第11章選擇權(quán)的價(jià)格及其上下限

1、1第十一章第十一章 2買權(quán)的到期收益買權(quán)的到期收益 w 對買權(quán)來說，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在到期日其價(jià)格高於買權(quán)合約上所載明的履約價(jià)格時(shí)，買權(quán)在到期日的價(jià)值即為二者之差；而當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在到期日的價(jià)格是低於或等於履約價(jià)格時(shí)，則買權(quán)價(jià)格為零。以數(shù)學(xué)式說明，假設(shè)以ST代表標(biāo)的資產(chǎn)在選擇權(quán)到期日的價(jià)格，K為履約價(jià)格，則買權(quán)的履約價(jià)值(CT)為 KSKSKSCTTTT當(dāng)當(dāng)03買權(quán)到期價(jià)值 買入買權(quán)KS圖11-1：買權(quán)到期價(jià)值4賣權(quán)的到期收益賣權(quán)的到期收益w 賣權(quán)則與買權(quán)相反，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在到期日其價(jià)格高於或等於賣權(quán)合約上所載明的履約價(jià)格時(shí)，賣權(quán)在到期日的價(jià)值即為零；而當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在到期日的價(jià)格是低於或等於履約價(jià)格時(shí)，賣權(quán)

2、價(jià)格即為二者之差。即： TTTTSKSKSKP當(dāng)當(dāng)05賣權(quán)到期價(jià)值 S買入賣權(quán)圖11-2：賣權(quán)到期價(jià)值K6影響選擇權(quán)價(jià)值的因素影響選擇權(quán)價(jià)值的因素 w 選擇權(quán)的市場價(jià)值或買方所支付的權(quán)利金(Premium)，其在任何時(shí)點(diǎn)的價(jià)值(尤其是美式選擇權(quán))可以拆成兩部分，一為履約價(jià)值，另一為時(shí)間價(jià)值(Time Value) 。 :買權(quán)的市場價(jià)值 :買權(quán)的時(shí)間價(jià)值 :賣權(quán)的市場價(jià)值 :賣權(quán)的時(shí)間價(jià)值 tcttTVKSC),0max(tpttTVSKP),0max(tCtPctTVptTV7影響選擇權(quán)價(jià)值的因素影響選擇權(quán)價(jià)值的因素w 理論上，當(dāng)離到期日愈遠(yuǎn)，投資人等待獲利的時(shí)間愈長，因此時(shí)間價(jià)值也愈高；同理

3、，隨著距到期日愈來愈近，投資人等待獲利的時(shí)間愈來愈少，時(shí)間價(jià)值愈低，當(dāng)?shù)狡跁r(shí)(或買方履約時(shí))，時(shí)間價(jià)值將等於零，此時(shí)履約價(jià)值就等於市場價(jià)值。 w 選擇權(quán)的價(jià)值受此二部分(履約價(jià)值和時(shí)間價(jià)值)的影響，因此任何因素影響此二部分者，必影響選擇權(quán)的市場價(jià)值。一般而言，選擇權(quán)市場價(jià)值主要受下面五個(gè)因素影響。8:買權(quán)的市場價(jià)值:賣權(quán)的市場價(jià)值:標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格:選擇權(quán)履約價(jià)格 :標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)性:選擇權(quán)之有效期間:無風(fēng)險(xiǎn)利率)(2rTKSfC，)(2rTKSfP，CPSK2Tr9影響選擇權(quán)價(jià)值的因素影響選擇權(quán)價(jià)值的因素w 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格： 買權(quán)對買方而言，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格高過履約 價(jià)格愈多，投資人愈有誘因

