自動(dòng)控制原理第5章課件

1、第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 5.1 頻率特性頻率特性 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性 5.3 控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的繪制控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的繪制 5.4 頻域穩(wěn)定性判據(jù)頻域穩(wěn)定性判據(jù) 5.5 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度 5.6 閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo) 5.7 頻率特性的試驗(yàn)確定方法頻率特性的試驗(yàn)確定方法 小結(jié)小結(jié) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 5.1 頻頻 率率 特特 性性 對(duì)于圖5-1所示的電路,當(dāng)ui(t)是正弦信號(hào)時(shí), 我們已知uo(t)也是同頻率的正弦信號(hào), 簡單推導(dǎo)如下: 設(shè)ui(t)=U sint, 則其拉氏變換為 22

2、)(sUsUi而RC電路的傳遞函數(shù)為 11)( 1)/(1)()(sCsRCssUsUio(5.1) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 式中, =RC。 則有 2211)(11)(sUssUssUio(5.2) 對(duì)式(5.2)進(jìn)行拉氏反變換, 可得 )sin(11)(2222tUeUtuto(5.3) 式中, =-arctg。 式(5.3)的等號(hào)右邊, 第一項(xiàng)是輸出的暫態(tài)分量, 第二項(xiàng)是輸出的穩(wěn)態(tài)分量。 當(dāng)時(shí)間t 時(shí), 暫態(tài)分量趨于零, 所以上述電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以表示為 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 jtjUtUtuot11sin11)sin(1)(lim22(5.4) 若把輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和輸入正弦信

3、號(hào)用復(fù)數(shù)表示, 可以得到: )()(11)(jeAjjG(5.5) 式中, arctgjjA11)(1111)(22第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 ui(t)uo(t)RC圖5-1 RC電路第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 G(j)是上述電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比, 稱為頻率特性。對(duì)比式(5.1)和式(5.5)可見, 將傳遞函數(shù)中的s以j代替, 即得頻率特性。A()是輸出信號(hào)的幅值與輸入信號(hào)幅值之比, 稱為幅頻特性。()是輸出信號(hào)的相角與輸入信號(hào)的相角之差, 稱為相頻特性。上述RC電路的幅頻和相頻特性如圖5-2所示。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-2 RC電路的幅頻和相頻特性 22111

4、0.80.60.40.201/2/3/4/5/arctg00.511.501/2/3/4/5/第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 上述結(jié)論可推廣到穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng), 設(shè)其傳遞函數(shù)為 )()()()()()()()(21npspspssNsDsNsRsCsG(5.6) 式中N(s)和D(s)分別為分子、分母多項(xiàng)式, C(s)和R(s)分別為輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的拉氏變換, p1, p2, , pn為傳遞函數(shù)的極點(diǎn), 對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng), 它們都具有負(fù)實(shí)部。 當(dāng)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)時(shí), 2221)()()()(sUpspspssNsGn(5.7) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 若系統(tǒng)無重極點(diǎn), 則上式可寫為 nii

5、ipsajsbjsbsC121)(對(duì)上式作拉氏反變換, 可得 nitpitjtjieaebebtc121)( 若系統(tǒng)穩(wěn)定, 則pi都具有負(fù)實(shí)部, 當(dāng)t時(shí), 上式中的最后一項(xiàng)暫態(tài)分量將衰減至零。這時(shí), 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 tjtjtebebtc21)(lim(5.8) (5.9) (5.10) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 求出待定系數(shù)b1, b2, 并代入上式可得 )sin(| )(|)(jUjGc比較式(5.11)與式(5.5)得 )()(| )(|)(jGjGA(5.11) (5.12) 式(5.11)表明, 對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng), 由正弦輸入產(chǎn)生的輸出穩(wěn)態(tài)分量仍是與輸入同頻率的正弦函數(shù),

6、而幅值和相角的變化是頻率的函數(shù), 且與系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型相關(guān)。 通常把 )(| )(|)(jejGjG(5.13) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 稱為系統(tǒng)的頻率特性。它反映了在正弦輸入信號(hào)作用下, 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號(hào)之間的關(guān)系。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與輸入正弦信號(hào)的幅值比|G(j)|稱為幅頻特性, 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與輸入正弦信號(hào)的相移()稱為相頻特性。 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為零初始條件下, 輸出和輸入的拉氏變換之比 )()()(sRsCsG上式的反變換式為 jjstdsesGjtg)(21)(第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 式中位于G(s)的收斂域。若系統(tǒng)穩(wěn)定, 則可以取為零。如果r(t)的傅氏變換

7、存在, 令s=j, 則有 dejRjCdejGtgtjtj)()(21)(21)(所以, jssGjRjCjG| )()()()( 上式表明, 系統(tǒng)的頻率特性為輸出信號(hào)的傅氏變換與輸入信號(hào)的傅氏變換之比, 而這正是頻率特性的物理意義。 在工程分析和設(shè)計(jì)中, 通常把線性系統(tǒng)的頻率特性畫成曲線, 再運(yùn)用圖解法進(jìn)行研究。常用的頻率特性曲線有奈氏圖和伯德圖。 (5.14) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 式(5.13)中的G(j)分為實(shí)部和虛部, 即 )()(| )(|)()(jYXejGjGjX()稱為實(shí)頻特性, Y()稱為虛頻特性。在G(j)平面上, 以橫坐標(biāo)表示X(), 縱坐標(biāo)表示jY(), 這種采

