ZB(七章2講)全同粒子

1、光電信息學(xué)院 李小飛第第 七七章：自旋與全同粒子章：自旋與全同粒子第二講：第二講：全同粒子全同粒子引入： 前面我們主要研究的是單粒子和雙粒子體系問題，對于三體問題，我們采用微擾和變分的方法進(jìn)行處理。 實(shí)際體系，所含粒子數(shù)目眾多，一般應(yīng)要采用統(tǒng)計(jì)物理的方法。本堂課主要目的讓大家了解多體量子體系的特點(diǎn)。下堂課開始學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)物理為了使問題變得簡明，我們著重研究同類粒子構(gòu)成的全同粒子體系 所有固有屬性都相同的粒子稱為一種全同粒子一.全同性原理例如： 所包含的粒子都是電子的體系，就是一種全同粒子體系1.全同粒子體系又如： 光場所包含的都是光子，也是一種全同粒子體系2不可區(qū)分性 經(jīng)典力學(xué)中，全同粒子體系中的

2、粒子雖然固有屬性完全相同，仍可通過位置和運(yùn)動軌跡等加以區(qū)分。 軌道軌道速度速度位置位置 1212微觀粒子，具有波粒二象波粒二象性，沒有確定的運(yùn)動軌道，在波函數(shù)重迭區(qū)域的兩全同粒子無法區(qū)分。 例如：在電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)中，形成干涉條紋的電子，你無法判別是從通哪條縫過來的微觀粒子運(yùn)動微觀粒子運(yùn)動服從服從量子力學(xué)量子力學(xué)用用波函數(shù)描寫波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)在波函數(shù)重疊區(qū) 粒子是不可區(qū)分的粒子是不可區(qū)分的3全同性原理由于全同粒子的不可區(qū)分性，在全同粒子所組成的多粒子系統(tǒng)中，任意選取兩個粒子進(jìn)行交換（位置等），應(yīng)不引起系統(tǒng)狀態(tài)的改變。稱為全同性原理 全同性原理是量子力學(xué)中的基本原理之一，不能推導(dǎo)，只能用

3、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。因此，態(tài)函數(shù)的概率分布不變： 2211()()ijNjiNqqqqtqqqqt 二全同粒子波函數(shù)的特性設(shè)體系由N個全同粒子組成以 表示第i個粒子的坐標(biāo)和自旋iq),(iiisrq ( , )iU q t表示第i個粒子在外場中的勢能),(jiqqW表示第i個粒子和第j個粒子的相互作用能哈密頓量：2121( , , )( , )( ,)2NNijNiiijii jH q qqqq tU q tW q q 很明顯：兩粒子互換，哈密頓量不變1波函數(shù)要么是對稱的，要么是反對稱的方程：111( , )( , ) ( , )ijNijNijNiqqqqttH qqqqtqqqqt11( , , )

4、 ( , )ijNjiNH qqqq tqqqq t交換 與iqjq111(, )(, ) (, )jiNjiNjiNiqqqqttH qqqqtqqqqt交換前后的兩波函數(shù)是同一方程的解 1,1,( , ,)( , ,)ijNjiNqqqqtqqqqt 根據(jù)根據(jù)全同性原理，全同性原理，它們描述它們描述的是同的是同一個態(tài)，一個態(tài)，因此它們因此它們可能可能相差一常數(shù)因子，相差一常數(shù)因子，以以 表示表示： 現(xiàn)在現(xiàn)在再把再把 和和 交換一次交換一次iqjq)()(ijjiqqqq)(2jiqq1 得證：描述全同粒子體系的波函數(shù)要么是描述全同粒子體系的波函數(shù)要么是對稱對稱的的，要么是反對稱，要么是反對

5、稱的的。當(dāng) 時 11,1,( , ,)( , ,)jiNijNqqqq tqqqq t交換后交換后波函數(shù)反號，稱為波函數(shù)反號，稱為反對稱反對稱波函數(shù)波函數(shù)當(dāng) 時 11,1,( , ,)( , ,)jiNijNqqqq tqqqq t交換后交換后波函數(shù)不變，稱為波函數(shù)不變，稱為對稱波對稱波函數(shù)函數(shù)2波函數(shù)的對稱性不隨時間變化 設(shè)設(shè) 時刻波函數(shù)時刻波函數(shù)對稱對稱：( )( )sttt它它滿足滿足薛定諤薛定諤方程方程： ( )( )( )ssitH ttt由于由于 對稱對稱, 也對稱也對稱( )( )sH tt( )stt 在在 時刻時刻，波函數(shù)為，波函數(shù)為 它它 是兩個對稱函數(shù)之和，故也是對稱的。