4、去履行契約，亦 即履約價(jià)值越大，所以選擇權(quán)的價(jià)值也因此 提高；相反地，就賣權(quán)而言，因此一旦標(biāo)的 資產(chǎn)價(jià)格愈高，其履約價(jià)值將越小，所以賣 權(quán)的價(jià)值自然也會(huì)較小。w 選擇權(quán)履約價(jià)格： 當(dāng)履約價(jià)格增加，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格超過履約價(jià) 格的可能性降低，亦即履約價(jià)值越小，所以 買權(quán)的價(jià)值也會(huì)較小，因此賣權(quán)的價(jià)值增加。10w 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)度： 當(dāng)標(biāo)資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)度增加，代表標(biāo)的資產(chǎn) 價(jià)格高過履約價(jià)格的可能性高愈高，買權(quán)的 價(jià)值會(huì)增加。對賣權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波 動(dòng)度增加，當(dāng)價(jià)格上漲，賣權(quán)價(jià)值會(huì)下降， 但至多降到零，而若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下跌則賣 權(quán)價(jià)值會(huì)上漲，最多可達(dá)到履約價(jià)格，以正 向的獲利潛力較大，故標(biāo)的資產(chǎn)

5、價(jià)格波動(dòng)愈 大，賣權(quán)價(jià)值愈高。w 選擇權(quán)的有效期間： 權(quán)利期間愈長，隱含著標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)的可能 幅度愈大， 選擇權(quán)價(jià)值愈高。 11w 無風(fēng)險(xiǎn)利率： 無風(fēng)險(xiǎn)利率的影響主要是在折現(xiàn)的部份。由 於買權(quán)是約定買方能在特定期間內(nèi)以履約價(jià) 格K買進(jìn)標(biāo)的資產(chǎn)。當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí)， 意謂者折現(xiàn)率的升高，履約價(jià)格K的現(xiàn)值減 少，購買標(biāo)的資產(chǎn)的成本降低，因此買權(quán)的 價(jià)值會(huì)上漲，賣權(quán)的價(jià)值會(huì)下跌。w 股利(D) ： 當(dāng)股利發(fā)放時(shí)，持有買權(quán)者在未履約下，並 無法獲得股利，但股利的發(fā)放卻會(huì)使得股票 價(jià)格下跌，使買權(quán)價(jià)值下跌。而賣權(quán)價(jià)值增 加，因此股利與賣權(quán)價(jià)值是呈正向關(guān)係。 12買權(quán)的價(jià)格上下限 w 買權(quán)是以特定價(jià)格買入

6、標(biāo)的資產(chǎn)，因此買權(quán)的價(jià)格必會(huì)小於等於標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，至於買權(quán)的下限，由於買權(quán)在未到期或未被履約時(shí)存在著時(shí)間價(jià)值，因此理論上，買權(quán)的價(jià)格至少是等於到期收益部分。由於買權(quán)是屬於有限責(zé)任負(fù)債(Limited liability)性質(zhì)的資產(chǎn)，故其價(jià)值最低只能為零，故其下限值應(yīng)為), 0(rTKeSMaxCS13賣權(quán)的價(jià)格上下限C=S-Ke-rTK買權(quán)價(jià)值(C)SCC=S14賣權(quán)的價(jià)格上下限w 賣權(quán)的持有者有權(quán)以履約價(jià)格(K)賣出標(biāo)的資產(chǎn)，因此賣權(quán)的價(jià)格必小於或等於履約價(jià)格。至於賣權(quán)的下限，當(dāng)在價(jià)內(nèi)時(shí)，賣權(quán)未到期或未被履約時(shí)亦存在著時(shí)間價(jià)值的部分，因此賣權(quán)的價(jià)格至少等於履約價(jià)格的折現(xiàn)與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格二者之差

7、。由於賣權(quán)也是屬於有限責(zé)任性質(zhì)的資產(chǎn)，故其價(jià)值最低只能為零，綜合上述分析，賣權(quán)的價(jià)格下限應(yīng)為： ), 0(SKeMaxPKrT15賣權(quán)的價(jià)格上下限P=K-SSP=KP賣權(quán)價(jià)值(P)K16w 有幾項(xiàng)因素會(huì)影響時(shí)間價(jià)值，首先，隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲，買權(quán)的時(shí)間價(jià)值會(huì)逐漸變小，這主要是因?yàn)殡S著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上升，代表著未來上漲的空間亦有限，壓縮獲利的空間，因此時(shí)間價(jià)值自然也愈小。w 其次隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下跌，賣權(quán)的時(shí)間價(jià)值會(huì)逐漸變小，其所持的理由與買權(quán)類似，當(dāng)價(jià)格下跌，代表未來再下跌空間有限，對賣權(quán)而言，代表獲利難有大幅增加的機(jī)會(huì)，因此時(shí)間價(jià)值也愈小；最後，隨著選擇權(quán)到期日的接近，時(shí)間價(jià)值亦會(huì)逐漸變小

