數(shù)學建模習題答案

1、數(shù)學建模部分課后習題解答中國地質(zhì)大學 能源學院 華文靜1.在穩(wěn)定的椅子問題中，如設椅子的四腳連線呈長方形，結論如何？解：模型假設（1） 椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處視為一點，四腳的連線呈長方形（2） 地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況），即從數(shù)學角度來看，地面是連續(xù)曲面。這個假設相當于給出了椅子能放穩(wěn)的必要條件（3） 椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。為了保證這一點，要求對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的。因為在地面上椅腳間距和椅腿長度的尺寸大小相當?shù)姆秶鷥?nèi)，如果出現(xiàn)深溝或凸峰（即使是連續(xù)變化的），此時三只腳是無法同時著地的。模型建立在上

2、述假設下，解決問題的關鍵在于選擇合適的變量，把椅子四只腳同時著地表示出來。首先，引入合適的變量來表示椅子位置的挪動。生活經(jīng)驗告訴我們，要把椅子通過挪動放穩(wěn)，通常有拖動或轉動椅子兩種辦法，也就是數(shù)學上所說的平移與旋轉變換。然而，平移椅子后問題的條件沒有發(fā)生本質(zhì)變化，所以用平移的辦法是不能解決問題的。于是可嘗試將椅子就地旋轉，并試圖在旋轉過程中找到一種椅子能放穩(wěn)的情形。注意到椅腳連線呈長方形，長方形是中心對稱圖形，繞它的對稱中心旋轉180度后，椅子仍在原地。把長方形繞它的對稱中心旋轉，這可以表示椅子位置的改變。于是，旋轉角度這一變量就表示了椅子的位置。為此，在平面上建立直角坐標系來解決問題。設椅腳

3、連線為長方形ABCD,以對角線AC所在的直線為x軸，對稱中心O為原點，建立平面直角坐標系。椅子繞O點沿逆時針方向旋轉角度后，長方形ABCD轉至A1B1C1D1的位置，這樣就可以用旋轉角表示出椅子繞點O旋轉后的位置。其次，把椅腳是否著地用數(shù)學形式表示出來。當椅腳與地面的豎直距離為零時，椅腳就著地了，而當這個距離大于零時，椅腳不著地。由于椅子在不同的位置是的函數(shù)，因此，椅腳與地面的豎直距離也是的函數(shù)。由于椅子有四只腳，因而椅腳與地面的豎直距離有四個，它們都是的函數(shù)，而由假設（3）可知，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地，即這四個函數(shù)對于任意的，其函數(shù)值至少有三個同時為0。因此，只需引入兩個距離函數(shù)

4、即可?？紤]到長方形ABCD是對稱中心圖形，繞其對稱中心O沿逆時針方向旋轉180度后，長方形位置不變，但A,C和B,D對換了。因此，記A，B兩腳與地面豎直距離之和為，C,D兩腳之和為，其中，使得成立。模型求解如果，那么結論成立。如果不同時為零，不妨設這時，將長方形ABCD繞點O逆時針旋轉角度后，點A,B分別于與C，D互換，但長方形ABCD在地面上所處的位置不變，由此可知，f（）g（0），g（）f（0）.而由f（0）0，g（0）0，得g（）0，f（）0。令h（）f()g（），由f()和g()的連續(xù)性知h()也是連續(xù)函數(shù)。 又，根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，必存在使得；又因為。于是，椅子的四只腳同時著地，放

5、穩(wěn)了。模型討論用函數(shù)的觀點來解決問題，引入合適的函數(shù)是關鍵本模型的巧妙之處就在于用變量表示椅子的位置，用的兩個函數(shù)表示椅子四只腳與地面的豎直距離運用這個模型，不但可以確信椅子能在不平的地面上放穩(wěn)，而且可以指導我們?nèi)绾瓮ㄟ^旋轉將地面上放不穩(wěn)的椅子放穩(wěn)2. 人、狗、雞、米均要過河，船需要人劃，另外至多還能載一物，而當人不在時，狗要吃雞，雞要吃米。問人、狗、雞、米怎樣過河？模型假設人帶著貓、雞、米過河，從左岸到右岸，船除了需要人劃之外，只能載貓、雞、米三者之一，人不在場時貓要吃雞，雞要吃米。試設計一個安全過河方案，使渡河次數(shù)盡量地少。符號說明：代表人的狀態(tài)，人在該左岸或船上取值為1，否則為0;：代表

6、貓的狀態(tài)，貓在該左岸或船上取值為1，否則為0；：代表雞的狀態(tài)，雞在該左岸或船上取值為1，否則為0；：代表米的狀態(tài)，米在該左岸或船上取值為1，否則為0:；:狀態(tài)向量，代表時刻K左岸的狀態(tài)；:決策向量，代表時刻K船上的狀態(tài)；模型建立限制條件：初始狀態(tài)：模型求解根據(jù)乘法原理，四維向量共有種情況根據(jù)限制條件可以排除三種情況，其余13種情況可以歸入兩個集合進行分配，易知可行決策集僅有五個元素,狀態(tài)集有8個元素，將其進行分配，共有兩種運送方案：方案一：人先帶雞過河，然和人再回左岸，把米帶過右岸，人再把雞運回左岸，人再把貓帶過右岸，最后人回來把雞帶去右岸（狀態(tài)見表1）；方案二：人先帶雞過河，然后人再回左岸，

