第六章相關與回歸()

1、 相互聯(lián)系與相互影響是普遍的現(xiàn)象受教育的水平工作后的收入預防疾病支出疾病的發(fā)病率 客觀現(xiàn)象總是普遍聯(lián)系和相互依存的，當我們用變量來反映這些現(xiàn)象的特征時，便表現(xiàn)為變量之間的依存關系。 如商品價格的變化會刺激或抑制商品銷售量的變化；勞動力素質(zhì)的高低會影響企業(yè)的效益；原材料、直接人工的價格變化對產(chǎn)品銷售成本有直接的影響，糧食畝產(chǎn)量與施肥量、降雨量、溫度之間的關系等。 在經(jīng)濟管理和其他領域中，人們經(jīng)常需要研究兩個或多個變量(現(xiàn)象)之間的相互(因果)關系，并使用數(shù)學模型來加以描述和解釋。相關與回歸分析是定量分析現(xiàn)象之間相互依存關系的統(tǒng)計方法之一,是現(xiàn)代統(tǒng)計學中非常重要的內(nèi)容，它在自然科學、管理科學和社會

2、經(jīng)濟領域有著十分廣泛的應用。 第第6 6章章 相關與回歸分析相關與回歸分析學習目的和要求： 本章介紹相關分析與回歸分析的基本概念與分類，計算簡單相關系數(shù)，對一元線性回歸模型進行參數(shù)估計、模型檢驗、估計與預測等內(nèi)容。返回6.1 6.1 相 關 關 系 概 述6.26.2線性相關關系測定6.36.3一元線性回歸分析 互有聯(lián)系的客觀現(xiàn)象(變量)間關系的緊密程度各不一樣。歸納起來，現(xiàn)象間的依存關系大致可以分成兩種類型：函數(shù)關系和相關關系。函數(shù)關系完全確定性的關系相關關系不完全確定的關系6.1 相關關系概述6.1.1 變量間的相互關系例：價格不變時商品銷售收入與銷售量的關系。Y = cX銷售收入銷售量Y

3、 與 X 間的確定性關系 （一）函數(shù)關系定義：現(xiàn)象之間存在著完全確定的依存關系，即當一個或一組變量每取一個值時，相應的另一個變量必然有一個確定值與之對應 。 函數(shù)關系可以用一個確定的公式，即函數(shù)式來表示。 ),(21nxxxfy 或：Y=F（X） 然而，現(xiàn)實世界中還有不少情況是現(xiàn)象之間有著密切的聯(lián)系，但密切的程度并沒有達到由一個（幾個）變量可以完全確定另一個變量的程度，它們之間是一種非確定性的關系。 變量之間的不確定的依存關系稱為相關關系（統(tǒng)計關系）。這種統(tǒng)計關系規(guī)律性的研究是相關分析和回歸分析研究的主要對象。家庭收入家庭消費支出（二）相關關系 定義：現(xiàn)象之間存在有依存關系，但這種關系是不完全

4、確定的隨機關系，即當一個或一組變量每取一個值時，相應的另一個變量可能有多個不同 值與之對應 。相關關系可用統(tǒng)計模型),(21nxxxfy或：Y=F（X）+式中， 為影響Y的除X外的其他隨機因素。 非確定性關系 （1）單一因果關系(如貨物運輸量與貨車保有輛數(shù)之間 )； （2）互為因果關系(如鐵路運輸業(yè)的發(fā)展水平與經(jīng)濟發(fā)展水平之間) ； （3）伴隨關系(共變關系，如工資與物價的變動) ?，F(xiàn)象間數(shù)量依存關系的形式： 變量間的依存關系在許多情況下表現(xiàn)為因果關系，其中一個或若干個起著影響作用的變量稱為自變量，通常用 X 表示，它是引起另一現(xiàn)象變化的原因，通常是可以控制、給定的值；而受自變量影響的變量稱為

