李賢平概率論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1李賢平概率論基礎(chǔ)李賢平概率論基礎(chǔ)(jch)第一頁(yè)，共38頁(yè)?？紤]有兩個(gè)(lin )孩子的家庭： (,), (,), (,), (,)b bbggbgg 一、條件(tiojin)概率A“家中至少(zhsho)有一個(gè)男孩”：1. 引例:()3 4PAB“家中至少有一個(gè)女孩”：()3 4PB()2 4P AB事件B 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 A發(fā)生的概率,記為(),P A B2()3P A B 則().PA2 43 4()()P ABP B第1頁(yè)/共39頁(yè)第二頁(yè)，共38頁(yè)。 BA針對(duì)(zhndu)幾何概型：(|)P A BABBABBP ABP B第2頁(yè)/共39頁(yè)第三頁(yè)，共38頁(yè)。()(|)()

2、P ABP BAP A同理可得為事件A 發(fā)生(fshng)的條件下事件B 發(fā)生(fshng)的條件概率.,( )0,()()( ).A BP BP ABP A BP BAB設(shè)是兩個(gè)事件 且稱(chēng)為“在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條”件件概概率率2. 定義(dngy)第3頁(yè)/共39頁(yè)第四頁(yè)，共38頁(yè)。注意：總假定(jidng)條件事件的概率大于0.第4頁(yè)/共39頁(yè)第五頁(yè)，共38頁(yè)。條件(tiojin)概率也是概率, 故具有概率的性質(zhì)：0)(ABP1)(AP11iiiiPBAP B Aq 非負(fù)性q 規(guī)范性 q 可列可加性 )()()()(212121ABBPABPABPABBPq )(1)(ABPAB

3、Pq )()()(21121ABBPABPABBPq 3. 性質(zhì)(xngzh)第5頁(yè)/共39頁(yè)第六頁(yè)，共38頁(yè)。第6頁(yè)/共39頁(yè)第七頁(yè)，共38頁(yè)。例1 某種動(dòng)物(dngw)由出生算起活20歲以上的概率為0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物(dngw), 問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少? 設(shè) A 表示“ 能活 20 歲以上(yshng) ” 的事件，B 表示 “ 能活 25 歲以上(yshng)”的事件,則有NoImage, 8 . 0)( AP因?yàn)橐驗(yàn)?)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0

4、)()()(APABPABP 所以所以解第7頁(yè)/共39頁(yè)第八頁(yè)，共38頁(yè)。例2 在某地區(qū)中任抽一人，若患有原發(fā)性肝癌(n i)則記為A，若甲胎球蛋白高含量記為B，已知：NoImage( )0.00040,P A ()()( )P ABP B AP A( )0.00034,P B ()0.00032,P AB 則有0.8()()( )P ABP A BP B0.9412第8頁(yè)/共39頁(yè)第九頁(yè)，共38頁(yè)。(1) 設(shè)P(B)0，且AB，則下列(xili)必然成立的是( ) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)(2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 則 P(B

5、)=( ).0.6(2)課堂練習(xí)分析(fnx)：P(A|B) = P(AB) / P(B)= P(A) / P(B)分析(fnx):P(AB)=P(A)+P(B)-P(B|A)P(A)第9頁(yè)/共39頁(yè)第十頁(yè)，共38頁(yè)。第10頁(yè)/共39頁(yè)第十一頁(yè)，共38頁(yè)。).()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn 則有則有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn個(gè)事件個(gè)事件為為設(shè)設(shè)推廣推廣則有則有且且為事件為事件設(shè)設(shè), 0)(, ABPCBA).()()()(APABPABCPABCP ).()()(, 0)(APABPABPAP 則有則有

6、設(shè)設(shè)第11頁(yè)/共39頁(yè)第十二頁(yè)，共38頁(yè)。例3 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造(zhzo)的透鏡, 第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以B 表示事件“透鏡落下三次(sn c)而未打破”.,321AAAB 因?yàn)橐驗(yàn)?()(321AAAPBP 所以所以)()()(112213APAAPAAAP )211)(1071)(1091( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透鏡鏡第第表表示示事事件件以以iiAi 第12頁(yè)/共39頁(yè)第十三頁(yè)，共38頁(yè)。 全

