N-S方程相關(guān)知識(shí)

1、N-S方程相關(guān)知識(shí)方程相關(guān)知識(shí)李 曉 艷一、流體力學(xué)簡介 二、N-S方程的命名及應(yīng)用三、 N-S方程的基本內(nèi)容四、 N-S方程的求解一、流體力學(xué)簡介一、流體力學(xué)簡介l流體流體 流體是液體和氣體的總稱。 流體是由大量的、不斷地作熱運(yùn)動(dòng)而且無固定平衡位置的分子構(gòu)成的，它的基本特征是沒有一定的形狀和具有流動(dòng)性。流體都有一定的可壓縮性，液體可壓縮性很小，而氣體的可壓縮性較大，在流體的形狀改變時(shí)，流體各層之間也存在一定的運(yùn)動(dòng)阻力（即粘滯性）。當(dāng)流體的粘滯性和可壓縮性很小時(shí)，可近似看作是理想流體，它是人們?yōu)檠芯苛黧w的運(yùn)動(dòng)和狀態(tài)而引入的一個(gè)理想模型。一、流體力學(xué)簡介一、流體力學(xué)簡介l流體力學(xué)研究內(nèi)容流體力學(xué)

2、研究內(nèi)容 流體是氣體和液體的總稱。在人們的生活和生產(chǎn)活動(dòng)中隨時(shí)隨地都可遇到流體，所以流體力學(xué)是與人類日常生活和生產(chǎn)事業(yè)密切相關(guān)的。大氣和水是最常見的兩種流體，大氣包圍著整個(gè)地球，地球表面的70%是水面。大氣運(yùn)動(dòng)、海水運(yùn)動(dòng)(包括波浪、潮汐、中尺度渦旋、環(huán)流等)乃至地球深處熔漿的流動(dòng)都是流體力學(xué)的研究內(nèi)容。 一、流體力學(xué)簡介一、流體力學(xué)簡介l 描述流體的兩種方法描述流體的兩種方法歐拉法和拉格朗日法歐拉法和拉格朗日法 歐拉法歐拉法（euler method）是以流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)流場中各空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)即以流場作為描述對(duì)象研究流動(dòng)的方法。流場法 它不直接追究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，而是以充滿運(yùn)動(dòng)液體質(zhì)點(diǎn)的空間流場為對(duì)

3、象。研究各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在流場中的變化規(guī)律。將個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程置之不理，而固守于流場各空間點(diǎn)。通過觀察在流動(dòng)空間中的每一個(gè)空間點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間的變化，把足夠多的空間點(diǎn)綜合起來而得出的整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)情況。歐拉法研究的是當(dāng)流體流過某個(gè)空間（虛構(gòu)的空間）時(shí)，這個(gè)空間所包含的流體的狀態(tài)的變化。流體微團(tuán)可以流進(jìn)、流出這個(gè)假象的空間。一、流體力學(xué)簡介一、流體力學(xué)簡介歐拉法，其著眼點(diǎn)不是流體質(zhì)點(diǎn)，而是空間點(diǎn)，設(shè)法在空間中的每一點(diǎn)上描述出流體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的變化狀況。一、流體力學(xué)簡介一、流體力學(xué)簡介 拉格朗日法拉格朗日法：是以研究單個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程作為基礎(chǔ)，綜合所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)系法 它以

4、某一起始時(shí)刻每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置（a、b、c）作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。任何時(shí)刻任意質(zhì)點(diǎn)在空間的位置(x、y、z)都可以看成是（a、b、c和t的函數(shù)。拉格朗日法基本特點(diǎn)：追蹤流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。研究的是具體的流體微團(tuán)。當(dāng)流體在空間流動(dòng)時(shí)，我們?yōu)榱擞^察得到整個(gè)流場的情況，可以假設(shè)先跟蹤某一個(gè)流體微團(tuán)，那么這個(gè)微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是空間和時(shí)間的函數(shù)。推廣之，當(dāng)我們給空間的每一個(gè)流體微團(tuán)都確定一個(gè)函數(shù)時(shí)，這個(gè)流場的運(yùn)動(dòng)也就清楚了。因?yàn)榱鲌龅倪\(yùn)動(dòng)由流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)組成的。優(yōu)點(diǎn): 可直接運(yùn)用固體力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析，拉格朗日方法著眼于流體質(zhì)點(diǎn)。設(shè)法描述出每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始至終的運(yùn)動(dòng)過程，即它們的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律。如果知

