第13章軸對稱2等腰三角形

1、第13章 軸對稱13.2等腰三角形歸納 1：等腰三角形基礎(chǔ)知識(shí)歸納：1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等?；痉椒w納：等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°等腰三角形的

2、底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則<a等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為A，底角為B、C，則A=180°2B，B=C=注意問題歸納：等腰三角形的性質(zhì)與判定經(jīng)常用來計(jì)算三角形的角的有關(guān)問題，并證明角相等的問題?！纠?】已知等腰ABC的兩邊長分別為2和3，則等腰ABC的周長為（）A7 B8 C6或8 D7或8歸納 2：等邊三角形基礎(chǔ)知識(shí)歸納：1.定義三條邊都相等的三角形是等邊三角形.2.性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°3.判定三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于

3、60°的等腰三角形是等邊三角形.基本方法歸納：線段垂直平分線上的一點(diǎn)到這條線段的兩端距離相等；到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.注意問題歸納：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。【例2】如圖，直線ab，ABC是等邊三角形，點(diǎn)A在直線a上，邊BC在直線b上，把ABC沿BC方向平移BC的一半得到ABC（如圖）；繼續(xù)以上的平移得到圖，再繼續(xù)以上的平移得到圖，；請問在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是 基礎(chǔ)訓(xùn)練一選擇題（共2小題）1如圖，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，則點(diǎn)D

4、到AB的距離為（）A5cmB3cmC2cmD不能確定2如圖，已知C是線段AB上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊ACD和等邊BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N給出以下三個(gè)結(jié)論：AE=BDCN=CMMNAB其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D3二填空題（共1小題）3如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點(diǎn)，DEAC，EFAB，F(xiàn)DBC，則DEF的面積與ABC的面積之比等于_三解答題（共15小題）4在ABC中，AD是BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且EDF+EAF=180°，求證DE=DF5在ABC中，

5、ABC、ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DEBC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E請說明DE=BD+EC6已知：如圖，D是ABC的BC邊上的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF請判斷ABC是什么三角形？并說明理由7如圖，ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC至E，使CE=CD連接DE（1）E等于多少度？（2）DBE是什么三角形？為什么？8如圖，在ABC中，ACB=90°，CD是AB邊上的高，A=30°求證：AB=4BD9如圖，ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC的延長線上，且BD=CE，DE與BC相交于點(diǎn)F求證：DF=EF10已知等腰直角

6、三角形ABC，BC是斜邊B的角平分線交AC于D，過C作CE與BD垂直且交BD延長線于E，求證：BD=2CE11（2012牡丹江）如圖，ABC中AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過程如下：如圖，連接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如圖，P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若A=30°，A

7、BC的面積為49，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=_點(diǎn)P到AB邊的距離PE=_12數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED=EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由”小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE_DB（填“”，“”或“=”） （2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE_DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如圖2，過點(diǎn)E作EFBC，交AC

8、于點(diǎn)F（請你完成以下解答過程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC若ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）13已知：如圖，AF平分BAC，BCAF于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AF上，ED=EA，點(diǎn)P在CF上，連接PB交AF于點(diǎn)M若BAC=2MPC，請你判斷F與MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由14如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F（1）線段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論（2）求BFD的度數(shù)15如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)

9、E在BC上，BE=BF，連接AE、EF和CF，求證：AE=CF16 已知：如圖，在OAB中，AOB=90°，OA=OB，在EOF中，EOF=90°，OE=OF，連接AE、BF問線段AE與BF之間有什么關(guān)系？請說明理由17（2006郴州）如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高（1）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請說明理由18如圖甲所示，在ABC中，AB=AC，在底邊BC上有任意一點(diǎn)P，則P點(diǎn)到兩

10、腰的距離之和等于定長（腰上的高），即PD+PE=CF，若P點(diǎn)在BC的延長線上，那么請你猜想PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關(guān)系？寫出你的猜想并加以證明能力提升1（2015南寧）如圖，在ABC中，AB=AD=DC，B=70°，則C的度數(shù)為（）A35° B40° C45° D50°2（2015內(nèi)江）如圖，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，AEBD交CB的延長線于點(diǎn)E若E=35°，則BAC的度數(shù)為（）A40° B45° C60° D70°3（2015荊門）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長

