東南大學(xué)計(jì)算力學(xué)習(xí)題講解

1、東南大學(xué)土木工程學(xué)院東南大學(xué)土木工程學(xué)院東南大學(xué)土木工程學(xué)院計(jì)算力學(xué)習(xí)題講解計(jì)算力學(xué)習(xí)題講解東南大學(xué)土木工程學(xué)院1，試述彈性力學(xué)中按位移求解與有限元單元法中按位移求解，試述彈性力學(xué)中按位移求解與有限元單元法中按位移求解之間的異同點(diǎn)。之間的異同點(diǎn)。東南大學(xué)土木工程學(xué)院1，試述彈性力學(xué)中按位移求解與有限元單元法中按位移求解，試述彈性力學(xué)中按位移求解與有限元單元法中按位移求解之間的異同點(diǎn)。之間的異同點(diǎn)。彈性力學(xué)有限單元法物理模型基本方程解法解答形式解答精度東南大學(xué)土木工程學(xué)院1，試述彈性力學(xué)中按位移求解與有限元單元法中按位移求解，試述彈性力學(xué)中按位移求解與有限元單元法中按位移求解之間的異同點(diǎn)。之間的

2、異同點(diǎn)。彈性力學(xué)有限單元法物理模型連續(xù)體基本方程幾何方程物理方程平衡微分方程解法解微分方程解答形式用函數(shù)表示解答精度精確解東南大學(xué)土木工程學(xué)院1，試述彈性力學(xué)中按位移求解與有限元單元法中按位移求解，試述彈性力學(xué)中按位移求解與有限元單元法中按位移求解之間的異同點(diǎn)。之間的異同點(diǎn)。彈性力學(xué)有限單元法物理模型連續(xù)體離散化結(jié)構(gòu)基本方程幾何方程物理方程平衡微分方程幾何方程物理方程結(jié)點(diǎn)平衡方程解法解微分方程解代數(shù)方程解答形式用函數(shù)表示用數(shù)值表示解答精度精確解近似解補(bǔ)充要點(diǎn)：彈性力學(xué)設(shè)定的位移函數(shù)力求反映整體結(jié)構(gòu)位移狀態(tài)，有限元的位移函數(shù)僅針對(duì)離散單元，但是需要驗(yàn)證位移函數(shù)的收斂性。東南大學(xué)土木工程學(xué)院2，以

3、位移為基本未知量的有限元法其解具有下限性質(zhì)，試證以位移為基本未知量的有限元法其解具有下限性質(zhì)，試證明之。明之。解：系統(tǒng)總位能的離散形式 12TTpaK aaP 求解的方程 KaP在平衡情況下，系統(tǒng)總位能等于負(fù)的應(yīng)變能。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般來(lái)說(shuō)總是與精確解有差別的。 1122TTTpaK aaK aaK aU 東南大學(xué)土木工程學(xué)院2，以位移為基本未知量的有限元法其解具有下限性質(zhì)，試證以位移為基本未知量的有限元法其解具有下限性質(zhì)，試證明之。明之。 minmaxminpppppUUUKaKaPUKaKaP 有限元解使得對(duì)應(yīng)的解就是真實(shí)解，有限元得到解一般都是近似解近似解：、 、真

4、實(shí)解：、 、根據(jù)最小勢(shì)能原理，得到的系統(tǒng)的總位能總會(huì)比真正的總位能要大，故 ppTTUUaKaaKa 即東南大學(xué)土木工程學(xué)院2，以位移為基本未知量的有限元法其解具有下限性質(zhì)，試證以位移為基本未知量的有限元法其解具有下限性質(zhì)，試證明之。明之。 TTaPaP故有限元解總體上不大于真實(shí)解，即解具有下限性質(zhì)單元原是連續(xù)體的一部分，具有無(wú)限多個(gè)單元原是連續(xù)體的一部分，具有無(wú)限多個(gè)自由度，在假定了單元的位移函數(shù)后，自自由度，在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為只有以結(jié)點(diǎn)位移表示的有限自由度限制為只有以結(jié)點(diǎn)位移表示的有限自由度，引入了更多的約束和限制，使得單由度，引入了更多的約束和限制，使得單元?jiǎng)偠容^實(shí)際