5、因變量，通常用 Y 表示，它是自變量變化的結果，是不確定的值。(三) 相關關系與函數(shù)關系的聯(lián)系與區(qū)別 （2）函數(shù)關系可以用數(shù)學表達式精確表示出來，而相關關系只能通過研究變量間的統(tǒng)計規(guī)律才能得到。 （1）函數(shù)關系中的變量之間的關系是完全確定的，而相關關系中的變量之間的關系是不完全確定的。 由于有觀察或測量誤差等原因，函數(shù)關系在實際中往往通過相關關系表現(xiàn)出來。在研究相關關系時，又常常要使用函數(shù)關系的形式來表現(xiàn)，以便找到相關關系的一般數(shù)量表現(xiàn)形式。 為此，在研究相關關系時，又常常使用函數(shù)關系作為工具，用一定的函數(shù)關系表現(xiàn)相關關系的數(shù)量聯(lián)系。（一）按相關的程度分6.1 相關關系概述6.1.2 相關關系

6、的種類 當一種現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由其它現(xiàn)象的數(shù)量變化所確定時，此時現(xiàn)象的關系為完全相關。 如：在價格不變的條件下，某商品的銷售額與其銷售量總是成正比例關系； 在相關圖上表現(xiàn)為所有的觀察點都落在同一條線上，在這種場合，相關關系便成為函數(shù)關系函數(shù)關系是相關關系的一個特例。 當現(xiàn)象間彼此的數(shù)量變化互相獨立時，稱為不相關現(xiàn)象。 例如，通常認為股票價格的高低與氣溫的高低是不相關的； 如果現(xiàn)象之間的關系介于完全相關和不相關之間，稱為不完全相關。 如婦女的結婚年齡與受教育程度之間的關系。 不完全相關關系是現(xiàn)實當中相關關系的主要表現(xiàn)形式，也是相關分析的主要研究對象。 正相關：變量的變動方向一致（同增同減）；

7、例如：工人的工資隨勞動生產(chǎn)率的提高而增加； 負相關：變量的變動方向相反（一增一減） ； 例如：商品流轉(zhuǎn)的規(guī)模愈大，流通費用水平愈低。（二）按相關的方向分（三）按相關的形式分 相關程度密切相關程度不密切 線性相關：當相關現(xiàn)象之間的關系大致呈現(xiàn)為線性關系，即當一個變量變動一個單位時，另一個變量也按一個大致固定的增（減）量變動，就稱為線性相關。 如：人均消費水平與人均收入水平通常成線性關系； 非線性相關：當相關現(xiàn)象之間不按固定比例變化時，近似于某種曲線方程的關系。 如：產(chǎn)品的平均成本與產(chǎn)品總產(chǎn)量之間的相關關系就是一種非線性相關。圖6.1 相關關系分類示意圖（四）按影響因素的多少分 1、 （簡）單相關

8、：兩個現(xiàn)象的相關，即一個變量對另一個變量的相關關系。 例學習成績與學習時間；血壓與年齡；畝產(chǎn)量與施肥量。 2、復（多元）相關：三個或三個以上現(xiàn)象的相關，即一個變量對兩個或兩個以上其它變量的相關關系。 例經(jīng)濟增長與人口增長、科技水平、自然資源、管理水平等之間的關系； 體重與身高、食欲、睡眠時間之間的關系。 3、偏相關：就多個變量測定其中兩個變量的相關程度而假定其他變量不變。 例在假定人們的收入水平不變時，某種商品的需求與其價格水平的關系。 就 y=ax1+bx2+ ，研究y與x1之間的關系，假定x2不變。 值得注意的是，并非所有的變量之間都存在相關關系，因此需要用相關分析方法來識別和判斷。 研究

9、和測度現(xiàn)象間相互依存關系的一種統(tǒng)計分析方法。相關分析，是以現(xiàn)象之間不完全的相關關系為研究對象，6.1 相關關系概述6.1.3 相關分析的主要內(nèi)容 1.確定現(xiàn)象間是否存在依存關系，其依存關系屬于何種類型主要是定性分析和判斷； 2.確定相關關系的密切程度定量分析相關圖、表、相關系數(shù)； 3.確定相關關系的數(shù)學表達式回歸分析； 4.確定因變量估計值誤差的程度； 5.對回歸方程進行顯著性檢驗。相關分析的主要內(nèi)容：6.1 6.1 相 關 關 系 概 述6.2 6.2 線性相關關系測定6.3 6.3 一元線性回歸分析 定性分析是依據(jù)研究者的理論知識、專業(yè)知識和實踐經(jīng)驗，對客觀現(xiàn)象之間是否存在相關關系，以及有

