第二章 分子動(dòng)理論的平衡態(tài)理論_第1頁
第二章 分子動(dòng)理論的平衡態(tài)理論_第2頁
第二章 分子動(dòng)理論的平衡態(tài)理論_第3頁
第二章 分子動(dòng)理論的平衡態(tài)理論_第4頁
第二章 分子動(dòng)理論的平衡態(tài)理論_第5頁
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文檔簡(jiǎn)介

1、 2.1 2.1 分子動(dòng)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)分子動(dòng)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué) 2.2 2.2 概率論的基本知識(shí)概率論的基本知識(shí) 2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布 2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布 2.5 2.5 氣體分子碰壁數(shù)及其應(yīng)用氣體分子碰壁數(shù)及其應(yīng)用 2.6 2.6 外力場(chǎng)中自由粒子的分布外力場(chǎng)中自由粒子的分布 玻爾茲曼分布玻爾茲曼分布 2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理熱物理學(xué)的微觀理論是在分子動(dòng)(理學(xué))理論(簡(jiǎn)稱分子動(dòng)理熱物理學(xué)的微觀理論是在分子動(dòng)(理學(xué))理論(簡(jiǎn)稱分子動(dòng)理論)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。論)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。分子動(dòng)理論方法的分子動(dòng)理論方法的主要特點(diǎn)主要

2、特點(diǎn)是:是:它考慮到分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞,它考慮到分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞,考慮到分子間有相互作用力,考慮到分子間有相互作用力,利用力學(xué)定律和概率論來討論分子運(yùn)動(dòng)、分子碰撞的詳情利用力學(xué)定律和概率論來討論分子運(yùn)動(dòng)、分子碰撞的詳情其最終及最高目標(biāo)是其最終及最高目標(biāo)是描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過程描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過程。從廣義上來說:從廣義上來說:統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和相互作用的認(rèn)識(shí)出發(fā),采用概統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和相互作用的認(rèn)識(shí)出發(fā),采用概率統(tǒng)計(jì)的方法來說明或預(yù)言由大量粒子組成的宏觀物體的物理率統(tǒng)計(jì)的方法來說明或預(yù)言由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質(zhì)。

3、性質(zhì)。按這種觀點(diǎn),分子動(dòng)理論也應(yīng)歸于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的范疇。按這種觀點(diǎn),分子動(dòng)理論也應(yīng)歸于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的范疇。 對(duì)于初學(xué)者,重點(diǎn)應(yīng)掌握基本物理概念對(duì)于初學(xué)者,重點(diǎn)應(yīng)掌握基本物理概念處理問題的物理思想及基本物理方法,處理問題的物理思想及基本物理方法,熟悉物理理論的重要基礎(chǔ)熟悉物理理論的重要基礎(chǔ)基本實(shí)驗(yàn)事實(shí)?;緦?shí)驗(yàn)事實(shí)。在某些問題(特別是一些非平衡態(tài)問題)中可暫不去追究理在某些問題(特別是一些非平衡態(tài)問題)中可暫不去追究理論的十分嚴(yán)密與結(jié)果的十分精確。論的十分嚴(yán)密與結(jié)果的十分精確。因?yàn)橄喈?dāng)簡(jiǎn)單的例子中常常包含基本物理方法中的精華,因?yàn)橄喈?dāng)簡(jiǎn)單的例子中常常包含基本物理方法中的精華,它常常能解決概念上的困難

4、并能指出新的計(jì)算步驟及近似方它常常能解決概念上的困難并能指出新的計(jì)算步驟及近似方法法在在1.6中討論氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強(qiáng)公式時(shí)中討論氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強(qiáng)公式時(shí),曾簡(jiǎn)單地認(rèn)曾簡(jiǎn)單地認(rèn)為每一分子均以平均速率運(yùn)動(dòng),并以此來替代相應(yīng)物理量的統(tǒng)為每一分子均以平均速率運(yùn)動(dòng),并以此來替代相應(yīng)物理量的統(tǒng)計(jì)平均,這里的近似很粗糙計(jì)平均,這里的近似很粗糙實(shí)際的情況是粒子幾乎有所有可能的速度,只是不同速度的粒實(shí)際的情況是粒子幾乎有所有可能的速度,只是不同速度的粒子所占比例不一樣而已,因而解決上述問題的關(guān)鍵是要找到分子所占比例不一樣而已,因而解決上述問題的關(guān)鍵是要找到分子按速率的概率分布律。子按速率的概率分布

5、律。本節(jié)將介紹有關(guān)概率及概率分布函數(shù)的基本知識(shí)。本節(jié)將介紹有關(guān)概率及概率分布函數(shù)的基本知識(shí)。 有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的最直觀的演示有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的最直觀的演示是伽爾頓板實(shí)驗(yàn),如圖(是伽爾頓板實(shí)驗(yàn),如圖(a)所所示。示。無法使小球落入漏斗內(nèi)的初始無法使小球落入漏斗內(nèi)的初始狀態(tài)完全相同。狀態(tài)完全相同。因而小球落入那一小槽完全是因而小球落入那一小槽完全是隨機(jī)的。隨機(jī)的。只要小球總數(shù)足夠多(只要小球總數(shù)足夠多(N ),),則每一小槽內(nèi)都有小球落入,且第則每一小槽內(nèi)都有小球落入,且第i個(gè)槽內(nèi)小球數(shù)個(gè)槽內(nèi)小球數(shù)Ni 與小球總數(shù)與小球總數(shù)N(N=Ni)之比有一定的分布。之比有一定的分布。若板中各釘子是等距離配置的,則若

6、板中各釘子是等距離配置的,則其分布曲線如圖其分布曲線如圖2.1(b)所示。其所示。其分布曲線對(duì)稱于漏斗形入口的豎直分布曲線對(duì)稱于漏斗形入口的豎直中心軸。中心軸。若重復(fù)做實(shí)驗(yàn)若重復(fù)做實(shí)驗(yàn)甚至用同一小球投甚至用同一小球投入漏斗入漏斗N次(次(N ),其分布曲其分布曲線都相同。線都相同。由此可見,雖然各小球在與任一釘由此可見,雖然各小球在與任一釘子碰撞后向左還是向右運(yùn)動(dòng)都是隨子碰撞后向左還是向右運(yùn)動(dòng)都是隨機(jī)的,由很多偶然因素決定,但最機(jī)的,由很多偶然因素決定,但最終大量小球的總體在各槽內(nèi)的分布終大量小球的總體在各槽內(nèi)的分布卻有一定的分布規(guī)律,這種規(guī)律由卻有一定的分布規(guī)律,這種規(guī)律由統(tǒng)計(jì)相關(guān)性所決定統(tǒng)

7、計(jì)相關(guān)性所決定 (一)概率的定義(一)概率的定義在一定條件下,如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也可能在一定條件下,如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,我們就稱這樣的事件為不發(fā)生,我們就稱這樣的事件為隨機(jī)事件隨機(jī)事件。與之相對(duì)應(yīng)的。與之相對(duì)應(yīng)的是是確定事件確定事件。隨機(jī)事件:隨機(jī)事件: 擲骰子哪一面朝上完全是隨機(jī)的,受到許多不能確定的擲骰子哪一面朝上完全是隨機(jī)的,受到許多不能確定的 偶然因素的影響,偶然因素的影響, 如生男生女、如如生男生女、如“天有不測(cè)風(fēng)云、人有旦夕禍福天有不測(cè)風(fēng)云、人有旦夕禍?!薄4_定事件:確定事件: 標(biāo)況下,水在標(biāo)況下,水在100攝氏度會(huì)必然會(huì)沸騰。攝氏度會(huì)必然會(huì)沸騰