5、道了所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，那么整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)狀況也就知道了。一、流體力學(xué)簡介一、流體力學(xué)簡介l 基于網(wǎng)格的歐拉法和基于粒子的拉格朗日法比較基于網(wǎng)格的歐拉法和基于粒子的拉格朗日法比較歐拉法將流體所占據(jù)的空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分，其研究的最小單元為每個(gè)網(wǎng)格上的固定點(diǎn)。流體的速度、壓強(qiáng)、密度等參數(shù)定義于固定點(diǎn)上并隨時(shí)間而變化，這些變化表現(xiàn)了流體的整體運(yùn)動(dòng)。拉格朗日法將流體視為由一系列微團(tuán)組成，其研究的最小單元為各個(gè)微團(tuán)。微團(tuán)也具有時(shí)變的速度、壓強(qiáng)和密度等參數(shù)，當(dāng)某一微團(tuán)轉(zhuǎn)到其他微團(tuán)時(shí)會(huì)發(fā)生參數(shù)變化，流體運(yùn)動(dòng)是通過這些參數(shù)變化來體現(xiàn)。歐拉法和拉格朗日法的參數(shù)變化都被描述流體物理運(yùn)動(dòng)規(guī)律的N-S(Navier

6、-Stokes)方程支配，兩者各有優(yōu)劣，人們通常將它們結(jié)合使用以獲得更真實(shí)的模擬效果。一、流體力學(xué)簡介一、流體力學(xué)簡介l流體力學(xué)基本假設(shè)流體力學(xué)基本假設(shè)基本假設(shè)以方程的形式表示。例如，在三維的不可壓縮流體中，質(zhì)量守恒的假設(shè)的方程如下：在任意封閉曲面（例如球體）中，由曲面進(jìn)入封閉曲面內(nèi)的質(zhì)量速率，需和由曲面離開封閉曲面內(nèi)的質(zhì)量速率相等。（換句話說，曲面內(nèi)的質(zhì)量為定值，曲面外的質(zhì)量也是定值）以上方程可以用曲面上的積分式表示。流體力學(xué)所有流體滿足以下假設(shè)：質(zhì)量守恒 動(dòng)量守恒 連續(xù)體假設(shè) 一、流體力學(xué)簡介一、流體力學(xué)簡介 在流體力學(xué)中常會(huì)假設(shè)流體是不可壓縮流體，也就是流體的密度為一定值。液體可以算是不

7、可壓縮流體，氣體則不是。有時(shí)也會(huì)假設(shè)流體的黏度為零，此時(shí)流體即為非粘性流體。氣體常常可視為非粘性流體。若流體黏度不為零，而且流體被容器包圍（如管子），則在邊界處流體的速度為零。一、流體力學(xué)簡介一、流體力學(xué)簡介l 理論分析步驟理論分析步驟理論分析是根據(jù)流體運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律如質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒等，利用數(shù)學(xué)分析的手段，研究流體的運(yùn)動(dòng)，解釋已知的現(xiàn)象，預(yù)測可能發(fā)生的結(jié)果。理論分析的步驟大致如下： 首先是建立“力學(xué)模型”，即針對(duì)實(shí)際流體的力學(xué)問題，分析其中的各種矛盾并抓住主要方面，對(duì)問題進(jìn)行簡化而建立反映問題本質(zhì)的“力學(xué)模型”。流體力學(xué)中最常用的基本模型有：連續(xù)介質(zhì)、牛頓流體、不可壓縮流體、理想

8、流體、平面流動(dòng)等。 其次是針對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，用數(shù)學(xué)語言將質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒等定律表達(dá)出來，從而得到連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程。此外，還要加上某些聯(lián)系流動(dòng)參量的關(guān)系式(例如狀態(tài)方程)，或者其他方程。這些方程合在一起稱為流體力學(xué)基本方程組。一、流體力學(xué)簡介一、流體力學(xué)簡介l 計(jì)算流體力學(xué)（計(jì)算流體力學(xué)（ Computational Fluid Dynamics，CFD ） 計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的簡稱。是利用數(shù)值方法通過計(jì)算機(jī)求解描述流體流動(dòng)的數(shù)學(xué)方程，獲得空間和時(shí)間離散位置處的數(shù)值解，揭示流動(dòng)的物理規(guī)律和研究流動(dòng)的物理特性的學(xué)科。是計(jì)算力學(xué)的一個(gè)分支。計(jì)算流體力學(xué)是為彌補(bǔ)理論分析方法的不