8、。 17賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理(Put-Call Parity) w 賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理是指相同標(biāo)的資產(chǎn)、履約價(jià)格、到期日的買權(quán)與賣權(quán)必存在一特定關(guān)係，否則會(huì)產(chǎn)生套利的機(jī)會(huì)。有下面四種賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理。w 歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理(無現(xiàn)金股利) w 歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理(有現(xiàn)金股利) w 美式買權(quán)與賣權(quán)之關(guān)係(沒有現(xiàn)金股利) w 美式買權(quán)與賣權(quán)之關(guān)係(有現(xiàn)金股利) 18歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理(無現(xiàn)金股利無現(xiàn)金股利) w 在不發(fā)放現(xiàn)金股利的情況下，假設(shè)有下面二個(gè)投資組合： 投資組合投資組合 A A： 持有一單位歐式買權(quán)以及Ke-rT的現(xiàn)金部位 投資組合投資組合 B B： 持

9、有一單位歐式賣權(quán)以及一單位標(biāo)的股票w 其中買權(quán)與賣權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)(S)、履約價(jià)格(K)、到期日(T)皆相同，表11-1為此二投資組合的期初價(jià)值與到期時(shí)投資組合的價(jià)值。 19投資組合A、B之期初、到期價(jià)值比較 期初價(jià)值到期時(shí)之投資組合價(jià)值ST KST KST = K投資組合 AC + Ke-rT(ST - K) + K= ST0 + K= KST 或 K投資組合 BP + S0 + ST= ST(K - ST) + ST= KST 或 K20歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理(無現(xiàn)金股利無現(xiàn)金股利)w 由上表可知，由於兩投資組合所包含的是歐式選擇權(quán)，在到期日前不能履約，因此我們可以推論，此二

10、投資組合的期初價(jià)值必相等，否則會(huì)存在套利機(jī)會(huì)，也就是 w 即為沒有現(xiàn)金股利下的歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理 。 SPKeCrT21歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理(有現(xiàn)金股利有現(xiàn)金股利) w 假設(shè)現(xiàn)在的時(shí)點(diǎn)為0，選擇權(quán)到期日為T，標(biāo)的股票在t時(shí)發(fā)放現(xiàn)金股利D元，其中0t KST KST = K投資組合 CC + Ke-rT + De-rt (ST - K) + K + Der(T-t)= ST + Der(T-t)0 + K + Der(T-t)= K+ Der(T-t)ST + Der(T-t)或 K+ Der(T-t)投資組合 EP + S0 + ST + Der(T-t)= ST + D

11、er(T-t)(K - ST) + ST+ Der(T-t)= K+ Der(T-t)ST + Der(T-t)或 K+ Der(T-t)23歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理(有現(xiàn)金股利有現(xiàn)金股利)w 由於兩投資組合所包含的是歐式選擇權(quán)，在到期日前不能履約，因此我們可以推論，此二投資組合的期初價(jià)值必相等，否則會(huì)存在套利機(jī)會(huì)，也就是 即為有現(xiàn)金股利情況的歐式賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理。 SPKeDeCrTrt24美式買權(quán)與賣權(quán)之關(guān)係美式買權(quán)與賣權(quán)之關(guān)係(沒有現(xiàn)金股利沒有現(xiàn)金股利) w 在沒有發(fā)放現(xiàn)金股利的情況下，美式買權(quán)不會(huì)提前履約，因?yàn)樘嵩缏募s損失時(shí)間價(jià)值，卻沒有獲得任何補(bǔ)償，所以美式買權(quán)價(jià)值應(yīng)