6、是兩個對稱函數(shù)之和，故也是對稱的。dtt ( )()( )ssttdttdtt同樣可證明同樣可證明反對稱函數(shù)反對稱函數(shù)在以后任何時刻都是反對稱的在以后任何時刻都是反對稱的。證明：證明：方法方法 II ,0ijijH是守恒量，即交換對稱性不隨時間改變。),(),(),(),(),(),(),(22jijijijijiijjiijijijijij 定義交換算符：定義交換算符：1 所以， 結(jié)論：結(jié)論：描寫全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能描寫全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能是交是交換對稱換對稱的或反對稱的的或反對稱的，且這種對稱性，且這種對稱性不隨時間變化。不隨時間變化。費(fèi)米子：費(fèi)米子：自旋為自旋為 奇數(shù)倍的

7、粒子稱為費(fèi)米子。如電子、奇數(shù)倍的粒子稱為費(fèi)米子。如電子、質(zhì)子、中子等粒子，自旋均為質(zhì)子、中子等粒子，自旋均為 ，它們均為費(fèi)米子。，它們均為費(fèi)米子。 22玻色子：玻色子：自旋為自旋為 的整數(shù)倍的粒子稱為玻色子。如介子、的整數(shù)倍的粒子稱為玻色子。如介子、 光子的自旋分別為光子的自旋分別為O O或或 ，它們均為玻色子。，它們均為玻色子。波函數(shù)對稱的粒子稱為波函數(shù)對稱的粒子稱為玻色子玻色子，服從玻色，服從玻色愛愛因斯坦統(tǒng)計(jì)；波函數(shù)反對稱的粒子稱為因斯坦統(tǒng)計(jì)；波函數(shù)反對稱的粒子稱為費(fèi)米子費(fèi)米子，服，服從費(fèi)米從費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)狄拉克統(tǒng)計(jì) 3 3 費(fèi) 米 子 與 玻 色 子 費(fèi) 米 子 與 玻 色 子復(fù)雜費(fèi)米

8、子和玻色子復(fù)雜費(fèi)米子和玻色子241122HHeBose例如：（氘核）和（ 粒子）是子331121HHeFermi例如：（氚核）和是子三三 全同粒子體系的波函數(shù)全同粒子體系的波函數(shù)1、兩粒子體系、兩粒子體系 以以 和和 表示表示 的單個粒子第的單個粒子第i i個個本征值和本征本征值和本征函數(shù)，則單粒子的本征值方程為：函數(shù)，則單粒子的本征值方程為：ii0H01110222() ()()() ()()iiiiiiHqqqHqqq 體系哈密頓算符體系哈密頓算符的本征值方程為：的本征值方程為： 1212(,)(,)Hq qEq q010212( )()U( ,)HHqHqq q哈密頓量：哈密頓量： 這時

9、，體系的態(tài)函數(shù)可以變量分離，表示成單這時，體系的態(tài)函數(shù)可以變量分離，表示成單粒子態(tài)函數(shù)的粒子態(tài)函數(shù)的Hartree積：積：稱這樣態(tài)為稱這樣態(tài)為可分離態(tài)可分離態(tài)（separable state)，統(tǒng)計(jì)物理統(tǒng)計(jì)物理研究。研究。 反之，稱為反之，稱為(純純)糾纏態(tài)糾纏態(tài)(entangled state)。對于對于非全同粒子體系，兩粒子不具有相同的非全同粒子體系，兩粒子不具有相同的波函數(shù)，體系處于混態(tài)（波函數(shù)，體系處于混態(tài)（mixed state），它們的），它們的糾纏態(tài)稱為糾纏態(tài)稱為混糾纏態(tài)混糾纏態(tài)，糾纏糾纏態(tài)態(tài)在量子通訊中有重要應(yīng)用在量子通訊中有重要應(yīng)用(潘建偉團(tuán)隊(duì)潘建偉團(tuán)隊(duì) 2015年世界十大科

