[點(diǎn)到直線的距離 兩條平行直線間的距離]

1、12當(dāng)直線當(dāng)直線l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A=0A=0時(shí)：時(shí)：x xy yo oP P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )Q Q. .l ：By+C=0By+C=0， y=- y=- C CB B|y|y0 0-y-yQ Q|= |= |By|By0 0+C| +C| |B| |B| x xy yo oP P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )Q Q. .當(dāng)直線當(dāng)直線l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中B=0B=0時(shí)：時(shí)：l ：Ax+C=0Ax+C=0， x=- x=- C CA A|PQ|= |PQ|= C CB B= =y y0 0

2、+ + |x|x0 0-x-xQ Q|= |= |Ay|Ay0 0+C| +C| |A| |A| |PQ|= |PQ|= x x0 0+ + C CA A= =3當(dāng)直線當(dāng)直線l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0時(shí)：時(shí)：x xy yo olP P0 0(x(x0,y,y0) ). .d dQ QS SR R過過P P0 0分別作分別作x x軸和軸和y y軸的平行線，交直線軸的平行線，交直線l于點(diǎn)于點(diǎn)R R，S S4當(dāng)直線當(dāng)直線l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0時(shí)：時(shí)：x xy yo olP P0 0

3、(x(x0,y,y0) ). .d dQ QS SR R過過P P0 0分別作分別作x x軸和軸和y y軸的平行線，交直線軸的平行線，交直線l于點(diǎn)于點(diǎn)R R，S S則則P P0 0R R的方程為的方程為y=yy=y0 0， R R的坐標(biāo)為：的坐標(biāo)為： 則則P P0 0S S的方程為的方程為x=xx=x0 0， S S的坐標(biāo)為：的坐標(biāo)為： ) ) ByBy0 0+C +C A A- -，y y0 0 ( (AxAx0 0+C +C B B- -x x0 0 , ,) ) ( (5當(dāng)直線當(dāng)直線l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0時(shí)：時(shí)：x xy yo

4、 olP P0 0(x0,y0)(x0,y0). .d dQ QS SR R于是有：于是有：|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| |A|A|P|P0 0R|= R|= ByBy0 0+C +C A A- -x-x0 0 = =|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| |B|B|P|P0 0S|= S|= AyAy0 0+C +C B B- -y-y0 0 = =|RS|RS|= = |P|P0 0R|R|2 2+|P+|P0 0S|S|2 2 = =A A2 2+B+B2 2 |A|B|A|B|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| 6當(dāng)直線當(dāng)直線l 的方程的

5、方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0時(shí)：時(shí)：x xy yo olP P0 0(x0,y0)(x0,y0). .d dQ QS SR R設(shè)設(shè)|P|P0Q|=dQ|=d，由三角形面積公式可得：，由三角形面積公式可得：d d|RS|=|P|RS|=|P0 0R|R|P|P0 0S|S|于是得：于是得：= =A A2 2+B+B2 2 |Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| d=d=|P|P0 0R|R|P|P0 0S|S|RS|RS|7點(diǎn)點(diǎn)P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )到直線到直線l ：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距離公式：的

6、距離公式：d=d=A A2 2+B+B2 2 |Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| 當(dāng)直線方程中的當(dāng)直線方程中的A=0A=0時(shí)：時(shí)： |d|= |d|= |By|By0 0+C| +C| |B|B|當(dāng)直線方程中的當(dāng)直線方程中的B=0B=0時(shí)：時(shí)： |d|= |d|= |Ax|Ax0 0+C| +C| |A|A|8點(diǎn)點(diǎn)P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )到直線到直線l ：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距離公式：的距離公式：d=d=A A2 2+B+B2 2 |Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| 求點(diǎn)求點(diǎn)(-1(-1，2)2)到直線：到直線：3x=23