11、分別是2和4，則該等腰三角形的周長為（）A8或10 B8 C10 D6或124（2015廣州）已知2是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，并且這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長，則三角形ABC的周長為（）A10 B14 C10或14 D8或105（2015丹東）如圖，在ABC中，AB=AC，A=30°，E為BC延長線上一點(diǎn)，ABC與ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則D的度數(shù)為（）A15° B17.5° C20° D22.5°6（2015崇左）下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第4個(gè)圖形中所有正三角形的個(gè)數(shù)有（ ）A160 B161 C162 D1

12、637（2015南通）如圖，ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AC=AD=DB，BAC=102°，則ADC= 度8（2015西寧）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是 9（2015攀枝花）如圖，在邊長為2的等邊ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，則BE+DE的最小值為 10（2014·江蘇省鹽城市）若等腰三角形的頂角為40°，則它的底角度數(shù)為（）A40°B50°C60°D70°11.（2014·桂林）下列命題中，是真命題的是（ ）A等腰三角形都相似 B等邊三角形都相似 C銳角三

13、角形都相似 D直角三角形都相似12.（2014貴州安順市）已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b，且a、b滿足+（2a+3b13）2=0，則此等腰三角形的周長為（）A7或8 B6或1O C6或7 D7或10A4 B C .8 D. 13.（2014吉林）如圖，ABC中，C=45°，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上若AD=DB=DE，AE=1，則AC的長為（）AB2CD等腰三角形典型例題練習(xí)參考答案與試題解析一選擇題（共2小題）1如圖，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，則點(diǎn)D到AB的距離為（）A5cmB3cmC2cmD不能確定考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)141

14、8944分析：由已知條件進(jìn)行思考，結(jié)合利用角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)D到AB的距離等于D到AC的距離即CD的長，問題可解解答：解：C=90°，AD平分BAC交BC于DD到AB的距離即為CD長CD=53=2故選C2如圖，已知C是線段AB上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊ACD和等邊BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N給出以下三個(gè)結(jié)論：AE=BDCN=CMMNAB其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D3考點(diǎn)：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)1418944分析：由ACD和BCE是等邊三角形，根據(jù)SAS易證得ACEDCB，即

15、可得正確；由ACEDCB，可得EAC=NDC，又由ACD=MCN=60°，利用ASA，可證得ACMDCN，即可得正確；又可證得CMN是等邊三角形，即可證得正確解答：解：ACD和BCE是等邊三角形，ACD=BCE=60°，AC=DC，EC=BC，ACD+DCE=DCE+ECB，即ACE=DCB，ACEDCB（SAS），AE=BD，故正確；EAC=NDC，ACD=BCE=60°，DCE=60°，ACD=MCN=60°，AC=DC，ACMDCN（ASA），CM=CN，故正確；又MCN=180°MCANCB=180°60°

16、60°=60°，CMN是等邊三角形，NMC=ACD=60°，MNAB，故正確故選D二填空題（共1小題）3如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點(diǎn)，DEAC，EFAB，F(xiàn)DBC，則DEF的面積與ABC的面積之比等于1：3考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)1418944分析：首先根據(jù)題意求得：DFE=FED=EDF=60°，即可證得DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，得到邊的關(guān)系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得結(jié)果

17、解答：解：ABC是正三角形，B=C=A=60°，DEAC，EFAB，F(xiàn)DBC，AFE=CED=BDF=90°，BFD=CDE=AEF=30°，DFE=FED=EDF=60°，DEF是正三角形，BD：DF=1：，BD：AB=1：3，DEFABC，÷，=，DF：AB=1：，DEF的面積與ABC的面積之比等于1：3故答案為：1：3三解答題（共15小題）4在ABC中，AD是BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且EDF+EAF=180°，求證DE=DF考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義1418944分析：過D作DMAB，于M