10、技第一名，國家自然科學(xué)獎一年世界十大科技第一名，國家自然科學(xué)獎一等獎等獎)1212( ,)( )()ijq qqq當(dāng)兩粒子間的相互作用很小，可以忽略時，當(dāng)兩粒子間的相互作用很小，可以忽略時，體系的體系的哈密頓算符哈密頓算符0102120102()()U(,)()()HHqHqq qHqHq 1212( ,)( ) ()(1)ijq qqq 本本征波函數(shù)征波函數(shù) 本征能量本征能量 ijE若兩粒子交換，則若兩粒子交換，則2121(,)()()(2)ijqqqq能量值仍為能量值仍為 是簡并的是簡并的，稱為，稱為交換簡并交換簡并。 ijE12211221()()()()(,)(,)ijijqqqqqq

11、qq 如果兩粒子處于不同狀態(tài)如果兩粒子處于不同狀態(tài)，即：，交換，即：，交換前后的兩波函數(shù)：前后的兩波函數(shù)：ji 即交換前后按即交換前后按HartreeHartree積構(gòu)成的兩波函數(shù)既積構(gòu)成的兩波函數(shù)既不對稱，不對稱，也不也不反對稱。反對稱。不符合對稱性要求不符合對稱性要求 ！因此因此要改！要改！當(dāng)體系處于可分離態(tài)時，當(dāng)體系處于可分離態(tài)時， FOCK FOCK 發(fā)現(xiàn)：由發(fā)現(xiàn)：由HartreeHartree積的積的和差構(gòu)成和差構(gòu)成的兩個函的兩個函數(shù)，一個是對稱的，一個是反對稱的數(shù)，一個是對稱的，一個是反對稱的 ，因此可以，因此可以用這種方式構(gòu)造體系波函數(shù)用這種方式構(gòu)造體系波函數(shù)玻色玻色系統(tǒng)系統(tǒng)（對

12、稱）（對稱） 1212211( ,)( ) ()() ( )2sijijq qqqqq費(fèi)米費(fèi)米系統(tǒng)系統(tǒng) （反對稱）（反對稱） 1212211( ,)( ) ( )( ) ( )2Aijijq qqqqq 泡利不相容原理兩費(fèi)米子不處兩費(fèi)米子不處 于同于同一態(tài)！一態(tài)！對玻色子系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當(dāng)兩個玻對玻色子系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當(dāng)兩個玻色子處于同一個狀態(tài)時色子處于同一個狀態(tài)時 ，這時這時，故幾率密度故幾率密度，允許！，允許！ 12(,)sq q1221( ,)(,)ssq qq q 12( ,)0sq q0),(221qqs1212211( ,)( ) ()() ( )2sijijq qqqqq

13、對于費(fèi)米系統(tǒng)，波函數(shù)取形式對于費(fèi)米系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當(dāng)當(dāng)兩費(fèi)米子處于同一個狀態(tài)時兩費(fèi)米子處于同一個狀態(tài)時 ，故幾率，故幾率密度密度，不允許！，不允許！),(21qqA0),(21qqA212( ,)0Aq q1212211( ,)( ) ( )( ) ( )2Aijijq qqqqq將將兩粒子體系推廣兩粒子體系推廣到到N N粒子粒子體系（體系（忽略粒忽略粒子間相互作用，稱子間相互作用，稱近獨(dú)立全同粒子近獨(dú)立全同粒子體系）體系）單粒子的本征值方程：單粒子的本征值方程：0()()()nknkknHqqq 體系的薛定格方程：體系的薛定格方程：),(),()(212110NNNinqqqEqqqqH

14、NnnNqHqHqHqHH1002010)()()()(總本總本征能量征能量12NE2、構(gòu)造、構(gòu)造N粒子體系的波函數(shù)粒子體系的波函數(shù)可見可見，近獨(dú)立全同粒子，近獨(dú)立全同粒子體系的能量等于各單粒子體系的能量等于各單粒子能量之和，能量之和，哈密頓算符哈密頓算符的本征函數(shù)是各單粒子的的本征函數(shù)是各單粒子的本本征函數(shù)的征函數(shù)的Hartree-Fock方式方式 構(gòu)成。構(gòu)成。下面分別構(gòu)成下面分別構(gòu)成近獨(dú)立全同近獨(dú)立全同費(fèi)米和費(fèi)米和玻色系統(tǒng)的玻色系統(tǒng)的波函數(shù)。波函數(shù)。 由由N N個費(fèi)米子組成的體系的個費(fèi)米子組成的體系的本征本征函數(shù)：函數(shù)：),(21NAqqq11112121212()( )( )( )( )

