第一章數(shù)學(xué)建模與誤差分析-2011-07-21

1、科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)建模中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院高等工程數(shù)學(xué)高等工程數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模及其重要意義數(shù)學(xué)建模及其重要意義2數(shù)值方法與誤差分析數(shù)值方法與誤差分析3誤差的種類(lèi)及其來(lái)源誤差的種類(lèi)及其來(lái)源4算法的相對(duì)穩(wěn)定性算法的相對(duì)穩(wěn)定性* 85絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差6有效數(shù)字及其誤差的關(guān)系有效數(shù)字及其誤差的關(guān)系*7誤差的傳播與估計(jì)誤差的傳播與估計(jì) 1數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算第一章數(shù)學(xué)建模與誤差分析第一章數(shù)學(xué)建模與誤差分析1 數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算 數(shù)學(xué)是科學(xué)之母，科學(xué)技術(shù)離不開(kāi)數(shù)學(xué)，它通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是科學(xué)之母，科學(xué)技術(shù)離不開(kāi)數(shù)學(xué)，它通過(guò)建立數(shù)

2、學(xué)模型與數(shù)學(xué)產(chǎn)生緊密聯(lián)系。數(shù)學(xué)又以各種形式應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域。數(shù)學(xué)擅長(zhǎng)于處產(chǎn)生緊密聯(lián)系。數(shù)學(xué)又以各種形式應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域。數(shù)學(xué)擅長(zhǎng)于處理各種復(fù)雜的依賴關(guān)系，精細(xì)刻畫(huà)量的變化以及可能性的評(píng)估。它可以幫理各種復(fù)雜的依賴關(guān)系，精細(xì)刻畫(huà)量的變化以及可能性的評(píng)估。它可以幫助人們探討原因、量化過(guò)程、控制風(fēng)險(xiǎn)、優(yōu)化管理、合理預(yù)測(cè)助人們探討原因、量化過(guò)程、控制風(fēng)險(xiǎn)、優(yōu)化管理、合理預(yù)測(cè) 。 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算在工程技術(shù)中發(fā)揮著愈來(lái)愈大隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算在工程技術(shù)中發(fā)揮著愈來(lái)愈大的作用的作用, ,已成為繼科學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論研究之后已成為繼科學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論研究之后科學(xué)研究的第三種方法

3、科學(xué)研究的第三種方法。了解或了解或掌握科學(xué)計(jì)算的基本方法、數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和基本方法已成為科技人才必掌握科學(xué)計(jì)算的基本方法、數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和基本方法已成為科技人才必需的技能。因此，科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)建模的基本知識(shí)和方法是當(dāng)代大學(xué)生，需的技能。因此，科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)建模的基本知識(shí)和方法是當(dāng)代大學(xué)生，尤其是尤其是現(xiàn)代科技人才必備的數(shù)學(xué)素質(zhì)現(xiàn)代科技人才必備的數(shù)學(xué)素質(zhì)。 科學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算是指利用計(jì)算機(jī)來(lái)完成科學(xué)研究和工程技術(shù)中提出的數(shù)學(xué)問(wèn)是指利用計(jì)算機(jī)來(lái)完成科學(xué)研究和工程技術(shù)中提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題的計(jì)算，是一種使用計(jì)算機(jī)解釋和預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)中難以驗(yàn)證的、復(fù)雜現(xiàn)象的題的計(jì)算，是一種使用計(jì)算機(jī)解釋和預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)中難以驗(yàn)證的、復(fù)雜

4、現(xiàn)象的方法。科學(xué)計(jì)算是伴隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而迅速發(fā)展并獲得廣泛應(yīng)用的方法?？茖W(xué)計(jì)算是伴隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而迅速發(fā)展并獲得廣泛應(yīng)用的新興交叉學(xué)科，是數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)應(yīng)用于高科技領(lǐng)域的必不可少的紐帶和工新興交叉學(xué)科，是數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)應(yīng)用于高科技領(lǐng)域的必不可少的紐帶和工具。具。 2 數(shù)學(xué)建模過(guò)程及其重要意義數(shù)學(xué)建模過(guò)程及其重要意義1.2.1 數(shù)學(xué)建模過(guò)程數(shù)學(xué)建模過(guò)程實(shí)踐實(shí)踐理論理論實(shí)踐實(shí)踐演繹法演繹法數(shù)值法數(shù)值法解析解解析解數(shù)值解數(shù)值解求解方法求解方法現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)世世界界現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的信息現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的信息驗(yàn)證驗(yàn)證表述表述解釋解釋數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界 ？求解求解現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解

5、答現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解答1.2.2 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 模型應(yīng)用模型應(yīng)用模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ头治瞿Ｐ颓蠼饽Ｐ颓蠼饽Ｐ图僭O(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的模模型型假假設(shè)設(shè)形成一個(gè)比較清晰的數(shù)學(xué)問(wèn)題形成一個(gè)比較清晰的數(shù)學(xué)問(wèn)題掌握對(duì)象特征掌握對(duì)象特征搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息明確建模目的明確建模目的了解實(shí)際背景了解實(shí)際背景模模型型準(zhǔn)準(zhǔn)備備確保模型的合理性、適用性確保模型的合理性、適用性實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題模型應(yīng)用模型應(yīng)用模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿?/p>

6、型分析模型求解模型求解模型構(gòu)成模型構(gòu)成與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較如：結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、如：結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、 模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)盡量使用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具盡量使用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題1.2.3 數(shù)學(xué)建模意義數(shù)學(xué)建模意義在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地 在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)拓了許多新

7、的處女地?cái)?shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)拓了許多新的處女地 美國(guó)科學(xué)院一位院士總結(jié)了將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力過(guò)程中的成美國(guó)科學(xué)院一位院士總結(jié)了將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力過(guò)程中的成功和失敗，得出了功和失敗，得出了“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)術(shù)”的結(jié)論，認(rèn)為數(shù)學(xué)的結(jié)論，認(rèn)為數(shù)學(xué)“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對(duì)加強(qiáng)由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對(duì)加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力是有重要意義經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力是有重要意義”，而，而“計(jì)算和建模重新成為中心課題，計(jì)算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑”。 作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一

8、步，數(shù)學(xué)建模自然有著作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，數(shù)學(xué)建模自然有著與數(shù)學(xué)同樣悠久的歷史。進(jìn)入與數(shù)學(xué)同樣悠久的歷史。進(jìn)入2020世紀(jì)以來(lái)，隨著數(shù)學(xué)以空前的廣世紀(jì)以來(lái)，隨著數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域的滲透，以及計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與飛速發(fā)展，數(shù)度和深度向一切領(lǐng)域的滲透，以及計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模越來(lái)越受到人們的重視，數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實(shí)世界中有著重要學(xué)建模越來(lái)越受到人們的重視，數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實(shí)世界中有著重要意義。意義。 3 數(shù)值方法與誤差分析數(shù)值方法與誤差分析v 數(shù)值方法已成為科學(xué)研究的數(shù)值方法已成為科學(xué)研究的第三種基本手段第三種基本手段。所謂。所謂數(shù)值方法數(shù)值方法，是指，是指將所欲求解的數(shù)

