晶體的投影和倒易點陣

1、參考教材：參考教材：The Science and The Science and Engineering of Engineering of MaterialsMaterials第第2 2章章 晶體學(xué)基礎(chǔ)晶體學(xué)基礎(chǔ)目錄2晶體及其基本性質(zhì)晶體及其基本性質(zhì)晶向晶向、晶面及、晶面及晶帶晶帶晶體的晶體的間隙間隙晶體的晶體的缺陷缺陷晶體晶體的投影的投影 倒易點陣倒易點陣1.3 1.3 晶體投影晶體投影1.1.球面投影和極射赤面投影球面投影和極射赤面投影2.2.極式極式網(wǎng)與烏式網(wǎng)網(wǎng)與烏式網(wǎng)3.3.晶帶的極射赤面投影晶帶的極射赤面投影4.4.標(biāo)準極射赤面投影圖標(biāo)準極射赤面投影圖20222022年年6 6月

2、月2626日日1919時時0606分分34l概念：概念：晶體的投影是指將構(gòu)成晶體的晶向和晶面等幾何元素以一晶體的投影是指將構(gòu)成晶體的晶向和晶面等幾何元素以一定的規(guī)則投影到投影面上，使晶向、晶面等幾何元素的空間關(guān)系定的規(guī)則投影到投影面上，使晶向、晶面等幾何元素的空間關(guān)系轉(zhuǎn)換成其在投影面上的關(guān)系。轉(zhuǎn)換成其在投影面上的關(guān)系。l分類：分類：球面和赤平面，對應(yīng)的投影為球面投影和極射赤面投影。球面和赤平面，對應(yīng)的投影為球面投影和極射赤面投影。l關(guān)系的確定：關(guān)系的確定：通過晶體的投影可獲得晶體的晶向、晶面等元素之通過晶體的投影可獲得晶體的晶向、晶面等元素之間的關(guān)系。此關(guān)系通常由極式網(wǎng)和烏式網(wǎng)確定。間的關(guān)系。

3、此關(guān)系通常由極式網(wǎng)和烏式網(wǎng)確定。一、晶體的球面投影和極射赤面投影51. 1. 晶體的球面投影：晶體的球面投影：各晶面各晶面法線之投影法線之投影。設(shè)想。設(shè)想以晶體的中心為球心，以晶體的中心為球心，任意長為半徑，作一球面；然后從球心出發(fā)（注意：不是從每個晶任意長為半徑，作一球面；然后從球心出發(fā)（注意：不是從每個晶面本身的中心出發(fā)），引每一晶面的法線，延長后各自交球面于一面本身的中心出發(fā)），引每一晶面的法線，延長后各自交球面于一點點，這些點便是相應(yīng)晶面的球面投影這些點便是相應(yīng)晶面的球面投影點（晶面極點）。點（晶面極點）。大園大園: : 過球心的平面過球心的平面小園小園: : 平面半徑小于球的半徑平面

4、半徑小于球的半徑晶體的球面投影晶體的球面投影：l如果此球面具有像地球儀那樣的經(jīng)緯線，而且以如果此球面具有像地球儀那樣的經(jīng)緯線，而且以表示經(jīng)度，表示經(jīng)度，表表示緯度，那么光學(xué)測角儀所記錄的晶體各晶面的球體坐標(biāo)示緯度，那么光學(xué)測角儀所記錄的晶體各晶面的球體坐標(biāo)和和在在這里將有一致的表達。這里將有一致的表達。l球面上任意兩結(jié)點之間的弧度嚴格表示相應(yīng)的球面上任意兩結(jié)點之間的弧度嚴格表示相應(yīng)的兩個晶面法線兩個晶面法線之間之間的夾角。面間夾角就是它的補角。的夾角。面間夾角就是它的補角。 方位角方位角: 0 360 極距角極距角: 0 180 , 從北極開始從北極開始20222022年年6 6月月2626日

