第3章均值方差分析與資本資產(chǎn)定價(jià)模型

1、2022-6-301第3章 均值方差分析與資本資產(chǎn)定價(jià)模型22022-6-303.1 兩種證券投資組合的均值兩種證券投資組合的均值-方差方差3.1.1 投資組合投資組合設(shè)有兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)證券，設(shè)有兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)證券， 記為記為A和和B， AAw=購買（或賣空）證券 金額投資于兩種證券自有金額1ABww+=滿足32022-6-303.1 兩種證券投資組合的均值兩種證券投資組合的均值-方差方差注：權(quán)重為正數(shù)，意味著投資者買入該資產(chǎn)。注：權(quán)重為正數(shù)，意味著投資者買入該資產(chǎn)。如果是賣空，投資于資產(chǎn)的權(quán)重是負(fù)數(shù)。如果是賣空，投資于資產(chǎn)的權(quán)重是負(fù)數(shù)。 例如：假設(shè)你借例如：假設(shè)你借100股某公司的股票，市場(chǎng)價(jià)格

2、為股某公司的股票，市場(chǎng)價(jià)格為10元，元，那么將股票賣出，可獲得那么將股票賣出，可獲得1000元現(xiàn)金。一段時(shí)間元現(xiàn)金。一段時(shí)間之后，該股票的價(jià)格之后，該股票的價(jià)格5元，你在市場(chǎng)上購買元，你在市場(chǎng)上購買100股，股，支付現(xiàn)金支付現(xiàn)金500，兩者之間的差額為，兩者之間的差額為500元，你可以獲利。元，你可以獲利。42022-6-30舉例說明舉例說明 1.如果你有資金如果你有資金1000元，投資于證券的金額元，投資于證券的金額為為400元，投資于證券的金額為元，投資于證券的金額為600元，元， 4006000.4,0.610001000ABww=則有則有1ABw滿足w +=52022-6-30舉例說明

3、舉例說明2.假設(shè)你有資金假設(shè)你有資金1000元，賣空證券獲現(xiàn)金元，賣空證券獲現(xiàn)金600元，共有元，共有1600元，投資于證券，于是元，投資于證券，于是16001.61000Aw=對(duì)于資產(chǎn)對(duì)于資產(chǎn) 6000.61000Bw-= -1ABww+=則有則有62022-6-30投資組合的期望收益與方差投資組合的期望收益與方差 設(shè)證券設(shè)證券A的收益率為的收益率為RA，證券，證券B的收益率的收益率RB是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量， 假設(shè)我們已知假設(shè)我們已知RA和和RB的概率分布，的概率分布， 稱稱(ABE RE RA)和)分別為證券 和證券B的期望收益。72022-6-30投資組合的期望收益與方差投資組合的期望

4、收益與方差(),TABww設(shè)w是一投資組合，=AABBRw Rw R投資組合的收益率為w=+則期望收益()()()AABBE Rw E Rw E Rw=+82022-6-30投資組合的期望收益與方差投資組合的期望收益與方差( )2BBRRs證券B收益率的方差記為，( )2AAARRs證券 收益率的方差記為，w則投資組合 的方差( )( )()22222()2cov,(3.1.2)wAABBABABRwRwRw wRRsss=+92022-6-303.1.2 聯(lián)合線聯(lián)合線假設(shè)假設(shè)0.10,0.50.040.10AABBE RRE RR，由式（由式（3.1.1）0.1010.04(3.1.3)wA

5、AERww（1）如果我們假設(shè)）如果我們假設(shè) AR和和BR的相關(guān)系數(shù)為零，的相關(guān)系數(shù)為零， ,0ABCOV RR由式（由式（3.1.2）1222220.0510.10(3.1.4)wAARww102022-6-303.1.2 聯(lián)合線聯(lián)合線設(shè)自有資金設(shè)自有資金1000元，元， 賣空證券收入為賣空證券收入為500元，元， 將這兩種資金將這兩種資金(共共1500元元)投資于證券投資于證券， 計(jì)算得計(jì)算得1.50,0.50ABww 代入式（代入式（3.1.3）和式（）和式（3.1.4）得）得1222221.50 0.100.5 0.050.500.100.09AwE RR 1120