9、學(xué)模型（數(shù)學(xué)問(wèn)題）簡(jiǎn)化成一系列算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，將所欲求解的數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)問(wèn)題）簡(jiǎn)化成一系列算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計(jì)算機(jī)上求出問(wèn)題的數(shù)值解，并對(duì)算法的收斂性和誤差進(jìn)行分析、以便在計(jì)算機(jī)上求出問(wèn)題的數(shù)值解，并對(duì)算法的收斂性和誤差進(jìn)行分析、計(jì)算。這里所說(shuō)的計(jì)算。這里所說(shuō)的“算法算法”，不只是單純的數(shù)學(xué)公式，而且是指由基本，不只是單純的數(shù)學(xué)公式，而且是指由基本的運(yùn)算和運(yùn)算順序的規(guī)定所組成的整個(gè)解題方案和步驟。一般可以通過(guò)的運(yùn)算和運(yùn)算順序的規(guī)定所組成的整個(gè)解題方案和步驟。一般可以通過(guò)框圖（流程圖）來(lái)較直觀地描述算法的全貌?？驁D（流程圖）來(lái)較直觀地描述算法的全貌。選定適合的算法選定適合的算法是整個(gè)

10、數(shù)值計(jì)算中非常重要的一環(huán)。例如，當(dāng)計(jì)是整個(gè)數(shù)值計(jì)算中非常重要的一環(huán)。例如，當(dāng)計(jì)算多項(xiàng)式算多項(xiàng)式0111)(aaxaxaxPnnnn的值時(shí)，的值時(shí)，(0,1, )iia x in再逐項(xiàng)相加，共需做再逐項(xiàng)相加，共需做2) 1() 1(21nnnn次乘法和次乘法和n次加法。次加法。 若直接計(jì)算若直接計(jì)算 時(shí)需做時(shí)需做5555次乘法和次乘法和1010次加法。次加法。10n 01221)()(axaxaxaxaxaxPnnn來(lái)計(jì)算時(shí)，只要做來(lái)計(jì)算時(shí)，只要做 n n 次乘法和次加法即可。次乘法和次加法即可。 對(duì)于小型問(wèn)題，對(duì)于小型問(wèn)題，計(jì)算的速度計(jì)算的速度和和占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存的多少占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存的多少似乎意

11、義不似乎意義不大。但對(duì)于復(fù)雜的大型問(wèn)題而言，卻是起著決定性作用。算法取得不大。但對(duì)于復(fù)雜的大型問(wèn)題而言，卻是起著決定性作用。算法取得不恰當(dāng)，不僅影響到計(jì)算的速度和效率，還會(huì)由于計(jì)算機(jī)計(jì)算的近似性恰當(dāng)，不僅影響到計(jì)算的速度和效率，還會(huì)由于計(jì)算機(jī)計(jì)算的近似性和誤差的傳播、積累直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度甚至直接影響到計(jì)算和誤差的傳播、積累直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度甚至直接影響到計(jì)算的成敗。不合適的算法會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差達(dá)到不能容許的地步，而使計(jì)的成敗。不合適的算法會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差達(dá)到不能容許的地步，而使計(jì)算最終失敗，這就是算最終失敗，這就是算法的數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題算法的數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題。若用著名秦九韶（我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)

12、家）算法，將多項(xiàng)式若用著名秦九韶（我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家）算法，將多項(xiàng)式 改成改成( )P x什么叫做誤差？誤差的種類(lèi)有哪些呢？什么叫做誤差？誤差的種類(lèi)有哪些呢？“過(guò)失誤差過(guò)失誤差”或或“疏疏忽誤差忽誤差”：算題者在算題者在工作中的粗心大意而工作中的粗心大意而產(chǎn)生的，例如筆誤以產(chǎn)生的，例如筆誤以及誤用公式等及誤用公式等 。它完。它完全是人為造成的，只全是人為造成的，只要工作中仔細(xì)、謹(jǐn)慎要工作中仔細(xì)、謹(jǐn)慎，是完全可以避免的，是完全可以避免的 數(shù)值計(jì)算誤差數(shù)值計(jì)算誤差 “非過(guò)失誤差非過(guò)失誤差”：在數(shù)在數(shù)值計(jì)算中這往往是無(wú)法值計(jì)算中這往往是無(wú)法避免的，例如近似值帶避免的，例如近似值帶來(lái)的誤差，模型誤差、來(lái)的

13、誤差，模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差和觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差和舍入誤差等。對(duì)于舍入誤差等。對(duì)于“非非過(guò)失誤差過(guò)失誤差”，應(yīng)該設(shè)法，應(yīng)該設(shè)法盡量降低其數(shù)值，尤其盡量降低其數(shù)值，尤其要控制住經(jīng)多次運(yùn)算后要控制住經(jīng)多次運(yùn)算后誤差的積累，以確保計(jì)誤差的積累，以確保計(jì)算結(jié)果的精度。算結(jié)果的精度。 數(shù)值計(jì)算過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)各種誤差，可分為兩大類(lèi)：數(shù)值計(jì)算過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)各種誤差，可分為兩大類(lèi)： 66219 97 0219 97 02121xxxx可用四種算式算出：可用四種算式算出：按上列四種算法計(jì)算按上列四種算法計(jì)算 值，其結(jié)果如下表值，其結(jié)果如下表1.3.11.3.1所示。所示。x27 51.42 17 12 1.4

14、166如果分別用近似值如果分別用近似值和和32 12 1x 例例1.3.1 計(jì)算計(jì)算下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的例算，可以看出近似值帶來(lái)的誤差與算法的選擇對(duì)計(jì)算下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的例算，可以看出近似值帶來(lái)的誤差與算法的選擇對(duì)計(jì)算結(jié)果精度所產(chǎn)生的巨大影響。結(jié)果精度所產(chǎn)生的巨大影響。序序號(hào)號(hào)算式算式 計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果 12134217/1227/56) 12(004096.0)52(6005233. 0)125(627099166667. 0616)121(005233. 0)125(6005020. 0)2912(6270991005076. 01971005046. 0237812 表表1.3.1v 由表由表

15、1.3.11.3.1可見(jiàn)，按不同算式和近似值計(jì)算出的結(jié)果各不相同，可見(jiàn)，按不同算式和近似值計(jì)算出的結(jié)果各不相同，有的甚至出現(xiàn)了負(fù)值，這真是差之毫厘，謬以千里。因此，在研究有的甚至出現(xiàn)了負(fù)值，這真是差之毫厘，謬以千里。因此，在研究算法的同時(shí)，還必須算法的同時(shí)，還必須正確掌握誤差的基本概念，誤差在近似值運(yùn)算正確掌握誤差的基本概念，誤差在近似值運(yùn)算中的傳播規(guī)律，誤差分析、估計(jì)的基本方法中的傳播規(guī)律，誤差分析、估計(jì)的基本方法和和算法的數(shù)值穩(wěn)定性概算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念念，否則，一個(gè)合理的算法也可能會(huì)得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果。，否則，一個(gè)合理的算法也可能會(huì)得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果。v 衡量一個(gè)算法的好壞時(shí)，衡量一個(gè)算

16、法的好壞時(shí)，計(jì)算時(shí)間的多少計(jì)算時(shí)間的多少是非常重要的一個(gè)標(biāo)是非常重要的一個(gè)標(biāo)志。由于實(shí)際的執(zhí)行時(shí)間依賴于計(jì)算機(jī)的性能，因此所謂算法所花志。由于實(shí)際的執(zhí)行時(shí)間依賴于計(jì)算機(jī)的性能，因此所謂算法所花時(shí)間是用它執(zhí)行的所有基本運(yùn)算，如算術(shù)運(yùn)算、比較運(yùn)算等的總次時(shí)間是用它執(zhí)行的所有基本運(yùn)算，如算術(shù)運(yùn)算、比較運(yùn)算等的總次數(shù)來(lái)衡量的。這樣時(shí)間與運(yùn)算的次數(shù)直接聯(lián)系起來(lái)了。當(dāng)然，即使數(shù)來(lái)衡量的。這樣時(shí)間與運(yùn)算的次數(shù)直接聯(lián)系起來(lái)了。當(dāng)然，即使用一個(gè)算法計(jì)算同一類(lèi)型的問(wèn)題時(shí)，由于各問(wèn)題的數(shù)據(jù)不同，計(jì)算用一個(gè)算法計(jì)算同一類(lèi)型的問(wèn)題時(shí)，由于各問(wèn)題的數(shù)據(jù)不同，計(jì)算快慢也會(huì)不同，一般是用快慢也會(huì)不同，一般是用最壞情況下所花的