8、用極坐標(biāo)系的頻率特性圖稱為極坐標(biāo)圖或幅相曲線, 又稱奈奎斯特圖。 若將頻率特性表示為復(fù)指數(shù)形式, 則為復(fù)平面上的向量, 而向量的長度為頻率特性的幅值, 向量與實(shí)軸正方向的夾角等于頻率特性的相位。由于幅頻特性為的偶函數(shù), 相頻特性為的奇函數(shù), 則從零變化到正無窮大和從零變化到負(fù)無窮大的幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱, 因此一般只繪制從零變化到正無窮大的幅相曲線。在奈氏圖中, 頻率為參變量, 一般用小箭頭表示增大時(shí)幅相曲線的變化方向。上述RC電路的奈氏圖如圖5-3所示, 圖中G(j)的軌跡為一半圓。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-3 RC電路的奈氏圖 jY()0A()()X()10第五章 頻 率 響

9、應(yīng) 法 在工程實(shí)際中, 常常將頻率特性畫成對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖形式, 這種對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱伯德圖, 由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性組成。伯德圖的橫坐標(biāo)按lg分度, 即對(duì)數(shù)分度, 單位為弧度/秒(rad/s), 對(duì)數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)按 )(lg20| )(|lg20)(AjGL線性分度, 單位是分貝(dB)。對(duì)數(shù)相頻曲線的縱坐標(biāo)按()線性分度, 單位是度()。 由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 對(duì)數(shù)分度和線性分度如圖5-4所示。在線性分度中, 當(dāng)變量增大或減小1時(shí), 坐標(biāo)間距離變化一個(gè)單位長度; 而在對(duì)數(shù)分度中, 當(dāng)變量增大或減小10倍時(shí), 稱為10倍頻程(dec), 坐標(biāo)

10、間距離變化一個(gè)單位長度。設(shè)對(duì)數(shù)分度中的單位長度為L, 0為參考點(diǎn), 則當(dāng)以0為起點(diǎn), 在10倍頻程內(nèi)變化時(shí), 坐標(biāo)點(diǎn)相對(duì)于0的距離為表5-1中的第二行數(shù)值乘以L。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-4 對(duì)數(shù)分度和線性分度 012345678910(a) 線性分度0L123456 7 8 91020304050 6080 1001倍頻程1倍頻程1倍頻程1倍頻程10倍頻程10倍頻程10倍頻程(b) 對(duì)數(shù)分度第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 表表 5-1 10倍頻程內(nèi)的對(duì)數(shù)分度倍頻程內(nèi)的對(duì)數(shù)分度 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 對(duì)數(shù)頻率特性采用的對(duì)數(shù)分度實(shí)現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性壓縮, 便于在較大頻率范圍反映頻率

11、特性的變化情況。對(duì)數(shù)幅頻特性采用20lgA(), 則將幅值的乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算, 可以簡化曲線的繪制過程。令=1, 則用MATLAB畫出上述RC電路的伯德圖如圖5-5所示，其程序如下： bode(1, 1 1) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-5 RC電路的伯德圖 L()/dB0.10102030110()/(0.104590110)第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性 1. 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性為 G(j)=K (5.15) 顯然, 它與頻率無關(guān)。相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性為 0)()(KA第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特

12、性為 0)(lg20)(KL(5.17) 圖 5-6 比例環(huán)節(jié)的奈氏圖 jY()0X()K第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-7 比例環(huán)節(jié)的伯德圖 L()/dB0dB20 lgK()/(0)第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 2. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性為 211)(jejjG(5.18) 其幅頻特性和相頻特性為 90)(/1)(A(5.19) 由式(5.19)可見,它的幅頻特性與角頻率成反比, 而相頻特性恒為-90。對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為 90)(lg20)(L(5.20) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-8 積分環(huán)節(jié)的奈氏圖 jY()X()0第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-9

13、 積分環(huán)節(jié)的伯德圖 L()/dB0dB20dB/dec1()/(090 )第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 3. 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)的頻率特性為 2)(jejjG(5.21) 其幅頻特性和相頻特性為 90)()(A(5.22) 由式(5.22)可見, 微分環(huán)節(jié)的幅頻特性等于角頻率, 而相頻特性恒為90。對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為 90)(lg20)(L(5.23) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-10 微分環(huán)節(jié)的奈氏圖 jY()X() 00第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-11 微分環(huán)節(jié)的伯德圖 L()/dB0dB20dB/dec()/( )0190第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 4. 慣性

14、環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為 TjjG11)(5.24) 它的幅頻特性和相頻特性為 TarctgTA)(11)(22(5.25) 式(5.24)寫成實(shí)部和虛部形式, 即 )()(111)(2222jYXTTjTjG第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 則有 )(11)()(2222XTYX即 2225 . 0)(5 . 0)(YX 所以, 慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是圓心在(0.5, 0), 半徑為0.5的半圓(見圖5-12)。 對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為 TarctgTTL)(1lg2011lg20)(2222(5.26) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-12 慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖 jY()0A()()012