5、連續(xù)體加強(qiáng)了，連續(xù)體的整元?jiǎng)偠容^實(shí)際連續(xù)體加強(qiáng)了，連續(xù)體的整體剛度隨之增加，所以有限元解整體上較體剛度隨之增加，所以有限元解整體上較真實(shí)解偏小。真實(shí)解偏小。東南大學(xué)土木工程學(xué)院3，某平面結(jié)構(gòu)采用四結(jié)點(diǎn)矩形，某平面結(jié)構(gòu)采用四結(jié)點(diǎn)矩形單元和三結(jié)點(diǎn)三角形單元建立有單元和三結(jié)點(diǎn)三角形單元建立有限元計(jì)算模型，其如圖所示。試限元計(jì)算模型，其如圖所示。試求結(jié)點(diǎn)求結(jié)點(diǎn)2的等效荷載列陣的等效荷載列陣R2。q123475698ll平衡所用到的的量均要屬于節(jié)點(diǎn)的量，如單元位移、單元力。平衡所用到的的量均要屬于節(jié)點(diǎn)的量，如單元位移、單元力。載荷亦應(yīng)如此，必須將體積力、表面力轉(zhuǎn)化到節(jié)點(diǎn)上去，成載荷亦應(yīng)如此，必須將體積力

6、、表面力轉(zhuǎn)化到節(jié)點(diǎn)上去，成為等效荷載（載荷）。為等效荷載（載荷）。東南大學(xué)土木工程學(xué)院cSVepFFR把總等效荷載把總等效荷載 R e分解成體積力、表面力和集中力的等效荷分解成體積力、表面力和集中力的等效荷載之和，有載之和，有 FV 單元上體積力的等效荷載單元上體積力的等效荷載 FS 單元上表面力的等效荷載單元上表面力的等效荷載 pC 單元上節(jié)點(diǎn)上的集中力單元上節(jié)點(diǎn)上的集中力AVTVhdxdyqNF TSSlFNqhds 1、體積力的等效荷載、體積力的等效荷載 2、表面力的等效荷載、表面力的等效荷載東南大學(xué)土木工程學(xué)院3，某平面結(jié)構(gòu)采用四結(jié)點(diǎn)矩形，某平面結(jié)構(gòu)采用四結(jié)點(diǎn)矩形單元和三結(jié)點(diǎn)三角形單元

7、建立有單元和三結(jié)點(diǎn)三角形單元建立有限元計(jì)算模型，其如圖所示。試限元計(jì)算模型，其如圖所示。試求結(jié)點(diǎn)求結(jié)點(diǎn)2的等效荷載列陣的等效荷載列陣R2。q123475698ll可以使用線性單元的簡(jiǎn)化方法東南大學(xué)土木工程學(xué)院1245=1=11單元荷載作用在1-2邊上，故等效結(jié)點(diǎn)力只與1、2號(hào)結(jié)點(diǎn)有關(guān)，形函數(shù)1(1)N2N線性分布面力 0qq TSSlFNqhdsdsldq123475698ll東南大學(xué)土木工程學(xué)院1245=1=111在邊上11N 2N122203yylqlPN q dsqld220 xxlPN q dsq123475698ll東南大學(xué)土木工程學(xué)院236s22sNl單元形函數(shù)31sNl 60N

8、0sqsql 01000012000023301000TTTssllssqlllFNqdsdssssqlll故結(jié)點(diǎn)2的等效荷載列陣為2023Rql 東南大學(xué)土木工程學(xué)院4，圖中兩個(gè)三角形單元組成平行四邊形，已知單元按局部，圖中兩個(gè)三角形單元組成平行四邊形，已知單元按局部編碼編碼i , j , m 的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛻?yīng)力矩陣是的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛻?yīng)力矩陣是(1)806626166126413.597.5313.531.59.535.5K對(duì)稱(1)003030040301201.51.50.5 1.5S12iijmjm按圖中所示單元按圖中所示單元的局部的局部編碼寫(xiě)出單元?jiǎng)偠染仃嚭途幋a寫(xiě)出單元?jiǎng)偠染仃嚭蛻?yīng)

