fourier級數(shù)級數(shù):給定周期函數(shù)會把它給定周期函數(shù)會把它展開展開成成Fourier級數(shù)，級數(shù)，并會用并會用

2、DirichletDirichlet收斂定理收斂定理求求Fourier級數(shù)的和函數(shù)級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù): 給定冪級數(shù)會求其給定冪級數(shù)會求其收斂半徑收斂半徑, ,收斂區(qū)域收斂區(qū)域, , 以及以及和函數(shù)和函數(shù); ; 給定一個初等函數(shù)給定一個初等函數(shù), ,會用間接法求會用間接法求其冪級數(shù)其冪級數(shù)展開展開式式. .數(shù)項(xiàng)級數(shù)：數(shù)項(xiàng)級數(shù)：給定任意項(xiàng)級數(shù)會判別其給定任意項(xiàng)級數(shù)會判別其斂散性斂散性，條件條件收斂還是收斂還是絕對絕對收斂收斂 ，收斂時會，收斂時會求和求和. .級數(shù)級數(shù)2022-7-5微積分20124多元積分學(xué)多元積分學(xué)1. 重積分（概念、計算、應(yīng)用）重積分（概念、計算、應(yīng)用）2. 曲線積分（

3、概念、計算、應(yīng)用曲線積分（概念、計算、應(yīng)用)3. 曲面積分（概念、計算、應(yīng)用）曲面積分（概念、計算、應(yīng)用）重點(diǎn)：重點(diǎn)：計算計算2022-7-5微積分201251.1.重積分概念重積分概念2022-7-5微積分201261.利用直角坐標(biāo)系計算二重積分利用直角坐標(biāo)系計算二重積分二重積分計算二重積分計算2022-7-5微積分20127D：, bxa ).()(21xyx xOy)(1xy )(2xy DbaX型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直線軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf

4、 2022-7-5微積分20128.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,dyc ).()(21yxy D)(2yx cd)(1yx xOyxOyD)(2yx cd)(1yx Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的直線軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).D：2022-7-5微積分20129AoDi.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 2. 利用極坐標(biāo)系計算二重積分利用極坐標(biāo)系計算二重積分 rdrdddxdy 面積元素面積元素2022-7-5微積分201210.)sin,cos()()(21

5、 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）, ).()(21 r區(qū)域區(qū)域D的特點(diǎn)：從極點(diǎn)的特點(diǎn)：從極點(diǎn)O出發(fā)且穿過閉區(qū)域出發(fā)且穿過閉區(qū)域D內(nèi)部內(nèi)部的射線與的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點(diǎn)的邊界曲線相交不多于兩點(diǎn).D：2022-7-5微積分201211AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(D：2022-7-5微積分201212 Drdrdrrf )sin,cos(.)

6、sin,cos()(020 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）).(0 rDoA)(r,2 0D：2022-7-5微積分201213利用對稱性化簡二重積分計算利用對稱性化簡二重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：使用對稱性時應(yīng)注意：、積分區(qū)域有關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性；、積分區(qū)域有關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上有相應(yīng)的、被積函數(shù)在積分區(qū)域上有相應(yīng)的奇偶性奇偶性2022-7-5微積分201214 10dy 22yy y dxyxf),(1xyo2022-7-5微積分201215a2oyx 20sin202)( ardrrfdayyx222 2022-7-5微

7、積分201216o24 dyxyxD 4:222214 dyxyxD 164 :22222)4( 20220)4(rdrrd 42220)4(rdrrd 80 2022-7-5微積分201217解解oxy121D2022-7-5微積分201218 yxyxxyDDDddsincos321 2D3DyxyxDDddsincos21 1DyxyxDddsincos21 dxyxdyy 010sincos2 102sin2ydy1sin211 2022-7-5微積分2012190y x2412 22sin21yydxyxdy 212)2cos2(dyyyyxy 21)2cos2(dyyy 2122s