15、211T221TTX()0.5第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-13 慣性環(huán)節(jié)的伯德圖 L()/dB漸近線交接頻率 漸近線精確曲線01020300.1/T()/( )045900.1/T1/T1/T10/T10/T第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 當(dāng)T=1時(shí), =1/T稱為交接頻率, 或叫轉(zhuǎn)折頻率、轉(zhuǎn)角頻率。慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的繪制方法如下:先找到=1/T, L()=0dB的點(diǎn), 從該點(diǎn)向左作水平直線, 向右作斜率為-20 dB/dec的直線。在低頻段和高頻段, 精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與漸近線幾乎重合。在=1/T附近, 可以選幾個(gè)點(diǎn), 把由式(5.26)算出的精確的L()值標(biāo)在圖上, 用曲線

16、板光滑地連接起來, 就得精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。漸近線和精確曲線在交接頻率附近的誤差列于表5-2中。 表表 5-2 慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 由表可知, 在交接頻率處誤差達(dá)到最大值: dBTLL32lg2001)(一般來說, 這些誤差并不影響系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。 在低頻段, 很小, t1, ()=-90。所以, ()=0和()=-90是曲線()的兩條漸近線, 在交接頻率處有 451)(TTarctg第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 表表 5-3 慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性曲線角度值慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性曲線角度值

17、第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性曲線是一條中心點(diǎn)對(duì)稱的曲線, 這可以證明如下: 取兩個(gè)關(guān)于=1/T對(duì)稱的頻率1=/T和2=1/(T), 則有 1)(,1)()()(,)()(222111tgarctgTarctgtgarctgTarctg即即因此有 )45()45(,90)()(2121即這表明()是關(guān)于=1/T, ()=-45這一點(diǎn)中心對(duì)稱的。 用MATLAB畫出的慣性環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-14所示(T=1)。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-14 MATLAB繪制的慣性環(huán)節(jié)的伯德圖 0510152025Bode DiagramMagnitude/dB045Phase/de

18、g90100101Frequency/(rad/sec)101第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 5. 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為 TjjG1)(5.27) 幅頻特性和相頻特性為 TarctgTA)(1)(22(5.28) 對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為 TarctgTL)(1lg20)(22(5.29) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-15 一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖 jY()X() 010第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-16 一階微分環(huán)節(jié)的伯德圖 20L()/dB0.1/T101/T10/T10/T0.1/T45090()/( )1/T0第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 6. 二階振蕩

19、環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)二階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為 2)(211)(TjTjjG(5.30) 它的幅頻特性和相頻特性為 22222212)()2()1 (1)(TTarctgTTA(5.31) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為 22222212)()2()1 (lg20)(TTarctgTTL(5.32) 由式(5.31)得 22221212)(TTarctgTTarctg(T1) (T1) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 所以有 180001)(jG(=0) (+) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-17 二階振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖 jY() 1 0 1 0.6 0.4X()0第五章 頻

20、率 響 應(yīng) 法 畫二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖時(shí)分析如下：在低頻段, 很小, T1, L()=-20lg (T)2=-40lg(T)dB。其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可用上述低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示, 如圖5-18的漸近線所示。 這兩條線相交處的交接頻率=1/T, 稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率。在交接頻率附近, 對(duì)數(shù)幅頻特性與漸近線存在一定的誤差, 其值取決于阻尼比的值, 阻尼比越小, 則誤差越大, 如表5-4所示。當(dāng)0.707時(shí), 在對(duì)數(shù)幅頻特性上出現(xiàn)峰值。根據(jù)表5 -5可繪制出不同阻尼比的相頻特性曲線。二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-18所示。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 表表 5-4 二

21、階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差差(dB)第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 表表 5-5 二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性曲線角度值二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性曲線角度值 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-18 二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖 20100102030400.1/T1/T10/T2004060801001201401601800.1/T1/T10/T0.10.20.30.50.71漸近線0.10.20.30.50.71L()/dB()/()第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 7. 遲后環(huán)節(jié)遲后環(huán)節(jié)遲后環(huán)節(jié)的頻率特性為 jejG)(5.33) 幅頻特性

22、和相頻特性為 )(1)(A(5.34) 可見, 其奈氏圖是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心, 半徑為1的圓。對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為 )(1)(L(5.35) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-19 遲后環(huán)節(jié)的奈氏圖 jY()1 0X()0第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-20 遲后環(huán)節(jié)的伯德圖 L()/dBL()000()/( )第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 5.3 控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的繪制控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的繪制 5.3.1 開環(huán)頻率特性奈氏圖的繪制開環(huán)頻率特性奈氏圖的繪制 以后我們將會(huì)看到, 在繪制奈氏圖時(shí)有時(shí)并不需要繪制得十分準(zhǔn)確, 而只需要繪出奈氏圖的大致形狀和幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置

23、就可以了。因此, 由以上典型環(huán)節(jié)奈氏圖的繪制, 大致可將奈氏圖的一般作圖方法歸納如下: (1) 寫出A()和()的表達(dá)式; (2) 分別求出=0和=+時(shí)的G(j); 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 (3) 求奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn), 交點(diǎn)可利用G(j)的虛部ImG(j)=0 的關(guān)系式求出, 也可利用G(j) = n180(其中n為整數(shù))求出; (4) 如果有必要, 可求奈氏圖與虛軸的交點(diǎn), 交點(diǎn)可利用G(j)的實(shí)部ReG(j)=0的關(guān)系式求出, 也可利用G(j) = n90(其中n為正整數(shù))求出; (5) 必要時(shí)畫出奈氏圖中間幾點(diǎn); (6) 勾畫出大致曲線。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例 5-1