18、，DNAC于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DN=DM，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理和平角定義求出AED=CFD，根據(jù)全等三角形的判定AAS推出EMDFND即可解答：證明：過D作DMAB，于M，DNAC于N，即EMD=FND=90°，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN（角平分線性質(zhì)），DME=DNF=90°，EAF+EDF=180°，MED+AFD=360°180°=180°，AFD+NFD=180°，MED=NFD，在EMD和FND中，EMDFND，DE=DF5在ABC中，ABC、ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DEBC，

19、分別交AB、AC于點(diǎn)D、E請說明DE=BD+EC考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)1418944分析：根據(jù)OB和OC分別平分ABC和ACB，和DEBC，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和等量代換，求證出DB=DO，OE=EC然后即可得出答案解答：解：在ABC中，OB和OC分別平分ABC和ACB，DBO=OBC，ECO=OCB，DEBC，DOB=OBC=DBO，EOC=OCB=ECO，DB=DO，OE=EC，DE=DO+OE，DE=BD+EC6已知：如圖，D是ABC的BC邊上的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF請判斷ABC是什么三角形？并說明理由考點(diǎn)：等腰三角形的判定；全

20、等三角形的判定與性質(zhì)1418944分析：用（HL）證明EBDFCD，從而得出EBD=FCD，即可證明ABC是等腰三角形解答：ABC是等腰三角形證明：連接AD，DEAB，DFAC，BED=CFD=90°，且DE=DF，D是ABC的BC邊上的中點(diǎn)，BD=DC，RtEBDRtFCD（HL），EBD=FCD，ABC是等腰三角形7如圖，ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC至E，使CE=CD連接DE（1）E等于多少度？（2）DBE是什么三角形？為什么？考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定1418944分析：（1）由題意可推出ACB=60°，E=CDE，然后根據(jù)三角形外角

21、的性質(zhì)可知：ACB=E+CDE，即可推出E的度數(shù)；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，BD不但為AC邊上的高，也是ABC的角平分線，即得：DBC=30°，然后再結(jié)合（1）中求得的結(jié)論，即可推出DBE是等腰三角形解答：解：（1）ABC是等邊三角形，ACB=60°，CD=CE，E=CDE，ACB=E+CDE，（2）ABC是等邊三角形，BDAC，ABC=60°，E=30°，DBC=E，DBE是等腰三角形8如圖，在ABC中，ACB=90°，CD是AB邊上的高，A=30°求證：AB=4BD考點(diǎn)：含30度角的直角三角形1418944分析：由ABC中，

22、ACB=90°，A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，則結(jié)論即可證明解答：解：ACB=90°，A=30°，AB=2BC，B=60°又CDAB，DCB=30°，BC=2BDAB=2BC=4BD9如圖，ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC的延長線上，且BD=CE，DE與BC相交于點(diǎn)F求證：DF=EF考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)1418944分析：過D點(diǎn)作DGAE交BC于G點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)得1=2，4=3，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得B=2，則B=1，于是有DB=DG，根據(jù)全等三角形的判定易得DF

23、GEFC，即可得到結(jié)論解答：證明：過D點(diǎn)作DGAE交BC于G點(diǎn)，如圖，1=2，4=3，AB=AC，B=2，B=1，DB=DG，而BD=CE，DG=CE，在DFG和EFC中，DFGEFC，DF=EF10已知等腰直角三角形ABC，BC是斜邊B的角平分線交AC于D，過C作CE與BD垂直且交BD延長線于E，求證：BD=2CE考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)1418944分析：延長CE，BA交于一點(diǎn)F，由已知條件可證得BFE全BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通過證明ADBFAC可得FC=BD，所以BD=2CE解答：證明：如圖，分別延長CE，BA交于一點(diǎn)FBEEC，F(xiàn)EB=CEB=90°，

24、BE平分ABC，F(xiàn)BE=CBE，又BE=BE，BFEBCE （ASA）FE=CECF=2CEAB=AC，BAC=90°，ABD+ADB=90°，ADB=EDC，ABD+EDC=90°又DEC=90°，EDC+ECD=90°，F(xiàn)CA=DBC=ABDADBAFCFC=DB，BD=2EC11（2012牡丹江）如圖，ABC中AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過程如下：如圖，連接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+S