10、何種相關關系做出判斷。6.2 線性相關關系的測定6.2.1 定性分析在定性分析的基礎上，通過編制相關表、繪制相關圖、計算相關系數(shù)與判定系數(shù)等方法，來判斷現(xiàn)象之間相關的方向、形式及密切程度。6.2 線性相關關系的測定6.2.2 定量分析相關表與相關圖 相關表和相關圖是研究相關關系的直觀工具。 在進行精確的定量分析之前，可以先利用它們對現(xiàn)象之間存在的相關關系的方向、形式、和密切程度作大致的判斷。 （一）相關表：相關表是一種統(tǒng)計表。由相關變量相對應的關系數(shù)值所編制成的反映現(xiàn)象之間的相關關系的數(shù)列表。 簡單相關表-根據(jù)總體單位的原始資料編制的相關表(適用 于所觀察的樣本單位數(shù)較少，不需要分組的情況)分

11、組相關表-將原始資料進行分組而編制的相關表(適用于所 觀察樣本單位數(shù)較多，標志變異又較復雜，需要分組的情況) 單變量分組表-按自變量分組 雙變量分組表-自變量和因變量均分組 （二）相關圖： 又稱散點圖，它是將兩個變量相對應的變量值用坐標點的形式，在直角坐標上描繪出來，以反映二者之間相關關系的圖形。 為研究商店人均月銷售額和利潤率的關系，調(diào)查10家商店取得10對數(shù)據(jù)，說明簡單相關表和相關圖的編制方法。 從表可看出，隨著人均月銷售額的增加，利潤率有明顯的增長趨勢。所以，資料表明(如圖)有明顯的直線相關趨勢。例 1人均銷售額與和利潤率相關表編號人均月銷售額(千元)利潤率()1234567891013

12、345667783.06.26.68.110.412.612.316.316.818.5利潤率(%)人均銷售額(千元)120人均銷售額與利潤率相關圖510152384567 在某個地區(qū)抽取了9家生產(chǎn)同類產(chǎn)品的企業(yè)，其月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本的資料如表，現(xiàn)在來分析月產(chǎn)量和單位成本的關系。表6-2 9家企業(yè)的月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本資料企業(yè)編號123456789月產(chǎn)量（千件）（x）4.16.35.47.63.28.59.76.82.1單位產(chǎn)本（元）（y）807271588650426391例 2序 號月產(chǎn)量（千件）（x）單位產(chǎn)本（元）（y）92.19153.28614.18035.47126.37286.

13、86347.65868.55079.742合計53.7613 9家企業(yè)的月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本相關表 根據(jù)規(guī)模經(jīng)濟理論，可以判斷產(chǎn)品的產(chǎn)量和單位成本之間存在著相關關系，再繪制散點圖，我們可以比較直觀地看出這兩個變量間的關系。 9家企業(yè)的月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本散點圖企業(yè)按銷售額分組(萬元)流通費用率(%)4以下9.65 4 87.68 8 127.2512 167.0016 206.8620 246.7324 286.6428 326.6032 366.5866.577.588.599.51004812162024283236銷售額(萬元)流通費用率(%)例 3 單變量分組表可以使原始資料大大簡化，

14、在原始數(shù)據(jù)較多的情況下，使用單變量分組表能更清晰地反映現(xiàn)象間的相互依存關系，找出變量間數(shù)據(jù)變動的規(guī)律性。例 4 雙變量分組表又稱為棋盤式相關表。首先，分別確定自變量和因變量的分組數(shù)；其次，按兩個變量的組數(shù)設計棋盤型表格；最后，計算各組次數(shù)置于相對應的方格中。適用于對大量復雜數(shù)據(jù)的處理和分析。 編制雙變量分組相關表，要把自變量置于橫行，其變量值從小到大自左至右排列；因變量置于縱欄，其變量值從大到小自上而下排列。這樣排列，可使相關表與相關圖取得一致形式，能直觀地看出變量之間相關的方向。 相關圖、表雖然有助于識別變量間的相關關系，但它無法對這種關系進行精確的計量(判定其相關關系的密切程度)。 在初步