24、試?yán)L制下列開環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏圖: ) 11 . 0)(1(10)(sssG解解 該環(huán)節(jié)開環(huán)頻率特性為 1 . 0)(,01. 01110)(22arctgarctgA=0, A() = 10, ()=0, 即奈氏圖的起點(diǎn)為(10, j0)；=+, A() = 0, ()=-180, 即奈氏圖的終點(diǎn)為(0,j0)。 顯然, 從0變化到+, A()單調(diào)遞減, 而()則從0到-180但不超過-180。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)可由()=0得到, 即為(10, j0); 奈氏圖與虛軸的交點(diǎn)可由()=270 (即-90)得到, 即 21 . 011 . 11 . 0arctgarc

25、tgarctg得1-0.12=0, 2=10, 則 87. 21001. 0110110)(A第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 故奈氏圖與虛軸的交點(diǎn)為(0, -j2.87)。 其奈氏圖如圖5-21所示。 用MATLAB繪制的奈氏圖如圖5-22所示。注意, 一般手繪的奈氏圖, 其頻率范圍是0+, 而MATLAB繪制奈氏圖時(shí), 則是從-+。 MATLAB繪制程序如下： nyquist(10, conv(1 1, 0.1 1) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-21 例 5-1 的奈氏圖 0jY()0j2.8710X( )第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-22MATLAB繪制例 5-1 的奈氏圖 Ny

26、quist Diagram505Imaginary Axis0246810Real Axis第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例 5-2 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1)(TsesGs試?yán)L制其奈氏圖。 解解 該傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性分別為 TarctgTA)(11)(22因此有=0, A()=1,()=0和=+, A()=0,()=-。即奈氏圖的起點(diǎn)為(1, j0),終點(diǎn)為(0, j0), 隨著的增大, 曲線距離原點(diǎn)越來越近, 相角越來越負(fù), 奈氏圖與實(shí)軸和虛軸有無窮多個(gè)交點(diǎn)。系統(tǒng)的奈氏圖如圖5 - 23所示。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-23 例 5-2 的奈氏圖 jY()X( )0

27、 01第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例 5-3 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 12)(1(1)(ssssG試?yán)L制其奈氏圖。 解解 該傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性分別為 290)(4111)(22arctgarctgA所以有=0+, A()=+, ()=-90-為正的很小量, 故起點(diǎn)在第象限; =+, A()=0, ()=-270+, 故在第象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 因?yàn)橄嘟菑?90變化到-270, 所以必有與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。 由()=-180得 180290arctgarctg即 arctgarctg 902 上式兩邊取正切, 得2=1/, 即=0.707, 此時(shí)A(

28、)=0.67。 因此, 奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)為(-0.67, j0)。 系統(tǒng)的奈氏圖如圖5-24所示。用MATLAB繪制(-1, j0)點(diǎn)附近的奈氏圖如圖5 - 25所示，其程序如下： nyquist(1, conv(conv(1 0, 1 1), 2 1) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例5-3 中系統(tǒng)型次即開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)=1, 若分別取=2, 3和4, 則根據(jù)積分環(huán)節(jié)的相角, 將圖5-24曲線分別繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90, 180和270即可得相應(yīng)的奈氏圖, 如圖5-26所示。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-24 例 5-3 的奈氏圖 jY()X( ) 00.67 0.707 0第五

29、章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-25MATLAB繪制例 5-3 的奈氏圖 Nyquist Diagram4321012342.521.510.50Real AxisImaginary Axis第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-26 =1, 2, 3, 4時(shí)的奈氏圖 jY()X( )v2v1v4v30第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例 5-4 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1)(1() 1()(21sTsTsTsKsG其中K=0.1, T=1, T1=0.2, T2=0.5。試?yán)L制系統(tǒng)的奈氏圖。 解解 該傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性分別為 2222212212225. 0104. 0111 . 0

30、111)(TTTKA第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性有: =0+, A()=+，()=-90+, 故奈氏圖起點(diǎn)在第象限;=+, A()=0, ()=-180+, 故系統(tǒng)奈氏圖在第象限趨向終點(diǎn)(0, j0)。 因?yàn)橄嘟欠秶鸀?0180, 所以必有與負(fù)虛軸的交點(diǎn)。由()=90 得-90+arctg-arctg0.2-arctg0.5=-90即arctg=arctg0.2+arctg0.5上式兩邊取正切, 得2=3, 即=1.732, 此時(shí)A()=0.0825。 所以, 奈氏圖與虛軸的交點(diǎn)為(0, -j0.0825)。系統(tǒng)奈氏圖如圖5-27所示。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法

31、圖 5-27 例 5-4 的奈氏圖 X( ) 0.0825 1.732jY() 00第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 5.3.2 開環(huán)頻率特性伯德圖的繪制開環(huán)頻率特性伯德圖的繪制控制系統(tǒng)一般總是由若干環(huán)節(jié)組成的, 設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s) 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 )()()()(21jGjGjGjGn或 )()(2)(1)()()()()(11njnjjjeAeAeAeA(5.36) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 則系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性為 )()()()()()()()(2121nnLLLL(5.37) 其中, Li()=20lgAi(), (i=1, 2, , n