12、等於歐式買權(quán)價(jià)值。w 就美式賣權(quán)而言，提前履約是有可能的，因?yàn)樘崆奥募s可提早拿到權(quán)利金，當(dāng)提早拿到權(quán)利金的投資報(bào)酬大於時(shí)間價(jià)值時(shí)，投資人即有誘因提早履約，因此美式賣權(quán)的價(jià)值應(yīng)大於或等於歐式賣權(quán)的價(jià)值。美式買權(quán)與賣權(quán)之關(guān)係為SKeCPrT25美式買權(quán)與賣權(quán)之關(guān)係美式買權(quán)與賣權(quán)之關(guān)係(沒有現(xiàn)金股利沒有現(xiàn)金股利)w 我們以下列二投資組合說明： 投資組合投資組合 F F： 持有一單位美式買權(quán)以及現(xiàn)金部位K； 投資組合投資組合 G： 持有一單位美式賣權(quán)以及一單位標(biāo)的股票。 w 若美式賣權(quán)如圖11-6所示在時(shí)間時(shí)提前履約，則此二投資組合的現(xiàn)金流量如表11-3所示： 0T現(xiàn)在提前履約到期日圖11-6：提前履

13、約情況下之投資期間26投資組合F、G價(jià)值比較 w 因美式賣權(quán)提前履約，故投資組合G於時(shí)點(diǎn)之價(jià)值為K；投資組合F之價(jià)值為C Ker，因?yàn)橘I權(quán)價(jià)值必大於或等於零，所以投資組合F於時(shí)之最低價(jià)值為Ker，故投資組合F於時(shí)間的價(jià)值必大於或等於投資組合G。期初價(jià)值時(shí)間投資組合 FC KC Ker投資組合 GP S(K S) + S = K27w 由上述說明可知投資組合F之期初價(jià)值必大於或等於投資組合G，也就是下式必成立，否則會(huì)存在套利機(jī)會(huì)。 w 結(jié)合之前 式，我們可知道相同標(biāo)的資產(chǎn)、履約價(jià)格、到期日之美式買權(quán)與賣權(quán)的關(guān)係為 PCKSSKeCPrTrTKeSPCKS28美式買權(quán)與賣權(quán)之關(guān)係美式買權(quán)與賣權(quán)之關(guān)

14、係(有現(xiàn)金股利有現(xiàn)金股利) w 我們考慮下列二投資組合： 投資組合投資組合 H H： 持有一單位美式買權(quán)、現(xiàn)金部位KDe-rt 投資組合投資組合 I I ： 持有一單位美式賣權(quán)、一單位標(biāo)的股票w 假設(shè)現(xiàn)在的時(shí)點(diǎn)為0，選擇權(quán)到期日為T，標(biāo)的股票在t時(shí)發(fā)放現(xiàn)金股利D元，0t t投資組合 HC + K + De-rtC + Ker + Der(-t)C + Ker + Der(-t)投資組合 IP + SKK + Der(-t)30w 不提前履約的情況下，投資組合H必大於或等於投資組合I。另外由上表可知，若美式賣權(quán)在時(shí)間時(shí)提前履約，由於美式買權(quán)在提前履約時(shí)間的價(jià)值都大於或等於零，所以無論美式賣權(quán)提前

15、履約的時(shí)間是在發(fā)放股利前或發(fā)放股利後，投資組合H在時(shí)之價(jià)值必大於或等於投資組合I，在沒有套利機(jī)會(huì)的狀況下，投資組合H之期初價(jià)值也應(yīng)大於或等於投資組合I。綜合上述分析可得PCKDeSrt31美式買權(quán)與賣權(quán)之關(guān)係美式買權(quán)與賣權(quán)之關(guān)係(有現(xiàn)金股利有現(xiàn)金股利)w 發(fā)放現(xiàn)金股利會(huì)降低買權(quán)價(jià)值、提高賣權(quán)價(jià)值，所以 式的關(guān)係在發(fā)放現(xiàn)金股利的情況下仍成立。 w 最後可得標(biāo)的股票在投資期間發(fā)放現(xiàn)金股利情況下美式買權(quán)與賣權(quán)應(yīng)存在的關(guān)係為SKeCPrTrTrtKeSPCKDS32應(yīng)用一：買權(quán)、賣權(quán)價(jià)格可相互換算應(yīng)用一：買權(quán)、賣權(quán)價(jià)格可相互換算 w 賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理是一簡單又實(shí)用的公式，只要?dú)W式買權(quán)(或歐式賣權(quán))價(jià)格