17、時(shí)間最壞情況下所花的時(shí)間來(lái)作討論。來(lái)作討論。 4 誤差的種類(lèi)及其來(lái)源誤差的種類(lèi)及其來(lái)源 非過(guò)失誤差非過(guò)失誤差 數(shù)值計(jì)算中，數(shù)值計(jì)算中，除了可以避免的過(guò)失誤差外，除了可以避免的過(guò)失誤差外，還有不少來(lái)源不同而又無(wú)法避免的還有不少來(lái)源不同而又無(wú)法避免的非過(guò)失誤差存在于數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，非過(guò)失誤差存在于數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，主要有如下幾種主要有如下幾種 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差 模型誤差模型誤差 舍入誤差舍入誤差 1.4.2 1.4.2 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差 在建模和具體運(yùn)算過(guò)程中所用到的一些初始數(shù)據(jù)往往都是通過(guò)人在建模和具體運(yùn)算過(guò)程中所用到的一些初始數(shù)據(jù)往往都是通過(guò)人們實(shí)際觀察、測(cè)量得來(lái)的，由于受到所用

18、觀測(cè)儀器、設(shè)備精度們實(shí)際觀察、測(cè)量得來(lái)的，由于受到所用觀測(cè)儀器、設(shè)備精度 的限的限制，這些測(cè)得的數(shù)據(jù)都只能是近似的，即存在著誤差，這種誤差稱(chēng)為制，這些測(cè)得的數(shù)據(jù)都只能是近似的，即存在著誤差，這種誤差稱(chēng)為“觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差”或或“初值誤差初值誤差”。 1.4.3 1.4.3 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 在不少數(shù)值運(yùn)算中常遇到超越計(jì)算，如微分、積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)求在不少數(shù)值運(yùn)算中常遇到超越計(jì)算，如微分、積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)求和等，它們須用極限或無(wú)窮過(guò)程來(lái)求得。然而計(jì)算機(jī)卻只能完成有限和等，它們須用極限或無(wú)窮過(guò)程來(lái)求得。然而計(jì)算機(jī)卻只能完成有限次算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，因此需將解題過(guò)程化為一系列有限的算術(shù)運(yùn)次算術(shù)運(yùn)算和邏輯

19、運(yùn)算，因此需將解題過(guò)程化為一系列有限的算術(shù)運(yùn)1.4.1 1.4.1 模型誤差模型誤差 在建模（建立數(shù)學(xué)模型）過(guò)程中，欲將復(fù)雜的物理現(xiàn)象抽象、歸在建模（建立數(shù)學(xué)模型）過(guò)程中，欲將復(fù)雜的物理現(xiàn)象抽象、歸納為數(shù)學(xué)模型，往往只得忽略一些次要因素的影響，而對(duì)問(wèn)題作某些納為數(shù)學(xué)模型，往往只得忽略一些次要因素的影響，而對(duì)問(wèn)題作某些必要的簡(jiǎn)化。這樣建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型實(shí)際上必定只是所研究的復(fù)雜必要的簡(jiǎn)化。這樣建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型實(shí)際上必定只是所研究的復(fù)雜客觀現(xiàn)象的一種近似的描述，它與真正客觀存在的實(shí)際問(wèn)題之間有一客觀現(xiàn)象的一種近似的描述，它與真正客觀存在的實(shí)際問(wèn)題之間有一定的差別，這種誤差稱(chēng)為定的差別，這種誤差稱(chēng)

20、為“模型誤差模型誤差”。 算和邏輯運(yùn)算。這樣就要對(duì)某種無(wú)窮過(guò)程進(jìn)行算和邏輯運(yùn)算。這樣就要對(duì)某種無(wú)窮過(guò)程進(jìn)行“截?cái)嘟財(cái)唷?，即僅保無(wú)窮過(guò)，即僅保無(wú)窮過(guò)程的前段有限序列而舍棄它的后段。這就帶來(lái)了誤差，稱(chēng)它為程的前段有限序列而舍棄它的后段。這就帶來(lái)了誤差，稱(chēng)它為“截?cái)嗾`截?cái)嗾`差差”或或“方法誤差方法誤差”。357sin3!5!7!xxxxx (1.4.1)(1.4.1)234ln(1)( 11)234xxxxxx (1.4.2) (1.4.2)若取級(jí)數(shù)的起始若干項(xiàng)的部分和作為函數(shù)值的近似，例如取若取級(jí)數(shù)的起始若干項(xiàng)的部分和作為函數(shù)值的近似，例如取35sin3!5!xxxx (1.4.3)(1.4.3)

21、例如，函數(shù)例如，函數(shù) 和和 可分別展開(kāi)為如下的無(wú)窮冪級(jí)數(shù)：可分別展開(kāi)為如下的無(wú)窮冪級(jí)數(shù)：sin xln(1)x 則由于它們的第四項(xiàng)和以后各項(xiàng)都舍棄了，自然產(chǎn)生了誤差。這就是則由于它們的第四項(xiàng)和以后各項(xiàng)都舍棄了，自然產(chǎn)生了誤差。這就是由于截?cái)嗔藷o(wú)窮級(jí)數(shù)自第四項(xiàng)起的后段的產(chǎn)生的截?cái)嗾`差。由于截?cái)嗔藷o(wú)窮級(jí)數(shù)自第四項(xiàng)起的后段的產(chǎn)生的截?cái)嗾`差。(1.4.3)(1.4.3)和和(1.4.4)(1.4.4)的截?cái)嗾`差是很容易估算的，因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的截?cái)嗾`差是很容易估算的，因?yàn)閮缂?jí)數(shù)(1.4.1)(1.4.1)和和(1.4.2)(1.4.2) 都是都是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，當(dāng)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，當(dāng) 時(shí)的各項(xiàng)的絕對(duì)值又都是遞減的，因此，

22、這時(shí)它們的截時(shí)的各項(xiàng)的絕對(duì)值又都是遞減的，因此，這時(shí)它們的截?cái)嗾`差斷誤差 可分別估計(jì)為：可分別估計(jì)為： 23ln(1)23xxxx(1.4.4)(1.4.4) 4R x74( )7!xxR 444xxR1.4.4 1.4.4 舍入誤差舍入誤差 在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中還會(huì)用到一些無(wú)窮小數(shù)，例如無(wú)理數(shù)和有理數(shù)在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中還會(huì)用到一些無(wú)窮小數(shù)，例如無(wú)理數(shù)和有理數(shù)中某些分?jǐn)?shù)化出的無(wú)限循環(huán)小數(shù)，如中某些分?jǐn)?shù)化出的無(wú)限循環(huán)小數(shù)，如 和和1x 3.1415926521.41421356110.1666663!6 由于受計(jì)算機(jī)機(jī)器字長(zhǎng)的限制，它所能表示的數(shù)據(jù)只能有有限位數(shù)，由于受計(jì)算機(jī)機(jī)器字長(zhǎng)的限制，它所能表示