32、)。 可見, 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別由各個(gè)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性相加得到。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例 5-5 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為 )101)(1 ()(ssKsG的零型系統(tǒng)的伯德圖。 解解 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為 10)()()()(1001lg201lg20lg20)()()()(32122321arctgarctgKLLLL第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-28 例 5-5 的伯德圖 L()/dBL1()20lgK0.120dB/dec1L3()0dB20dB40dBL2()L()40dB/dec1()2()3()()()/()0459013518

33、0102101100101102第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 實(shí)際上, 在熟悉了對(duì)數(shù)幅頻特性的性質(zhì)后, 不必先一一畫出各環(huán)節(jié)的特性, 然后相加, 而可以采用更簡便的方法。由上例可見, 零型系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線, 隨著的增加, 每遇到一個(gè)交接頻率, 對(duì)數(shù)幅頻特性就改變一次斜率。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例 5-6 設(shè)型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )1 ()(TssKsG試?yán)L制系統(tǒng)的伯德圖。 解解 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為 223211lg20lg20lg20)()()()(TKLLLLarctgT90)()()()(321不難看出, 此系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻

34、段斜率為20 dB/dec, 它(或者其延長線)在=1 處與L1()=20 lgK的水平線相交。 在交接頻率=1/T處, 幅頻特性的斜率由20 dB/dec 變?yōu)?0 dB/dec, 系統(tǒng)的伯德圖如圖5-29所示。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-29 例 5-6的伯德圖 1/TL()/dBL()20dB/decL1()20lgK0dB0.11L2()20dB40dBL3()40dB/dec045901351801()3()2()()()/()第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 通過以上分析, 可以看出系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性有如下特點(diǎn): 低頻段的斜率為20dB/dec, 為開環(huán)系統(tǒng)中所包含的串聯(lián)積分

35、環(huán)節(jié)的數(shù)目。低頻段(若存在小于1的交接頻率時(shí)則為其延長線)在1處的對(duì)數(shù)幅值為20lgK。在典型環(huán)節(jié)的交接頻率處, 對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率要發(fā)生變化, 變化的情況取決于典型環(huán)節(jié)的類型。如遇到G(s)(1+Ts)1的環(huán)節(jié), 交接頻率處斜率改變20dB/dec; 如遇二階振蕩環(huán)節(jié), 在交接頻率處斜率就要改變40dB/dec, 等等。 22211)(sTTssG第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 綜上所述, 可以將繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的步驟歸納如下: (1) 將開環(huán)頻率特性分解, 寫成典型環(huán)節(jié)相乘的形式; (2) 求出各典型環(huán)節(jié)的交接頻率, 將其從小到大排列為1, 2, 3, 并標(biāo)注在軸上; (3) 繪制低頻漸

36、近線(1左邊的部分), 這是一條斜率為-20 dB/dec的直線, 它或它的延長線應(yīng)通過(1, 20lgK)點(diǎn); (4) 隨著的增加, 每遇到一個(gè)典型環(huán)節(jié)的交接頻率, 就按上述方法改變一次斜率; (5) 必要時(shí)可利用漸近線和精確曲線的誤差表, 對(duì)交接頻率附近的曲線進(jìn)行修正, 以求得更精確的曲線。 對(duì)數(shù)相頻特性可以由各個(gè)典型環(huán)節(jié)的相頻特性相加而得, 也可以利用相頻特性函數(shù)() 直接計(jì)算。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例 5-7 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2)(2() 3(10)(2ssssssG試?yán)L制系統(tǒng)的伯德圖。 解解 將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下典型環(huán)節(jié)乘積形式:12122122121315

37、. 7)(22ssssssG第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 可見, 此系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)、一個(gè)慣性環(huán)節(jié)、一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)和一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)組成, 且1=1.414, 2=2, 3=3。 20lgK=20lg7. 5=17.5。阻尼比= 0.354。 在確定了各個(gè)環(huán)節(jié)的交接頻率和20 lgK的值以后, 可按下列步驟繪制系統(tǒng)的伯德圖: (1) 通過點(diǎn)(1, 17.5)畫一條斜率為20dB/dec的直線, 它就是低頻段的漸近線; (2) 在1=1.414處, 將漸近線的斜率從20dB/dec改為60 dB/dec, 這是考慮振蕩環(huán)節(jié)的作用; 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 (3) 由于一階慣性

38、環(huán)節(jié)的影響, 從2=2起, 漸近線斜率應(yīng)減少20dB/dec, 即從原來的60dB/dec變?yōu)?0dB/dec; (4) 在3= 3處, 漸近線的斜率改變20 dB/dec, 形成斜率為60dB/dec的線段, 這是由于一階微分環(huán)節(jié)的作用; (5) 根據(jù)相頻特性(), 求出若干點(diǎn)的相頻特性曲線角度值, 如表5-6所示, 將各點(diǎn)光滑連接, 可以繪制系統(tǒng)的相頻特性。 開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖如圖5-30所示(虛線為漸近線)。 繪制程序如下： bode(10 30, conv(conv(1 0, 1 2), 1 1 2) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 表表 5-6 例例5-7系統(tǒng)對(duì)數(shù)相頻特性曲線角度值系統(tǒng)對(duì)數(shù)

