第1章質(zhì)點運動學

1、重大數(shù)理學院趙承均 一、參照系與坐標系為確定物體在空間的位置而選定的作為參照標準的某物體上固連的框架。為確定物體在空間的位置而選定的作為參照標準的某物體上固連的框架。為了描述物體在空間的相對位置而在參照系上建立的數(shù)學體系。為了描述物體在空間的相對位置而在參照系上建立的數(shù)學體系。（1）參照物大小是有限的，參照系可理解為全空間的；）參照物大小是有限的，參照系可理解為全空間的；（2）參照系是物理的，坐標系是數(shù)學的。）參照系是物理的，坐標系是數(shù)學的。參照系參照系坐標系坐標系為確定物體在空間的位置而選定的作為參照標準的物體。為確定物體在空間的位置而選定的作為參照標準的物體。參照物參照物reference

2、 bodiesreference framecoordinate system注意重大數(shù)理學院趙承均 重大數(shù)理學院趙承均 重大數(shù)理學院趙承均 重大數(shù)理學院趙承均 重大數(shù)理學院趙承均 重大數(shù)理學院趙承均 質(zhì)點位置的描述質(zhì)點位置的描述 直角坐標系直角坐標系中中其大?。浩浯笮。悍较蛴嘞曳较蛴嘞?其中：其中： 222rxyzcos,cos,cosxyzrrr222coscoscos1位矢位矢position vector自原點自原點o o引向質(zhì)點引向質(zhì)點P P所在位置的矢量。所在位置的矢量。ijky x tx z t y tPzorectangular coordinatescosines of di

3、rectional anglesrxiyjzk重大數(shù)理學院趙承均 位矢與時間的函數(shù)關系，稱為質(zhì)點的位矢與時間的函數(shù)關系，稱為質(zhì)點的運動學方程運動學方程。運動學方程運動學方程 其直角坐標系表示其直角坐標系表示 rr t r tx t iy t jz t k二、運動學方程與軌道equation of motion參數(shù)方程參數(shù)方程 xx tyy tzz tequations of parameters位矢分量與時間的函數(shù)關系，稱質(zhì)點運動學方程的位矢分量與時間的函數(shù)關系，稱質(zhì)點運動學方程的參數(shù)方程參數(shù)方程。重大數(shù)理學院趙承均 位矢端點描出的曲線，稱為質(zhì)點運動的位矢端點描出的曲線，稱為質(zhì)點運動的軌道軌道

4、。軌道軌道 軌道方程軌道方程 軌道可由運動學參數(shù)方程中消去軌道可由運動學參數(shù)方程中消去t t得到。得到。, ,0f x y z pathequation of path注意軌道的性質(zhì)依賴于參照系的選擇。軌道的性質(zhì)依賴于參照系的選擇。常用坐標系還有：極坐標系，柱坐標系，球坐標系，自然坐標系常用坐標系還有：極坐標系，柱坐標系，球坐標系，自然坐標系描述位矢各個分量之間函數(shù)關系的方程，稱為描述位矢各個分量之間函數(shù)關系的方程，稱為軌道方程軌道方程。重大數(shù)理學院趙承均 ( )cossinr tAtiAtjcossinxAtyAt質(zhì)點的運動方程為質(zhì)點的運動方程為運動方程的參數(shù)方程運動方程的參數(shù)方程222xy

5、A運動軌道方程運動軌道方程軌道：半徑為軌道：半徑為A A的圓的圓例：例：t r txyo重大數(shù)理學院趙承均 三、位移、速度與加速度 位置矢量的增量，稱為位置矢量的增量，稱為位移位移。()( )rr ttr t 在直角坐標系中在直角坐標系中rxiyjzk （2 2）位移與坐標系的選擇無關）位移與坐標系的選擇無關 （1 1）位移是矢量，其大?。┪灰剖鞘噶浚浯笮?r t1P2Psrr tt r tr ttrr位移位移displacement注意yxzo21rrrr o重大數(shù)理學院趙承均 在一段時間內(nèi)質(zhì)點在其軌跡上經(jīng)過的路徑的總長度，稱為在一段時間內(nèi)質(zhì)點在其軌跡上經(jīng)過的路徑的總長度，稱為路程路程。

6、（1）有限位移）有限位移 rs （2）無限小位移）無限小位移 drds注意注意sr r tr tt路程路程distanceyxzodifferential displacement重大數(shù)理學院趙承均 瞬時速度瞬時速度 00limlimttrdrvvrtdt 速率速率drdsvvdtdt速度的方向：速度的方向：軌道切向并指向質(zhì)點前進方向。軌道切向并指向質(zhì)點前進方向。 瞬時加速度瞬時加速度 220limtvdvd rartdtdt r t1P2Pr tt v tv tt v tv ttv速度的大小稱為速度的大小稱為速率速率。yxzoInstantaneous velocityInstantaneo