8、。 太陽必然會(huì)東升西落太陽必然會(huì)東升西落 雞蛋孵出來的必然不是鴨子雞蛋孵出來的必然不是鴨子 等等等等(一)概率的定義(一)概率的定義但是偶然中卻有必然:但是偶然中卻有必然:如多次投擲硬幣出現(xiàn)正反面的概率為如多次投擲硬幣出現(xiàn)正反面的概率為50%男女嬰兒出生比為男女嬰兒出生比為22:21(世界各地均如此)(世界各地均如此)大數(shù)定律:大數(shù)定律:當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率會(huì)穩(wěn)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)值定在某個(gè)數(shù)值P附近擺動(dòng),這個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值附近擺動(dòng),這個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值P稱為稱為隨機(jī)事件隨機(jī)事件的概率的概率。概率:概率:若在相同條件下重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)試驗(yàn)(如擲骰子)若在相同條

9、件下重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)試驗(yàn)(如擲骰子),在總次數(shù),在總次數(shù) N 足夠多的情況下(即足夠多的情況下(即 N ),),計(jì)算所出計(jì)算所出現(xiàn)某一事件(如哪一面向上)的次數(shù)現(xiàn)某一事件(如哪一面向上)的次數(shù) NL ,則其百分比即則其百分比即該事件出現(xiàn)的概率該事件出現(xiàn)的概率 :)(limNNPLNL(二)等概率性(二)等概率性在擲骰子時(shí),一般認(rèn)為出現(xiàn)每一面向上的概率是相等的。在擲骰子時(shí),一般認(rèn)為出現(xiàn)每一面向上的概率是相等的。若在某一面上鉆個(gè)小孔,在小孔中塞進(jìn)些鉛,然后再封上,若在某一面上鉆個(gè)小孔,在小孔中塞進(jìn)些鉛,然后再封上,或者通過一些其他磁鐵等,則我們預(yù)料情況會(huì)不同或者通過一些其他磁鐵等,則我們預(yù)料情況會(huì)不

10、同由此可總結(jié)出一條基本原理:由此可總結(jié)出一條基本原理:等概率性等概率性在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)概率更大些(或在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)概率更大些(或更小些)情況下,每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等。更小些)情況下,每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等。思考題一:思考題一:抽簽的幾率和抽簽順序是否有關(guān)。抽簽的幾率和抽簽順序是否有關(guān)。十個(gè)人中隨機(jī)挑選一人獲得某個(gè)機(jī)會(huì),寫十張紙條(其中只十個(gè)人中隨機(jī)挑選一人獲得某個(gè)機(jī)會(huì),寫十張紙條(其中只有一張有記號(hào)),每人拿走一張,問,先抽的人中的幾率有一張有記號(hào)),每人拿走一張,問,先抽的人中的幾率大還是后抽的人機(jī)會(huì)大?大還是后抽的人機(jī)會(huì)大?有人說是先抽的人,因?yàn)橄瘸榈娜思垪l

11、都在,如果后抽,可有人說是先抽的人,因?yàn)橄瘸榈娜思垪l都在,如果后抽,可能紙條就被先抽走了能紙條就被先抽走了也有人說是后抽的人,先抽的人的幾率是也有人說是后抽的人,先抽的人的幾率是10選選1,如果先抽的,如果先抽的人沒抽著,后抽的人的幾率就是人沒抽著,后抽的人的幾率就是9選選1,甚至更高,甚至更高也有人認(rèn)為這和抽簽順序無關(guān),因?yàn)榧偃绱蠹页橥旰蠖疾豢匆灿腥苏J(rèn)為這和抽簽順序無關(guān),因?yàn)榧偃绱蠹页橥旰蠖疾豢唇Y(jié)果,等所有的人都拿到以后再看,每個(gè)人的概率都是結(jié)果,等所有的人都拿到以后再看,每個(gè)人的概率都是10選選1到底如何?到底如何?思考題二:思考題二:班級(jí)同學(xué)中出現(xiàn)二個(gè)人生日在同一天(不管出生年份)的概班

12、級(jí)同學(xué)中出現(xiàn)二個(gè)人生日在同一天(不管出生年份)的概率有多大?率有多大?或者說,如果你的所有朋友在他們生日的時(shí)候都會(huì)邀請(qǐng)你的或者說,如果你的所有朋友在他們生日的時(shí)候都會(huì)邀請(qǐng)你的話,那么你在某一天接到兩份生日宴會(huì)邀請(qǐng)的概率有多大話,那么你在某一天接到兩份生日宴會(huì)邀請(qǐng)的概率有多大?0.4642(24),), 0.09738(40)(三)概率的基本性質(zhì)(三)概率的基本性質(zhì)(1)概率相加法則:概率相加法則:n 個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)事件發(fā)生概率之和,簡(jiǎn)稱概率相加法則。事件發(fā)生概率之和,簡(jiǎn)稱概率相加法則。所謂所謂n個(gè)互相排斥(簡(jiǎn)稱互斥)的事件是指,出現(xiàn)事件個(gè)互相排

13、斥(簡(jiǎn)稱互斥)的事件是指,出現(xiàn)事件1,就,就不可能同時(shí)出現(xiàn)事件不可能同時(shí)出現(xiàn)事件2,3n,同樣對(duì)同樣對(duì)2,3n事件也是如此事件也是如此。如投擲一枚硬幣,要么出現(xiàn)正面要么出現(xiàn)反面如投擲一枚硬幣,要么出現(xiàn)正面要么出現(xiàn)反面如投擲色子,六面出現(xiàn)的概率加一起為如投擲色子,六面出現(xiàn)的概率加一起為1如:如:明天要是不下雨的話很可能就會(huì)繼續(xù)天晴,當(dāng)然,理論明天要是不下雨的話很可能就會(huì)繼續(xù)天晴,當(dāng)然,理論上也不排除多云轉(zhuǎn)陰天的可能上也不排除多云轉(zhuǎn)陰天的可能 。概率相加規(guī)律適用于概率相加規(guī)律適用于: 或者或者,或者或者.(要么要么,要么要么.)如:投擲一次色子,出現(xiàn)如:投擲一次色子,出現(xiàn)1或者或者6的概率是多少?

14、的概率是多少?1/6+1/6(概率概率相加相加)(三)概率的基本性質(zhì)(三)概率的基本性質(zhì)(2)概率相乘法則:概率相乘法則:同時(shí)或依次發(fā)生的,互不相關(guān)(或相互同時(shí)或依次發(fā)生的,互不相關(guān)(或相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立)的事件發(fā)生的概率等于各個(gè)事件概率之乘積,簡(jiǎn)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立)的事件發(fā)生的概率等于各個(gè)事件概率之乘積,簡(jiǎn)稱概率相乘法則。稱概率相乘法則。關(guān)鍵要兩次事件完全獨(dú)立。關(guān)鍵要兩次事件完全獨(dú)立。如:連續(xù)兩次投擲硬幣,連續(xù)出現(xiàn)相同一面朝上的概率是多如:連續(xù)兩次投擲硬幣,連續(xù)出現(xiàn)相同一面朝上的概率是多大?大?1/2 乘以乘以1/2概率相乘規(guī)律適用于概率相乘規(guī)律適用于: 即即,又又. 六連號(hào)的概率:六連號(hào)的概率:100個(gè)號(hào)