7、概率(gil)公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率(gil), 它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用. 綜合(zngh)運(yùn)用加法(jif)公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0三、全概率公式與貝葉斯公式第13頁(yè)/共39頁(yè)第十四頁(yè)，共38頁(yè)。例4 有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球. 某人(mu rn)從三箱中任取一箱， 從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解：記 Ai=球取自i號(hào)箱, i=1,2,3; B =取得(qd)紅球即 B= A1B+A2B+A3B

8、， 且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥B發(fā)生(fshng)總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時(shí)發(fā)生(fshng)，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式得123第14頁(yè)/共39頁(yè)第十五頁(yè)，共38頁(yè)。將此例中所用的方法推廣到一般(ybn)的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法(chngf)公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入數(shù)據(jù)(shj)計(jì)算得：P(B)=8/15第15頁(yè)/共39頁(yè)第十六頁(yè)，共38頁(yè)。1. 全概率(gil)公式全概率(gil)公式12,()0(1, 2,),niE

9、S BEA AASP Ai定理設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為為的事件, 為的一個(gè)劃分 且則1122( )() ( )() ( )() ( )nnP BP B A P AP B A P AP B A P A第16頁(yè)/共39頁(yè)第十七頁(yè)，共38頁(yè)。在較復(fù)雜情況(qngkung)下直接計(jì)算P(B)不易,但B總是伴隨著某個(gè)Ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Ai往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算.niiiABPAPBP1)()()(由公式(gngsh)不難看出:“全”概率P(B)被分解成了許多(xdu)部分之和.理論、實(shí)用意義:第17頁(yè)/共39頁(yè)第十八頁(yè)，共38頁(yè)。某一事件B的發(fā)生(fshng)有各種可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由

10、原因Ai所引起，則B發(fā)生(fshng)的概率是 每一原因都可能(knng)導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概率(gil)公式.我們還可以從另一個(gè)角度去理解第18頁(yè)/共39頁(yè)第十九頁(yè)，共38頁(yè)。 例 5 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)(fij)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7 .飛 機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)(fij)必定被擊落, 求飛機(jī)(fij)被擊落的概率.解: 設(shè)B=飛機(jī)(fij)被擊落Ai=飛機(jī)(fij)被i人擊中, i=1,2,3由全概

11、率(gil)公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)則 B=A1B+A2B+A3B依題意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1第19頁(yè)/共39頁(yè)第二十頁(yè)，共38頁(yè)?？汕蟮?為求P(Ai ) , 設(shè) Hi=飛機(jī)(fij)被第i人擊中, i=1,2,3 )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP將數(shù)據(jù)(shj)代入計(jì)算得:P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.第20頁(yè)/共39頁(yè)第二十

12、一頁(yè)，共38頁(yè)。 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飛機(jī)被擊落(jlu)的概率為0.458.第21頁(yè)/共39頁(yè)第二十二頁(yè)，共38頁(yè)。例6第22頁(yè)/共39頁(yè)第二十三頁(yè)，共38頁(yè)。第23頁(yè)/共39頁(yè)第二十四頁(yè)，共38頁(yè)。稱(chēng)此為貝葉斯公式(gngsh).121.,( )0,()0,(1,2, ),() ()(),1,2, .() ()niiiinjjjES BEAAASP BP AinP B A P AP A BinP B A P A定理設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為為的事件為的一個(gè)劃分 且

13、則2. 貝葉斯公式(gngsh)第24頁(yè)/共39頁(yè)第二十五頁(yè)，共38頁(yè)。1、該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出. 它是在觀察到事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致(dozh)B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.“已知結(jié)果(ji gu)求原因”1()()()()()iiinjjjP B AP AP A BP B AP A 2、原因事件Ai的概率P(Ai) 稱(chēng)為先驗(yàn)概率，它反映了各種原因發(fā)生(fshng)的可能性大小，是以往經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。 3、條件概率P(Ai|B) 稱(chēng)為后驗(yàn)概率，它反映了實(shí)驗(yàn)之后對(duì)各種原因發(fā)生的可能性大小的修正。第25頁(yè)/共39頁(yè)第二十六頁(yè)，共38頁(yè)。;,)1(.,05. 080. 01