9、足而于20世紀(jì)60年代發(fā)展起來的，并相應(yīng)地形成了各種數(shù)值解法。主要是有限差分法和有限元法。流體力學(xué)運(yùn)動(dòng)偏微分方程有橢圓型、拋物型、雙曲型和混合型之分，計(jì)算流體力學(xué)很大程度上就是針對(duì)不同性質(zhì)的偏微分方程采用和發(fā)展了相應(yīng)的數(shù)值解法。 一、流體力學(xué)簡介一、流體力學(xué)簡介l計(jì)算流體力學(xué)計(jì)算流體力學(xué)（ Computational Fluid Dynamics，CFD ） CFD自20世紀(jì)60年代形成以來，一直在迅速發(fā)展。在數(shù)值方法、計(jì)算技術(shù)科學(xué)和工程需求發(fā)展的推動(dòng)下，現(xiàn)在發(fā)展得更快；應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，深入到所有與流動(dòng)有關(guān)的領(lǐng)域；從業(yè)人員不斷增加。 數(shù)學(xué)方程：質(zhì)量、動(dòng)量、能量和其他標(biāo)量的微分(或微分-積分)

10、組成的方程組。流體運(yùn)動(dòng)遵循質(zhì)量守恒、動(dòng)量方程和能量守恒。二、二、N-S方程的命名及應(yīng)用方程的命名及應(yīng)用l 命名命名 納維納維-斯托克斯方程斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），牛頓第二定律在不可壓縮粘性流動(dòng)中的表達(dá)式。簡稱N-S方程。此方程是法國力學(xué)家、工程師克勞德-路易納維(Claude-Louis Navier) 于1821年創(chuàng)立，經(jīng)英國物理學(xué)家喬治加布里埃爾斯托克斯（George Gabriel Stokes ）于1845年改進(jìn)而確定的。以兩個(gè)人的名字命名。是一組描述象液體和空氣這樣的流體物質(zhì)的方程。這些方程建立了流體的粒子動(dòng)量的改變率(加速度)和作用在液體內(nèi)部

11、的壓力的變化和耗散粘滯力(類似于摩擦力)以及引力之間的關(guān)系。 二、二、N-S方程的命名及應(yīng)用方程的命名及應(yīng)用l應(yīng)用應(yīng)用 在計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域中，N-S方程是最常用的物理模型，并且是流體力學(xué)中表達(dá)不可壓縮流體最全面的微分方程。它們可以用于建模天氣，洋流，管道中的水流，星系中恒星的運(yùn)動(dòng)，翼型周圍的氣流。還可以用于飛行器和車輛的設(shè)計(jì)，血液循環(huán)的研究，電站的設(shè)計(jì)，污染效應(yīng)的分析，等等。三、三、N-S方程基本內(nèi)容方程基本內(nèi)容l N-SN-S方程表示方程表示 在直角坐標(biāo)系中，其表示形式為： 方程(1)為不可壓縮流體的動(dòng)量方程保證動(dòng)量守恒，方程(2)為連續(xù)方程確保質(zhì)量守恒。u為速度，p為壓力，為流體的密度，

12、v是流體運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)，f為外力，“.”為矢量點(diǎn)積，微分算子（哈密頓算子） = 2為拉普拉斯算子。zyx/,/,/三、三、N-S方程基本內(nèi)容方程基本內(nèi)容 N-S方程反映了粘性流體（又稱真實(shí)流體）流動(dòng)的基本力學(xué)規(guī)律粘性流體（又稱真實(shí)流體）流動(dòng)的基本力學(xué)規(guī)律，在流體力學(xué)中有十分重要的意義。納維-斯托克斯方程依賴微分方程來描述流體的運(yùn)動(dòng)。這些方程，和代數(shù)方程不同，不尋求建立所研究的變量（譬如速度和壓力）的關(guān)系，而是建立這些量的變化率或通量之間的關(guān)系。用數(shù)學(xué)術(shù)語來講，這些變化率對(duì)應(yīng)于變量的導(dǎo)數(shù)。這樣，最簡單情況的0粘滯度的理想流體的納維-斯托克斯方程表明加速度（速度的導(dǎo)數(shù)，或者說變化率）是和內(nèi)部壓力的導(dǎo)

13、數(shù)成正比的。因?yàn)樗且粋€(gè)非線性偏微分方程，求解非常困難和復(fù)雜，目前只有在某些十分簡單的流動(dòng)問題上能求得精確解；但在有些情況下，可以簡化方程而得到近似解。例如當(dāng)雷諾數(shù)（表示作用于流體微團(tuán)的慣性力與粘性力之比，與粘性影響成反比）Re=1時(shí)，繞流物體邊界層外 ，粘性力遠(yuǎn)小于慣性力 ，方程中粘性項(xiàng)可以忽略，N-S方程簡化為理想流動(dòng)中的歐拉方程；而在邊界層內(nèi)，N-S方程又可簡化為邊界層方程，等等。在計(jì)算機(jī)問世和迅速發(fā)展以后，N-S方程的數(shù)值求解有了很大的發(fā)展。 三、三、N-S方程基本內(nèi)容方程基本內(nèi)容 為了解決實(shí)際工程問題，必須根據(jù)實(shí)際問題的物理特征對(duì) N-S方程進(jìn)行不同程度的簡化，建立各種近似的數(shù)學(xué)模型