25、ACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如圖，P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若A=30°，ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=7點(diǎn)P到AB邊的距離PE=4或10考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積1418944分析：（1）連接AP先根據(jù)三角形的面積公式分別表示出SABP，SACP，SABC，再由SABP=SACP+SABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CH，再由A

26、BC的面積為49，求出CH=7，由于CHPF，則可分兩種情況進(jìn)行討論：P為底邊BC上一點(diǎn)，運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E+PF=CH；P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E=PF+CH解答：解：（1）如圖，PE=PF+CH證明如下：PEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH，SABP=SACP+SABC，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30°，AC=2CHSABC=ABCH，AB=AC，×2CHCH=49，CH=7分兩種情況：P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖PE+PF=CH，PE=CHPF=73=4；P為

27、BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，如圖PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案為7；4或1012數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED=EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由”小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE=DB（填“”，“”或“=”） （2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如圖2，過點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F（請你完成以下解答過程）（3）拓展結(jié)論，

28、設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC若ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)1418944分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出D=ECB=30°，求出DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）過E作EFBC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證DEB和ECF全等，求出BD=EF即可；（3）當(dāng)D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時(shí)，由（2）求出CD=3，當(dāng)E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時(shí)，求出CD=1解答

29、：解：（1）故答案為：=（2）過E作EFBC交AC于F，等邊三角形ABC，ABC=ACB=A=60°，AB=AC=BC，AEF=ABC=60°，AFE=ACB=60°，即AEF=AFE=A=60°，AEF是等邊三角形，AE=EF=AF，ABC=ACB=AFE=60°，DBE=EFC=120°，D+BED=FCE+ECD=60°，DE=EC，D=ECD，BED=ECF，在DEB和ECF中，DEBECF，BD=EF=AE，即AE=BD，故答案為：=（3）解：CD=1或3，理由是：分為兩種情況：如圖1過A作AMBC于M，過E作EN

30、BC于N，則AMEM，ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，AMBENB，=，=，BN=，CN=1+=，CD=2CN=3；如圖2，作AMBC于M，過E作ENBC于N，則AMEM，ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，=，=，MN=1，CN=1=，CD=2CN=113已知：如圖，AF平分BAC，BCAF于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AF上，ED=EA，點(diǎn)P在CF上，連接PB交AF于點(diǎn)M若BAC=2MPC，請你判斷F與MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由考點(diǎn)：全等

31、三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)1418944分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定和線段垂直平分線性質(zhì)求出AB=AC=CD，推出CDA=CAD=CPM，求出MPF=CDM，PMF=BMA=CMD，在DCM和PMF中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可解答：解：F=MCD，理由是：AF平分BAC，BCAF，CAE=BAE，AEC=AEB=90°，在ACE和ABE中，ACEABE（ASA）AB=AC，CAE=CDEAM是BC的垂直平分線，CM=BM，CE=BE，CMA=BMA，AE=ED，CEAD，AC=CD，CAD=CDA，BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，MPC=CDA

32、，MPF=CDM，MPF=CDM（等角的補(bǔ)角相等），DCM+CMD+CDM=180°，F(xiàn)+MPF+PMF=180°，又PMF=BMA=CMD，MCD=F14如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F（1）線段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論（2）求BFD的度數(shù)考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)1418944分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知BAC=C=60°，AB=CA，結(jié)合AE=CD，可證明ABECAD，從而證得結(jié)論；（2）根據(jù)BFD=ABE+BAD，ABE=CAD，可知BFD=CAD+BAD

33、=BAC=60°解答：（1）證明：ABC為等邊三角形，BAC=C=60°，AB=CA在ABE和CAD中，ABECADAD=BE（2）解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD，ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=60°15如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BE=BF，連接AE、EF和CF，求證：AE=CF考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)1418944分析：根據(jù)已知利用SAS即可判定ABECBF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到AE=CF解答：證明：ABC=90°，ABE=CBF=90°，又AB=BC，BE=BF，ABECBF（SAS）AE=CF16已知：如圖，在OAB中，AOB=90°，OA=OB，在EOF中，EOF=90°，OE=OF，連接AE、BF問線段AE與BF之間有什么關(guān)系？請說明理由考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形1418944分析：可以把要證明相等的線段AE，CF放到AE