23、的數(shù)據(jù)只能有有限位數(shù)，這時(shí)就需把數(shù)據(jù)按四舍五入舍入成一定位數(shù)的近似的有理數(shù)來(lái)代替。這時(shí)就需把數(shù)據(jù)按四舍五入舍入成一定位數(shù)的近似的有理數(shù)來(lái)代替。由此引起的誤差稱(chēng)為由此引起的誤差稱(chēng)為“舍入誤差舍入誤差”或或“湊整誤差湊整誤差”。 綜上所述，綜上所述，數(shù)值計(jì)算中除了可以完全避免的過(guò)失誤差外，還存在數(shù)值計(jì)算中除了可以完全避免的過(guò)失誤差外，還存在難以避免的難以避免的模型誤差模型誤差、觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差和和舍入誤差舍入誤差。數(shù)學(xué)模型一數(shù)學(xué)模型一旦建立，進(jìn)入具體計(jì)算時(shí)所要考慮和分析的就是旦建立，進(jìn)入具體計(jì)算時(shí)所要考慮和分析的就是截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差和和舍入誤差舍入誤差了。在計(jì)算機(jī)上經(jīng)過(guò)千百次運(yùn)算

24、后所積累起來(lái)的總誤差不容忽視，有了。在計(jì)算機(jī)上經(jīng)過(guò)千百次運(yùn)算后所積累起來(lái)的總誤差不容忽視，有時(shí)可能會(huì)大得驚人，甚至到達(dá)時(shí)可能會(huì)大得驚人，甚至到達(dá)“淹沒(méi)淹沒(méi)”所欲求解的真值的地步，而使所欲求解的真值的地步，而使計(jì)算結(jié)果失去根本的意義。因此，在討論算法時(shí)，有必要對(duì)其截?cái)嗾`計(jì)算結(jié)果失去根本的意義。因此，在討論算法時(shí)，有必要對(duì)其截?cái)嗾`差的估算和舍入誤差的控制作適當(dāng)?shù)姆治?。差的估算和舍入誤差的控制作適當(dāng)?shù)姆治觥? 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差1.5.1 絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限x*xx定義定義1.5.11.5.1 設(shè)某一個(gè)準(zhǔn)確值（稱(chēng)為真值）為設(shè)某一個(gè)準(zhǔn)確值（稱(chēng)為真值）為，則，則與

25、與的差的差*( ) xx x （1.5.11.5.1）*x( )0 x稱(chēng)為近似值稱(chēng)為近似值的的“絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差”，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)“誤差誤差”。當(dāng)。當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為虧近時(shí)，稱(chēng)為虧近似值或弱近似值，反之則稱(chēng)為盈近似值或強(qiáng)近似值。似值或弱近似值，反之則稱(chēng)為盈近似值或強(qiáng)近似值。 ( )x由于真值往往是未知或無(wú)法知道的，因此，由于真值往往是未知或無(wú)法知道的，因此，就無(wú)法求出。就無(wú)法求出。但一般可估計(jì)此絕對(duì)誤差的上限，也即可以求出一個(gè)正值但一般可估計(jì)此絕對(duì)誤差的上限，也即可以求出一個(gè)正值 ，使使的準(zhǔn)確值（真值）的準(zhǔn)確值（真值）也也( )*xxx （1.5.21.5.2）*x稱(chēng)為近似值稱(chēng)為近似值的的“絕對(duì)誤差限絕對(duì)

26、誤差限”，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)“誤差限誤差限”，或稱(chēng)，或稱(chēng)“精度精度”。有時(shí)也用。有時(shí)也用 *x來(lái)表示（來(lái)表示（1.5.21.5.2）式，這時(shí)等式右端的兩個(gè)數(shù)值）式，這時(shí)等式右端的兩個(gè)數(shù)值和和代表了代表了在范在范圍的上、下限。圍的上、下限。越小，表示該近似值越小，表示該近似值的精度越高。的精度越高。，其近似值為其近似值為*x*xx（1.5.31.5.3）*x*xx所所例例1.5.1 1.5.1 用有毫米刻度的尺測(cè)量不超過(guò)一米的長(zhǎng)度。讀數(shù)方法如下：用有毫米刻度的尺測(cè)量不超過(guò)一米的長(zhǎng)度。讀數(shù)方法如下： 如長(zhǎng)度接近于毫米刻度，就讀出該刻度數(shù)作為長(zhǎng)度的近似值。顯如長(zhǎng)度接近于毫米刻度，就讀出該刻度數(shù)作為長(zhǎng)度的近似

27、值。顯然，這個(gè)近似值的絕對(duì)誤差限就是半個(gè)毫米，則有然，這個(gè)近似值的絕對(duì)誤差限就是半個(gè)毫米，則有*1( )()2lll毫米如果讀出的長(zhǎng)度是如果讀出的長(zhǎng)度是513513毫米，則有毫米，則有5130.5l 這樣，雖仍不知準(zhǔn)確長(zhǎng)度這樣，雖仍不知準(zhǔn)確長(zhǎng)度l是多少，但由（是多少，但由（1.5.31.5.3）式可得到不等式：）式可得到不等式：512.5513.5()l 毫米l512.5,513.5這說(shuō)明這說(shuō)明必在必在毫米區(qū)間內(nèi)。毫米區(qū)間內(nèi)。1.5.2 相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限 用絕對(duì)誤差還不能完全評(píng)價(jià)近似值的精確度。例如測(cè)量用絕對(duì)誤差還不能完全評(píng)價(jià)近似值的精確度。例如測(cè)量1010米的長(zhǎng)度時(shí)米

28、的長(zhǎng)度時(shí)產(chǎn)生產(chǎn)生1 1厘米的誤差與測(cè)量厘米的誤差與測(cè)量1 1米的長(zhǎng)度時(shí)產(chǎn)生米的長(zhǎng)度時(shí)產(chǎn)生1 1厘米的誤差是大有區(qū)別的。雖然厘米的誤差是大有區(qū)別的。雖然兩者的絕對(duì)誤差相同，都是兩者的絕對(duì)誤差相同，都是1 1厘米，但是由于所測(cè)量的長(zhǎng)度要差十倍，顯然厘米，但是由于所測(cè)量的長(zhǎng)度要差十倍，顯然前一種測(cè)量比后一種要精確得多。這說(shuō)明要評(píng)價(jià)一個(gè)近似值的精確度，除前一種測(cè)量比后一種要精確得多。這說(shuō)明要評(píng)價(jià)一個(gè)近似值的精確度，除了要看其絕對(duì)誤差的大小外，還必須考慮該量本身的大小，這就需要引進(jìn)了要看其絕對(duì)誤差的大小外，還必須考慮該量本身的大小，這就需要引進(jìn)相對(duì)誤差相對(duì)誤差的概念。的概念。*( )( )rxxxxxx

29、 （1.5.41.5.4） 稱(chēng)為近似值稱(chēng)為近似值*x的的“相對(duì)誤差相對(duì)誤差”。110001100在上例中，前一種測(cè)量的誤差為在上例中，前一種測(cè)量的誤差為，而后一種測(cè)量的相對(duì)誤差則為，而后一種測(cè)量的相對(duì)誤差則為，是前一種的，是前一種的十倍十倍。定義定義1.5.2 1.5.2 絕對(duì)誤差與真值之比，即絕對(duì)誤差與真值之比，即 由（由（1.5.41.5.4）可見(jiàn)，相對(duì)誤差可以從絕對(duì)誤差求出。反之，絕對(duì)誤）可見(jiàn)，相對(duì)誤差可以從絕對(duì)誤差求出。反之，絕對(duì)誤差也可由相對(duì)誤差求出，其相互關(guān)系式為：差也可由相對(duì)誤差求出，其相互關(guān)系式為： ( )( )rxxx （1.5.51.5.5） ( )xx 相對(duì)誤差不僅能表示

