第13章非正弦周期電流電路和信號的頻譜

1、結束2022年7月5日星期二1第十三章 非正弦周期電流電路和信號的頻譜講授的主要內容1. 非正弦周期信號及其分解復習傅里葉級數(shù)；2. 非正弦周期信號的頻譜、平均值、有效值、平均功率的概念和計算；3. 非正弦周期信號穩(wěn)態(tài)電路的分析法諧波分析法 ；4. *對稱三相電路的高次諧波。5. 結束2022年7月5日星期二2基本要求了解周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)的方法和信號頻譜的概念。理解周期量的有效值、平均值的概念，掌握周期量有效值的計算方法。掌握非正弦周期電流電路的諧波分析法和平均功率的計算，了解濾波器的概念。重點非正弦周期電流電路的電流、電壓的有效值、平均值；非正弦周期電流電路的平均功率；非正弦周期電流

2、電路的計算方法(疊加定理、戴維寧定理和諾頓定理)。結束2022年7月5日星期二3 難點疊加定理在非正弦周期電流電路中的應用；非正弦周期電流電路功率的計算。本章與其它章節(jié)的聯(lián)系本章主要討論在非正弦周期電流、電壓信號的作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析和計算方法。非正弦周期信號可以分解為直流量和一系列不同頻率正弦量之和，每一信號單獨作用下的響應，與直流電路及交流電路的求解方法相同，再應用疊加定理求解，是前面內容的綜合。結束2022年7月5日星期二413-1 非正弦周期信號 實踐中會碰到許多非正弦信號，原因有1. 激勵本身是非正弦信號； 交流發(fā)電機的電壓嚴格地說是非正弦量，在電子信息、通信工程、自動控制、計

3、算機等技術領域中經(jīng)常用到非正弦信號。2. 電路中含有非線性元件 (如整流電路等)。 非正弦信號有周期性和非周期性之分。周期信號滿足 f(t) = f(t+kT) 當 f(t) 不是單一頻率的正弦波時，它就是非正弦周期信號。結束2022年7月5日星期二5實踐中常見的非正弦周期信號otuTotiT2T方波鋸齒波iotT尖頂脈沖otuT全波整流數(shù)字電路、計算機的CP等通過顯像管偏轉線圈的掃描電流晶閘管的觸發(fā)脈沖等橋式或全波整流電路的輸出波形結束2022年7月5日星期二6實踐中常見的非正弦周期信號（續(xù)）iot2TT尖頂波正弦電壓在鐵心線圈中產生的電流波形uot2TT三角波PWM調制器的時間基準信號波形

4、uot2TT半波整流otuT階梯波由數(shù)字電路或計算機產生的正弦信號半波結束2022年7月5日星期二713-2 周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)1. 非正弦周期函數(shù)的分解 根據(jù)高等數(shù)學知識：若非正弦周期信號 f(t) 滿足“狄里赫利條件”，就能展開成一個收斂的傅里葉級數(shù)。系數(shù)a0、 ak、 bk 分別為：f(t) = a0+akcos(kw1t) + bksin(kw1t)k=1a0=T10Tf(t) dtak=T20Tf(t) cos(kw1t) dtbk=T20Tf(t) sin(kw1t) dt結束2022年7月5日星期二8根據(jù)給定 f(t) 的形式，積分區(qū)間也可以改為：積分區(qū)間也可以是 02p

5、或 -pp ，例如：ak=p1f(t)cos(kw1t) d(w1t)-pp對 a0、bk也作同樣的處理。a0=T10Tf(t) dtak=T20Tf(t) cos(kw1t)dtbk=T20Tf(t) sin(kw1t) dt-2T2T02pak=p1f(t) cos(kw1t) d(w1t)結束2022年7月5日星期二9 展開式同時存在正弦項和余弦項，在進行不同信號的對比時不方便，而且數(shù)ak、bk的意義也不明確。 將展開式合并成另一種形式余弦級數(shù)： 令 ak= Akmcosfk bk= =-Akmsinfk 則 f(t) = A0+k=1Akmcos (kw1t +fk)式中：Akm=ak

6、2+ bk2fk = = arctgak -bkf(t) = a0+akcos(kw1t) + bksin(kw1t)k=1結束2022年7月5日星期二10 A0 是 f(t) 的恒定分量，或稱為直流分量。 k=1的項 Amcos(w1t +f1) 具有與 f(t) 相同的頻率，稱基波分量。 基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。 k2的各項，分別稱為二次，三次諧波等。 或統(tǒng)稱高次諧波。Akm=ak2+ bk2fk = arctgak -bkf(t) = A0+k=1Akmcos (kw1t +fk)結束2022年7月5日星期二112. 非正弦周期信號的頻譜 Ff(t)中各次諧波