8、in)4(ydy 3)2(4 2022-7-5微積分201220一、利用直角坐標(biāo)系計算三重積分一、利用直角坐標(biāo)系計算三重積分三重積分計算三重積分計算2022-7-5微積分201221上邊界曲面（上邊界曲面（上頂上頂）xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx dvzyxf),(.),(),(),(21 xyDyxzyxzddzzyxf 下邊界曲面（下邊界曲面（下底下底）xOy 坐標(biāo)面上的坐標(biāo)面上的投影區(qū)域投影區(qū)域 “先一后二先一后二”（一）先投影，再確定上、下面（一）先投影，再確定上、下面2022-7-5微積分201222 x0z yc1c2 d21ccz ()

9、d dzDf x, y,zx y .zDz （二）（二）截面法截面法zyxzyxfIddd ),( zDyxczczyx ),( ,| ),(21c1, c2: 向向 z 軸的投影區(qū)間軸的投影區(qū)間 Dz : 過過 z c1, c2且垂于且垂于z軸軸的平面截的平面截 得到的截面得到的截面 2022-7-5微積分2012230 xz yM(x, y, z)M(r, , z)zrP(x, y, 0) cosrx xyz sinry 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo) M(x, y, z) M(r, , z) z = z. 二、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分二、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分2022-7-5微積分201224xz

10、y0 drrrd d z底面積底面積 ：r drd dz ),sin,cos(zrrf dV =zrrddd .柱面坐標(biāo)下的體積元素柱面坐標(biāo)下的體積元素.zyxzyxfddd),( dVzrrddd 2022-7-5微積分2012250 xz yM(x, y, z)M(r, , )r Pyxz. cos sinrx sin sinry cosrz .球面坐標(biāo)球面坐標(biāo) 三、利用球面坐標(biāo)計算三重積分三、利用球面坐標(biāo)計算三重積分2022-7-5微積分201226r drd xz y0 d rd rsin d 球面坐標(biāo)下的體積元素球面坐標(biāo)下的體積元素.zyxzyxfddd ),( r 2sin drd

11、 d dVdV = dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf 2022-7-5微積分201227利用對稱性化簡三重積分計算利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：使用對稱性時應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的的奇偶性奇偶性2022-7-5微積分201228dVzxyzxydvzyx)222()(222 adrrrdd022200sin 455a =02022-7-5微積分201229xyzodzzrrfrdrdr 201002),sin,cos( 01

12、:22zyxD投影域投影域D2022-7-5微積分201230z 0 xy1drrrdd 2020cos02sin10 2022-7-5微積分201231( (一一) )幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用 DD d空間立體體積：空間立體體積：平面區(qū)域的面積：平面區(qū)域的面積： zyxVddd重積分應(yīng)用重積分應(yīng)用曲面面積：曲面面積： xyDyxffdSS d122(二二) 物理應(yīng)用：物理應(yīng)用：質(zhì)質(zhì)( (重重) )心、轉(zhuǎn)動慣量、引力心、轉(zhuǎn)動慣量、引力2022-7-5微積分201232 d),(yxMAd xyzo Sd d2211cosyxff d1d22yxffS cosd A xyDyxffS d122)1 ,(

13、yxffn ),(:yxfz n MAdz dn 曲面面積曲面面積曲面曲面 的面積的面積元素元素 曲面曲面 的面積的面積公式公式 2022-7-5微積分201233 0424222zattyxxoy面上投影面上投影交線在交線在 22222222)( :Ltazyxazyx交線交線2022-7-5微積分201234 xyDyxyxtyxdd122222att322 面積面積dxdyzztSxyDyx 221)(極坐標(biāo)極坐標(biāo) 242402220attrdrrttd atttS234)( 0 at34 駐點(diǎn)駐點(diǎn)22732)34(Saa 222yxtaz 2022-7-5微積分201235Oexyln

14、 1t dtxtID2)()( dytxdxex21ln0)( x9122)1(322 etet.412最小最小時，時，當(dāng)當(dāng)Iet 2022-7-5微積分201236曲線、曲面積分曲線、曲面積分2022-7-5微積分201237基本內(nèi)容基本內(nèi)容第一第二類曲線積分的定義與計算第一第二類曲線積分的定義與計算第一第二類曲面積分的定義與計算第一第二類曲面積分的定義與計算場論初步場論初步重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容格林公式格林公式曲線積分與路徑無關(guān)的四個等價命題曲線積分與路徑無關(guān)的四個等價命題Gauss公式公式， Stocks公式公式2022-7-5微積分201238 曲曲 線線 積積 分分對弧長的曲線積分對弧長的