30、出絕對(duì)誤差來(lái)，而且在估計(jì)近似值運(yùn)算結(jié)果的相對(duì)誤差不僅能表示出絕對(duì)誤差來(lái)，而且在估計(jì)近似值運(yùn)算結(jié)果的誤差時(shí)，它比絕對(duì)誤差更能反映出誤差的特性。因此在誤差分析中，相誤差時(shí)，它比絕對(duì)誤差更能反映出誤差的特性。因此在誤差分析中，相對(duì)誤差比絕對(duì)誤差更為重要。相對(duì)誤差也無(wú)法準(zhǔn)確求出。因?yàn)椋▽?duì)誤差比絕對(duì)誤差更為重要。相對(duì)誤差也無(wú)法準(zhǔn)確求出。因?yàn)椋?.5.41.5.4）中的中的和和均無(wú)法準(zhǔn)確求得。均無(wú)法準(zhǔn)確求得。 也和絕對(duì)誤差一樣，可以估計(jì)它的大小范圍，即可以找到一個(gè)正數(shù)也和絕對(duì)誤差一樣，可以估計(jì)它的大小范圍，即可以找到一個(gè)正數(shù)，使，使( )rx （1.5.61.5.6） *x稱(chēng)為近似值稱(chēng)為近似值的的“相對(duì)誤

31、差限相對(duì)誤差限”。相對(duì)誤差是個(gè)純數(shù)字，它沒(méi)有量綱。相對(duì)誤差是個(gè)純數(shù)字，它沒(méi)有量綱。 例例1.5.2 1.5.2 稱(chēng)稱(chēng)100 100 千克重的東西若有千克重的東西若有1 1千克重的誤差和量千克重的誤差和量100100米長(zhǎng)米長(zhǎng)的東西有的東西有1 1米長(zhǎng)的誤差，這兩種測(cè)量的相對(duì)誤差都是米長(zhǎng)的誤差，這兩種測(cè)量的相對(duì)誤差都是 。與此相。與此相反，由于絕對(duì)誤差是名詞，有量綱，上例中兩種測(cè)量的絕對(duì)誤差反，由于絕對(duì)誤差是名詞，有量綱，上例中兩種測(cè)量的絕對(duì)誤差1 1千克和千克和1 1米的量綱不同，兩者就無(wú)法進(jìn)行比較。米的量綱不同，兩者就無(wú)法進(jìn)行比較。x在實(shí)際計(jì)算中，由于真值在實(shí)際計(jì)算中，由于真值1100總是無(wú)法

32、知道的，因此往往取總是無(wú)法知道的，因此往往取*( )( )rxxx （1.5.71.5.7） 作為相對(duì)誤差的另一定義。作為相對(duì)誤差的另一定義。*( )rx( )rx下面比較下面比較與與之間的相差究竟有多大：之間的相差究竟有多大：*2*111( )( )( )() ( )*rrxxxxxxx x2221( )( ( )*1 ( )1( )rrrrxxxxxxxxx( )rx0.5一般地，一般地，很小，不會(huì)超過(guò)很小，不會(huì)超過(guò)。這樣。這樣11( )rx不大于不大于2 2，因此，因此，上式右端是一高階小量，可以忽略。上式右端是一高階小量，可以忽略。 *2( )( )2( )( )rrrrxxxx *(

33、 )rx( )rx上式右端是一高階小量，可以忽略，故用上式右端是一高階小量，可以忽略，故用來(lái)代替來(lái)代替。相對(duì)誤差也可用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示：相對(duì)誤差也可用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示：*( )( )100%rxxx這時(shí)稱(chēng)它為這時(shí)稱(chēng)它為百分誤差百分誤差。 6 6 有效數(shù)字及其誤差的關(guān)系有效數(shù)字及其誤差的關(guān)系 1.6.1 1.6.1 有效數(shù)字有效數(shù)字 在表示一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度時(shí)，常用到在表示一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度時(shí)，常用到“有效數(shù)字有效數(shù)字”的概念。的概念。例例1.6.1 1.6.1 ，若，若 按四舍五入取四位小數(shù)，則得的近按四舍五入取四位小數(shù)，則得的近似值為似值為3.14163.1416；若取五位小數(shù)則得其近似值為；若

34、取五位小數(shù)則得其近似值為3.141593.14159。這種近似值。這種近似值取法的特點(diǎn)是誤差限為其末位的半個(gè)單位，即取法的特點(diǎn)是誤差限為其末位的半個(gè)單位，即*xx*x定義定義1.6.11.6.1 當(dāng)近似值當(dāng)近似值，其近似值，其近似值的規(guī)格化形式：的規(guī)格化形式：的誤差限是其某一位上的半個(gè)單位時(shí)，稱(chēng)其的誤差限是其某一位上的半個(gè)單位時(shí)，稱(chēng)其“準(zhǔn)確準(zhǔn)確”到這一位且從該位起直到前面第一位非零數(shù)字為止的所有數(shù)字到這一位且從該位起直到前面第一位非零數(shù)字為止的所有數(shù)字稱(chēng)為有效數(shù)字。一般說(shuō)，設(shè)有一個(gè)數(shù)稱(chēng)為有效數(shù)字。一般說(shuō)，設(shè)有一個(gè)數(shù)*120.10mnx （1.6.11.6.1） 413.14161023.141

35、59265式中式中 都是都是 中的一個(gè)數(shù)字，中的一個(gè)數(shù)字， 是正整數(shù)，是正整數(shù)， 是整數(shù)。是整數(shù)。若若 的誤差限為：的誤差限為： 0,1,2,9nm*x*1( )102m nxxx （1.6.2）*x10m n則稱(chēng)則稱(chēng)為具有為具有n n位有效數(shù)字的有效數(shù)，或稱(chēng)它精確到位有效數(shù)字的有效數(shù)，或稱(chēng)它精確到一位數(shù)字一位數(shù)字 12,n *x都是都是的有效數(shù)字。的有效數(shù)字。 若（若（1.6.11.6.1）中的）中的*x是經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，是經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)， *xn則則具有具有位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。3.1416例例 1.6.21.6.2 是是的具有五位有效數(shù)字的近似值，精確到的具有五位有效數(shù)

36、字的近似值，精確到0.00010.0001。2030.0203例例 1.6.31.6.3 和和都是具有三位有效數(shù)字的有效數(shù)。都是具有三位有效數(shù)字的有效數(shù)。 但要注意，但要注意，0.0203和和 0.020300就不同了，前者僅具有三位有效數(shù)字，就不同了，前者僅具有三位有效數(shù)字， 即僅精確即僅精確。其中每其中每 到到 0.0001 0.0001 ；而后者則具有五位有效數(shù)字，即精確到；而后者則具有五位有效數(shù)字，即精確到0.0000010.000001。可見(jiàn)，?？梢?jiàn)，兩者的精確程度大不相同，后者遠(yuǎn)較前者精確（差兩者的精確程度大不相同，后者遠(yuǎn)較前者精確（差100100倍）。因此，有倍）。因此，有另一種

37、情況，另一種情況， 0.1524x *0.154x 例如例如，*x0.0016這時(shí)這時(shí)的誤差為的誤差為值超過(guò)值超過(guò) 0.00050.0005（第三位小數(shù)的半個(gè)單位），但卻（第三位小數(shù)的半個(gè)單位），但卻沒(méi)有超過(guò)沒(méi)有超過(guò)0.005（第二（第二位小數(shù)的半個(gè)單位），即位小數(shù)的半個(gè)單位），即*0.00050.005xx注注 用計(jì)算機(jī)進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算，由于受到計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制，要求輸入用計(jì)算機(jī)進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算，由于受到計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制，要求輸入的數(shù)有一定的位數(shù)，計(jì)算的結(jié)果也只保留一定的位數(shù)，且所保留下來(lái)的的數(shù)有一定的位數(shù)，計(jì)算的結(jié)果也只保留一定的位數(shù)，且所保留下來(lái)的不一定都是有效數(shù)字，同時(shí)也不是所有的有效數(shù)字