7、的幅值和初相不同，對不同的f(t)，正弦波的頻率成份也不一定相同。為形象地反映各次諧波的頻率成份，以及各次諧波幅值和初相與頻率的關系，引入振幅頻譜和相位頻譜的概念。F振幅頻譜： f(t)展開式中Akm與w (=kw1)的關系。反映了各頻率成份的振幅所占的“比重”。F因k 是正整數(shù)，故頻譜圖是離散的，也稱線頻譜。F相位頻譜：指f k與w 的關系。f(t) = A0+k=1Akmcos (kw1t +fk)結束2022年7月5日星期二12鋸齒波的振幅頻譜圖F 今后若無說明，均指振幅頻譜。iotI-IT/2-T/2TowIkm/2w12w13w14w15w1I/pI/2pI/3pI/4pi(t) =

8、p2Icos(w1t-90o) +21cos(2w1t+90o) +31cos(3w1t-90o) +41cos(4w1t+90o) + 鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為結束2022年7月5日星期二133. 波形特征及其與級數(shù)分解的關系(1)若f(t)為“鏡”對稱 滿足 f(t) = - f(tT/2) 則a2k = b2k = 0 即展開式中無直流分量；不含偶次諧波。otf(t)T/2T移動半個周期，得另半個周期的鏡像知A0是f(t)在一個周期內與橫軸圍成的面積。所以即使f(t)不是“鏡”對稱，只要它的正、負半周與橫軸圍成的面積相等，就有A0=0。另外，對某些 f(t)，求A0時也可以不用積分。t

9、1A由A0 =T10Tf(t) dt結束2022年7月5日星期二14(2) 若f(t)是偶函數(shù) 即滿足 f(t)= f(-t) 則 bk= 0 。(3) 若f(t)是奇函數(shù) 即滿足 f(-t) = - f(t)outT/2-T/2iotTT2-T2則 ak= 0，只求bk即可：A0 =T20f(t) dtT2ak =T40f(t) cos(kw1t)dtT2bk =T40f(t) sin(kw1t)dtT2結束2022年7月5日星期二15(4) 若f(t)為半波對稱 即滿足f(t) = f(tT/2) 則a2k+1 = b2k+1 = 0 展開式中不含奇次諧波。 對某些f(t)，適當移動縱坐標

10、(另選一個計時起點)，就變?yōu)榕己瘮?shù)或奇函數(shù)。 Akm與計時起點無關，由于ak、bk與計時起點有關，所以fk與計時起點有關。 但各次諧波的相對位置不變。 也可以先移坐標軸，待求得系數(shù)后，再找到原函數(shù)的系數(shù)。otuT/2-T/2TT是整流電源周期結束2022年7月5日星期二16例1解：f(t)是奇函數(shù)， ak= 0所以只需求bk即可。結果見教材P320。otf(t)T/2-T/2Em-EmTw1t2pp-p求右圖方波的傅里葉級數(shù)展開式及頻譜。=0k 為偶數(shù)kp4Emk 為奇數(shù)若將坐標右移T/4ot1f1(t1)Em-Emw1tT4-T4p-p則新舊函數(shù)的關系為：f(t) = f1(t1)bk =p

11、20Em sin(kw1t)d(w1t)p=2Emkp1-cos(kp)= f1 t-4T結束2022年7月5日星期二17由對稱性可知： A0= 0， bk= 0。ot1f1(t1)Em-Emw1tT4-T4p-pk 為偶數(shù)，ak= 0 。k 為奇數(shù)，f1(t1) =或者：ak =p20Emcos(kw1t1)d(w1t1)p=p20Emcos(kw1t1)d(w1t1)p2p (-Em)cos(kw1t1)d(w1t1)p2+=kp 4Em sin2kp ak =kp 4Em (-1)2k-1p 4Em cos(w1t1)-31cos(3w1t1)+51cos(5w1t1) + + f1(t