15、曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定定義義 niiiisf10),(lim LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 聯(lián)聯(lián)系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 計計算算 dtfdsyxfL22,),()( dtQPQdyPdxL),(),(與方向有關(guān)與方向有關(guān) Ldsyxf),(2022-7-5微積分201239Green公式公式2022-7-5微積分201240與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個

16、命命題題成成立立. . LQdyPdxD與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉曲線閉曲線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題2022-7-5微積分201241 曲曲 面面 積積 分分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 聯(lián)聯(lián)系系計計 算算 RdxdyQdzdxPdydz dSRQP)coscoscos( 一投一投,二代二代,三換三換 dszyxf)

17、,( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),(一投一投,二代二代,三定號三定號 xyDdxdyyxzyxR),(,2022-7-5微積分201242第一類曲面積分第一類曲面積分 dSzyxf),(物理意義物理意義: 曲面的面密度為曲面的面密度為 f(x, y, z), 曲面的質(zhì)量曲面的質(zhì)量.;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(xyDyxyxzz ),(),(:若若曲曲面面則則一投一投, 二代二代, 三換三換計算方法計算方法:2022-7-5微積分201243第二類曲面積分第二類曲面積分dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzy

18、xP),(),(),( 物理意義物理意義: 單位時間內(nèi)通過單位時間內(nèi)通過 并流向指定一側(cè)的流并流向指定一側(cè)的流體的質(zhì)量體的質(zhì)量, 即即通量通量.2022-7-5微積分201244計算方法計算方法:,),(),(:xyDyxyxzz xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,(),(1. 直接投影法直接投影法下側(cè)下側(cè)一投一投, ,二代二代, ,三定號三定號上式右端的符號當(dāng)上式右端的符號當(dāng) 取上側(cè)時為正取上側(cè)時為正, 取下側(cè)時為負(fù)取下側(cè)時為負(fù)2022-7-5微積分2012452. 合一投影法合一投影法如果如果 的方程為的方程為 z=z(x, y), (x, y) Dxy (Dxy 是是 在

19、在xOy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域), 函數(shù)函數(shù)P, Q, R在在 上連續(xù)上連續(xù), 則則dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( d)1 ,(),(),(yxzzyDxzzRQPxy 積分號前的符號當(dāng)積分號前的符號當(dāng) 取上側(cè)時為正取上側(cè)時為正, 取下側(cè)時為負(fù)取下側(cè)時為負(fù).2022-7-5微積分2012463. Gauss公式公式其其中中 是是 的的整整個個邊邊界界曲曲面面的的外外側(cè)側(cè). .2022-7-5微積分201247定理定理 設(shè)設(shè) 為分段光滑的空間有向閉曲線為分段光滑的空間有向閉曲線, , 是以是以 為邊界的分片光滑的有向曲面為邊界的分片光滑的有向曲面, ,

20、的正向與的正向與 的側(cè)符合右手規(guī)則的側(cè)符合右手規(guī)則, , 函數(shù)函數(shù)),(zyxP, ,),(zyxQ, ,),(zyxR在包含曲面在包含曲面 在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則有公式則有公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz2022-7-5微積分201248梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度場論初步

21、場論初步2022-7-5微積分201249 C2222ds)43(2, a, 134C. 1yxyx則則其周長為其周長為：設(shè)設(shè)14a zyyx)dxxxy(dz則則設(shè)設(shè),d)3(32. 2222Cyxyx 3322022-7-5微積分201250 .0:,)( :22222zyxRzyxCdsyzIC其中其中計算計算例例 CCdsyzdsI21：解解輪換對稱性輪換對稱性數(shù)數(shù)由由積積分分曲曲線線化化簡簡被被積積函函.322332RRR CCdszyxdszyx)(31)31222（ CdsR23102022-7-5微積分201251化化為為參參數(shù)數(shù)方方程程。將將解解C2 .0:2222zyxRzyxC,243)2(222Ryyxz 得得消去消去 :CtRysin62 tRtRxsin6cos2 .20 ttRtRzsin6cos2 2022-7-5微積分201252七七.計算計算.3z1z,)1(24)18(222所所截截下下部部分分的的下下側(cè)側(cè)被被平平面面是是曲曲面面其其