15、判定變量間存在相關關系的基礎上，通常還要計算相應的分析指標相關系數(shù)。 相關系數(shù)是測定變量之間相關密切程度和相關方向的代表性指標。相關系數(shù)用符號“r”表示。 在各種相關中，單相關是基本的相關關系，它是復相關和偏相關的基礎。單相關有線性和非線性兩和表現(xiàn)形式。測定線性相關系數(shù)的方法是最基本的相關分析，是測定其他相關系數(shù)方法的基礎。我們著重研究線性的單相關系數(shù)線性的單相關系數(shù)。6.2 線性相關關系的測定6.2.3 定量分析相關系數(shù) 1、積差法計算公式：由英國統(tǒng)計學家皮爾遜(Pearson)設計的，故又稱為Pearson相關系數(shù)。則的一組樣本觀察值是設,),(),(YXyxii2222)()()()()

16、()(yyxxyyxxnyynxxnyyxxr的標準差的協(xié)方差的相關系數(shù)與為yxyxyxryxxyyxxy,)(yyxx2)(xx2)(yyyyxxxyLLLr 22)()()(yyxxyyxxr 由于COV（X,Y）的主導地位，又因為其形式是兩個差值的乘積之和，故把這個公式又稱為“積差公式”。 簡記為：Lxy簡記為：Lxx簡記為：Lyy 2 2、下面我們介紹直線相關系數(shù)的設計思路，從中我們會接觸到一些新的統(tǒng)計指標，同時也能充分享受到皮爾遜給我們展現(xiàn)的“對稱”美感。XYyy xx )(一)(二)(三)(四),(11yx),(nnyx00)()()()()(ryyxxyyxxxy正相關三一yxx

17、yrnyyxxxy)()(1yyxxnii顯示x與y之間的相關方向（1）即x和y基本上同時大或同時小，即兩個變量之間為正相關負相關XYyy xx )(一)(二)(三)(四),(11yx),(nnyx00)()()()()(ryyxxyyxxxy負相關四二nyyxxxy)(yxxyr 顯示x與y之間的相關程度)()()()()(yyxxAyyxx圖三一密集分布圖A散亂分布圖BXYPQ偏小偏大)()(qqppyyxx)(1yyxxnii（2）負相關)()()()()(yyxxAyyxx圖四二密集分布圖A散亂分布圖BXYPQ偏小偏大)()(qqppyyxx不相關00)(0:xyyyxxxxA圖 圖A

18、圖BXYXYxx yy 00)(0:xyyyxxyyB圖之間無直線相關與yx第一、顯示x與y之間的相關方向負相關正相關無直線相關00)(00)(00)()(ryyxxryyxxryyxxnyyxxryx之間的相關程度越低與越小之間的相關程度越高與越大yxyyxxyxyyxx)()(第二、顯示x與y之間的相關密切程度)(1yyxxnii的作用：歸 納 為大的正值時，表示強的正線性相關關系。 接近于零時，表示很小或沒有線性相關關系。 為大的負值時，表示強的負線性相關關系。nyyxxiixy)(nyyxxiixy)( cm kg mm kg大于基本結論：協(xié)方差與樣本的項數(shù)n、X與Y的計量單位有關 ，

19、從而不能真實反映相關的程度。)(1yyxxnii)(1yyxxnii)(1yyxxnii 似乎是 這樣（3）x、y的作用 消除變量協(xié)方差計量單位的影響直接對比：yxyxxynyyxxr)(yxnyyxx)( 相關程度的大小與計量單位無關。為了消除積差中兩個變量原有計量單位的影響，將各變量的離差除以該變量數(shù)列的標準差，使之成為相對積差，即 ，所以相關系數(shù)是無量綱的數(shù)量。yxyyxx和 使使111rrnyyxxryx22nyyxxryx2221yxyxyyxxyyxxn1112yxyyxxn22222)()(1yxyxnyynxxyyxxn1:1022rrr同理可證2122yxyyxxnr221)(ynyy3、積差法相關系數(shù)的簡捷計算公式2222)()()()()()(yyxxyyxxnyynxxnyyxxryxxynyxxy)()(yxyxyxxyyyxxyxyxxyxynyn