15、碼中隨機(jī)抽取個(gè)號(hào)碼中隨機(jī)抽取6個(gè)號(hào)碼,抽取的六個(gè)個(gè)號(hào)碼,抽取的六個(gè)號(hào)碼連在一起的概率是多少?號(hào)碼連在一起的概率是多少?95/C6 100統(tǒng)計(jì)分布的最直接的應(yīng)用是求平均值。統(tǒng)計(jì)分布的最直接的應(yīng)用是求平均值。以求平均年齡為例,以求平均年齡為例,N 個(gè)人的年齡平均值就是個(gè)人的年齡平均值就是 N 個(gè)人的年齡個(gè)人的年齡之和除以總?cè)藬?shù)之和除以總?cè)藬?shù) N。求年齡之和可以將人按年齡分組,設(shè)求年齡之和可以將人按年齡分組,設(shè)ui為隨機(jī)變量(例如年為隨機(jī)變量(例如年齡),其中出現(xiàn)(年齡)齡),其中出現(xiàn)(年齡)u1值的次(或人)數(shù)為值的次(或人)數(shù)為N1,u2值的值的次(或人)數(shù)為次(或人)數(shù)為N2,則該隨機(jī)變量(年

16、齡)的平均值為則該隨機(jī)變量(年齡)的平均值為 NuNNuNuNuiiiii2211兩式均是求平均值公式,兩式均是求平均值公式,第一式通過求和來求平均值的,第一式通過求和來求平均值的,第二式是利用概率分布來求平均值的。第二式是利用概率分布來求平均值的。第二式在科學(xué)研究中更常見。第二式在科學(xué)研究中更常見。對(duì)于更復(fù)雜的函數(shù),對(duì)于更復(fù)雜的函數(shù),設(shè)設(shè)f(u)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 u 的函數(shù),則的函數(shù),則其平其平均值為:均值為: iiiuPuPuPu22111( )()niiif uf uP1122iiiiiN uN uN uuNN因?yàn)橐驗(yàn)镹i / N 是出現(xiàn)是出現(xiàn) ui 值的百分比,當(dāng)值的百分比,當(dāng)N

17、時(shí)該百分比就時(shí)該百分比就是出現(xiàn)是出現(xiàn) ui 值的概率值的概率 Pi ,故故平均值的性質(zhì)平均值的性質(zhì) (2) 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 u 和隨機(jī)變量和隨機(jī)變量 v 相互相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,且,且 f ( u ) 是是u 的某一函數(shù),的某一函數(shù),g(v)是是 v 的另一函數(shù),則:的另一函數(shù),則: )()()()(ugufuguf)()(ufcucf)()()()(vgufvguf11iniP(1)若)若 C 為常數(shù),則為常數(shù),則 應(yīng)該注意到,以上討論的各種概率都是歸一化的,即應(yīng)該注意到,以上討論的各種概率都是歸一化的,即:uuuii 22222uuuuuu02u 2222uuuuu 22uu 隨機(jī)

18、變量會(huì)偏離平均值隨機(jī)變量會(huì)偏離平均值 ,即:,即:一般其偏離值的平均值為零,一般其偏離值的平均值為零, 但均方偏差不為零。但均方偏差不為零。121222r m suuuuuu0rmsu定義相對(duì)均方根偏差:方均根定義相對(duì)均方根偏差:方均根/平均值,為:平均值,為:當(dāng)當(dāng)ui 所有值都等于相同值時(shí)所有值都等于相同值時(shí):可見相對(duì)均方根偏差表示了隨機(jī)變量在平均值附近分散開的程可見相對(duì)均方根偏差表示了隨機(jī)變量在平均值附近分散開的程度,也稱為度,也稱為漲落、散度或散差漲落、散度或散差。平均值表示綜合國(guó)力,均方偏差更能反映貧富差距平均值表示綜合國(guó)力,均方偏差更能反映貧富差距上面所討論的隨機(jī)變量只能取離散值。實(shí)

19、際變量很多是連續(xù)變上面所討論的隨機(jī)變量只能取離散值。實(shí)際變量很多是連續(xù)變化,如粒子的空間位置或粒子的速度?;缌W拥目臻g位置或粒子的速度。在隨機(jī)變量取連續(xù)值時(shí),上述求平均值公式中在隨機(jī)變量取連續(xù)值時(shí),上述求平均值公式中 Pi 也是連續(xù)分也是連續(xù)分布的。布的。當(dāng)然,測(cè)量?jī)x器總有誤差,測(cè)不出分子速率恰好為當(dāng)然,測(cè)量?jī)x器總有誤差,測(cè)不出分子速率恰好為100m/s的分的分子數(shù)是多少,若儀器的誤差范圍為子數(shù)是多少,若儀器的誤差范圍為1m/s,則只能測(cè)出分子速率,則只能測(cè)出分子速率從從99.5m/s到到100.5m/s的分子數(shù)是多少。的分子數(shù)是多少。我們不能講分子速率恰好處于我們不能講分子速率恰好處于1

20、00m/s的概率,而只能講分子速的概率,而只能講分子速率介于某一范圍(例如率介于某一范圍(例如99m/s101m/s)內(nèi)的概率。)內(nèi)的概率。打靶試驗(yàn)的例子打靶試驗(yàn)的例子子彈沿靶板的分布實(shí)驗(yàn)子彈沿靶板的分布實(shí)驗(yàn)圖是直角坐標(biāo)示靶板上的分布圖是直角坐標(biāo)示靶板上的分布把靶平面劃分出很多寬為把靶平面劃分出很多寬為 x的窄條,的窄條, x的的寬度比黑點(diǎn)的大小要大得多。寬度比黑點(diǎn)的大小要大得多。數(shù)出在數(shù)出在x到到x+x范圍窄條的黑點(diǎn)數(shù)范圍窄條的黑點(diǎn)數(shù)N,它,它除以靶板上總的黑點(diǎn)數(shù)除以靶板上總的黑點(diǎn)數(shù)N,得到的百分比,得到的百分比N/N就是黑點(diǎn)處于就是黑點(diǎn)處于x 到到x+x范圍內(nèi)這一范圍內(nèi)這一窄條的概率。窄條

21、的概率。然后以然后以 N / (N x )為縱坐標(biāo),以為縱坐標(biāo),以 x 為橫坐標(biāo),畫出一根根柱狀為橫坐標(biāo),畫出一根根柱狀條形。條形。則每個(gè)柱形的高度為則每個(gè)柱形的高度為 N / (N x ),寬度為,寬度為 x,則豎條面積為,則豎條面積為N/N,就是子彈處在,就是子彈處在x 到到x+x內(nèi)所占的百分比,即概率內(nèi)所占的百分比,即概率這樣的圖就叫這樣的圖就叫直方圖直方圖若令若令 x0 ,就得到一條連續(xù)曲線,這時(shí)的縱坐標(biāo),就得到一條連續(xù)曲線,這時(shí)的縱坐標(biāo) f (x )稱為稱為黑點(diǎn)沿黑點(diǎn)沿 x 方向分布的概率密度函數(shù),表示黑點(diǎn)沿方向分布的概率密度函數(shù),表示黑點(diǎn)沿x方向的相對(duì)方向的相對(duì)密集程度。密集程度。

22、而黑點(diǎn)處在而黑點(diǎn)處在處于處于x到到x+dx范圍內(nèi)的概率為:范圍內(nèi)的概率為: f(x)dx由積分的面積意義知,黑點(diǎn)處于由積分的面積意義知,黑點(diǎn)處于x1到到x2范圍內(nèi)的概率為:范圍內(nèi)的概率為: dxxfxx)(211)(dxxf顯然,黑點(diǎn)處在顯然,黑點(diǎn)處在0到無窮大的到無窮大的概率為:概率為:此即歸一化條件此即歸一化條件類似地,如果是二維情況,可再把靶板沿類似地,如果是二維情況,可再把靶板沿y方向劃分為若干寬方向劃分為若干寬為為 y 的窄條的窄條,數(shù)出每一窄條中的黑點(diǎn)數(shù),數(shù)出每一窄條中的黑點(diǎn)數(shù),求出求出 f ( y )= N /(N y),并),并令令 y0 可得到黑點(diǎn)處于可得到黑點(diǎn)處于y到到y(tǒng)+