14、5. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只無(wú)區(qū)別的標(biāo)志無(wú)區(qū)別的標(biāo)志且且倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在提供元件的份額提供元件的份額次品率次品率元件制造廠元件制造廠的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)根據(jù)以往的記錄有以下根據(jù)以往的記錄有以下件制造廠提供的件制造廠提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某電子設(shè)備制造廠所用某電子設(shè)備制造廠所用例 7第26頁(yè)/共39頁(yè)第二十七頁(yè)，共38頁(yè)。.,)2(試求這些概率試求這些概率是多少是多少家工廠生產(chǎn)的概率分別家工廠生產(chǎn)的概率分別需求出此次品由三需求出此

15、次品由三為分析此次品出自何廠為分析此次品出自何廠次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只解,“取到的是一只次品”“取到的是一只次品”表示表示設(shè)設(shè) A.家工廠提供的”家工廠提供的”“所取到的產(chǎn)品是由第“所取到的產(chǎn)品是由第表示表示i)3 , 2 , 1( iBi,321的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分是樣本空間是樣本空間則則SBBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且第27頁(yè)/共39頁(yè)第二十八頁(yè)，共38頁(yè)。.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由全概率(gil)公式得)()()()()(

16、)()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由貝葉斯公式(gngsh)得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 第28頁(yè)/共39頁(yè)第二十九頁(yè)，共38頁(yè)。,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工廠廠的的可可能能性性最最大大故故這這只只次次品品來(lái)來(lái)自自第第第29頁(yè)/共39頁(yè)第三十頁(yè)，共38頁(yè)。?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整得得良良好好的的品品時(shí)時(shí)早早上上第第一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品是是合合格格

17、試試求求已已知知某某日日機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整良良好好的的概概率率為為時(shí)時(shí)每每天天早早上上機(jī)機(jī)器器開(kāi)開(kāi)動(dòng)動(dòng)其其合合格格率率為為種種故故障障時(shí)時(shí)而而當(dāng)當(dāng)機(jī)機(jī)器器發(fā)發(fā)生生某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的合合格格率率為為良良好好時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整得得明明對(duì)對(duì)以以往往數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析結(jié)結(jié)果果表表解,“產(chǎn)品合格”“產(chǎn)品合格”為事件為事件設(shè)設(shè) A.“機(jī)器調(diào)整良好”“機(jī)器調(diào)整良好”為事件為事件B則有則有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例8第30頁(yè)/共39頁(yè)第三十一頁(yè)，共38頁(yè)。,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由貝葉斯公式(gngsh)得所求概率為)()()()()()()(BPBAPBPBAPBP

18、BAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率為整良好的概率為此時(shí)機(jī)器調(diào)此時(shí)機(jī)器調(diào)是合格品時(shí)是合格品時(shí)即當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品即當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品第31頁(yè)/共39頁(yè)第三十二頁(yè)，共38頁(yè)。應(yīng)用(yngyng)舉例 腸癌普查設(shè)事件 表示(biosh)第 i 次檢查為陽(yáng)性,事件B 表示(biosh)被查者患腸癌,已知腸鏡檢查效果(xiogu)如下：005.0)(,95.0)()(BPBAPBAPii且某患者首次檢查反應(yīng)為陽(yáng)性, 試判斷該患者是否已患腸癌？ 若三次檢查反應(yīng)均為陽(yáng)性呢？iA第32頁(yè)/共39頁(yè)第三十三頁(yè)，共38頁(yè)。05.0995.095.0005.095.0005.0)()()()()()()(1111BAPBPBAPBPBAPBPABP由Bayes 公式(gngsh)得.087.02. 檢出陽(yáng)性是否(sh fu)一定患有癌癥? 1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否(sh fu)患有癌癥有無(wú)意義？1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？2. 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥? 1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？第33頁(yè)/共39頁(yè)第三十四頁(yè)，共38頁(yè)。如果不做試驗(yàn), 抽查一人, 他是患者(hunzh)的概率P(B)=0.005 患者陽(yáng)性反應(yīng)的