6、22-6-303.1.2 聯(lián)合線聯(lián)合線表表3.1 不同投資組合的期望收益和收益方差不同投資組合的期望收益和收益方差A(yù)wwE RwR1.500.1300.0900.750.0850.0450.500.0700.0560.250.0550.076-0.50.0100.152利用上述表格中的數(shù)據(jù)在利用上述表格中的數(shù)據(jù)在 ,wwRE R的坐標(biāo)系之下畫出一條曲線的坐標(biāo)系之下畫出一條曲線稱為證券稱為證券A和證券和證券B的聯(lián)合線。的聯(lián)合線。122022-6-303.1.2 聯(lián)合線聯(lián)合線024681012141618()PR24681012141.00AAw 0.75Aw 0.50Aw 0.25Aw 0Aw

7、0.5Aw ()AR()BR()AE R()BE R圖圖3.1 證券證券A和和B的聯(lián)合線的聯(lián)合線賣空B投資于A同時(shí)投資于A和B 賣空A投資于BB132022-6-303.1.2 聯(lián)合線聯(lián)合線假設(shè)相關(guān)系數(shù)不為零，假設(shè)相關(guān)系數(shù)不為零，（2） 假設(shè)假設(shè)RA和和RB完全正相關(guān)完全正相關(guān),在（在（RB，RA）坐標(biāo)系內(nèi)，）坐標(biāo)系內(nèi)，是一條斜率為正的一條直線，即是一條斜率為正的一條直線，即01103.1.5BARaa Ra（）如果如果2BARR是（）的 倍，12a 即。0102BAAE Raa E RaE R（）（）（）142022-6-303.1.2 聯(lián)合線聯(lián)合線0.10,0.04ABE RE R將代入，

8、00.16a 得。10%20%30%40%ARBR10%20%30%010%20%圖圖3.2 證券證券A和證券和證券B收益率完全正相關(guān)時(shí)的示意圖收益率完全正相關(guān)時(shí)的示意圖152022-6-303.1.2 聯(lián)合線聯(lián)合線當(dāng)當(dāng)RA和和RB完全正相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)完全正相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)1AB ，由式由式(3.1.2)， 1 0.0510.1 0.1 0.05wAAABAAARwRwRwww()()()()(1) ()wAABBAAABE RwERw E Rw E RwE R162022-6-303.1.2 聯(lián)合線聯(lián)合線表表3.2 不同不同wA值的期望收益率和收益率方差值的期望收益率和收益率方差A(yù)wwE

9、RwR3.000.2200.05002.000.1600.00001.500.1300.02500.750.0850.06250.500.0700.07500.250.0550.0875-0.50.0100.1250172022-6-301612142.00Aw 1.50Aw ()wE R()wR正相關(guān)時(shí)的聯(lián)合線正相關(guān)時(shí)的聯(lián)合線182022-6-303.1.2 聯(lián)合線聯(lián)合線（3） 假設(shè)假設(shè)RA和和RB完全負(fù)相關(guān)完全負(fù)相關(guān),在（在（RB，RA）坐標(biāo)系內(nèi)，）坐標(biāo)系內(nèi)，是一條斜率為負(fù)的一條直線，即是一條斜率為負(fù)的一條直線，即0110BARaa Ra0.050.04ABRR由和（），00.042.00

10、 0.10a得得解得解得00.24a 192022-6-303.1.2 聯(lián)合線聯(lián)合線于是得此直線的方程為于是得此直線的方程為 0.2423.1.7BARR（）30%20%10%10%20%30%40%ARBR圖圖3.3 證券證券A和證券和證券B收益率完全負(fù)相關(guān)情況下的示意圖收益率完全負(fù)相關(guān)情況下的示意圖202022-6-303.1.2 聯(lián)合線聯(lián)合線當(dāng)當(dāng)RA和和RB完全負(fù)相關(guān)時(shí)，完全負(fù)相關(guān)時(shí)， 相關(guān)系數(shù)為相關(guān)系數(shù)為-1， 此時(shí)此時(shí)( )( ) () ( )1wAAABRwRwRsss=-Aw( )wE R( )wRs 3.000.2200.35002.000.1600.20001.500.130