38、都可保留下來(lái)。不一定都是有效數(shù)字，同時(shí)也不是所有的有效數(shù)字都可保留下來(lái)。 ，其絕對(duì)，其絕對(duì)顯然，顯然， 雖然有三位小數(shù)但卻只精確到第二位小數(shù)，因此，它只具雖然有三位小數(shù)但卻只精確到第二位小數(shù)，因此，它只具有二位有效數(shù)字。有二位有效數(shù)字。其中其中1 1和和5 5都是準(zhǔn)確數(shù)字，而第三位數(shù)字都是準(zhǔn)確數(shù)字，而第三位數(shù)字4 4就不再是準(zhǔn)就不再是準(zhǔn)確數(shù)字了，我們就稱(chēng)它為確數(shù)字了，我們就稱(chēng)它為存疑數(shù)字存疑數(shù)字。*x1.6.2 1.6.2 有效數(shù)字與誤差的關(guān)系有效數(shù)字與誤差的關(guān)系 由由(1.6.2)(1.6.2)可知可知, ,從有效數(shù)字可以算出近似數(shù)的絕對(duì)誤差限從有效數(shù)字可以算出近似數(shù)的絕對(duì)誤差限; ;有有效

39、數(shù)字的位數(shù)越多效數(shù)字的位數(shù)越多, ,其絕對(duì)誤差限也就越小，且還可以從有效數(shù)字其絕對(duì)誤差限也就越小，且還可以從有效數(shù)字求出其相對(duì)誤差限。求出其相對(duì)誤差限。當(dāng)用當(dāng)用(1.6.1)(1.6.1)表示的近似值表示的近似值，具有，具有位有效數(shù)字時(shí)，顯然有位有效數(shù)字時(shí)，顯然有*1110mx故由故由(1.6.2)(1.6.2)可知，其相對(duì)誤差可知，其相對(duì)誤差*1111110( )12( )10*102m nnrmxxx （1.6.3）故相對(duì)誤差限為故相對(duì)誤差限為111102n （1.6.4） *xn 由由(1.6.4)(1.6.4)可見(jiàn)可見(jiàn), ,有效數(shù)字的位數(shù)反映了近似值的相對(duì)精確度。有效數(shù)字的位數(shù)反映了近

40、似值的相對(duì)精確度。 上述關(guān)系的逆也是成立的，即當(dāng)用上述關(guān)系的逆也是成立的，即當(dāng)用 (1.6.1) (1.6.1) 表示的近似值，如果表示的近似值，如果其相對(duì)誤差能滿足其相對(duì)誤差能滿足*111( )102(1)nrx （1.6.5）則則至少具有至少具有位有效數(shù)字。這是因?yàn)槲挥行?shù)字。這是因?yàn)? :由由(1.6.5)(1.6.5)及及 *11110mx有有*111111( )( )(1) 1010102(1)2mnm nrxxx *xn即即至少具有至少具有位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。*xn例例1.6.4 1.6.4 當(dāng)用當(dāng)用3.14163.1416來(lái)表示的近似值時(shí)來(lái)表示的近似值時(shí), ,它的相對(duì)誤差是多

41、少它的相對(duì)誤差是多少? ?解解 3.14163.1416具有五位有效數(shù)字具有五位有效數(shù)字, ,13，由，由(1.6.3)(1.6.3)有有*5 1411( )10102 36rx 例例1.6.51.6.5 為了使積分的近似值的相對(duì)誤差不超過(guò)為了使積分的近似值的相對(duì)誤差不超過(guò)0.1%0.1%，問(wèn)至少要取，問(wèn)至少要取幾位有效數(shù)字幾位有效數(shù)字? ?解解 可以知道可以知道I=0.7476I=0.7476，這樣，這樣17，由，由(1.6.3)(1.6.3)有有*11( )100.1%2 7nrI 3n *I*0.747I *I可解出可解出，即即只要取三位有效數(shù)字只要取三位有效數(shù)字就能保證就能保證的相對(duì)誤

42、差不大于的相對(duì)誤差不大于0.1%0.1%。7 7 誤差的傳播與估計(jì)誤差的傳播與估計(jì)1.7.1 1.7.1 誤差估計(jì)的一般公式誤差估計(jì)的一般公式 在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)往往都是些近似值，帶有在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)往往都是些近似值，帶有誤差，這些數(shù)據(jù)誤差在多次運(yùn)算過(guò)程中會(huì)進(jìn)行傳播，使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差，這些數(shù)據(jù)誤差在多次運(yùn)算過(guò)程中會(huì)進(jìn)行傳播，使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差，而確定計(jì)算結(jié)果所能達(dá)到的精度顯然是十分重要的，但往往很誤差，而確定計(jì)算結(jié)果所能達(dá)到的精度顯然是十分重要的，但往往很困難。不過(guò)，對(duì)計(jì)算誤差作出一定的定量估計(jì)還是可以做到的。下面困難。不過(guò)，對(duì)計(jì)算誤差作出一定的定量估計(jì)還是

43、可以做到的。下面利用利用函數(shù)泰勒（函數(shù)泰勒（TaylorTaylor）展開(kāi)式）展開(kāi)式推出誤差估計(jì)的一般公式。推出誤差估計(jì)的一般公式。12( ,)yf x x*1x*2x1x2x*y*12(,)yf xx12( ,)f x x*12( , )x x考慮二元函數(shù)考慮二元函數(shù)，設(shè)，設(shè)和和分別是分別是和和的近似值，的近似值，是函數(shù)值是函數(shù)值的近似值，且的近似值，且，函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式為：處的泰勒展開(kāi)式為：*12121122122* 2*11112221122* 21222( ,)( *,*) () ()() () 1()()2()()()2!()() fff x xf xxxxxxxxf

44、fxxxxxxxx xfxxx y略高階小量，則上式可簡(jiǎn)化為略高階小量，則上式可簡(jiǎn)化為)()(1*11xxx)()(2*22xxx式中，式中，和和一般都是小量值，如忽一般都是小量值，如忽*12121212( ,)(,)()()()()fff x xf xxxxxx*12121212( )*( , )( *, *) ()( ) ()( )ffyy yf x xf xxxxxx （1.7.1）)(1x)(2x的絕對(duì)誤差增長(zhǎng)因子，它們分別表示絕對(duì)誤差的絕對(duì)誤差增長(zhǎng)因子，它們分別表示絕對(duì)誤差和和經(jīng)過(guò)傳播經(jīng)過(guò)傳播因此，因此，的絕對(duì)誤差為的絕對(duì)誤差為*y)(1x)(2x*1)(xf*2)(xf*y式中，式

45、中，和前面和前面的系數(shù)的系數(shù)和和分別是分別是和和對(duì)對(duì)*1x*2x由（由（1.7.11.7.1）可得出）可得出的相對(duì)誤差：的相對(duì)誤差：后增大或縮小的倍數(shù)。后增大或縮小的倍數(shù)。*y （1.7.21.7.2） *1212*1212*12()()( )( )()()*()()()()rrrxxyffyyxyxyxxffxxyxyx*1()rx*2()rx*1*1()xfyx*2*2()xfyx*1x式中，式中，和和前面的系數(shù)前面的系數(shù)和和分別是分別是經(jīng)過(guò)傳播后增大或縮小的倍數(shù)。經(jīng)過(guò)傳播后增大或縮小的倍數(shù)。*2x*1()rx*2()rx和和對(duì)對(duì)的相對(duì)誤差增長(zhǎng)因子，它們分別表示相對(duì)誤差的相對(duì)誤差增長(zhǎng)因子，