7、us accelerationspeed重大數(shù)理學院趙承均 重大數(shù)理學院趙承均 加速度加速度 yxzxyzdvdvdvdvaijka ia ja kdtdtdtdtxyzdrdxdydzvijkv iv jv kdtdtdtdt速度速度四、分量表示式 , , xyzvxvyvz分量式分量式222vvxyz大小大小cos, cos, cosyxzvvvvvv方向余弦方向余弦component expressions重大數(shù)理學院趙承均 思考題 例題例題1.1.求橢圓規(guī)尺上求橢圓規(guī)尺上M M點的軌道方點的軌道方程、速度及加速度。程、速度及加速度。例題例題2.2.半徑為半徑為R R的輪子沿直線軌的輪子

8、沿直線軌道無滑滾動，設角速度為常值，道無滑滾動，設角速度為常值，求輪緣上任一點的運動方程，并求輪緣上任一點的運動方程，并求該點的速度。求該點的速度。1ooyxMccxyoba,M x yAB重大數(shù)理學院趙承均 一、自然坐標系 曲率半徑曲率半徑密切平面密切平面在質(zhì)點運動的瞬間，在質(zhì)點在質(zhì)點運動的瞬間，在質(zhì)點兩側(cè)的軌道上各選取一個鄰兩側(cè)的軌道上各選取一個鄰近的點，與該質(zhì)點一起構成近的點，與該質(zhì)點一起構成三角平面。當兩點無限向質(zhì)三角平面。當兩點無限向質(zhì)點靠近時，此平面的極限稱點靠近時，此平面的極限稱為該質(zhì)點瞬間的為該質(zhì)點瞬間的密切平面密切平面。密切圓半徑稱為該點瞬間的密切圓半徑稱為該點瞬間的曲率半徑

9、曲率半徑。 曲率中心曲率中心密切圓圓心稱為該點瞬間的密切圓圓心稱為該點瞬間的曲率中心曲率中心。密切圓密切圓該三角形的外接圓的極限稱該三角形的外接圓的極限稱為該點瞬間的為該點瞬間的密切圓密切圓。1.1.密切平面密切平面PPPo重大數(shù)理學院趙承均 自然坐標自然坐標選擇軌跡上一點選擇軌跡上一點O O為原點并用由原點至質(zhì)點位置的弧長為原點并用由原點至質(zhì)點位置的弧長s s作為質(zhì)作為質(zhì)點坐標，任意方向為正。點坐標，任意方向為正。 2.2.自然坐標系自然坐標系重大數(shù)理學院趙承均 重大數(shù)理學院趙承均 重大數(shù)理學院趙承均 ss t運動學方程：運動學方程：速度：速度：drdsvvdtdt加速度：加速度：d vdv

10、dvdavdtdtdtdt n n二、切向加速度、法向加速度 dd n ddndtdto dd重大數(shù)理學院趙承均 d vdvdvdavdtdtdtdt又：又： naaa其中：其中： av2nvav nnd sd顯然：顯然： 切向加速度：切向加速度：第一項反映速度第一項反映速度大小大小隨時間的變化率，沿切線方向。隨時間的變化率，沿切線方向。法向加速度：法向加速度：第二項反映速度第二項反映速度方向方向隨時間的變化率，沿主法線方向。隨時間的變化率，沿主法線方向。 tangential accelerationcentripetal acceleration重大數(shù)理學院趙承均 討論下列幾種運動情況：討

11、論下列幾種運動情況：1. .0 , 0naa勻速直線運動勻速直線運動2. .0 , naCa勻變速直線運動勻變速直線運動3. .Caan , 0勻速率圓周（螺旋）運動勻速率圓周（螺旋）運動4. .0 , 0naa變速曲線運動變速曲線運動重大數(shù)理學院趙承均 極坐標系：極坐標系：M -M -動點動點O -O -極點極點OA -OA -極軸極軸 - -極半徑極半徑 - -極角，逆時針為正極角，逆時針為正1.1.平面極坐標平面極坐標 運動學方程：運動學方程： t t- -徑向徑向單位矢量單位矢量- -橫向橫向單位矢量單位矢量path點作平面曲線運動時，亦可用點作平面曲線運動時，亦可用極坐標描述其運動。