15、()( )( )()( )( )()NiiiNjjjNkkkNqqqqqqCqqqqqq稱為斯萊稱為斯萊特行列式特行列式 3、費(fèi)米子體系波函數(shù)費(fèi)米子體系波函數(shù)費(fèi)米費(fèi)米系統(tǒng)系統(tǒng) （反對稱）（反對稱） 1212211( ,)( ) ()() ( )2Aijijq qqqqq121212( )()1( ,)( )()2iiAjjqqq qqq將斯萊特行列式展開，共有 項(xiàng)，所以歸一化常數(shù) !N1!CN 如果如果N N個粒子中，有兩個處于同一個狀態(tài)，則個粒子中，有兩個處于同一個狀態(tài)，則斯萊特斯萊特行列式行列式中有兩行完全相同，這使行列式等于零，中有兩行完全相同，這使行列式等于零，從而體系從而體系的波函數(shù)

16、為的波函數(shù)為0 0 即：不能即：不能有有兩個及兩個以上的費(fèi)米子兩個及兩個以上的費(fèi)米子處在同處在同一態(tài)！一態(tài)！ 交換任意兩個粒子，在斯萊特行列式中就表現(xiàn)出兩列相互交換，這使行列式改變符號。所以 是反對稱的。A11112121212()( )( )( )( )()( )( )()( )( )()NiiiNjjjNkkkNqqqqqqqqqqqq4、玻色、玻色子體系波函數(shù)子體系波函數(shù)1212( ,)( )()()SNijkNPq qqCPqqq 表示對所有可能的排列求和表示對所有可能的排列求和，PC C 是是歸一化歸一化常數(shù)：常數(shù)：因?yàn)镹 個粒子排列共有 kllknNnnnN！121!種不相同的形式

17、。所以歸一化因子為：1!kllCnNnk 是單粒子是單粒子態(tài)態(tài) k 上的粒子數(shù)上的粒子數(shù)玻色玻色系統(tǒng)系統(tǒng)（對稱）（對稱） 1212211( ,)( ) ()() ( )2sijijq qqqqq例1 一個體系一個體系由三個由三個費(fèi)米子組成，粒子間無相互作用費(fèi)米子組成，粒子間無相互作用，單粒態(tài)的可能態(tài)為單粒態(tài)的可能態(tài)為 、 、 ，對應(yīng)能量為，對應(yīng)能量為1.2 1.2 eVeV, , 1.2 1.2 eVeV, 1.5 , 1.5 eVeV，求：，求：（1 1）系統(tǒng)波函數(shù)，能量的可能值及其簡并度）系統(tǒng)波函數(shù)，能量的可能值及其簡并度（2 2）若體系只有二個費(fèi)米子呢若體系只有二個費(fèi)米子呢？123Sol

18、ve （1）111213111123212221313233( )( )( )1( , , )( )( )( )3!( )( )( )Aqqqq q qqqqqqq1122331223311321321 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3!qqqqqqqqq122133112332132231( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )qqqqqqqqqE1E11.2+1.2+1.51.2+1.2+1.53.9 3.9 eVeV，簡并度，簡并度 1 1單態(tài)能量單態(tài)能量：1.2 1.2 1.51.2 1.2 1.5占據(jù)數(shù)占據(jù)數(shù)：1 1 1

19、1 0 01 1 0 10 10 0 1 11 11112110122122( ) ( )1( , )2!( ) ( )Aqqq qqq1112101123132( ) ( )1( , )2!( ) ( )Aqqq qqq2122011123132( ) ( )1( , )2!( ) ( )Aqqq qqqE E1101101.2+1.21.2+1.22.42.4E E1011011.2+1.51.2+1.52.72.7雙粒子能量：雙粒子能量：E E0110111.2+1.51.2+1.52.72.7雙粒子能級：簡并度雙粒子能級：簡并度1 1 =2.4 =2.4 1 1 2 2 =2.7=2.

20、7Solve （2）: 雙雙費(fèi)米子費(fèi)米子 一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用?？赡艿膯瘟Ｗ討B(tài)有三相互作用?？赡艿膯瘟Ｗ討B(tài)有三 ，能量能量分別分別為為1.2, 1.2 , 1.5 eV, 問問體系可能體系可能的微觀狀的微觀狀態(tài)數(shù)目？態(tài)數(shù)目？波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構(gòu)成波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構(gòu)成？能量可能？能量可能值及簡并度？值及簡并度？321,解解：（1 1）三個玻色子分別處于三個單態(tài)上：）三個玻色子分別處于三個單態(tài)上：例例2(1)1111,2,31122331223311321321322311221331123321!1!1!()3!( )()