23、dy范圍內(nèi)的概率為范圍內(nèi)的概率為f(y)dy。顯然,黑點(diǎn)處于顯然,黑點(diǎn)處于x到到x+dx,y到到y(tǒng)+dy范圍內(nèi)的概率就是圖中打上范圍內(nèi)的概率就是圖中打上斜線的范圍內(nèi)的黑點(diǎn)數(shù)與總黑點(diǎn)數(shù)之比。斜線的范圍內(nèi)的黑點(diǎn)數(shù)與總黑點(diǎn)數(shù)之比。f(x,y)稱為黑點(diǎn)沿平面位置的概率密度分布函數(shù),它表示在)稱為黑點(diǎn)沿平面位置的概率密度分布函數(shù),它表示在這一區(qū)域內(nèi)黑點(diǎn)相對(duì)密集的程度。這一區(qū)域內(nèi)黑點(diǎn)相對(duì)密集的程度。f (x,y)dxdy稱為沿平面位置的概率分布函數(shù)稱為沿平面位置的概率分布函數(shù)要求出處于要求出處于x1到到x2、y1 到到y(tǒng)2內(nèi)的概率,內(nèi)的概率,則對(duì)則對(duì)x、y積分積分:22221111( , )( )( )y

24、xyxyxyxf x y dxdyf y dyf x dx有了概率分布函數(shù)就可求平均值。有了概率分布函數(shù)就可求平均值。例如,黑點(diǎn)的例如,黑點(diǎn)的x方向坐標(biāo)偏離靶心(方向坐標(biāo)偏離靶心(x=0)的平均值為)的平均值為:x的某一函數(shù)的某一函數(shù)F(x)的平均值為)的平均值為:dxxxfx)(dxxfxFxF)()()( dxdyyxfyxgyxg),(),(),(對(duì)于處在確定平衡態(tài)系統(tǒng)的分子:平均速率恒定。對(duì)于處在確定平衡態(tài)系統(tǒng)的分子:平均速率恒定。但實(shí)際上:分子速率取各種大小的都有。但實(shí)際上:分子速率取各種大小的都有。且同一分子在不同時(shí)間速率也會(huì)變化。且同一分子在不同時(shí)間速率也會(huì)變化。不過,對(duì)于處在確

25、定平衡態(tài)的分子,雖然每個(gè)分子在某一瞬時(shí)不過,對(duì)于處在確定平衡態(tài)的分子,雖然每個(gè)分子在某一瞬時(shí)的速度大小、方向都在隨機(jī)地變化著,但是大多數(shù)分子之間存的速度大小、方向都在隨機(jī)地變化著,但是大多數(shù)分子之間存在一種統(tǒng)計(jì)相關(guān)性,在一種統(tǒng)計(jì)相關(guān)性,這種統(tǒng)計(jì)相關(guān)性表現(xiàn)為:這種統(tǒng)計(jì)相關(guān)性表現(xiàn)為:平均說來氣體分子的速率(指速度的大小)介于平均說來氣體分子的速率(指速度的大小)介于 v 到到v + dv 的的概率(即速率分布函數(shù))是不會(huì)改變的概率(即速率分布函數(shù))是不會(huì)改變的 早在早在1859年,年,英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋利用平衡態(tài)理想氣體分子英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋利用平衡態(tài)理想氣體分子在三個(gè)方向上作獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的假設(shè)導(dǎo)

26、出了麥克斯韋速率公布在三個(gè)方向上作獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的假設(shè)導(dǎo)出了麥克斯韋速率公布,其其表達(dá)式如下表達(dá)式如下:dvvekTmdvvfkTmv222/32)2(4)(其中其中k為玻爾茲曼為玻爾茲曼常量(Boltzmann constant),m、T分別為分別為分子質(zhì)量和溫度子質(zhì)量和溫度.圖右圖右陰影面積表示:陰影面積表示:分子速率介于分子速率介于v1 到到 內(nèi)分子數(shù)與總分子數(shù)之比,其數(shù)值應(yīng)該內(nèi)分子數(shù)與總分子數(shù)之比,其數(shù)值應(yīng)該從下面的積分求出:從下面的積分求出: dvvkTmvkTmdvvf222/32exp)2(4)(dvvkTmvkTmdvvfvv222/32exp)2(4)(11圖左圖左斜條狹長(zhǎng)區(qū)域面積

27、表示:斜條狹長(zhǎng)區(qū)域面積表示:速率介于速率介于v到v + dv分子數(shù)與總分子數(shù)之比,此即麥克斯韋速率分子數(shù)與總分子數(shù)之比,此即麥克斯韋速率分布分布:計(jì)算積分時(shí),可利用附錄計(jì)算積分時(shí),可利用附錄2-1中的積分公式:中的積分公式:2/32204)exp(adxxax124)2(4)(2/32/30mkTkTmdvvfdvvkTmvkTmdvvf222/3002exp)2(4)(并令并令 = m/2kT ,則:則:說明麥克斯韋速率分布是歸一化的。說明麥克斯韋速率分布是歸一化的。一些定積分公式:一些定積分公式:2022200( )exp() ;(2)exp()exp()( )nnnI nxx dxI n

28、xxdxxx dxI n1/221/2012101(0)exp() ;21(1)exp()2IydyIyydy關(guān)于麥克斯韋分布說明幾點(diǎn):關(guān)于麥克斯韋分布說明幾點(diǎn):(1)麥克斯韋分布適用于麥克斯韋分布適用于平衡態(tài)平衡態(tài)的氣體。在平衡狀態(tài)下氣體分的氣體。在平衡狀態(tài)下氣體分子密度子密度n及氣體溫度都有確定數(shù)值,故其速率分布也是確定的,及氣體溫度都有確定數(shù)值,故其速率分布也是確定的,它僅是分子質(zhì)量及氣體溫度的函數(shù),它僅是分子質(zhì)量及氣體溫度的函數(shù),其分布曲線隨分子質(zhì)量或溫度的變化趨勢(shì)示于圖。其分布曲線隨分子質(zhì)量或溫度的變化趨勢(shì)示于圖。(2)因?yàn)橐驗(yàn)関2是一增函數(shù),是一增函數(shù),exp(-mv2/2kT)是

29、一減函數(shù),增函數(shù)與是一減函數(shù),增函數(shù)與減函數(shù)相乘得到的函數(shù)將在某一處取極值。此極大值所對(duì)應(yīng)的減函數(shù)相乘得到的函數(shù)將在某一處取極值。此極大值所對(duì)應(yīng)的速率為速率為最概然速率最概然速率(也稱最可幾速率),以(也稱最可幾速率),以vp表示。表示。(3) 麥克斯韋分布本身是統(tǒng)計(jì)平均的結(jié)果,會(huì)有漲落。但當(dāng)粒子麥克斯韋分布本身是統(tǒng)計(jì)平均的結(jié)果,會(huì)有漲落。但當(dāng)粒子數(shù)為大數(shù)時(shí),其相對(duì)均方根偏差可以忽略。數(shù)為大數(shù)時(shí),其相對(duì)均方根偏差可以忽略。(4) 記住麥克斯韋速率分布的函數(shù)形式為:記住麥克斯韋速率分布的函數(shù)形式為: 由歸一化可求由歸一化可求(5) 量綱分析記公式量綱分析記公式:首先,首先, e 指數(shù)上量綱應(yīng)為指