11、0.12500.6670.0800.00000.2500.0550.0850-0.500.0100.1750表表3.3 不同不同wA值的收益率期望和方差值的收益率期望和方差212022-6-3062481012141602468101214()wE R()wRs18完全負(fù)相關(guān)的情況完全負(fù)相關(guān)的情況222022-6-3062481012141602468101214()wE R()wRs181ABr=0ABr=1ABr= -圖圖3.4 3種不同情況下的聯(lián)合線種不同情況下的聯(lián)合線232022-6-303.1.1 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析設(shè)有兩種證券設(shè)有兩種證券A和和B，

12、證券證券A的期望收益記為的期望收益記為 ,Am證券證券B的期望收益記為的期望收益記為 ,Bm設(shè)設(shè)ABmm。設(shè)投資于證券設(shè)投資于證券A的資金權(quán)重為的資金權(quán)重為 Aw ，投資于證券投資于證券B的權(quán)重記為的權(quán)重記為 Bw滿足滿足13.1.9ABww+=（）投資組合投資組合 (),TABwww=的期望收益記為的期望收益記為 wm，則有則有3.1.10AABBwwwmmm+=（）投資組合的收益率投資組合的收益率 wAABBRw Rw R=+的方差的方差 2222223.1.11wAAABABBBww wwssss=+（）242022-6-303.1.1 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析

13、,wBwAABABBAwwmmmmmmmm-=-由式由式(3.1.9)和式和式(3.1.10)解得解得代入式代入式(3.1.10)，得，得() ()()2222222wAwBwBwAwAABBABABABmmmmmmmmssssmmmmmm驏驏-鼢瓏鼢=-瓏鼢瓏鼢瓏-桫桫-整理后，可得整理后，可得()()()()()222222222223.1.12AwBABwAABABwAwAABsmmsmms ssmmssmm輊-+-犏臌=-（）252022-6-303.1.1 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析若若RA和和RB不完全相關(guān)，不完全相關(guān)， 則則2220,ABABs ss-于是

14、式于是式(3.1.12) 的右端作為的右端作為 wm的二次函數(shù)恒大于零，的二次函數(shù)恒大于零， 可以寫成可以寫成 ()2wabcm-+的形式。的形式。 代入式（代入式（3.1.12），得），得()22 0(3.1.13)wwabcacsm-=，易見方程易見方程(3.1.13)在在 (),wwsm平面上的圖形是雙曲線，平面上的圖形是雙曲線， 由于由于 0,wm它只有開口向右的一支。它只有開口向右的一支。 262022-6-303.1.1 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析（1）若）若RA和和RB完全正相關(guān)，完全正相關(guān)， ()()()222(3.1.14)AwBBwAwABsmmsm

15、msmm輊-臌=-可見方程可見方程(3.1.14)的圖形是從的圖形是從 ()0,ABBAABs ms mss驏-桫出發(fā)的兩條射線，出發(fā)的兩條射線， 其中的一條是其中的一條是 ()(),0(3.1.15)AwBBwAwwABsmmsmmssmm-=-272022-6-303.1.1 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析另一條是另一條是()()0(3.1.16)AwBBwAwwABsmmsmmssmm-+-=-（2）如果）如果RA和和RB完全負(fù)相關(guān)，完全負(fù)相關(guān)， 此時(shí)此時(shí) ABABss s= -()()()()2222(3.1.17)AwBBwAwAABBABsmmsmmss ws