39、相頻特性曲線角度值 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-30 例 5-7 的伯德圖 L()/dB20dB/dec20lg7.50B/dec80dB/dec1231010060dB/dec90()/()135180225270()第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 5.3.3 最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng) 在以上幾個(gè)例子中, 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)都位于s平面的左半部, 這種傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù); 否則, 稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng), 稱為最小相位系統(tǒng); 而具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng), 則稱為非最小相位系統(tǒng)。對(duì)于幅頻特性相同的系統(tǒng), 最小相位系統(tǒng)

40、的相位遲后是最小的, 而非最小相位系統(tǒng)的相位遲后則必定大于前者。 當(dāng)單回路系統(tǒng)中只包含比例、積分、微分、慣性和振蕩環(huán)節(jié)時(shí), 系統(tǒng)一定是最小相位系統(tǒng)。如果在系統(tǒng)中存在遲后環(huán)節(jié)或者不穩(wěn)定的環(huán)節(jié)(包括不穩(wěn)定的內(nèi)環(huán)回路)時(shí), 系統(tǒng)就成為非最小相位系統(tǒng)。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 對(duì)于最小相位系統(tǒng), 對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在著唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性, 可以唯一地確定相應(yīng)的相頻特性和傳遞函數(shù), 反之亦然。但是, 對(duì)于非最小相位系統(tǒng), 就不存在上述的這種關(guān)系。 實(shí)用的大多數(shù)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng), 為了簡化工作量, 對(duì)于最小相位系統(tǒng)的伯德圖, 可以只畫幅頻特性。 例如有一最小相位系統(tǒng),

41、其頻率特性為 )0(11)(1221TTjTjTjG第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 另有一非最小相位系統(tǒng), 其頻率特性如下: 2111)(jTjTjG(T2T10) 從圖5-31不難看出, 這兩個(gè)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性是完全相同的, 而相頻特性卻根本不同。前一系統(tǒng)的相角1()變化范圍很小, 而后一系統(tǒng)的相角2()隨著角頻率的增加卻從0變到趨于-180。繪制程序如下： bode(1 1, 100 1) hold on bode(-1 1, 100 1) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-31 最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的伯德圖 L()/dB1/T21/T120dB/dec0102090()/()13

42、54501801()2()第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例 5-8 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為 1)(TsesGs的伯德圖。 解解 系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為 TarctgTA)(,11)(22 可見, 此系統(tǒng)的幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)相同, 而其相頻特性卻比慣性環(huán)節(jié)多了一項(xiàng)-。顯然, 它的遲后相角增加很快。開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖如圖5-32所示。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-32 例 5-8 的伯德圖 L()/dB1/ T20dB/dec0090180()/()第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 5.4 頻域穩(wěn)定性判據(jù)頻域穩(wěn)定性判據(jù) 5.4.1 映射定理映射定理 設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為 )()(

43、)()()(2121nmpspspszszszsKsFs為復(fù)變量, 以s復(fù)平面上的s+j表示。F(s)為復(fù)變函數(shù), 記F(s)U+jV。 (5.38) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 設(shè)對(duì)于s平面上除了有限奇點(diǎn)之外的任一點(diǎn)s, 復(fù)變函數(shù)F(s)為解析函數(shù), 那么, 對(duì)于s 平面上的每一解析點(diǎn), 在F(s)平面上必定有一個(gè)對(duì)應(yīng)的映射點(diǎn)。因此, 如果在s 平面畫一條封閉曲線, 并使其不通過F(s)的任一奇點(diǎn), 則在F(s)平面上必有一條對(duì)應(yīng)的映射曲線, 如圖5-33所示。若在s平面上的封閉曲線是沿著順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的, 則在F(s)平面上的映射曲線的運(yùn)動(dòng)方向可能是順時(shí)針的, 也可能是逆時(shí)針的, 這取決于

44、F(s)函數(shù)的特性。 我們感興趣的不是映射曲線的形狀, 而是它包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)和運(yùn)動(dòng)方向, 因?yàn)檫@兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 js1s2s30s平面F(s)平面jVF1(s)F2(s)F3(s)0U圖5-33 s平面與F(s)平面的映射關(guān)系第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 根據(jù)式(5.38), 復(fù)變函數(shù)F(s)的相角可表示為 njjmiipszssF11)()()(5.39) 假定在s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的一個(gè)零點(diǎn)z1, 而其他零極點(diǎn)都位于封閉曲線之外, 則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí), 向量(s z1)的相角變化-2 弧度, 而其他各相量

45、的相角變化為零。這意味著在F(s)平面上的映射曲線沿順時(shí)針方向圍繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周, 也就是向量F(s)的相角變化了-2弧度, 如圖5-34所示。若s平面上的封閉曲線包圍著F(s)的Z個(gè)零點(diǎn), 則在F(s)平面上的映射曲線將按順時(shí)針方向圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)Z周。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-34 封閉曲線包圍z1時(shí)的映射情況 js平面q2p2j1z1q1p10j2z2sjVF(s)0UF(s)平面第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 用類似分析方法可以推論, 若s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的P個(gè)極點(diǎn), 則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí), 在F(s)平面上的映射曲線將按逆時(shí)針方向圍繞著