14、和數(shù)學(xué)方程。廣泛采用的簡化近似方程有：線性位流方程、非線性位流方程、非線性歐拉方程、粘性邊界層方程、粘性薄層近似方程、拋物化N-S方程和完全N-S方程等。 線性位流方程：假設(shè)氣體無粘性，存在速度位對(duì)繞細(xì)長機(jī)身薄翼及其組合體的純亞音速和純超音速小迎角繞流，可以進(jìn)一步假設(shè)這類物體對(duì)流場產(chǎn)生小擾動(dòng)，因而可以將速度位方程線性化，從而給出線性位流方程。非線性位流方程：假設(shè)氣體無粘性，對(duì)含有弱激波的跨音速繞流問 題，即使在小擾動(dòng)假定下，也不能將方程線性化，但仍可假設(shè)存在速 度位，這時(shí)采用的方程為非線性位流方程。非線性歐拉方程：由L.歐拉建立的只假設(shè)氣體無粘性的方程。它比上面兩種方程更為精確。對(duì)于具有較強(qiáng)激

15、波或有分離渦面的流動(dòng)和其他一些復(fù)雜的問題，在求氣動(dòng)力時(shí)常采用這種方程。三、三、N-S方程基本內(nèi)容方程基本內(nèi)容邊界層方程：雷諾數(shù)(Re)很高的氣流繞過飛行器表面時(shí)，在物面很薄的流體層內(nèi)，粘性力的作用不可忽略，以小參數(shù)簡化N-S 方程而得到的一級(jí)近似方程稱為邊界層方程，它是德國流體力學(xué)家L.普朗特提出的，又稱普朗特邊界層方程。粘性薄層方程：仍假設(shè)粘性的影響主要集中在飛行器表面附近的薄層內(nèi)。但以為小參數(shù)簡化N-S方程時(shí)，準(zhǔn)確度比邊界層方程更高一階，這樣獲得的方程稱為粘性薄層近似方程。與邊界層方程比較，它適用的雷諾數(shù)范圍更大，且考慮了粘性、無粘性的相互干擾作用。拋物化的N-S方程：在N-S方程中略去一

16、切沿主流方向的二階粘性耗散項(xiàng)后所得到的方程。這樣獲得的方程組在數(shù)學(xué)性質(zhì)上是拋物型的，所以稱拋物化的N-S方程。三、三、N-S方程基本內(nèi)容方程基本內(nèi)容 N-S方程相當(dāng)復(fù)雜，在進(jìn)行有實(shí)際意義的工程問題計(jì)算時(shí)，要求有較大的機(jī)器存貯量和較長的計(jì)算機(jī)時(shí)，因此，這要求發(fā)展每秒數(shù)十億次運(yùn)算速度的高速大容量的電子計(jì)算機(jī)。為了解決機(jī)器不能滿足要求的矛盾，很多人提出對(duì)N-S方程進(jìn)行簡化。研究表明，當(dāng)雷諾數(shù)大于10時(shí)，對(duì)于大多數(shù)粘性繞流相對(duì)于物面其流向的粘性項(xiàng)不很重要，因而可把它從N-S方程中略去，使方程簡化，這種簡化的N-S方程已被成功地應(yīng)用到各種附體流及分離不很嚴(yán)重的流動(dòng)，成為數(shù)值求解N-S方程的一個(gè)重要手段。

17、 三、三、N-S方程基本內(nèi)容方程基本內(nèi)容l基本假設(shè) 在解釋納維-斯托克斯方程的細(xì)節(jié)之前，首先，必須對(duì)流體作幾個(gè)假設(shè)。第一個(gè)是流體是連續(xù)的。這強(qiáng)調(diào)它不包含形成內(nèi)部的空隙，例如，溶解的氣體的氣泡，而且它不包含霧狀粒子的聚合。另一個(gè)必要的假設(shè)是所有涉及到的場，全部是可微的，例如壓強(qiáng)，速度，密度，溫度，等等。 該方程從質(zhì)量，動(dòng)量和能量守恒的基本原理導(dǎo)出。對(duì)此，有時(shí)必須考慮一個(gè)有限的任意體積，稱為控制體積，在其上這些原理很容易應(yīng)用。該有限體積記為，而其表面記為 。該控制體積可以在空間中固定，也可能隨著流體運(yùn)動(dòng)。這會(huì)導(dǎo)致一些特殊的結(jié)果，我們將在下節(jié)看到。四、四、N-S方程的求解方程的求解l N-S方程簡化