9、力矩陣。應(yīng)力矩陣。東南大學(xué)土木工程學(xué)院平面問(wèn)題的單元?jiǎng)偠染仃嚻矫鎲?wèn)題的單元?jiǎng)偠染仃噆不隨單元（或坐標(biāo)軸）的不隨單元（或坐標(biāo)軸）的平行移動(dòng)或作平行移動(dòng)或作n 角度（角度（n為整數(shù)）的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變。為整數(shù)）的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變。東南大學(xué)土木工程學(xué)院5，如圖所示，如圖所示8結(jié)點(diǎn)矩形單元（每邊中點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)），結(jié)點(diǎn)矩形單元（每邊中點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)），3點(diǎn)為坐點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，標(biāo)原點(diǎn)，a=b=2，單元厚度為，單元厚度為t。（1）求該單元的位移函數(shù)和形函數(shù)，并檢驗(yàn)其是否滿足收）求該單元的位移函數(shù)和形函數(shù)，并檢驗(yàn)其是否滿足收斂性條件。斂性條件。（2）求在）求在2-6-3邊作用均布水平荷載邊作用均布水平荷載q時(shí)的等效結(jié)點(diǎn)荷載。時(shí)的等效

10、結(jié)點(diǎn)荷載。qabyx15263748東南大學(xué)土木工程學(xué)院qabyx152637481xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4完全二次完全三次完全一次Pascal三角形2222123456782222910111213141516uxyxxyyx yxyvxyxxyyx yxy 東南大學(xué)土木工程學(xué)院2222123456782222910111213141516uxyxxyyx yxyvxyxxyyx yxy 東南大學(xué)土木工程學(xué)院12345678(1) 構(gòu)造角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：構(gòu)造角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：雙線性乘雙線性乘積積，暫時(shí)保證在，暫時(shí)保證在本節(jié)點(diǎn)本節(jié)點(diǎn)處為處為1,在其在其余

11、角余角節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)處為處為012340011(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)441(1)(1)(1,2,3,4)4iNNNNNi統(tǒng)一形式：課本內(nèi)容課本內(nèi)容東南大學(xué)土木工程學(xué)院(2) 構(gòu)造邊中節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：構(gòu)造邊中節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：某個(gè)方向的一次項(xiàng)與另某個(gè)方向的一次項(xiàng)與另一個(gè)方向的一個(gè)方向的Lagrange多項(xiàng)式的乘積多項(xiàng)式的乘積。保證在本節(jié)點(diǎn)處。保證在本節(jié)點(diǎn)處為為1,在在其余所有節(jié)點(diǎn)處其余所有節(jié)點(diǎn)處為為0，但在單元內(nèi)部不為，但在單元內(nèi)部不為0。若沒(méi)若沒(méi)有中心點(diǎn)有中心點(diǎn)(單元內(nèi)），由此構(gòu)造的插值函數(shù)為最終的結(jié)單元內(nèi)），由此構(gòu)造的插值函數(shù)為最終的結(jié)果。如有單元中心點(diǎn)，則需對(duì)邊中

12、節(jié)點(diǎn)修正果。如有單元中心點(diǎn)，則需對(duì)邊中節(jié)點(diǎn)修正2256227811(1)(1)(1)(1)2211(1)(1)(1)(1)22NNNN521(1)(1)(1)2(0 1)(0 1)1(1)(1)2N?課本內(nèi)容課本內(nèi)容東南大學(xué)土木工程學(xué)院(3) 使角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)在邊中點(diǎn)處等于使角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)在邊中點(diǎn)處等于0123456781234567812345678123456781.01.0123456781.00.50.51.01.01N5N8N1512NN1581122NNN課本內(nèi)容課本內(nèi)容東南大學(xué)土木工程學(xué)院123411114()(),4 ()()(1)222211114()(1)()(1),4

13、 ()()(1)2222NNNN 56784(1),4 (1)(1)4 (1)(1),4(1)NNNN qabyx15263748局部坐標(biāo),xyab東南大學(xué)土木工程學(xué)院qabyx15263748（2）荷載作用在2-3邊上，故等效結(jié)點(diǎn)力只與2、6、3號(hào)結(jié)點(diǎn)有關(guān)26311114 ()()(1),4 (1)(1),4()(1)()(1)2222NNN 0iN在邊上計(jì)算6323622241,4(1 2 ),430,02,22NNNxNNNybbxydsdd 東南大學(xué)土木工程學(xué)院1333016660122202,342,323xxsxxsxxsqtPt N q dsqt N dPt N q dsqt N