46、原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。 綜上所述, 映射定理可以歸納如下: 映射定理映射定理 設(shè)s平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)F(s) 的P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn), 并且此曲線不經(jīng)過F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn), 則當(dāng)復(fù)變量s 沿封閉曲線順時(shí)針方向移動(dòng)時(shí), 在F(s)平面上的映射曲線按逆時(shí)針方向包圍坐標(biāo)原點(diǎn)P-Z周。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 5.4.2 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()()()()()()()()()()()()(1)()()(121212121212121nnnmnnmpspspssssssspspspszszszsKpspspspspspszszszsKsFsHsG)

47、()()()()()(2121nmpspspszszszsKsHsGmn 此系統(tǒng)的特征方程為 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-35 奈氏回線 js j j0C1RC2s平面第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 由上式可見, 復(fù)變函數(shù)F(s)的零點(diǎn)為系統(tǒng)特征方程的根(閉環(huán)極點(diǎn))s1、s2、sn, 而F(s)的極點(diǎn)則為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)p1、p2、 pn。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是, 特征方程的根, 即F(s)的零點(diǎn), 都位于s平面的左半部。 為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 需要檢驗(yàn)F(s)是否有位于s 平面右半部的零點(diǎn)。為此可以選擇一條包圍整個(gè)s平面右半部的按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的封閉曲線, 通常稱為奈奎斯特回

48、線, 簡稱奈氏回線, 如圖5-35所示。 奈氏回線由兩部分組成,一部分是沿著虛軸由下向上移動(dòng)的直線段C1, 在此線段上sj, 由變到；另一部分是半徑為無窮大的半圓C2。如此定義的封閉曲線肯定包圍了F(s)的位于s平面右半部的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)在s平面的右半部有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。根據(jù)映射定理, 當(dāng)s沿著s平面上的奈氏回線移動(dòng)一周時(shí), 在F(s)平面上的映射曲線CF=1G(s)H(s)將按逆時(shí)針方向圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N=PZ周。 由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是, F(s)在s平面右半部無零點(diǎn), 即Z0。 因此可得以下的穩(wěn)定判據(jù)。 第五章 頻 率 響 應(yīng)

49、法 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 如果在s平面上, s沿著奈氏回線順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí), 在F(s)平面上的映射曲線CF圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)N=P周, 則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有G(s)H(s)=F(s)-1 (5.41)這意味著F(s)的映射曲線CF圍繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況, 相當(dāng)于G(s)H(s)的封閉曲線CGH圍繞著(1, j0)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況, 如圖5-36所示。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-36 奈氏曲線映射在F(s)平面和G(s)H(s)平面上 jV(1，j0)F(s)平面0CFUjVG(s)H(s)平面(1, j0)0CGHU第五章 頻 率 響 應(yīng) 法

50、繪制映射曲線CGH的方法是: 令sj代入G(s)H(s), 得到開環(huán)頻率特性G(j)H(j),按前面介紹的方法畫出奈氏圖, 再畫出其對(duì)稱于實(shí)軸的、從0變到的那部分曲線。至于映射曲線上對(duì)應(yīng)于的部分, 由于在實(shí)際物理系統(tǒng)中mn, 當(dāng)nm時(shí)G(s)H(s)趨近于零, nm時(shí)G(s)H(s)為實(shí)常數(shù)。 因此, 只要繪制出從變化到 的開環(huán)頻率特性, 就構(gòu)成了完整的映射曲線CGH。 jReRslim第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 綜上所述, 可將奈氏判據(jù)表述如下: 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是, 當(dāng)從變化到時(shí), 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)按逆時(shí)針方向包圍(1, j0)點(diǎn)P周, P為位于s平面右半

51、部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。 顯然, 若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定, 即位于s 平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P0, 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是: 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)不包圍(1, j0)點(diǎn)。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例 5-9 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2)(1)(5 . 0()()(sssKsHsG試?yán)L制(1) K=5, (2) K=10時(shí)的奈氏圖, 并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 (1) 當(dāng)K=5時(shí), 開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為 25 . 0)(41125. 015)(222arctgarctgarctgA第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 從而有=0+時(shí), A()=5, ()=0; =+時(shí), A()=0,

52、 ()=-270+, 故奈氏圖在第象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。 因?yàn)橄嘟欠秶鸀?270, 所以必有與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。 當(dāng)=1.8時(shí), () =-177, A() =0.66; 當(dāng)=1.9時(shí), () =181, A() =0.59。 所以, 當(dāng)=1, 1.811.9時(shí), () =180, A() =A1, 0.59 A1 0.66, 因此與實(shí)軸的交點(diǎn)在(1, j0)點(diǎn)的右側(cè)。 奈氏圖如圖5-37所示。 因?yàn)閟平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P0, 且奈氏曲線不包圍(1, j0)點(diǎn), 即N = 0, 則ZPN =0, 所以系統(tǒng)穩(wěn)定。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 (2) 當(dāng)K=10時(shí), 奈氏圖形狀與(1)相同,

53、只是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心, 向外“膨脹”而已?！芭蛎洝钡谋稊?shù)為10/5=2, 故與實(shí)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在(0.592, 0.662)之間, 即交點(diǎn)在(1, j0)點(diǎn)的左側(cè)。 因?yàn)閟 平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P0, 且奈氏曲線順時(shí)針包圍(1, j0)點(diǎn)2次, 即N=2, 則ZPN=2, 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定, 有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s 平面右半部。 用MATLAB繪制的奈氏圖如圖 5-38 所示， 其程序如下： nyquist(5, conv(conv(1 0.5, 1 1), 1 2) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-37 例 5-9 的奈氏圖 jY()X()00(1，j0）第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5