46、它們分別表示相對(duì)誤差和和*y2200V1 . 010I例例1.7.11.7.1 用電表測(cè)得一個(gè)電阻兩端的電壓和流過(guò)的電流范圍分別為用電表測(cè)得一個(gè)電阻兩端的電壓和流過(guò)的電流范圍分別為 （伏特（伏特) )和和（安培（安培),),求這個(gè)電阻的阻值求這個(gè)電阻的阻值其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。，并估算，并估算RVRI*22022()10R 歐姆由（由（1.7.11.7.1）可計(jì)算）可計(jì)算*R的絕對(duì)誤差：的絕對(duì)誤差： *2*1( ) ()( ) ()( )( )( )RRVRVIVIVIII將它們帶入上式，即可估算出的絕對(duì)誤差：將它們帶入上式，即可估算出的絕對(duì)誤差：*220( )V 伏(

47、)2V（伏）*10I （安）( )0.1I（安）；，令令，* 2211220( )( )( )20.1 0.42( )10(10)VRVIII *( )0.42( )0.01911.91%22rRRR解解 由歐姆定律，有由歐姆定律，有 （1.7.11.7.1）和（）和（1.7.21.7.2）可推廣到更為一般的多元函數(shù)）可推廣到更為一般的多元函數(shù) 中，只要將函數(shù)中，只要將函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處作泰勒展開(kāi)，處作泰勒展開(kāi)，12(,)nyf x xx),(21nxxxf),(*2*1nxxx)(,),(),(21nxxx等小量的高階項(xiàng)，即可得到函數(shù)的等小量的高階項(xiàng)，即可得到函數(shù)的近似值的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差

48、的估算式分別為：近似值的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的估算式分別為：并略去其中的并略去其中的*1( )()()niiifyxx （1.7.3）和和*1()()()nirriiixfyxyx （1.7.4） 對(duì)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的增長(zhǎng)因子。對(duì)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的增長(zhǎng)因子。*(1,2, , )ix in上兩式中的各項(xiàng)上兩式中的各項(xiàng) 和和 分別為各個(gè)分別為各個(gè)*()ifx*() (1,2, )iixfinyx 從（從（1.7.31.7.3）和（）和（1.7.41.7.4）可知，誤差增長(zhǎng)因子的絕對(duì)值很大時(shí)，數(shù)據(jù)誤）可知，誤差增長(zhǎng)因子的絕對(duì)值很大時(shí)，數(shù)據(jù)誤差在運(yùn)算中傳播后，可能會(huì)造成結(jié)果的很大誤差。凡原始數(shù)據(jù)

49、的微小變化可差在運(yùn)算中傳播后，可能會(huì)造成結(jié)果的很大誤差。凡原始數(shù)據(jù)的微小變化可能引起結(jié)果的很大變化的這類(lèi)問(wèn)題能引起結(jié)果的很大變化的這類(lèi)問(wèn)題, ,稱(chēng)為稱(chēng)為病態(tài)問(wèn)題病態(tài)問(wèn)題或或壞條件問(wèn)題壞條件問(wèn)題。 可以利用可以利用(1.7.3) (1.7.3) 和（和（1.7.41.7.4）對(duì)算術(shù)運(yùn)算中數(shù)據(jù)誤差傳播規(guī)律）對(duì)算術(shù)運(yùn)算中數(shù)據(jù)誤差傳播規(guī)律作一具體分析。作一具體分析。11( )nniiiixx （1.7.5）*11nniriniiiixxx (1.7.6)1.7.2 1.7.2 誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播 由由(1.7.3) (1.7.3) 和（和（1.7.41.7.4）有）有（1 1

50、）加，減運(yùn)算）加，減運(yùn)算及及 *121212*1212rrrxxxxxxxxxx 由由(1.7.5)(1.7.5)可知：近似值之和的絕對(duì)誤差等于各近似值絕對(duì)誤差的可知：近似值之和的絕對(duì)誤差等于各近似值絕對(duì)誤差的代數(shù)和。兩數(shù)代數(shù)和。兩數(shù) 和和 相減，由相減，由(1.7.6)(1.7.6)有有2x1x 當(dāng)當(dāng) ，即大小接近的兩個(gè)同號(hào)近似值相減時(shí)，由上，即大小接近的兩個(gè)同號(hào)近似值相減時(shí)，由上式可知，這時(shí)式可知，這時(shí) 可能會(huì)很大，說(shuō)明計(jì)算結(jié)果的有效可能會(huì)很大，說(shuō)明計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字將嚴(yán)重丟失，計(jì)算精度很低。數(shù)字將嚴(yán)重丟失，計(jì)算精度很低。 因此在實(shí)際計(jì)算中，應(yīng)盡量設(shè)法避開(kāi)相近數(shù)的相減。當(dāng)實(shí)因此在實(shí)際計(jì)算中

51、，應(yīng)盡量設(shè)法避開(kāi)相近數(shù)的相減。當(dāng)實(shí)在無(wú)法避免時(shí)，可用在無(wú)法避免時(shí)，可用變換計(jì)算公式變換計(jì)算公式的辦法來(lái)解決。的辦法來(lái)解決。即即 *121212*1212rrrxxxxxxxxxx*12rxx*12xx 例例1.7.3 1.7.3 當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)，很小時(shí)， ，如要求，如要求 的值，可利用三角的值，可利用三角恒等式恒等式 進(jìn)行公式變換后再來(lái)計(jì)算。同理，也可把進(jìn)行公式變換后再來(lái)計(jì)算。同理，也可把 展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)后，按展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)后，按 來(lái)進(jìn)行計(jì)算。這兩種算法都避開(kāi)了兩個(gè)相近數(shù)相減的不利情況。來(lái)進(jìn)行計(jì)算。這兩種算法都避開(kāi)了兩個(gè)相近數(shù)相減的不利情況。 例例1.7.21.7.2 當(dāng)要計(jì)算當(dāng)要計(jì)算 ，結(jié)果精

52、確到第五位數(shù)字時(shí)，至少取到，結(jié)果精確到第五位數(shù)字時(shí)，至少取到 和和 ，這樣，這樣 才能達(dá)到具有五位有效數(shù)字的要求。如果變換算式：才能達(dá)到具有五位有效數(shù)字的要求。如果變換算式： 也能達(dá)到結(jié)果具有五位有效數(shù)字的要求，而這時(shí)也能達(dá)到結(jié)果具有五位有效數(shù)字的要求，而這時(shí) 和和 所需的有所需的有 效位數(shù)只要五位，遠(yuǎn)比直接相減所需有效位數(shù)（八位）要少。效位數(shù)只要五位，遠(yuǎn)比直接相減所需有效位數(shù)（八位）要少。 3.0133.011.734935231.732050833.0132.8844 1033.01 30.013.0132.8843 101.7349 1.73213.0133.013xcos1x 1 co