12、極坐標描述其運動。一、極坐標系AoM重大數(shù)理學院趙承均 速度：速度：ddrvdtdtvvvv其中：其中： vvvv- -徑向速度徑向速度分量分量- -橫向速度橫向速度分量分量oAMvvv2.2.徑向速度、橫向速度徑向速度、橫向速度重大數(shù)理學院趙承均 1.1.描述圓周運動的角量描述圓周運動的角量圓周運動是典型的二維運動的特例，建立圓周運動是典型的二維運動的特例，建立平面極坐標系，參考點平面極坐標系，參考點o，參考軸，參考軸ox。二、圓周運動的角量描述質(zhì)點所在位置的矢徑與質(zhì)點所在位置的矢徑與x x軸的夾角軸的夾角, ,稱為質(zhì)點對參考點的稱為質(zhì)點對參考點的角位置角位置。角位置角位置角位移角位移Aox

13、BR在某個時間間隔內(nèi)質(zhì)點經(jīng)過的角在某個時間間隔內(nèi)質(zhì)點經(jīng)過的角度稱為度稱為角位移角位移。在在t t時刻的角位置為：時刻的角位置為： t在在t t時刻的角位置為：時刻的角位置為：tt 角位移為：角位移為： ttt單位：弧度單位：弧度 rad重大數(shù)理學院趙承均 當當t0t0時，角位移為時，角位移為元角位移元角位移：d在矢量分析里，通常把元角位移當作矢量看待，寫成：在矢量分析里，通常把元角位移當作矢量看待，寫成：dd n其中：其中：d為元角位移的大小；為元角位移的大??； n為元角位移的方向。為元角位移的方向。 按照物理學慣例，規(guī)定元角位移的方向與質(zhì)點角運動的方向成按照物理學慣例，規(guī)定元角位移的方向與質(zhì)

14、點角運動的方向成右手右手螺旋螺旋。運動方向運動方向 n n重大數(shù)理學院趙承均 角速度角速度在單位時間間隔內(nèi)質(zhì)點經(jīng)過的角度稱為在單位時間間隔內(nèi)質(zhì)點經(jīng)過的角度稱為角速度角速度。ddt顯然，角速度的方向與元角位移的方向相同。顯然，角速度的方向與元角位移的方向相同。單位：弧度單位：弧度 Rad/s角加速度角加速度在單位時間間隔內(nèi)質(zhì)點角速度的改變稱為在單位時間間隔內(nèi)質(zhì)點角速度的改變稱為角加速度角加速度。22dddtdt顯然，角加速度的方向與角速度的改變方向相同。顯然，角加速度的方向與角速度的改變方向相同。單位：弧度單位：弧度 Rad/s2angular velocityangular accelerat

15、ion重大數(shù)理學院趙承均 角量：角量：描述轉(zhuǎn)動，如描述轉(zhuǎn)動，如角位移角位移、角速度角速度、角加速度角加速度、角動量角動量、力矩力矩等。等。角量、線量關系角量、線量關系線量：線量：描述平動，如描述平動，如位移位移、速度速度、加速度加速度、動量動量、力力等。等。線量位移速度加速度動量（平動）動能平動慣量m角量 I角位移角速度角加速度角動量（轉(zhuǎn)動）動能轉(zhuǎn)動慣量rdrvdt22d radtpmv212tEmvddt22ddtJI212rEI表表1 1： 線量、角量線量、角量概念概念對稱對稱討論重大數(shù)理學院趙承均 線量、角量線量、角量在描述物體相應運動的時候，幾乎所有的定律、守恒率的在描述物體相應運動的

16、時候，幾乎所有的定律、守恒率的數(shù)學形式也有數(shù)學形式也有相似性相似性，滿足對稱法則。，滿足對稱法則。線量力平動功沖量動量定理牛二定律角量力矩轉(zhuǎn)動功沖量矩角動量定理轉(zhuǎn)動定律表表2 2： 線量、角量線量、角量運算規(guī)則運算規(guī)則對稱對稱FtdWF drtdIFdtFmaM r F rdWM drdIMdtMIdpFdtdJMdt重大數(shù)理學院趙承均 思考題思考題例題例題1.1.已知螺旋曲線上已知螺旋曲線上M M點的軌道方點的軌道方程是程是 , ,求任意時刻求任意時刻的的速度速度大小以及大小以及加速度加速度變化情況。變化情況。2,0sktk例題例題2.2.已知已知M M點的軌道是一般曲線，點的軌道是一般曲線