12、1) =p 4Em Sk=1(-1) k-12k -1 1cos(2k-1)w1t1結束2022年7月5日星期二18若需要寫 f(t) 的展開式，f(t)4Emp4Em3p4Em5p4Em7powAkmw13w15w17w19w1頻譜圖= f1 t-4Tf(t) =p 4Em cos(w1t -4w1T) -31cos(3w1t -43w1T) + + 因 w1T= 2p 所以 w1T/4 = p/2f(t) =p 4Em sin(w1t) +31sin(3w1t) +51sin(5w1t) + 結束2022年7月5日星期二19理論上，一個收斂的傅里葉級數(shù)要取無窮多項，才能準確代表原函數(shù)。13

13、次， 1.05Em ；35次， 0.98Em 。ow1tf(t)分析時還應考慮頻率響應。如：在某個(些)頻率下可能發(fā)生諧振等。取前3項的情況f(t) =p 4Em sin(w1t) +31sin(3w1t) +51sin(5w1t) + 實用中，根據(jù)展開式的收斂速度和誤差要求取前幾項，高次諧波可以忽略。方波的展開式收斂速度比較慢：在w1t =p /2時，取到11次諧波，f(p /2) 0.95Em ；結束2022年7月5日星期二2013-3 有效值、平均值和平均功率1. 有效值 當給出的電流(或電壓)是波形或不是展開式時，用定義式直接計算。 為了找出有效值與各次諧波的關系，將展開式代入定義式積

14、分。I =T10Ti2(t)dtF 回憶三角函數(shù)的性質： sin、cos、sin2、cos2 在一個周期內的積分為0； 正交性質 (kq)T102pcoskwt sinqwt d(wt)=002pT1coskwt cosqwt d(wt)=002pT1sinkwt sinqwt d(wt)=0結束2022年7月5日星期二21設非正弦周期電流可以分解為傅里葉級數(shù)：i = I0 +Sk=1Ikm cos(kw1t +fk)i2 = I0 2+2I0 Sk=1Ikm cos(kw1t+fk) + k=1SIkm cos(kw1t +fk)2 Sk=1Ikmcos2(kw1t+fk) +2Sk=12I

15、kmcos(kw1t+fk) Iqmcos(qw1t+fq) 積分結果為零積分結果為零2cos2a =1+cos2a 該項的積分結果為：Sk=1Ik 2 第一項的積分結果為： T10TI0 dt=I0 22 該項可化為(kq)結束2022年7月5日星期二22非正弦周期電流的有效值與各分量的關系為 對非正弦周期電壓當給出的電流或電壓是展開的級數(shù)形式時，可分別用以上兩式計算。I0 +2 Sk=1Ik 2 I = 周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。F此結論可以推廣用于其他非正弦周期量。 I02+ I12+ I22+ I32+= U0 +2 Sk=1Uk 2 U =結束202

16、2年7月5日星期二232. 平均值 對同一非正弦量進行測量時，不同類型的儀表有不同的結果： UavdefT10T| i | dtUavot| i |T/2T直流儀表(磁電系儀表)表針的偏轉角所以測量結果T10Ti dta是恒定分量A0。交流儀表(電磁系儀表)表針的偏轉角所以測量結果T10Ti2 dta是有效值。全波整流(磁電系)儀表表針的偏轉角所以測量結果T10T| i | dta是平均值。結束2022年7月5日星期二243. 平均功率FUk 、Ik是第k次諧波的有效值。Fjk是第k次諧波電流與電壓的相位差。任意一端口+-uiP =T10Tui dtP = U0 I0 +k=1Uk Ikcos

17、jk設 i = I0 +Sk=1Ikm cos(kw1t+fik)u = U0+Sk=1Ukm cos(kw1t+fuk)因電流與電壓的參考方向關聯(lián)，故一端口吸收的瞬時功率為 p=ui。所以平均功率為積分結果為結束2022年7月5日星期二2513-4 非正弦電流電路的計算分解；計算；疊加。把給定電源的非正弦周期電流或電壓作傅里葉級數(shù)分解。利用直流和正弦交流電路的計算方法，對直流和各次諧波激勵分別計算其響應。 將以上計算結果轉換為瞬時值迭加。 注意交流各次諧波電路計算可應用相量法，迭加時必須用瞬時值；L、C 對直流分量、各次諧波分量的“態(tài)度”是不同的：XkL= kwLXkC=kwC1結束2022

18、年7月5日星期二26例2uS = 10+141.40cos(w1t)+47.13cos(3w1t) +28.28 cos(5w1t)+20.20 cos(7w1t) +15.71 cos(9w1t) + V, 試求 i 和P。 k = 0，因C有隔直作用所以I0 = 0，P0 = 0k = 1，基波作用 .Im(1)=3 - j9.45141.4 0o解：分析步驟分解；已是級數(shù)形式。分別求各分量單獨作用的結果； 注意感抗、容抗與頻率的關系！ =14.2672.39o AP(1)= I(1)2R =21Im(1)2R= 305.02WRC+-uSi3W-j9.45W結束2022年7月5日星期二2