14、 dqtqtPt N q dsqt N dqabyx15263748東南大學(xué)土木工程學(xué)院6，如圖所示剛架，如圖所示剛架（1）如何進(jìn)行結(jié)點(diǎn)編號(hào)使整體剛度矩陣）如何進(jìn)行結(jié)點(diǎn)編號(hào)使整體剛度矩陣K的帶寬最??？的帶寬最?。浚?）剛架的整體剛度矩陣中）剛架的整體剛度矩陣中a結(jié)點(diǎn)的總體剛度矩陣結(jié)點(diǎn)的總體剛度矩陣Kaa和總和總體剛度矩陣體剛度矩陣Kbc各由哪些分塊矩陣疊加組成（自行確定單元各由哪些分塊矩陣疊加組成（自行確定單元局部坐標(biāo)方向）局部坐標(biāo)方向）abc東南大學(xué)土木工程學(xué)院（1）考慮每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度，半帶寬d=（相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值+1）*節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)故結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示可使單元內(nèi)結(jié)點(diǎn)編碼相差3，使得

15、帶寬d=12(按每節(jié)點(diǎn)3自由度假定）。abc2134758111096abc(1)(2)(3)(4)(6)(8)(5)(7)(10)(12)(11)(9)東南大學(xué)土木工程學(xué)院6，如圖所示剛架，如圖所示剛架（2）剛架的整體剛度矩陣中）剛架的整體剛度矩陣中a結(jié)點(diǎn)的總體剛度矩陣結(jié)點(diǎn)的總體剛度矩陣Kaa和總和總體剛度矩陣體剛度矩陣Kbc各由哪些分塊矩陣疊加組成（自行確定單元各由哪些分塊矩陣疊加組成（自行確定單元局部坐標(biāo)方向）局部坐標(biāo)方向）(2)(3)(4)(5)(6)2222111112,aabcKKKKKKK2134758111096abc(1)(2)(3)(4)(6)(8)(5)(7)(10)(1

16、2)(11)(9)東南大學(xué)土木工程學(xué)院7，對(duì)于圖中給出的四結(jié)點(diǎn)二次應(yīng)變一維等參單元，試確定：，對(duì)于圖中給出的四結(jié)點(diǎn)二次應(yīng)變一維等參單元，試確定：（a）形函數(shù)）形函數(shù)N1、N2、N3、N4；（b）單元?jiǎng)偠染仃嚕﹩卧獎(jiǎng)偠染仃噆。-1-1/21/211234s東南大學(xué)土木工程學(xué)院-1-1/21/211234s(a)由拉格朗日插值函數(shù)可知：2111()()(1)2122()(1)1134( 1)( 1)( 1 1)22N 2222341(1)()(1)412(1)()111132(1)()(1)2222111(1)()(1)(1)()()4121222(1)(),()(1)1111113234(1)(

17、)(1)(1 1)(1)(1)222222NNN 東南大學(xué)土木工程學(xué)院(b)一維問(wèn)題中，單元?jiǎng)偠染仃?111 TTkBD B J dEBB J d212223241(8121),64(31),34(31),31(8121)6NNNN 123124344,3xxNNNNJxx東南大學(xué)土木工程學(xué)院8，試?yán)米兘Y(jié)點(diǎn)數(shù)法構(gòu)造，試?yán)米兘Y(jié)點(diǎn)數(shù)法構(gòu)造插值函數(shù)，構(gòu)造出如圖所示插值函數(shù)，構(gòu)造出如圖所示的三次三角形單元的形函數(shù)的三次三角形單元的形函數(shù)及相應(yīng)的位移函數(shù)。及相應(yīng)的位移函數(shù)角形單元族插值函數(shù)構(gòu)造及變節(jié)點(diǎn)數(shù)法聯(lián)合運(yùn)用東南大學(xué)土木工程學(xué)院1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4

18、x3yx2y2xy3y4完全二次完全三次完全一次Pascal三角形149582106732232231234567891022322311121314151617181920uxyxxyyxx yxyyvxyxxyyxx yxyy東南大學(xué)土木工程學(xué)院（1）構(gòu)造不考慮邊結(jié)點(diǎn)和內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的角結(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：112233,NL NL NL（2）構(gòu)造不考慮內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的邊結(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：412251216233723281319133272272272(),(),(),232323272272272(),(),()232323NL LLNL LLNL LLNL LLNL LLNL LL（3）構(gòu)造內(nèi)部結(jié)點(diǎn)插值