16、wmm輊-+-臌=-=-也是兩條射線，也是兩條射線， 這兩條射線從這兩條射線從 ()0,ABBAABs ms mss驏+桫出發(fā)指向右方，出發(fā)指向右方， 282022-6-303.1.1 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析其中一條通過點(diǎn)其中一條通過點(diǎn) (),AAsm其方程為其方程為 ()()0(3.1.18)AwBBwAwwABsmmsmmssmm-+-=-另一條通過點(diǎn)另一條通過點(diǎn) (),BBsm其方程為其方程為 ()()0(3.1.19)BwAAwBwwBAsmmsmmssmm-+-=-292022-6-303.1.1 兩種投資組合均值兩種投資組合均值-方差分析方差分析（3）如

17、果）如果RA和和RB無關(guān)，無關(guān)， 此時(shí)此時(shí)方程方程(3.1.12)變?yōu)樽優(yōu)?0ABs=()()()2222222()()(3.1.20)BwAAwBwAABBABwsmmsmmsss wmm-+-=-=-方程方程(3.1.20)是一條經(jīng)過是一條經(jīng)過 (),AAsm和和(),BBsm的雙曲線的雙曲線 ，其頂點(diǎn)為其頂點(diǎn)為 ()()()22222222,ABBAABABABm sm ss sssss驏+桫。對(duì)應(yīng)于此頂點(diǎn)的投資組合，方差最小，對(duì)應(yīng)于此頂點(diǎn)的投資組合，方差最小， 其方差其方差 ()222222min,ABABABs sssss所以所以()dwE R與與()swE R之差的符號(hào)取決于之差的

18、符號(hào)取決于A的符號(hào)。的符號(hào)。 （1）如果全局最小方差的資產(chǎn)組合的收益率為正，則）如果全局最小方差的資產(chǎn)組合的收益率為正，則 0A 0,Adw在相應(yīng)的雙曲線的上半葉上。在相應(yīng)的雙曲線的上半葉上。 （2）如果）如果 0,A則相反，在允許賣空的情況下，這種情況也可能出現(xiàn)。則相反，在允許賣空的情況下，這種情況也可能出現(xiàn)。 532022-6-303.2.5兩基金分離定理兩基金分離定理注注1 對(duì)于任意兩個(gè)不同期望收益水平的最小方差資產(chǎn)組合對(duì)于任意兩個(gè)不同期望收益水平的最小方差資產(chǎn)組合 uw和和vw他們與他們與 sw和和dw有相同的分離作用，有相同的分離作用， 即即mw可表示為可表示為 uw和和vw的組合。

19、的組合。 542022-6-30注注1證明：證明：由兩基金分離定理，由兩基金分離定理， uw和和vw可由可由sw和和dw表示如下表示如下(1)3.2.18 )uusudaaa=+-www（(1)(3.2.18 )vvsvdbaa=+-www由式（由式（3.2.18a）和式（）和式（3.2.18b），）， 將將sw和和dw解出，得解出，得 11(3.2.19)vusuvvuvmaaaaaa-=-www(3.2.20)vuduvvuvuaaaaaa=-www552022-6-30注注1證明：證明：由由(1)sdwww ，mmmaa=+-將（將（3.2.19）和（）和（3.2.10）代入，得）代入，

20、得3.2.21vuuvvuvuwww（）顯然顯然 1uvuuvv這說明 w可用可用 uw和vw的組合來表示。的組合來表示。 562022-6-303.2.5兩基金分離定理兩基金分離定理注注2 對(duì)任意的投資組合對(duì)任意的投資組合w,有有 1(,)(3.2.22 )wsCov RRaC=設(shè)設(shè)uw和和vw是兩個(gè)最小方差組合，是兩個(gè)最小方差組合， (1),uusudaa=+-www(1)vvsvdaa=+-www則則22()(1)(,)(3.2.22 )uvuvuvvBCov RRbCAaaa aa+-=+ww572022-6-30注注2證明：證明：11(,)stTsCov RRCC ww1www，這證