16、已知，即可求得相同條件的歐式賣權(quán)(或歐式買權(quán))價(jià)格。w 當(dāng)美式買權(quán)(或美式賣權(quán))的價(jià)格已知，即可求得相同條件之美式賣權(quán)(或美式買權(quán))的合理價(jià)格範(fàn)圍。 33w 【例【例11-111-1】：假設(shè)某一股票選擇權(quán)，其標(biāo)的股票現(xiàn)在價(jià)格為NTD42，有效期間為六個(gè)月，若履約價(jià)格為NTD40，年化之無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，如果該股票選擇權(quán)設(shè)計(jì)成歐式買權(quán)，價(jià)格為NTD4.76，求相同條件之歐式賣權(quán)價(jià)格。 w 【解】【解】： 在本例中S = 42、r = 0.1、T=0.5、K=40、C=4.76，根據(jù)(11-11)式?jīng)]有現(xiàn)金股利情況下之賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定 理 = 4.76 + 40e-0.10.5-42 = 0.81

17、 相同條件之歐式賣權(quán)價(jià)格為NTD0.81 SKeCPrT34w 【例【例11-211-2】：同例11-1之條件，如果該股票選擇權(quán)為美式買權(quán)，求相同條件之美式賣權(quán)價(jià)格合理範(fàn)圍。 w 【解】【解】： 例11-1中S = 42、r = 0.1、T=0.5、K=40、C=4.76，根據(jù)(11-17)式?jīng)]有現(xiàn)金股利情況之買權(quán)、賣權(quán)關(guān)係 rTKeSPCKS5 . 01 . 0404276. 44042eP76. 281. 0 P35應(yīng)用二：違反賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理，將有套應(yīng)用二：違反賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理，將有套利機(jī)會(huì)產(chǎn)生利機(jī)會(huì)產(chǎn)生w 【例【例11-311-3】：假設(shè)例11-1之歐式買權(quán)價(jià)格為NTD4.5，歐式賣權(quán)

18、價(jià)格為NTD0.81，則是否存在套利機(jī)會(huì)？若有應(yīng)如何進(jìn)行套利？ w 【解】【解】： 由例11-1之計(jì)算，我們知道歐式買權(quán)價(jià)格應(yīng)為 NTD4.76，因此本例的歐式買權(quán)價(jià)格相對於歐 式賣權(quán)而言低估，進(jìn)行套利應(yīng)買低(買權(quán))、賣 高(賣權(quán))。 36在期初時(shí)買進(jìn)一歐式買權(quán)、賣出一歐式賣權(quán)，並放空一標(biāo)的股票，則可獲得 -4.5 0.81 +42 = 38.31將NTD38.31存入銀行或無風(fēng)險(xiǎn)債券，半年後本利合為 半年後若標(biāo)的股票價(jià)格高於履約價(jià)格，則買權(quán)履約，用NTD 40買一標(biāo)的股票歸還；若標(biāo)的股票低於履約價(jià)格，則賣權(quán)將會(huì)被履約，同樣用NTD 40買一標(biāo)的股票歸還。故到期時(shí)無論標(biāo)的股票價(jià)格高於或低於履約價(jià)格，均可獲得NTD 0.27 (40.27-40)而沒有任何風(fēng)險(xiǎn)。27.4081.385 . 01 . 0e37應(yīng)用三：複製買權(quán)、賣權(quán)或標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)金應(yīng)用三：複製買權(quán)、賣權(quán)或標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)金流量流量 w 賣權(quán)買權(quán)平價(jià)定理的等式關(guān)係，說明買權(quán)、 賣權(quán)、標(biāo)的資產(chǎn)之間可由其中二者加上