21、()()()( )()( )()()()( )()( )()( )()()ssq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqq（2 2）三個粒子處于同一個單態(tài)上）三個粒子處于同一個單態(tài)上(2)300123111213(3)030123212223(4)003123313233(,)()()()(,)()()()(,)()()()ssssssq qqqqqq qqqqqq qqqqq （3 3）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)(5)2102123111223111322121321(6)20131231112331113321213311!2!1( ,) (

22、) ( )( )3!( ) ( )( )( ) ( )( )11( ,) ( ) ( ) ( )3( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ssssnq q qqqqqqqqqqnq q qqqqqqqqqq12n 22n 1(7)1201,2,32122132123122223113(8)0211,2,321223321233222233111()( )() ( )3( )( ) ()()( ) ( )11()( )()( )3( )( )()()( )( )ssssnq q qqqqqqqqqqnq q qqqqqqqqqq32n 1(9)1021,2,31132331231331331

23、222(10)01212321323322313323312211() ( )()()3()( )()()( )()11()( )()()3()( )()()( )()ssssnq q qqqqqqqqqqnq q qqqqqqqqqq三三種情況共十個種情況共十個微觀態(tài)，微觀態(tài)，4種能量可能值種能量可能值(1)111ss (2)300ss (3)030ss (4)003ss (5)210ss (6)201ss (7)120ss (8)021ss (9)102ss (10)012ss E E1.2+1.2+1.51.2+1.2+1.53.9 3.9 E E3.6 3.6 E E3.6 3.6 E

24、 E4.5 4.5 E E3.6 3.6 E E3.9 3.9 E E3.6 3.6 E E3.9 3.9 E E4.2 4.2 E E4.2 4.2 體系體系4個能級個能級 E13.6E23.9E34.2E44.5簡并度簡并度4321氫分子或氦原子含兩個氫分子或氦原子含兩個電子電子，若不，若不考慮旋軌耦合考慮旋軌耦合，全全波波函數(shù)函數(shù)可寫可寫成空間與自旋波函數(shù)的乘積：成空間與自旋波函數(shù)的乘積：1212,),)NNr rrs ss （設(shè)體系的核設(shè)體系的核不動不動，則只有兩個電子，則只有兩個電子，是是Fermi Fermi 體系體系，則，則 應(yīng)是反對稱化應(yīng)是反對稱化的，要由的，要由空間波函數(shù)與自

25、旋波函數(shù)共同保證！空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)共同保證！I I、 對稱對稱， 則則 反對稱；反對稱； II II、 反對稱，反對稱， 則則 對稱。對稱。、雙電子體系的自旋波函數(shù)、雙電子體系的自旋波函數(shù)121122( ,), ; ,)NNNq qqr s r sr s（結(jié)論：單求自旋波函數(shù)來說，它可以是對稱的，也可以是結(jié)論：單求自旋波函數(shù)來說，它可以是對稱的，也可以是反對稱的。反對稱的。 不考慮兩電子間自旋相互作用，兩電子體系的自旋函數(shù)應(yīng)由單電子自旋函數(shù)的Hartree積來構(gòu)成，由Hartree積可構(gòu)成四個自旋函數(shù) （三個對稱函數(shù) 和一個反對稱 )sA現(xiàn)在構(gòu)造雙電子體系的波函數(shù)1212()()zzSS

26、),(2121依據(jù)：自旋波函數(shù)可以是對稱的，也可以是反對稱的。依據(jù)：自旋波函數(shù)可以是對稱的，也可以是反對稱的。(1)111222(2)111222(3)111211122222(4)111211122222()()()()1()()()()21()()()()2SzzSzzSzzzzAzzzzSSSSSSSSSSSS現(xiàn)在求自旋大小22222143) 121(21 SS先解單電子體系.1212zzSS11122111220 1101 0012220 1011 010222xxSS 的本征值：2zSS和1112211122010001222001010222yyiiiSiiiiSi 1112211

27、12222zzSS 兩電子體系的總自旋角動量:1212zzzSSSSSS22122212121212() 2xxyyzzSSSSSS SS SS S2,12,0,0SSi SSSSS( , , , )x y z 再考慮兩電子體系2(1)2(1)2(1)12111212221121112122222()()SSSxzxzyyzzSSSSS SSSSSS2(1)2(1)1112222111211122222332 ()()4422()()()()224SSzzzzzzSSiiSSSS現(xiàn)在先算四個態(tài)中的第一個S2(1)111222()()SzzSS22(1)(1)1112111222223()()(