7、把貓帶過右岸，人再把雞運回左岸，人再把米帶過右岸，最后人回來把雞帶去右岸(狀態(tài)見表2)；目標：確定有效狀態(tài)集合，使得在有限步內(nèi)左岸狀態(tài)由表一：時刻左岸狀態(tài)船上K=0K=1K=2K=3K=4K=5K=6K=7(1，1，1，1)(0，1，1，1）（1，1，0，1）（0，1，0，0）（1，1，1，0）（0，0，1，0）（1，0，1，0）（0，0，0，0）(0，0，0，0)(1，0，1，0)(1，0，0，0)(1，0，0，1)(1，0，1，0)(1，1，0，0)(1，0，0，0)(1，0，1，0)表二：時刻左岸狀態(tài)船上K=0K=1K=2K=3K=4K=5K=6K=7(1，1，1，1)(0，1，0，1)

8、(1，1，0，1)(0，0，0，1)(1，0，1，1)(0，0，1，0)(1，0，1，0)(0，0，0，0)(0，0，0，0)(1，0，1，0)(1，0，0，0)(1，1，0，0)(1，0，1，0)(1，0，0，1)(1，0，0，0)(1，0，1，0)3. 學校共1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學生們要組織一個10人的委員會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者.（2）2.1節(jié)中的Q值方法.（3）dHondt方法： 將各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)相除，其商數(shù)如下表：1 2 3 4 5 ABC235

9、 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4 將所得商數(shù)從大到小取前10個(10為席位數(shù)),在數(shù)字下標以橫線，表中A，B，C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個宿舍分配席位.你能解釋這種方法的道理嗎。如果委員會從10人增至15人，用以上3種方法再分配名額.將3種方法兩次分配的結果列表比較.（4）你能提出其他的方法嗎.用你的方法分配上面的名額.解：先考慮N=10的分配方案，方法一（按比例分配）分配結果為：方法二（Q值方法）9個席位的分配結果（可用按比例分配）為：第10個席位：計算Q值為Q3最大，第10個席位應給C.分配結

10、果為方法三（dHondt方法）原理：記pi和ni為各宿舍的人數(shù)和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）,是每席位代表的人數(shù)，取=，從而得到的中選較大者，可使對所有的i，盡量接近。所以此方法的分配結果為：再考慮的分配方案，類似地可得名額分配結果?，F(xiàn)將3中方法兩次分配額結果列表如下：宿舍（1） （2） （3）（1） （2） （3）ABC3 2 23 3 34 5 5 4 4 3 5 5 5 6 6 7總計10 10 10 15 15 154. 一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給予獎勵，俱樂部只準備了一把軟尺用與測量，請你設計按照測量的長度估計魚的重量的方法。假設魚池中

11、只有一種鱸魚，并且得到了8條魚的如下數(shù)據(jù)（胸圍指魚身的最大周長）：身長（cm）36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量（g）756 482 1162 737 482 1389 652 454胸圍（cm）24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6先用機理分析，再用數(shù)據(jù)確定參數(shù)。模型分析本題為了知道魚的重量，用估計法來通過估計魚的長度而確定魚的重量，這種方法只能針對同一種體形相似魚，但是一般而言世界上沒有兩種完全相同的東西，所以對于同一種類的魚也有可能肥瘦不一。所以在此，我們應該先不妨假設同一種魚它的整體形狀是相似的，密

12、度也大體上是相同的。模型假設（1） 設魚的重量為；（2） 魚的身長記為；模型的構成與求解因為我們前面假設了魚的整體形狀是相似的，密度也相同，所以魚的重量與身長的立方成正比，為這兩者之間的比例系數(shù)。即為比例系數(shù)。不過常釣得較肥的垂釣者不一定認可上面的模型，因為它對肥魚和瘦魚同等看待，如果只假定魚的截面是相似的，則橫截面積與魚身最大周長的平方成正比，于是為比例系數(shù)。利用題中給的數(shù)據(jù)，估計模型中的系數(shù)可得：將實際數(shù)據(jù)與模型結果比較如下表：實際重量（g）765 482 1162 737 482 1389 652 454模型727 469 1226 727 483 1339 675 483模型730 4

13、65 1100 730 483 1471 607 483通過機理分析，基本上滿意5.生物學家認為，對于休息狀態(tài)的熱血動物消耗的能量主要用于維持體溫，能量與從心臟到全身的血流量成正比，而體溫主要通過身體表面散失，建立一個動物體重與心率之間關系的模型，并用下面的數(shù)據(jù)加以檢驗。動物體重（g） 心率（次/分）田鼠家屬兔小狗大狗羊人馬25 670200 4202000 2055000 12030000 8550000 7070000 72450000 38解：動物消耗的能量主要用于維持體溫，而體內(nèi)熱量通過表面積散失，記動物體重為，則正比于血流量,而，其中是動物每次心跳泵出的血流量，為心率。合理地假設與成