54、-38 MATLAB繪制例 5-9 的奈氏圖 Nyquist Diagram3210123Imaginary AxisReal Axis1012345第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 5.4.3 虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)的奈氏判據(jù)虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)的奈氏判據(jù) 虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)的情況通常出現(xiàn)在系統(tǒng)中有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的時(shí)候, 即在s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)有開環(huán)極點(diǎn)。這時(shí)不能直接應(yīng)用圖5-35所示的奈氏回線, 因?yàn)橛成涠ɡ硪蟠嘶鼐€不經(jīng)過F(s)的奇點(diǎn)。 為了在這種情況下應(yīng)用奈氏判據(jù), 可以選擇圖5-39所示的奈氏回線, 它與圖5-35中奈氏回線的區(qū)別僅在于, 此回線經(jīng)過以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心, 以無窮小量為半徑的, 在s平面

55、右半部的小半圓, 繞過了開環(huán)極點(diǎn)所在的原點(diǎn)。當(dāng)0時(shí), 此小半圓的面積也趨近于零。因此, F(s)的位于s平面右半部的零點(diǎn)和極點(diǎn)均被此奈氏回線包圍在內(nèi)，而將位于坐標(biāo)原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)劃到了左半部。這樣處理是為了適應(yīng)奈氏判據(jù)的要求, 因?yàn)閼?yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)必須首先明確位于s平面右半部和左半部的開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-39 虛軸上有極點(diǎn)的奈氏回線jC2jC1R0jss平面第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 當(dāng)s沿著上述小半圓移動(dòng)時(shí), 有 jes0lim 當(dāng)從0-沿小半圓變到0+時(shí), s按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了180, G(s)H(s)在其平面上的映射為 jvjvvesvnvmeseeKsT

56、sTsTssssKsHsGjj00lim2121lim) 1() 1)(1() 1() 1)(1(| )()(為系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 由以上分析可見, 當(dāng)s沿著小半圓從=0-變化到=0+時(shí), 角從90經(jīng)0變化到90, 這時(shí)在G(s)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時(shí)針方向從90經(jīng)過 0 轉(zhuǎn)到90。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例 5-10 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2)(1(10)()(2ssssHsG的奈氏圖, 并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為 5 . 090)(,4110)(22arctgarctgA第五章 頻 率

57、 響 應(yīng) 法 從而有=0+時(shí), A()=, ()=-90-, 為正的很小量, 故起點(diǎn)在第象限; =+時(shí), A() =0, ()=-270+, 故在第象限趨向終點(diǎn)(0, j0)。 因?yàn)橄嘟欠秶鷱?0到270, 所以必有與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。由()=180得 1805 . 090arctgarctg即 arctgarctg 905 . 0上式兩邊取正切, 得0.5=1/, 即=1.414, 此時(shí)A()=1.67。 因此奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)為(1.67, j0)。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有一極點(diǎn)在s平面的原點(diǎn)處, 因此奈氏回線中半徑為無窮小量的半圓弧對(duì)應(yīng)的映射曲線是一個(gè)半徑為無窮大的圓弧: 第五章 頻 率 響 應(yīng)

58、法 : 0-0+; : 90 0 90; (): 90 0 90 奈氏圖如圖5-40所示。 因?yàn)閟 平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P0, 且奈氏曲線順時(shí)針包圍(1, j0)點(diǎn)2次, 即N=2, 則ZPN=2, 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定, 有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s 平面右半部。用MATLAB繪制(1, j0)點(diǎn)附近的奈氏圖如圖5-41所示， 其程序如下： nyquist(10, conv(conv(1 0, 1 1), 1 2) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-40 例 5-10 的奈氏圖 jY()01.671.414 0(1，j0)0X()第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-41 MATLAB繪制例 5-10 的

59、奈氏圖 Nyquist DiagramReal Axis432101234543210Imaginary Axis第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 例例 5-11 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2)(1(10)()(2ssssHsG的奈氏圖, 并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為 5 . 0180)(,4110)(22arctgarctgA從而有=0+時(shí), A()=, ()=-180-,為正的很小量, 故奈氏圖起點(diǎn)在第象限;=+時(shí),A()=0, ()=-360+, 故在第象限趨向終點(diǎn)(0, j0)。 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有2個(gè)極點(diǎn)在s 平面的原點(diǎn)處, 因此奈氏回線

60、中半徑為無窮小量的半圓弧對(duì)應(yīng)的映射曲線是一個(gè)半徑為無窮大的圓弧: :0-0+; : 90090; (): 180 0180奈氏圖如圖5-42所示。因?yàn)閟平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P0, 且奈氏曲線順時(shí)針包圍(1, j0)點(diǎn)2次, 即N=2, 則ZPN=2, 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定, 有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面右半部。用MATLAB繪制(1, j0)點(diǎn)附近的奈氏圖如圖5-43所示，其程序如下： nyquist(10, conv(conv(1 0 0, 1 1), 1 2) 第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-42 例 5-11 的奈氏圖 jY() 0(1，j0)0X()0第五章 頻 率 響 應(yīng) 法 圖 5-43