17、，加速度為常矢量加速度為常矢量, ,如圖所示。問：如圖所示。問：1 1、質(zhì)點作何種運動？、質(zhì)點作何種運動？2 2、能否舉出實例？、能否舉出實例？3 3、有、有加速度加速度恒定的圓周運動嗎？恒定的圓周運動嗎？ 重大數(shù)理學院趙承均 例例3 3：一質(zhì)點作半徑為一質(zhì)點作半徑為R R的圓周運動，其速率滿足的圓周運動，其速率滿足 ，k k為常數(shù)，試為常數(shù)，試求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。 vkRt解：解：切向加速度切向加速度dvakRdt法向加速度法向加速度加速度加速度2222nkRtvak RtrR2222222 41naaakRk RtkRk t重

18、大數(shù)理學院趙承均 （1 1）加速度）加速度 a a 為一常量：為一常量：（2 2）物體沿）物體沿x x軸作直線運動；軸作直線運動；（3 3）初始條件）初始條件 t=0 t=0 時：時：由于是一維運動，由加速度定義：由于是一維運動，由加速度定義：運動公式運動公式,ooxx vv常見的幾種運動常見的幾種運動1.1.勻變速直線運動勻變速直線運動補充aConstantdvdvaadtdtdvadt重大數(shù)理學院趙承均 兩邊積分：兩邊積分：（1 1）由速度定義：由速度定義：兩邊積分：兩邊積分：0ovtvdvadtovvatovvatdrdxvvdtdtdxvdt00oxttoxdxvdtvat dt重大數(shù)

19、理學院趙承均 由（由（1 1）、（）、（2 2）式：）式： 三個公式只有兩個公式獨立。三個公式只有兩個公式獨立。 三個公式只適用于勻變速直線運動。三個公式只適用于勻變速直線運動。212ooxxv tat（2 2）消消 t t 有：有：ovvat212ooxxv tat222oovva xx注意（3 3）重大數(shù)理學院趙承均 運動疊加原理運動疊加原理物體同時參與幾種運動時，各運動之間互不干擾，相互矢量疊加。物體同時參與幾種運動時，各運動之間互不干擾，相互矢量疊加。2.2.豎直上拋豎直上拋豎直向上的勻速直線運動豎直向上的勻速直線運動 + + 自由落體自由落體3.3.豎直下拋豎直下拋豎直向下的勻速直線

20、運動豎直向下的勻速直線運動 + + 自由落體自由落體運動方程運動方程212oyv tgt運動方程運動方程212oyv tgt重大數(shù)理學院趙承均 4.4.平拋平拋水平方向上的勻速直線運動水平方向上的勻速直線運動 + + 自由落體自由落體運動方程運動方程 212or tv tigt joxv t212ygtovov t212gtroyx重大數(shù)理學院趙承均 運動方程運動方程5.5.斜上拋斜上拋ovov t212gtroyx斜上方向上的勻速直線運動斜上方向上的勻速直線運動 + + 自由落體自由落體 21cossin2oor tv tiv tgtjcosoxv t21cos2oyv tgt重大數(shù)理學院趙

21、承均 同一物體的運動，在不同參考系中，對其描述并不相同，即運動描述同一物體的運動，在不同參考系中，對其描述并不相同，即運動描述具有具有相對性相對性。例如：一只行進的船升旗例如：一只行進的船升旗船相對對岸的位矢船相對對岸的位矢: :ro旗幟相對船的位矢旗幟相對船的位矢: :r旗幟相對岸的位矢旗幟相對岸的位矢: :rrrr旗岸船岸旗船orrr即：即：即即相對位矢相對位矢即即牽連位矢牽連位矢即即絕對位矢絕對位矢rorrrelativity相對性相對性absolute vectorentangled vectorrelative vector重大數(shù)理學院趙承均 質(zhì)點相對于地球參照系的速度等于它相對于運

22、動參照系的位矢與運質(zhì)點相對于地球參照系的速度等于它相對于運動參照系的位矢與運動參照系相對于地球參照系的位矢的矢量和。動參照系相對于地球參照系的位矢的矢量和。vvvooaaa由此可得位移、速度和加速度的變換式：由此可得位移、速度和加速度的變換式：rrr oGalileoGalileo速度變換速度變換21rrr drvdtdvadtGalileoGalileo加速度變換加速度變換GalileoGalileo位移變換位移變換重大數(shù)理學院趙承均 例例1.1. 當一列火車以當一列火車以 36km/h 36km/h 的速率向東行駛時的速率向東行駛時, ,相對地面勻速豎直下落相對地面勻速豎直下落雨滴在列車的窗子上形成的雨跡與豎直方向成雨滴在列車的窗子上形成的雨跡與豎直方向成 3030角。求：角。求：(1)