19、函數(shù)：1231012327111(0)(0)(0)333L L LNL L L東南大學(xué)土木工程學(xué)院（4）修正邊中點(diǎn)的插值函數(shù)：44101221231211272279()(31)22322NNNL LLL L LL LL551012266102327710233881013399101311919(31),(31)22221919(31),(31)222219(31)22NNNL LLNNNL LLNNNL LLNNNL LLNNNL LL使邊中點(diǎn)的插值函數(shù)在內(nèi)部結(jié)點(diǎn)處等于使邊中點(diǎn)的插值函數(shù)在內(nèi)部結(jié)點(diǎn)處等于0是內(nèi)部結(jié)點(diǎn)代入到是內(nèi)部結(jié)點(diǎn)代入到初始邊結(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)中的值東南大學(xué)土木工程學(xué)院（5）修

20、正角結(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：14958210673114958101121131122133123111211()()333299(31)(31)3221991(31)(31)2732231(31)(32)2NNNNNNNLL LLL LLL LLL LLL L LLLL東南大學(xué)土木工程學(xué)院225647102122232121233123222211()()3332991991(31)(31)(31)(31)2732232231(31)(32)2NNNNNNNLL LLL LLL LLL LLL L LLLL337869103233133232131123333211()()3332991991(31

21、)(31)(31)(31)2732232231(31)(32)2NNNNNNNLL LLL LLL LLL LLL L LLLL東南大學(xué)土木工程學(xué)院J9SerendipityGauss，如需要對(duì)二維三次單元進(jìn)行精確積分，試討論所需的積分的階次（假定為常數(shù)）。解：插值函數(shù)N中的多項(xiàng)式階數(shù)為4，微分算子L中的導(dǎo)數(shù)的階次是1，被積函數(shù)非完全項(xiàng)最高次為6次，完全項(xiàng)的最高次為4次。三次1234567891011121xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4完全二次完全三次完全一次Pascal三角形東南大學(xué)土木工程學(xué)院 根據(jù)高斯積分精度可知，要使根據(jù)高斯積分精度可知，要使Q階被積函

22、數(shù)達(dá)成完全（精階被積函數(shù)達(dá)成完全（精確）積分，需要積確）積分，需要積 分點(diǎn)的數(shù)目分點(diǎn)的數(shù)目n為為:121,2QnQn 即需要高斯積分點(diǎn)6 13.52n 故積分點(diǎn)數(shù)目為44。如果是減縮積分呢？減縮積分不管一維、二維、三維，都采用減縮積分不管一維、二維、三維，都采用n=p-m+1來(lái)確定積分階次來(lái)確定積分階次33東南大學(xué)土木工程學(xué)院10，求圖示單元的結(jié)點(diǎn)等效荷載，求圖示單元的結(jié)點(diǎn)等效荷載yx12 (8,0)3 (8,4)4 (3,4)q=50014(1)(1),(1)NN0在上141,1NN 1414033,044NNNNxy 225xydsdd東南大學(xué)土木工程學(xué)院10，求圖示單元的結(jié)點(diǎn)等效荷載，求

23、圖示單元的結(jié)點(diǎn)等效荷載yx12 (8,0)3 (8,4)4 (3,4)q=500 0,500(1)TexysqqPNdsq12110144025002500 (1)325002500(1)6yysyysPN q dsdPN q dsd東南大學(xué)土木工程學(xué)院ximjilyiiwxjyjjwxmymmwxlyllw TeixiyilxlylTezixiyizlzlylwwFFMMFMM節(jié)點(diǎn)位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量11，論證矩形，論證矩形4結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)12自由度薄板單元是完備的非協(xié)調(diào)單元。自由度薄板單元是完備的非協(xié)調(diào)單元。東南大學(xué)土木工程學(xué)院 薄板彎曲時(shí)，只有薄板彎曲時(shí)，只有w(x,y)是薄板變形的未知基本函數(shù)，是薄板變形的未知基本函數(shù)，而其它量，如而其它量，如u,v等都是等都是w(x,y)的函數(shù)，故薄板矩形單的函數(shù)，故薄板矩形單元的位移函數(shù)的選擇實(shí)際就是元的位移函數(shù)的選擇實(shí)際就是w(x,y)的選取。注意單元的選取。注意單元有有12個(gè)自由度，則個(gè)自由度，則 另兩個(gè)轉(zhuǎn)角為：另兩個(gè)轉(zhuǎn)角為：22123456322333789101112( , ) w x yxyxxyyxx yxyyx yxy223235689101112222324578911122233(2323)xywxyxxy