18、成歐拉方程方程簡化成歐拉方程 由于流體的粘性效果在氣體動(dòng)畫中可以忽略，并且當(dāng)流體速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于聲速時(shí)，它的壓縮效果也可以忽略，所以采用簡化的N-S方程即不可壓非粘性形式的歐拉方程來表示煙霧的物理模型，表示如下： 不可壓縮非粘性形式的歐拉方程可以分為外力項(xiàng)、對(duì)流項(xiàng)和壓力投影項(xiàng)分別進(jìn)行求解。 四、四、N-S方程的求解方程的求解 對(duì)流是指沿著流體速度場的方向把一些量從一個(gè)區(qū)域傳輸?shù)搅硪粋€(gè)區(qū)域。速度對(duì)流即沿著速度本身的方向傳輸速度場。對(duì)流項(xiàng)求解在整個(gè)N-S方程求解中占很大比重，這一步經(jīng)常采用半拉格朗日方法進(jìn)行求解。半拉格朗日方法是歐拉法和拉格朗日方法的結(jié)合，歐拉法是基于網(wǎng)格的方法，拉格朗日法是基于粒子的

19、方法，半拉格朗日方法利用歐拉法的規(guī)則性和拉格朗日法的穩(wěn)定性，保證了求解對(duì)流項(xiàng)的簡單有效和任意時(shí)間步長穩(wěn)定。半拉格朗日法的核心思想是將每個(gè)網(wǎng)格單元看作是一個(gè)粒子，采用隨速度場回溯追蹤粒子的方法，而不是向前追蹤的方法，并需要根據(jù)周圍的點(diǎn)進(jìn)行雙線性插值，但是在插值過程中，大量的誤差導(dǎo)致了數(shù)值擴(kuò)散 。四、四、N-S方程的求解方程的求解l N-S方程求解思想：方程求解思想： 為了降低計(jì)算的復(fù)雜度，采用破開算子法，即通過狀態(tài)量變換來合成，定義算子如下：力F、對(duì)流A、投影P，那么整個(gè)求解過程變?yōu)椋篠=PoAoF 即先施加熱浮力，然后計(jì)算對(duì)流，最后計(jì)算壓強(qiáng)，對(duì)速度場進(jìn)行修正，每一步都穩(wěn)定，則整個(gè)計(jì)算也就穩(wěn)定。

20、用此方法可以求解各種物理量，例如速度場和溫度場等。 如果用w0、w1、w2、w3來表示各個(gè)計(jì)算階段的速度場，則整個(gè)求解過程為：其中，w0=u（x，t）w3=u（x，t+t）四、四、N-S方程的求解方程的求解如果將上面的過程公式化，則可以按如下過程具體求解： 首先，計(jì)算機(jī)熱浮力項(xiàng)fbuoy，假設(shè)一個(gè)時(shí)間步長內(nèi)整個(gè)場的作用力變化不大，則可以按下式施加熱浮力w1(x)=w0(x)+tfbuoy(x，t) 然后計(jì)算對(duì)流項(xiàng) (u)u，采用半拉格朗日方法進(jìn)行求解，即：w2(x)=w1(x-u(x,t)t)四、四、N-S方程的求解方程的求解 最后是就是投影項(xiàng)。首先w2(x),也就是當(dāng)前的速度場散度。這樣通過壓強(qiáng)泊松方程就可以求出壓力場，然后利用壓力場對(duì)速度進(jìn)行修正可以滿足速度場散度為w3(x)=0的質(zhì)量守恒條件。見下式： 2p= w2(x) w3(x)=w2(x)-p對(duì)于壓強(qiáng)泊松方程，如果采用中心差分顯示格式可以直接從一個(gè)時(shí)刻t計(jì)算出下一個(gè)時(shí)刻t+t的速度場，但是這個(gè)格式不穩(wěn)定，所以采用雅克比迭代來求解以保證穩(wěn)定性，其中上標(biāo)k表示第k次迭代，即：求解N-S方程流程圖四、四、N-S方程的求解方程的求解四、四、N-S方程的求解方程的求解 方程（3）第一項(xiàng)表示煙霧粒子的重力，z（0，0，1）表示垂直方向，在這里我們把煙霧粒子看作是無質(zhì)量的，所以 這一項(xiàng)為0，第二項(xiàng)表示溫差引起的浮力，第三項(xiàng)表示漩渦約