30、數(shù)上量綱應(yīng)為1,而,而 mv2 / 2 與與 kT 均是能量的量綱均是能量的量綱其次,當(dāng)其次,當(dāng) v 時(shí),時(shí),f(v)應(yīng)趨于零,應(yīng)趨于零,e 指數(shù)上應(yīng)為負(fù),由此可見指數(shù)上應(yīng)為負(fù),由此可見其指數(shù)因子為:其指數(shù)因子為:再次,概率函數(shù)應(yīng)為無量綱,再次,概率函數(shù)應(yīng)為無量綱,v2dv為為v的三次方量綱,因此系數(shù)的三次方量綱,因此系數(shù)A呈呈v -3量綱。量綱。而而v2 量綱與量綱與 2kT /m 的量綱相同,所以的量綱相同,所以A中應(yīng)有中應(yīng)有(m/ 2kT )3/2 因子因子。2/3)2(4kTmA22exp2mvAvkTkTmv2exp2理想氣體分子的理想氣體分子的平均速率平均速率、均方根速率均方根速率

31、、最概然速率最概然速率(1)(1)平均速率:平均速率:(2) (2) 均方根速率:均方根速率:(3) (3) 最概然速率最概然速率V Vp p : :三個(gè)速率均有此特征:三個(gè)速率均有此特征: m 越小或越小或 T 越大,三速率越大。越大,三速率越大。3/22300( )4exp2288mmmvvvf v dvvdvkTkTkTRTmM 220333rmsmkTkTRTvv f v dvvmmM結(jié)果與從結(jié)果與從 得到的完全相同。得到的完全相同。2/32/2kTmv( )22()0ppmdf vkTkTg vvdvmM(4 4)三種速率之比:)三種速率之比: 224. 1:128. 1:13:/8

32、:2:2vvvp它們?nèi)咧g相差不超過它們?nèi)咧g相差不超過23%,而以均方根速率為最大,而以均方根速率為最大在在1.6理想氣體分子碰撞數(shù)及理理想氣體分子碰撞數(shù)及理想氣體壓強(qiáng)公式證明中曾用到近似想氣體壓強(qiáng)公式證明中曾用到近似條件:條件:2vv 224. 1:128. 1:1:2vvvp1.224 1.1281.085rmsvv 其偏差僅其偏差僅8.5%,比較小,但處理簡(jiǎn)單,比較小,但處理簡(jiǎn)單有關(guān)例題:有關(guān)例題:例例1 試求氮分子及氫分子在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的平均速率。試求氮分子及氫分子在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的平均速率。解解:(1)氮分子平均速率)氮分子平均速率(2)氫分子平均速率)氫分子平均速率 11sm454

33、sm028. 014. 327331. 888mMRTv13sm1070.1v以上計(jì)算表明,除很輕的元素如氫、氦之外,其它氣體以上計(jì)算表明,除很輕的元素如氫、氦之外,其它氣體的平均速率一般為數(shù)百米的數(shù)量級(jí)的平均速率一般為數(shù)百米的數(shù)量級(jí)例例2 試說明下列各式的意義:試說明下列各式的意義:例例3 如圖所示為麥克斯韋速率分布曲線,圖中如圖所示為麥克斯韋速率分布曲線,圖中A、B兩部分面兩部分面積相等,問積相等,問V0的含義。的含義。V0是不是表示平均速率?是不是表示平均速率?211. ( ); 2.( ); 3.( )vvf v dvNf v dvNvf v dvV0AB此處,簡(jiǎn)單講述本節(jié)第一部分的分

34、子束速率分布。德國(guó)物理學(xué)家此處,簡(jiǎn)單講述本節(jié)第一部分的分子束速率分布。德國(guó)物理學(xué)家斯特恩(斯特恩(Sterm)最早于)最早于1920年做了分子射線束實(shí)驗(yàn)以測(cè)定分子年做了分子射線束實(shí)驗(yàn)以測(cè)定分子射線束中的分子速率分布曲線。射線束中的分子速率分布曲線。此處介紹朗繆爾(此處介紹朗繆爾(Langmuir)的實(shí)驗(yàn))的實(shí)驗(yàn)Lv tvL顯然,分子束中能穿過第一個(gè)凹槽的分子一般穿不過第二個(gè)凹槽顯然,分子束中能穿過第一個(gè)凹槽的分子一般穿不過第二個(gè)凹槽,除非它的速率,除非它的速率v 滿足如下關(guān)系:滿足如下關(guān)系: 只要調(diào)節(jié)不同的旋轉(zhuǎn)角速度只要調(diào)節(jié)不同的旋轉(zhuǎn)角速度 ,就可以從分子束中選擇出不同速,就可以從分子束中選擇

35、出不同速率的分子來。率的分子來。更確切些說,因?yàn)榘疾塾幸欢▽挾龋仕x擇的不是恰好某一更確切些說,因?yàn)榘疾塾幸欢▽挾龋仕x擇的不是恰好某一速率大小,而是某一速率范圍速率大小,而是某一速率范圍v內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。若在接收屏上安上能測(cè)出單位時(shí)間內(nèi)透過的分子數(shù)若在接收屏上安上能測(cè)出單位時(shí)間內(nèi)透過的分子數(shù)N的探測(cè)器的探測(cè)器,我們就可利用這種實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)出分子的速率從零到無窮大范,我們就可利用這種實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)出分子的速率從零到無窮大范圍內(nèi)的分布情況。圍內(nèi)的分布情況。與黑點(diǎn)在靶板上的分布相類似,我們以與黑點(diǎn)在靶板上的分布相類似,我們以N/Nv 為縱坐標(biāo)(其中為縱坐標(biāo)(其中N是單位時(shí)間內(nèi)穿過第一個(gè)圓盤上

36、的凹槽的總分子數(shù)),是單位時(shí)間內(nèi)穿過第一個(gè)圓盤上的凹槽的總分子數(shù)),以分子的速率以分子的速率v為橫坐標(biāo)作一圖形,如圖所示。為橫坐標(biāo)作一圖形,如圖所示。 圖(圖(a)中每一細(xì)長(zhǎng)條的面積均表)中每一細(xì)長(zhǎng)條的面積均表示單位時(shí)間內(nèi)所射出的分子束中,示單位時(shí)間內(nèi)所射出的分子束中,分子速率介于該速率區(qū)間的概率分子速率介于該速率區(qū)間的概率N/(N v) v 其中其中v = 10ms-1。在在v到到v+dv速率區(qū)間內(nèi)的細(xì)長(zhǎng)條的面積就表示分子速率介于速率區(qū)間內(nèi)的細(xì)長(zhǎng)條的面積就表示分子速率介于v 到到v+dv區(qū)間范圍內(nèi)的概率區(qū)間范圍內(nèi)的概率: 注意:分子束速率分布函數(shù)并不就是分子源中的麥克斯韋速率分注意:分子束速

37、率分布函數(shù)并不就是分子源中的麥克斯韋速率分布,為什么?見布,為什么?見P78NdvdNvF)( )F vdv當(dāng)當(dāng)v 0時(shí),即得一條光滑的曲線,稱為時(shí),即得一條光滑的曲線,稱為分子束速率分布曲線分子束速率分布曲線。其縱坐標(biāo)為其縱坐標(biāo)為 ,稱為,稱為分子束速率分布概率密度函數(shù)分子束速率分布概率密度函數(shù)。前面指出,麥克斯韋其實(shí)是先導(dǎo)出前面指出,麥克斯韋其實(shí)是先導(dǎo)出速度速度分布,然后再?gòu)乃俣确址植迹缓笤購(gòu)乃俣确植嫉玫讲嫉玫剿俾仕俾史植嫉?。分布的。本?jié)中介紹本節(jié)中介紹麥克斯韋速度分布,麥克斯韋速度分布,為了說明速度分布的含義,先為了說明速度分布的含義,先介紹介紹速度空間速度空間的概念。的概念。 (1)