7、x=2的距離的距離? ? 解：解：d=d=3 32 2+0+02 2 |3|3(-1)-2| (-1)-2| = =5 53 39練習(xí)：求下列點(diǎn)到直線的距離：練習(xí)：求下列點(diǎn)到直線的距離：(1)A(-2(1)A(-2，3)3)，l：3x+4y+3=0 3x+4y+3=0 (3)C(1(3)C(1，-2)-2)，l： 4x+3y=0 4x+3y=0 (2)B(1(2)B(1，0)0)，l： 3x+y- 3=0 3x+y- 3=0 9 95 50 02 25 510例例1.1.已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(1A(1，3)3)，B(3B(3，1)1)，C(-1C(-1，0)0)，求，求ABCABC的面積的面積解：設(shè)

8、解：設(shè)ABAB邊上的高為邊上的高為h h， ABAB邊所在的直線方程：邊所在的直線方程： 點(diǎn)點(diǎn)C C到到x+y-4=0 x+y-4=0的距離：的距離： x xy yo o1 12 23 31 12 23 3-1-1A AB BC Ch h則：則：S SABCABC = = 1 12 2|AB|AB|h h |AB|= |AB|= (3-1)(3-1)2 2+(1-3)+(1-3)2 2 = = 2 ,2 ,2 2 y-3y-31-3 1-3 x-1x-13-1 3-1 = =, ,即即x+y-4=0 x+y-4=0。因此，因此，S SABC ABC = = 1 12 22 2 2 2 2 2

9、5 5=5=5h=h=|-1+0-4| |-1+0-4| 1 12 2+1+12 2= =2 2 5 511例例2(1)2(1)已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(-2A(-2，3)3)到直線到直線y=ax+1y=ax+1的距離為的距離為1 1，求，求a a的值的值(2)(2)已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(-2A(-2，3)3)到直線到直線y=-x+ay=-x+a的距離為的距離為1 1，求，求a a的值的值解：解： (1)(1)直線方程直線方程y=ax+1y=ax+1即即ax-y+1=0 ax-y+1=0 d= d= a a2 2+(-1)+(-1)2 2 |a|a(-2)+(-1)(-2)+(-1)3+13+1| | =1=

10、1a a2 2+1+1|-2a-2| |-2a-2| = =解出：解出：a= a= 3 3-4+-4+7 7或或 a= a= 3 3-4-4-7 7(2)(2)直線方程直線方程y=-x+ay=-x+a即即x+y-a=0 x+y-a=0 d= d= 1 12 2+1+12 2 |1|1(-2)+1(-2)+13-a3-a| | 2 2|1-a| |1-a| =1=1= =解出：解出：a= a= 1+1+7 7或或 a= a= 1-1-7 7122780 xy2760 xy例例3：求平行線：求平行線和和的距離的距離 思考思考8 8：這兩條平行直線間的距離是否為固定的？：這兩條平行直線間的距離是否為

11、固定的？如何求這兩條平行直線間的距離？可以選擇哪如何求這兩條平行直線間的距離？可以選擇哪個(gè)點(diǎn)？個(gè)點(diǎn)？變形變形解：在直線解：在直線2760 xy上任取上任取一點(diǎn)，例如一點(diǎn)，例如(3,0),P2780 xy22237081414 53.53532( 7)d 則則到直線到直線就是兩平行線間的距離因此就是兩平行線間的距離因此(3,0),P的距離的距離00,P x y思考思考9：是否可以在直線：是否可以在直線上取一般的點(diǎn)上取一般的點(diǎn)來求距離？來求距離？ 2780 xy 13求證：兩平行直線求證：兩平行直線 11:0,lAxByC22:0,lAxByC12( ,0)A BCC且的距離的距離 為為1222.CCdAB 評(píng)價(jià)反思，推廣到一般結(jié)論：評(píng)價(jià)反思，推廣到一般結(jié)論：14求下列兩條平行線間的距離：求下列兩條平行線間的距離：(1)2x+3y-8=0(1)2x+3y-8=0，2x+3y+18=0 2x+3y+18=0 (2)3x+4y=10(2)3x+4y=10，3x+4y=03x+4y=02 21313 2 2 15某市現(xiàn)有自市中心某市現(xiàn)有自市中心O通向正西和東北方向的通向正西和東北方向的兩條主要公路，為了解決交通擁擠問題，市政府兩條主要公路，為了解決交通擁擠問題，市政府決定修一條環(huán)城路，分別在通往正西和東北方向決定修一條