28、)()22SzzzzSSSSS2(1)2s02222)3(2)3(2)2(2)2(2)1(2)1(2 ASSSSSSSSSS 同理可得其他三個態(tài)的同理可得其他三個態(tài)的(1)(1)(2)(2)(3)00zSSzSSzSzASSSS (1)11112112122222()()()()zSzzzzzzSSSSSSS(1)(1)(1)22SSS再求Sz12zzzSSS(1)111222()()SzzSS結(jié)合在一起：結(jié)合在一起：2212(1)31(2)2313(3)201021121121000000sszsmSSSASsSm三重態(tài)單態(tài)2210,1 ;Ss ss 1, 0, 1zssSmm自旋多重態(tài)自旋

29、多重態(tài)自 旋 三 重 態(tài) 、 單 態(tài) 和 糾 纏 態(tài)形象地記:1 2 1/2 兩電子體系自旋三重態(tài)（平行）(1)12(2)12(3)121212SSS 兩電子體系自旋獨(dú)態(tài)（反平行）121212A ) 1 (S)2(S)3(SA對稱波函數(shù)自旋平行三重態(tài)反對稱波函數(shù)自旋反平行單態(tài)例3：本征方程：50 例：一例：一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的玻函數(shù)怎樣用單問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的玻函數(shù)怎樣用單粒子態(tài)構(gòu)成粒子態(tài)構(gòu)成？解：(1)!(3 2 1

30、)!4!(1)!3!(2 1)! 粒子數(shù) 單態(tài)數(shù)粒子數(shù) 單態(tài)數(shù)狀狀態(tài)數(shù)態(tài)數(shù) = =設(shè)兩單粒子態(tài)為設(shè)兩單粒子態(tài)為 和和 。第 一 種 情 況 ：第 一 種 情 況 ：三粒子同處于三粒子同處于 態(tài)：態(tài)：(1)1,2,3123()( )()()sq q qqqq三粒子同處于三粒子同處于 態(tài)：態(tài)： (2)123123( ,)( )()()sq q qqqq(1) (1) 三個玻色子處在同一個狀態(tài)。三個玻色子處在同一個狀態(tài)。(2) (2) 兩個玻色子處在同一個狀態(tài)，另一個玻色子兩個玻色子處在同一個狀態(tài)，另一個玻色子處于另一狀態(tài)。處于另一狀態(tài)。有兩種情況：第 二 種 情 況第 二 種 情 況 ：(3)1,

31、2,31231322312!1!()( )( )( )3!( )( )( )( )( )( )sq q qqqqqqqqqq(4)1231232133121( ,)( )()( )3()( )( )( )( )()Sq q qqqqqqqqqq兩粒子同處于兩粒子同處于 態(tài)，一粒子處于態(tài)，一粒子處于 態(tài)態(tài)兩粒子同處于兩粒子同處于 態(tài)，一粒子處于態(tài)，一粒子處于 態(tài)態(tài) 一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用?？赡艿膯瘟Ｗ討B(tài)有三相互作用?？赡艿膯瘟Ｗ討B(tài)有三 ，問體系可能的狀態(tài)有幾個？波函數(shù)怎樣由單粒子問體系可能的狀態(tài)有幾個？波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構(gòu)成？態(tài)

32、構(gòu)成？321,解：解：(1)!(33 1)!0!(1)!3!(3 1)!粒子數(shù)單態(tài)數(shù)粒子數(shù) 單態(tài)數(shù)（1 1）三個玻色子分別處于三個單態(tài)上：）三個玻色子分別處于三個單態(tài)上：狀態(tài)數(shù)：狀態(tài)數(shù)：例例54(1)1,2,31122331223311321321322311221331123321!1!1!()3!( )()()()()( )()( )()()()( )()( )()( )()()sq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqq（2 2）三個粒子處于同一個單態(tài)上）三個粒子處于同一個單態(tài)上(2)123111213(3)123212223(4)123313233(,)()()()(,)()()(

33、)(,)()()()sssq qqqqqq qqqqqq qqqqq55（3 3）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)(5)21231112231113221213211(6)31231112331113321213311!2!1( ,) ( ) ( )( )3!( ) ( )( )( ) ( )( )211( ,) ( ) ( ) ( )3( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ssnq q qqqqqqqqqqnnq q qqqqqqqqqq5622n 1(7)1,2,32122132123122223113(8)1,2,321223321233222233111()( )()