38、什么是)什么是“速度空間速度空間”?以分子的速度沿以分子的速度沿x,y,z軸的投影分量軸的投影分量vx、vy、vz為坐標(biāo)的坐標(biāo)系稱為坐標(biāo)的坐標(biāo)系稱為直角坐標(biāo)表示的為直角坐標(biāo)表示的速度空間速度空間。注意:注意:速度空間是人們想像中的空間坐標(biāo),所描述的速度空間是人們想像中的空間坐標(biāo),所描述的不是不是分子分子的的空間位置空間位置,其中的矢量表示速度的大小與方向。,其中的矢量表示速度的大小與方向。(2) 什么叫速度空間中的什么叫速度空間中的“代表點(diǎn)代表點(diǎn)”?在速度空間中,在速度空間中,把分子的速度矢量表示出來,并且把所有分把分子的速度矢量表示出來,并且把所有分子速度矢量的起始點(diǎn)都平移到公共原點(diǎn)子速度矢

39、量的起始點(diǎn)都平移到公共原點(diǎn)O上。平移后,僅以上。平移后,僅以矢量箭頭的端點(diǎn)表示這一矢量,而把矢量符號(hào)抹去。這樣的矢量箭頭的端點(diǎn)表示這一矢量,而把矢量符號(hào)抹去。這樣的點(diǎn)稱為代表點(diǎn)。如圖中的點(diǎn)稱為代表點(diǎn)。如圖中的P點(diǎn)所示。點(diǎn)所示。 速度空間中代表點(diǎn)分布與靶板上靶點(diǎn)分布類似速度空間中代表點(diǎn)分布與靶板上靶點(diǎn)分布類似下中圖,靶點(diǎn)位于下中圖,靶點(diǎn)位于x 到到x+dx,y 到到y(tǒng)+dy范圍內(nèi)的概率為:范圍內(nèi)的概率為: f(x,y)dxdy其中其中dxdy為這一區(qū)域大小,為這一區(qū)域大小,f(x,y)是黑點(diǎn)分布的概率密度。是黑點(diǎn)分布的概率密度。在三維速度空間中,在在三維速度空間中,在vx 到到vx+dvx,vy

40、 到到vy+dvy,vz 到到vz+dvz區(qū)間內(nèi)劃出一個(gè)體積為區(qū)間內(nèi)劃出一個(gè)體積為dvxdvydvz的微分元,如圖所示。的微分元,如圖所示。數(shù)出在這微分元中的代表點(diǎn)的數(shù)目數(shù)出在這微分元中的代表點(diǎn)的數(shù)目dN(vx、vy、vz),),并把并把 zyxzyxzyxdvdvNdvvvvdNvvvf),(),(稱為坐標(biāo)為稱為坐標(biāo)為vx、vy、vz處的麥克斯韋速處的麥克斯韋速度分布概率密度,它表示在度分布概率密度,它表示在dvxdvydvz小小體積元中代表點(diǎn)的相對(duì)密集程度。體積元中代表點(diǎn)的相對(duì)密集程度。問問1:速度空間中處在厚為:速度空間中處在厚為dvx 無限大平板中的概率?無限大平板中的概率? 即:即:

41、N個(gè)分子中速度個(gè)分子中速度x分量落在分量落在vx 到到vx+dvx范圍內(nèi)而范圍內(nèi)而vy ,vz 在任在任意范圍內(nèi)的分子數(shù)意范圍內(nèi)的分子數(shù) dN(vx)是多少?是多少?在速度空間中劃出一個(gè)垂直于在速度空間中劃出一個(gè)垂直于vx軸的厚度為軸的厚度為dvx的無窮大平板的無窮大平板,如圖所示。,如圖所示。不管速度的不管速度的y、z分量如何,只要速度分量如何,只要速度x分量在分量在vx 到到vx+dvx范圍范圍內(nèi),則所有這些分子的代表點(diǎn)都落在此很薄的無窮大平板中內(nèi),則所有這些分子的代表點(diǎn)都落在此很薄的無窮大平板中設(shè)此無窮大平板中代表點(diǎn)的數(shù)目為設(shè)此無窮大平板中代表點(diǎn)的數(shù)目為dN(vx),),則則dN(vx)

42、/N 表表示速度處于示速度處于vx 到到vx+dvx而而vy、vz為任意值范圍內(nèi)的分子所占的概為任意值范圍內(nèi)的分子所占的概率。率。這一概率與板的厚度這一概率與板的厚度dvx成比例,令:成比例,令: dN(vx)/N = f(vx)dvx稱分子稱分子x方向速度分量方向速度分量 概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)同樣可分別求出垂直于同樣可分別求出垂直于vy軸及軸及vz軸的無窮大薄平板中代表點(diǎn)數(shù)軸的無窮大薄平板中代表點(diǎn)數(shù)dN(vy)及及 dN(vZ),則有:則有:dN(vy)/N = f(vy)dvy dN(vz)/N = f(vz)dvz分別表示分別表示y及及z方向速度分量的方向速度分量的 概率分布函數(shù)概率

43、分布函數(shù)。根據(jù)分子混沌性假設(shè),分子速度沒有擇優(yōu)取向,故:根據(jù)分子混沌性假設(shè),分子速度沒有擇優(yōu)取向,故: f(vx)、)、f(vy)、)、f(vz)應(yīng)具有相同形式。應(yīng)具有相同形式。問問2:速度空間中處在截面積為:速度空間中處在截面積為dvx dvy的無窮長(zhǎng)方條中的概率的無窮長(zhǎng)方條中的概率 即:分子速率介于即:分子速率介于vx 到到vx+dvx,vy 到到vy+dvy,而而vz在任意范圍在任意范圍內(nèi)的分子數(shù)內(nèi)的分子數(shù) dN(vx,vy)是多少?是多少?顯然這些分子的代表點(diǎn)都落在一根平行于顯然這些分子的代表點(diǎn)都落在一根平行于vz軸、截面積為軸、截面積為dvx dvy的無窮長(zhǎng)的方條中。的無窮長(zhǎng)的方條中

44、。 因?yàn)榉肿勇湓诖怪庇谝驗(yàn)榉肿勇湓诖怪庇赿vx軸的平板內(nèi)的概率是軸的平板內(nèi)的概率是f(vx)dvx,分子分子落在垂直于落在垂直于vy軸的平板內(nèi)的概率是軸的平板內(nèi)的概率是f(vy)dvy由相互獨(dú)立的同時(shí)事件概率相乘法則可知,分子落在方柱體內(nèi)由相互獨(dú)立的同時(shí)事件概率相乘法則可知,分子落在方柱體內(nèi)的概率為方柱體內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)的概率為方柱體內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)dN(vx,vy)與總分子數(shù)與總分子數(shù)N的比值的比值: NvvdNdvvfdvvfyxyyxx),()()(即:分子速度分量處于即:分子速度分量處于vx 到到vx+dvx,vy 到到vy+dvy,vz 到到vz+dvz范范圍內(nèi)的概率是多少?圍內(nèi)的概率是多少?平