53、sx21 cos2sin2xxcosx241cos2 !4 !xxx （2 2）乘法運(yùn)算）乘法運(yùn)算 由（由（1.7.31.7.3）及（）及（1.7.41.7.4）有）有 因此，近似值之積的相對(duì)誤差等于相乘各因子的相對(duì)誤差的代數(shù)和。因此，近似值之積的相對(duì)誤差等于相乘各因子的相對(duì)誤差的代數(shù)和。當(dāng)乘數(shù)的絕對(duì)值很大時(shí)，乘積的絕對(duì)值誤差當(dāng)乘數(shù)的絕對(duì)值很大時(shí)，乘積的絕對(duì)值誤差 可能會(huì)很大，因此可能會(huì)很大，因此也應(yīng)設(shè)法避免。也應(yīng)設(shè)法避免。*111nnnijiiijjixxx （1.7.7）和和*11nnririiixx （1.7.8）1niix（3 3）除法運(yùn)算）除法運(yùn)算 由（由（1.7.31.7.3）及（

54、）及（1.7.41.7.4）有）有 由由（1.7.101.7.10）可知，兩近似值之商的相對(duì)誤差等于被除數(shù)的相對(duì)可知，兩近似值之商的相對(duì)誤差等于被除數(shù)的相對(duì)誤差與除數(shù)的相對(duì)誤差之差。誤差與除數(shù)的相對(duì)誤差之差。 又由又由（1.7.91.7.9）可知，當(dāng)除數(shù)可知，當(dāng)除數(shù) 的絕對(duì)值很小，接近于零時(shí)，商的絕對(duì)值很小，接近于零時(shí)，商的絕對(duì)誤差的絕對(duì)誤差 可能會(huì)很大，甚至造成計(jì)算機(jī)的可能會(huì)很大，甚至造成計(jì)算機(jī)的“溢出溢出”錯(cuò)錯(cuò)誤故應(yīng)設(shè)法避免讓絕對(duì)值太小的數(shù)作為除數(shù)。誤故應(yīng)設(shè)法避免讓絕對(duì)值太小的數(shù)作為除數(shù)。 *11112122*22221rrxxxxxxxxxxx （1.7.91.7.9）和和 *1122r

55、rrxxxx （1.7.101.7.10） *2x12xx （4 4）乘方及開(kāi)方運(yùn)算）乘方及開(kāi)方運(yùn)算 由（由（1.7.31.7.3）及（）及（1.7.41.7.4）有）有 由（由（1.7.121.7.12）可知，乘方運(yùn)算將使結(jié)果的相對(duì)誤差增大為原值）可知，乘方運(yùn)算將使結(jié)果的相對(duì)誤差增大為原值 的的 （乘方的方次數(shù)）倍，降低了精度；開(kāi)方運(yùn)算則使結(jié)果的相對(duì)誤差縮（乘方的方次數(shù)）倍，降低了精度；開(kāi)方運(yùn)算則使結(jié)果的相對(duì)誤差縮 小為原值小為原值 的的 （ 為開(kāi)方的方次數(shù)），精度得到提高。為開(kāi)方的方次數(shù)），精度得到提高。 綜上分析可知，大小相近的同號(hào)數(shù)相減，乘數(shù)的絕對(duì)值很大，以及綜上分析可知，大小相近的同

56、號(hào)數(shù)相減，乘數(shù)的絕對(duì)值很大，以及除數(shù)接近于零等，在數(shù)值計(jì)算中都應(yīng)設(shè)法避免。除數(shù)接近于零等，在數(shù)值計(jì)算中都應(yīng)設(shè)法避免。 1*ppxp xx （1.7.11）及及 *prrxpx （1.7.12）xpx1qq1.7.3 1.7.3 對(duì)對(duì)1.3.11.3.1中算例的誤差分析中算例的誤差分析序號(hào)序號(hào)近似值近似值 真真 值值 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 相對(duì)誤差相對(duì)誤差 10.0142 0.0355=3.55% 0.000955 60.0355=21.3% 234 應(yīng)用上述誤差估計(jì)的公式，可對(duì)應(yīng)用上述誤差估計(jì)的公式，可對(duì)1.3.11.3.1中提出的算例中的各種中提出的算例中的各種算式作出誤差估計(jì)和分析，從而可以比

57、較出它們的優(yōu)劣來(lái)。見(jiàn)結(jié)算式作出誤差估計(jì)和分析，從而可以比較出它們的優(yōu)劣來(lái)。見(jiàn)結(jié)果下表果下表1.7.11.7.1。 27099 995.000245. 0000182. 00000255. 04.015712 00409.01576612 1577099%5 .99995. 0416667.01571121%589. 000589. 000523278.0157166121%53. 300589. 0600507614. 05770991270991%502. 00502. 0表表1.7.11.7.18 8 算法的相對(duì)穩(wěn)定性算法的相對(duì)穩(wěn)定性 通過(guò)前面對(duì)誤差傳播規(guī)律的分析和對(duì)通過(guò)前面對(duì)誤差傳播規(guī)律

58、的分析和對(duì)1.31.3算例的剖析，可知同一問(wèn)題算例的剖析，可知同一問(wèn)題當(dāng)選用不同的算法時(shí)，它們所得到的結(jié)果有時(shí)會(huì)相差很大，這是因?yàn)檫\(yùn)當(dāng)選用不同的算法時(shí)，它們所得到的結(jié)果有時(shí)會(huì)相差很大，這是因?yàn)檫\(yùn)算的舍入誤差在運(yùn)算過(guò)程中的傳播常隨算法而異。凡一種算法的計(jì)算結(jié)算的舍入誤差在運(yùn)算過(guò)程中的傳播常隨算法而異。凡一種算法的計(jì)算結(jié)果受舍入誤差的影響小者稱(chēng)它為數(shù)值穩(wěn)定的算法。下面再通過(guò)其他一些果受舍入誤差的影響小者稱(chēng)它為數(shù)值穩(wěn)定的算法。下面再通過(guò)其他一些例子來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明算法穩(wěn)定性的概念。例子來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明算法穩(wěn)定性的概念。 例例1.8.1 1.8.1 解方程解方程 （1.8.1） 解解 由韋達(dá)定理可知，此精確解

59、為由韋達(dá)定理可知，此精確解為 如果利用求根公式如果利用求根公式299101100 xx 91210 ,1xx21,242bbacxa （1.8.2） 來(lái)編制計(jì)算機(jī)程序，在字長(zhǎng)為來(lái)編制計(jì)算機(jī)程序，在字長(zhǎng)為8 8基底為基底為1010的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)算，則的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)算，則由于計(jì)算機(jī)實(shí)際上采用的是規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算，由于計(jì)算機(jī)實(shí)際上采用的是規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算， 這時(shí)這時(shí) 的第二項(xiàng)最后兩位數(shù)的第二項(xiàng)最后兩位數(shù)“0101”，由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制，在機(jī)器上表示，由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制，在機(jī)器上表示不出來(lái)，故在計(jì)算機(jī)對(duì)其舍入運(yùn)算（用不出來(lái)，故在計(jì)算機(jī)對(duì)其舍入運(yùn)算（用 標(biāo)記）時(shí)標(biāo)記）時(shí)910101010.1

60、 100.0000000001 10b 10101090.1 100.0000000001 100.1 1010b 2299941014 1010bac 29991410101022bbacxa 299241010022bbacxa 這樣算出的根顯然是嚴(yán)重失真的（這樣算出的根顯然是嚴(yán)重失真的（ 精確解精確解 ），這說(shuō)明直接利用），這說(shuō)明直接利用（1.8.21.8.2）求解方程（）求解方程（1.8.11.8.1）是不穩(wěn)定的。其原因是在于當(dāng)計(jì)算機(jī)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)）是不穩(wěn)定的。其原因是在于當(dāng)計(jì)算機(jī)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)要對(duì)階舍入計(jì)算，實(shí)際上受到機(jī)器字長(zhǎng)的限制，在計(jì)算要對(duì)階舍入計(jì)算，實(shí)際上受到機(jī)器字長(zhǎng)的限制，在