14、正比，于是，綜上可得。由所給數(shù)據(jù)估計得，將實際數(shù)據(jù)與模型結果比較如下表：動物實際心率（次/分） 模型結果（次/分）田鼠家屬兔小狗大狗羊人馬670 715420 375205 166120 12285 6770 5772 5138 276. 速度為的風吹在迎風面積為的風車上，空氣密度是。用量綱分析方法確定風車獲得的功率與，的關系。解：模型分析設，其量綱表達式為：這里是基本量綱模型求解量綱矩陣為：齊次線性方程組它的基本解為由量綱定理得，其中是無量綱常數(shù)7. 雨速的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯

15、系數(shù)。用量綱分析方法給出速度的表達式。解：模型分析設的關系為.其量綱表達式為：其中是基本量綱模型求解量綱矩陣為齊次線性方程組的基本解為由量綱定理得其中是無量綱數(shù)8. 在存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用。重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量。證明在不允許缺貨模型中結果與原來的一樣。而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和定貨批量都比原來結果減少。解：模型求解設購買單位重量貨物的費用為k對于不允許缺貨模型，每天平均費用為：令解得由與不考慮購貨費的結果比較，T、Q的最優(yōu)結果沒有變對于允許缺貨模型，每天平均費用為：令解得均比不考慮費用時的結果減小9. 建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型。設生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售

16、速率為常數(shù)，在每個生產(chǎn)周期內(nèi)，開始的一段時間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間()只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量的圖形。設每次生產(chǎn)準備費為，單位時間每件產(chǎn)品貯存費為，以總費用最小為目標確定最優(yōu)生產(chǎn)周期。討論和的情況。解：由題意可得貯存量g(t)的圖形如下： q k-r r o T t貯存費為又貯存費變?yōu)橛谑遣辉试S缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費用（單位時間內(nèi)）為令易得函數(shù)處取得最小值，即最優(yōu)周期為當，相當于不考慮生產(chǎn)的情況。當，此時產(chǎn)量與銷量相抵消，無法形成貯存量。10. 在森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢有關，試假設一個合理的函數(shù)關系，重新求解模型。解：模型分析考慮滅火速度與

17、火勢有關，可知火勢越大，滅火速度將減小模型假設，分母中的1是防止而加的模型求解總費用函數(shù)最優(yōu)解為11 設某種動物種群最高年齡為30，按10歲為一段將此種群分為3組。設初始時三組中的動物為，相應的Leslie矩陣為試求10，20，30年后各年齡組的動物數(shù)，并求該種群的穩(wěn)定年齡分布，指出該種群的發(fā)展趨勢。解：模型分析：根據(jù)Leslie矩陣的意義及公式很容易求出各年齡組的動物數(shù)。而Leslie矩陣的唯一的正特征值及對應的特征向量分別表示種群的發(fā)展趨勢及種群的穩(wěn)定分布。模型的建立與求解：（1）10年后各年齡組的動物數(shù)：20年后各年齡組的動物數(shù)：30年后各年齡組的動物數(shù)：（2）很容易求出L矩陣的大于零的

18、特征值為，其對應的特征向量為所以種群的穩(wěn)定年齡分布：，其中，x表示0-10歲年齡組的動物數(shù)，y表示10-20歲年齡組的動物數(shù)，z表示20-30歲年齡組的動物數(shù)。由于，所以該種群動物數(shù)會逐漸減少。12. 對于71節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題：（1）因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第時段的價格由第和第時段的數(shù)量和決定如果仍設仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與71節(jié)的結果進行比較.（2）若除了由和決定之外，也由前兩個時段的價格和確定試分析穩(wěn)定平衡的條件是否還會放寬解：（1） 模型假設簡單地假設的平均值決定模型建立模型求解得，與7.1節(jié)（B）的結果相同，平衡點穩(wěn)定的

19、條件仍為（2） 模型假設設的平均值決定模型建立模型求解得決定，其特征方程為，該方程所有特征根的條件（即平衡點穩(wěn)定的條件）仍為13. 設階矩陣為一致陣，證明具有下列性質(zhì)：（1）的秩為，唯一的非零特征根為；（2）的任一列向量都是對應于的特征向量。解：（1） 由一致陣的定義，所以A的任意兩行成比例，對A進行初等變換得B，則，所以A的秩為1.由初等變換及初等矩陣的關系得，存在可逆陣P，使得PA=B，所以 ，則A與C相似，便有相同的特征根易知C的特征根為（一次根），0；由于對任意矩陣A有，于是，所以A的唯一非零特征值為n.(2)對于A的任一列向量有：所以，每一列均為對應于n的特征向量14. 若發(fā)現(xiàn)一成對比較矩陣的非一致性較為嚴重，應如何尋找引起非一致性的元素？例如，設已構造了成對比較矩陣（1）對作一致性檢驗；（2）若的非一致性較嚴重，應如何作修正。解：（1） 模型分析對A作一致性檢驗，算出A的最大特征值，A=1 1/5 3;5 1 6;1/3 1/6 1;A=max(eig（A）)；CI=（a-3）/(3-1);RI=0.58;C