19、7同理可求得：和 P(5)、P(7)、P(9)。用疊加原理，按時域形式疊加k = 3， XC(3)=31XC(1)=39.45=3.15W .Im(3) =3 - j3.1547.13 0o = 10.83 46.4o AP(3)= I(3)2R =21Im(3)2R = 175.93 W .Im(5) 、 .Im(7) 、 .Im(9)i = 14.26cos(w1t+72.39o)P = P0 + P(1) + P(3) + +P(9) 注意：同頻率的電壓電流構成有功功率。RC+-uSi3W-j9.45W72.39o A, .Im(1) = 14.26P(1)= 305.02W+10.83

20、cos(3w1t+46.4o)+ = 669.8W結束2022年7月5日星期二28例3：已知 L=0.1H，C3=1mF，電容C1中只有基波電流，電容C3中只有三次諧波電流，求C1、C2和各支路電流。 給定LC2C1C3iSi1i2i3200W100W解：C1中只有基波電流，說明 L和 C2對三次諧波 發(fā)生并聯(lián)諧振。所以： C2 =w2L1=910mFC3中只有三次諧波電流，說明 L、C1、C2jwC11+j(wL-1/ /wC2)L/C2= 0C1 =980mFiS=5+20cos1000t+10cos3000t A對基波發(fā)生串聯(lián)諧振。 所以：結束2022年7月5日星期二29例3：求C1、C

21、2和各支路電流。已知 L=0.1H，C3=1mFLC2C1C3iSi1i2i3200W100WiS=5+20cos1000t+10cos3000t A直流作用時 I1(0)=5A，I2(0)= I3(0)=0基波作用時串聯(lián)諧振 i2(1)=20cos1000t Ai1(1)= i3(1)= 0 三次諧波作用時 C1C3i1(3)i2(3)i3(3)200W100W并聯(lián)諧振iS(3)=10cos3000t .I3m(3) =100+200-j103/310010=9-j1030= 2.23 48o A .I1m(3)= .IS(3)- .I3m(3)=8.67 -11o A結束2022年7月5日

22、星期二30例3：求C1、C2和各支路電流。已知 L=0.1H，C3=1mFLC2C1C3iSi1i2i3200W100WiS=5+20cos1000t+10cos3000t A直流作用時 I1(0)=5A，I2(0)= I3(0)=0基波作用時 i2(1)=20cos1000t Ai1(1)= i3(1)= 0 三次諧波作用時的瞬時值i3(3)=2.23cos(3000t+48o)A i1(3)=8.67cos(3000t-11o)A 按時域形式疊加：i1=5+8.67cos(3000t-11o)Ai2=20cos1000t Ai3=2.23cos(3000t+48o)A .I3m(3) 三次

23、諧波作用時 = 2.23 48o A .I1m(3)=8.67 -11o A結束2022年7月5日星期二31* 13-5 對稱三相電路的高次諧波iowt三相發(fā)電機、變壓器、電動機等都帶有鐵心，所以由它們組成的對稱三相電路，其電壓、電流都可能含有高次諧波分量。根據(jù)對稱三相電源的概念，若A相電壓 uA=u(wt)則 uB=u(wt-120o)，由于三相發(fā)電機每相電壓或電流總是奇函數(shù)，uC=u(wt+120o)uowt所以傅里葉級數(shù)展開式中不含偶次諧波。結束2022年7月5日星期二32以電壓為例，若uA的展開式為：注意到三角函數(shù)的周期性， 上述三相電壓的展開式可以整理為uA =Um1cos(w1t+

24、f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7) + 則 uB、uC分別為：uB =Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t-360o+f3) +Um5cos(5w1t-600o+f5)+Um7cos(7w1t-840o+f7 )+ uC =Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+360o+f3) +Um5cos(5w1t+600o+f5)+Um7cos(7w1t+840o+f7 )+ 結束2022年7月5日星期二33uA =Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5) +Um7cos(7w1t+f7) + uB =Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3) +Um5cos(5w1t+120o+f5)+Um7cos(7w1t-120o+f7 ) + uC =Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3) +Um5cos(5w1t-120o+f5)+Um7cos(7w1t+120o+f7 )