45、板與柱體相交截得一體積為平板與柱體相交截得一體積為dvxdvydvz的小立方體,計(jì)算出在的小立方體,計(jì)算出在小立方體中的代表點(diǎn)數(shù)小立方體中的代表點(diǎn)數(shù)dN(vx、vy、vz),而),而dN(vx、vy、vz)/N 就是所要求的概率就是所要求的概率因?yàn)橐驗(yàn)関x ,vy,vz相互獨(dú)立,故:相互獨(dú)立,故: dN(vx、vy、vz)/N = f(vx)dvx f(vy)dvy f(vz)dvz 顯然,速度分布概率密度顯然,速度分布概率密度f(vx ,vy,vz)是分子分別按速度的是分子分別按速度的x、y、z方向分量分布的概率密度方向分量分布的概率密度f(vz)、f(vy)、f(vz)的乘積。的乘積。分子

46、處于速度空問任一微小范圍分子處于速度空問任一微小范圍dvxdvydvz內(nèi)的概率是內(nèi)的概率是f(vx ,vy,vz)與與dvxdvydvz的乘積。的乘積。 問問3:速度空間中處在體積為:速度空間中處在體積為dvx dvy dvz中的概率中的概率 麥克斯韋最早用概率統(tǒng)計(jì)的方法導(dǎo)出了理想氣體分子的速度分麥克斯韋最早用概率統(tǒng)計(jì)的方法導(dǎo)出了理想氣體分子的速度分布布,這一分布可表示為:這一分布可表示為:3/2222()( ,)exp22xyzxyzxyzxyzm vvvmf v v v dv dv dvdv dv dvkTkTiiiidvkTmvkTmdvvf2exp2)(22/1因?yàn)橐驗(yàn)閒(vx ,vy

47、,vz)= f(vx)dvxf(vy)dvyf(vz)dvz ,故麥克故麥克斯韋速度分布在速度分量上的表達(dá)式為:斯韋速度分布在速度分量上的表達(dá)式為:其中其中i 可分別代表可分別代表x、y、z。若要求出分子速度在若要求出分子速度在vx 到到vx+dvx內(nèi),而內(nèi),而vy,vz任意的分子數(shù)任意的分子數(shù)dN(vx),則需要對(duì)則需要對(duì)vy、vz全空間積分:全空間積分: zzyyxxxdvvfdvvfdvvNfvdN)()()()(1/2()exp()22xxmvmNdvkTkT221/21/2()exp()exp2222yzyzmvmvmmdvdvkTkTkTkTxxxxxdvkTmvkTmNvdNdv

48、vf2exp)2()()(22/1利用定積分公式可知上式中的兩個(gè)積分都是利用定積分公式可知上式中的兩個(gè)積分都是1,因此可得:,因此可得:這就是前面我們得到的結(jié)論。這就是前面我們得到的結(jié)論。速度分量速度分量x的分布曲線如圖所示:的分布曲線如圖所示:xxxxxdvkTmvkTmNvdNdvvf2exp)2()()(22/1曲線關(guān)于縱軸對(duì)稱。圖上斜線部分的面積即為分子速度沿曲線關(guān)于縱軸對(duì)稱。圖上斜線部分的面積即為分子速度沿x方向方向的分量在的分量在vx 到到vx+dvx,而,而vyvz任意的分子出現(xiàn)的概率:任意的分子出現(xiàn)的概率:注意:麥克斯韋速度分布律推導(dǎo)過程中注意:麥克斯韋速度分布律推導(dǎo)過程中沒有

49、考慮氣體分子間的沒有考慮氣體分子間的相互作用相互作用,故它僅適用于平衡態(tài)的理想氣體。,故它僅適用于平衡態(tài)的理想氣體。思考:思考:分子質(zhì)量為分子質(zhì)量為m溫度為溫度為T的氣體處的氣體處于熱平衡,試求:于熱平衡,試求:22, xxvvv詹姆斯詹姆斯克拉克克拉克麥克斯韋:麥克斯韋:(James Clerk Maxwell)臺(tái)臺(tái)譯馬譯馬克士威,克士威,1831年年6月月13日日1879年年11月月5日日),英國(guó)理論),英國(guó)理論物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電動(dòng)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人,統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的力學(xué)的創(chuàng)始人,統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的奠基人之一。麥克斯韋被普遍奠基人之一。麥克斯韋被普遍認(rèn)為是對(duì)二十世紀(jì)最有影響

50、力認(rèn)為是對(duì)二十世紀(jì)最有影響力的十九世紀(jì)物理學(xué)家。他對(duì)基的十九世紀(jì)物理學(xué)家。他對(duì)基礎(chǔ)自然科學(xué)的貢獻(xiàn)僅次于艾薩礎(chǔ)自然科學(xué)的貢獻(xiàn)僅次于艾薩克克牛頓、艾爾伯特牛頓、艾爾伯特愛因斯坦。愛因斯坦。1931年,愛因斯坦在麥克斯韋年,愛因斯坦在麥克斯韋百年誕辰的紀(jì)念會(huì)上,評(píng)價(jià)其百年誕辰的紀(jì)念會(huì)上,評(píng)價(jià)其建樹建樹“是牛頓以來,物理學(xué)最是牛頓以來,物理學(xué)最深刻和最富有成果的工作。深刻和最富有成果的工作?!保ㄒ唬┫鄬?duì)于(一)相對(duì)于 vp的的速度速度分量分布分量分布令令ux= vx/ vp,vp=(2KT/m)1/2為最概然速率,則上式可以變換為:為最概然速率,則上式可以變換為:xxxxxdvkTmvkTmNvdNd

51、vvf2exp)2()()(22/1xxxxxduuNudNdvvf)exp(1)()(20200(0)()1()()exp()xxxvxxvuxxxxNvdN vNNf vdvudu三、相對(duì)于三、相對(duì)于vp 的的速度分量速度分量分布與分布與速率速率分布分布 誤差函數(shù)誤差函數(shù) 若要求出分子速度若要求出分子速度x分量小于某一數(shù)值的所有分子數(shù)所占的比分量小于某一數(shù)值的所有分子數(shù)所占的比率,則可對(duì)上式積分:率,則可對(duì)上式積分:在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,定義下式為誤差函數(shù)在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,定義下式為誤差函數(shù)erf(x):它的數(shù)值可以查表:它的數(shù)值可以查表:xdxxxerf02)exp()2()(注意:

52、注意:將速度分量表示成相對(duì)于最概然速率的形式,可以得將速度分量表示成相對(duì)于最概然速率的形式,可以得到無量綱的誤差函數(shù)。到無量綱的誤差函數(shù)。誤差函數(shù)有表可查,這樣有利于在實(shí)際中處理數(shù)據(jù)誤差函數(shù)有表可查,這樣有利于在實(shí)際中處理數(shù)據(jù)解解 首先求出首先求出273 K時(shí)氮?dú)夥肿樱栙|(zhì)量時(shí)氮?dú)夥肿樱栙|(zhì)量Mm=0.028 kg)的)的最概然速率:最概然速率:14022smMRTvmp2402800pxxvvu2022)2()exp()1()0(erfduuNvNxxx例例2.2 試求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氮?dú)夥肿铀俣鹊脑嚽笤跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氮?dú)夥肿铀俣鹊膞分量小于分量小于800ms-1的的分子數(shù)占全部分子數(shù)的百分比分