21、明了第一個(gè)結(jié)論。這證明了第一個(gè)結(jié)論。 將式（將式（3.2.16）( )dBEARw代入式（代入式（3.2.9b），得），得 2221dDBA CCAw。由前段證明可知由前段證明可知 21,(,)1/ssdCov RRCCwww582022-6-30注注2證明：證明：222(,)(1),(1)111 (1)(1)(1)1 ()(1)uvsdsduuvvuvuvuvvuvuvvCov RRCovRRRRBCCCABCA wwwwww592022-6-303.2.5兩基金分離定理兩基金分離定理若若uw是一個(gè)最小方差資產(chǎn)組合，是一個(gè)最小方差資產(chǎn)組合， 其方差不是全局最小值，其方差不是全局最小值， 則存

22、在最小方差資產(chǎn)組合則存在最小方差資產(chǎn)組合 vw ，使使(,)0uvCov RR=ww。稱稱uw和和vw為零為零 b相關(guān)（即協(xié)方差為零）的有效投資組合。相關(guān)（即協(xié)方差為零）的有效投資組合。2022-6-30603.3 具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均值-方差分析612022-6-303.3.1 3.3.1 具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效投資組合具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效投資組合假定市場(chǎng)存在假定市場(chǎng)存在n n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) nXXX,.,21及無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)及無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 0X ，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率是一常數(shù)，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率是一常數(shù)，設(shè)為設(shè)為 fR ，以以w w表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的權(quán)系數(shù)表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的權(quán)系數(shù)， 01Twl

23、w是投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)系數(shù)，是投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)系數(shù)， 表示投資于表示投資于n+1n+1種資產(chǎn)的投資組合的期望收益，種資產(chǎn)的投資組合的期望收益， 則則( )(1)TTfElRRww即即( ( )TffER lRRw622022-6-303.3.1 3.3.1 具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效投資組合具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效投資組合 當(dāng)投資者在市場(chǎng)上可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，當(dāng)投資者在市場(chǎng)上可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，資產(chǎn)組合問題在兩方面發(fā)生了變化。資產(chǎn)組合問題在兩方面發(fā)生了變化。（1）與只有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)算約束不同的是，若投資者）與只有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)算約束不同的是，若投資者 在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資權(quán)重為在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資權(quán)

24、重為 正時(shí)，表示儲(chǔ)蓄；若權(quán)正時(shí)，表示儲(chǔ)蓄；若權(quán) 重為負(fù)，則表示為購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)而籌集資金，即借貸。重為負(fù)，則表示為購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)而籌集資金，即借貸。（2）與只有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)算約束不同的是，平均收益率）與只有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)算約束不同的是，平均收益率 的限制必須表達(dá)成超額收益率形式。的限制必須表達(dá)成超額收益率形式。632022-6-303.3.1 3.3.1 具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效投資組合具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效投資組合最小方差資產(chǎn)組合問題可表示為如下的優(yōu)化問題最小方差資產(chǎn)組合問題可表示為如下的優(yōu)化問題 2min1(3.3.1 )22Taww s.t. (3.3.1 )TffER lRbRw利用利用拉格朗日拉

25、格朗日乘數(shù)法，求解此二次規(guī)劃問題，令乘數(shù)法，求解此二次規(guī)劃問題，令1( ()(3.3.2)2TffLRER l wwRw642022-6-303.3.1 3.3.1 具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效投資組合具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效投資組合最優(yōu)解的一階條件為最優(yōu)解的一階條件為 12,( )0(3.3.3)TfnLLLLER lwww wRw解得最優(yōu)解解得最優(yōu)解 1( ( )(3.3.4)fER l wR01()(3.3.5)TflACR w1 w652022-6-303.3.1 3.3.1 具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效投資組合具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效投資組合為此將為此將(3.3.4)代入代入(3.3.1b)得得 12( ( )( ( )2TfffffRER lER lBR AR CRR因?yàn)橐驗(yàn)?20,BCA所以所以 220,ffBR AR C令令 CRARBHff22則則2(3.3.6)2ffffRRBARCRH662022-6-303.3.2 具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均值方差分析具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均值方差分析 222( ( )( ( )()() 2TTTffffffER lER lRRBARCR wwwRwRfR(3.3.7)()RfffRHRH當(dāng)當(dāng)672022-6-