53、子數(shù)占全部分子數(shù)的百分比.由表由表2.1查得查得erf(2)=0.995,故這種分子所占百分比為,故這種分子所占百分比為=49.8% 。 (二)相對(duì)于(二)相對(duì)于vp的麥克斯韋的麥克斯韋速率速率分布分布 若令若令 ,可將麥克斯韋速率分布表示為:,可將麥克斯韋速率分布表示為:duuuNdNu22)exp()4()exp()2()()0(2uuuerfNvNpvuv利用分步積分,可求得在利用分步積分,可求得在0 到到 v 范圍內(nèi)的分子數(shù)為范圍內(nèi)的分子數(shù)為 :例:?jiǎn)査俾试趨^(qū)間例:?jiǎn)査俾试趨^(qū)間vp到到1.01vp內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率?(一)、用極坐標(biāo)表示射擊點(diǎn)分布(一)

54、、用極坐標(biāo)表示射擊點(diǎn)分布由于由于速率是速度矢量的大小速率是速度矢量的大小,因此我們,因此我們用極坐標(biāo)來表示射擊點(diǎn)的分布。用極坐標(biāo)來表示射擊點(diǎn)的分布。若用相等的若用相等的r為間隔,在靶板上畫出很為間隔,在靶板上畫出很多個(gè)同心圓,數(shù)出每個(gè)圓環(huán)中的黑點(diǎn)數(shù)多個(gè)同心圓,數(shù)出每個(gè)圓環(huán)中的黑點(diǎn)數(shù)N。以以N/N r 為縱坐標(biāo),為縱坐標(biāo),r為橫坐標(biāo)畫出為橫坐標(biāo)畫出豎條,如右圖所示。豎條,如右圖所示。令令r 0,得到光滑曲線,它表示離靶,得到光滑曲線,它表示離靶心不同距離處存在黑點(diǎn)的概率心不同距離處存在黑點(diǎn)的概率(二)、氣體分子的速率分布(二)、氣體分子的速率分布所有分子速率介于所有分子速率介于v到到v+dv 范

55、圍內(nèi)的分子的代表點(diǎn)都落在以原范圍內(nèi)的分子的代表點(diǎn)都落在以原點(diǎn)為球心、點(diǎn)為球心、v 為半徑、厚度為為半徑、厚度為dv的一的一 薄層球殼中,如圖所示。薄層球殼中,如圖所示。根據(jù)分子混沌性假設(shè),氣體分子速度沒有擇優(yōu)取向,在各個(gè)方根據(jù)分子混沌性假設(shè),氣體分子速度沒有擇優(yōu)取向,在各個(gè)方向上應(yīng)該是等概率的,說明代表點(diǎn)的數(shù)密度向上應(yīng)該是等概率的,說明代表點(diǎn)的數(shù)密度D 是球?qū)ΨQ的,是球?qū)ΨQ的,D 僅是離開原點(diǎn)的距離僅是離開原點(diǎn)的距離v的函數(shù)。的函數(shù)。設(shè)代表點(diǎn)的數(shù)密度為設(shè)代表點(diǎn)的數(shù)密度為D(v),在球殼內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)),在球殼內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)dNv應(yīng)是應(yīng)是D(v)與球殼體積的乘積)與球殼體積的乘積 dvvvDdNv2

56、4)(在麥克斯韋速度分布中已指出,在速度空間中,在速度分量在麥克斯韋速度分布中已指出,在速度空間中,在速度分量vx、vy、vz附近的代表點(diǎn)數(shù)密度是附近的代表點(diǎn)數(shù)密度是 N f(vx、vy、vz),即此處的),即此處的D(v),故有:),故有: 將上式代入將上式代入 ,可以得到,可以得到這就是書上的這就是書上的Eq.(2.13) 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布. )2exp()2()(22/3kTmvkTmNdvdvdvdNvDzyxvdvvvDdNv24)(dvvkTmvkTmNdNv222/3)2exp()2(4dvvkTmvkTmdvvfNdNv222/3)2exp()2(4)(按照分子

57、混沌性假設(shè),處于平衡態(tài)的氣體其分子數(shù)密度按照分子混沌性假設(shè),處于平衡態(tài)的氣體其分子數(shù)密度n應(yīng)處處應(yīng)處處相等,但這僅在相等,但這僅在 無外力場(chǎng)無外力場(chǎng) 條件下成立。條件下成立。如果分子受到重力場(chǎng)、電磁場(chǎng)等作用,氣體分子數(shù)密度將會(huì)有如果分子受到重力場(chǎng)、電磁場(chǎng)等作用,氣體分子數(shù)密度將會(huì)有一定的空間分布一定的空間分布真實(shí)大氣的運(yùn)動(dòng)千變?nèi)f化,因而大氣壓強(qiáng)的變化也十分復(fù)雜。真實(shí)大氣的運(yùn)動(dòng)千變?nèi)f化,因而大氣壓強(qiáng)的變化也十分復(fù)雜。為研究方便,現(xiàn)假設(shè)大氣是為研究方便,現(xiàn)假設(shè)大氣是等溫的且處于平衡態(tài)等溫的且處于平衡態(tài),則大氣壓強(qiáng),則大氣壓強(qiáng)如何隨高度變化如何隨高度變化?(一)等溫大氣壓強(qiáng)公式(一)等溫大氣壓強(qiáng)公式

58、考慮在大氣垂直高度上考慮在大氣垂直高度上z到到z + dz,面積為,面積為A 的一薄層氣體,該氣體受力平衡的條件是:的一薄層氣體,該氣體受力平衡的條件是:gdzpdppzdzz gAdzzAdppAp)()(gdzzdp)(利用理想氣體狀態(tài)方程利用理想氣體狀態(tài)方程PVm=RT和物體的密度公式可得和物體的密度公式可得=Mm /Vm=pMm/RT ,代入,代入dp = - (z)gdz=-(pMm/RT)gdz=-(pmNA/RT)gdz =-(pm/kT)gdz ,得:得:dp/p=-mg/(kT)dz,即:,即:此處假設(shè)大氣溫度處處相等,重力加速度此處假設(shè)大氣溫度處處相等,重力加速度g不隨高度

59、變。其中不隨高度變。其中p(0)及)及p(z)分別為高度)分別為高度 0 及及 z 處大氣壓強(qiáng),記住處大氣壓強(qiáng),記住m/k=Mm/R。由由p=nkT,可把上式改寫為氣體分子數(shù)密度隨高度分布的公式:,可把上式改寫為氣體分子數(shù)密度隨高度分布的公式:)exp()0()(RTgzMnznm()(0)0p zzpdpmgdzpkT )exp() 0()(RTgzMpzpmgdzzdp)(二二)等溫大氣標(biāo)高等溫大氣標(biāo)高此此H稱為等溫大氣標(biāo)高。稱為等溫大氣標(biāo)高。物理含義:物理含義: (1)在高度)在高度z = H 處的大氣壓強(qiáng)為處的大氣壓強(qiáng)為z = 0處大氣壓強(qiáng)的處大氣壓強(qiáng)的 1/e=0.37倍。倍。(2)

60、如果把所有大氣分子都?jí)嚎s為環(huán)繞地球表面且密度與海如果把所有大氣分子都?jí)嚎s為環(huán)繞地球表面且密度與海平面處平面處(z=0)密度相等的一層均勻大氣層,則這一層大氣的厚密度相等的一層均勻大氣層,則這一層大氣的厚度就是度就是H(為什么?)。(為什么?)。對(duì)于地球上的大氣而言,常溫下對(duì)于地球上的大氣而言,常溫下T=300K,估算一下,估算一下H= RT/Mmg的值大約是的值大約是8.8千米千米mRTk THMgm g因指數(shù)上量綱為因指數(shù)上量綱為1,故,故 中的中的RT/Mmg 具有高度的具有高度的量綱。量綱。定義物理量定義物理量H:)exp(RTgzMm注意:注意:1.前面的計(jì)算都基于不同高度處,大氣溫度

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