5、日1919時時0606分分62. 2. 晶體的極射投影：晶體的極射投影：是一種二次投影，即將晶體的晶面或晶向的球是一種二次投影，即將晶體的晶面或晶向的球面投影再以一定的方式投影到赤平面所獲得的投影。面投影再以一定的方式投影到赤平面所獲得的投影。包括心射極平包括心射極平投影和極射赤平投影。投影和極射赤平投影。心射極平投影：心射極平投影：定義：定義：將投影平面與上述帶有晶面極點的球面相切與球面上的任一點，將投影平面與上述帶有晶面極點的球面相切與球面上的任一點，以以球心球心為視點，將球面上的晶面極點投影于投影平面上，即以球心與球為視點，將球面上的晶面極點投影于投影平面上，即以球心與球面上的晶面極點做

6、直線延伸到投影平面，此直線與投影平面相交點即為面上的晶面極點做直線延伸到投影平面，此直線與投影平面相交點即為此晶面極點的投影點。此晶面極點的投影點。缺點：缺點：投影直線與投影平面平行的那些晶面極點無法做投影，一個投影投影直線與投影平面平行的那些晶面極點無法做投影，一個投影平面只能記錄球面上部分晶面極點。平面只能記錄球面上部分晶面極點。應(yīng)用：應(yīng)用：詮釋勞埃衍射照片十分有用。詮釋勞埃衍射照片十分有用。7極射赤平投影：極射赤平投影：以赤道平面為投影平面，以南極以赤道平面為投影平面，以南極( (或北極或北極) )為視點，將球面上的各個為視點，將球面上的各個點、線進行投影點、線進行投影。 2022202

7、2年年6 6月月2626日日1919時時0606分分8晶體投影的基本要素晶體投影的基本要素CBDA極射赤平投影極射赤平投影9球面投影與極射赤面投影之間的關(guān)系：球面投影與極射赤面投影之間的關(guān)系：l球面上過南北軸的大圓，其極射赤面投影為過基圓中心的直徑；球面上過南北軸的大圓，其極射赤面投影為過基圓中心的直徑；l球面上未過南北軸的傾斜大圓，其投影為大圓弧，大圓弧的弦為基圓直徑；球面上未過南北軸的傾斜大圓，其投影為大圓弧，大圓弧的弦為基圓直徑；l水平大圓即赤道平面與投影球的交線，其極射赤面投影為投影基圓本身；水平大圓即赤道平面與投影球的交線，其極射赤面投影為投影基圓本身；l水平小圓的極射赤面投影為與基

8、圓同心的圓；水平小圓的極射赤面投影為與基圓同心的圓；l傾斜小圓的投影為橢圓；傾斜小圓的投影為橢圓；l直立小圓的極射赤面投影為一段圓弧，其大小和位置取決于小圓的大小和位置。直立小圓的極射赤面投影為一段圓弧，其大小和位置取決于小圓的大小和位置。傾斜大圓傾斜大圓平行于赤道的小圓平行于赤道的小圓傾斜于赤道的小圓傾斜于赤道的小圓垂直于赤面的小圓垂直于赤面的小圓二、極式網(wǎng)與烏式網(wǎng)101.極式網(wǎng)：極式網(wǎng)：將經(jīng)緯線坐標(biāo)網(wǎng)以其本身的將經(jīng)緯線坐標(biāo)網(wǎng)以其本身的赤道平面赤道平面為投影面，作極射赤面投影，為投影面，作極射赤面投影，所得的極射赤面投影網(wǎng)。所得的極射赤面投影網(wǎng)。由一系列直徑和一系列同心圓組成，每一直徑和同心

9、圓分別表示經(jīng)由一系列直徑和一系列同心圓組成，每一直徑和同心圓分別表示經(jīng)線和緯線的極射赤面投影，經(jīng)線等分投影基圓圓周，緯線等分投影線和緯線的極射赤面投影，經(jīng)線等分投影基圓圓周，緯線等分投影基圓直徑?；鶊A直徑?；鶊A直徑為基圓直徑為20 mm，等分間隔為，等分間隔為211極式網(wǎng)的用途：極式網(wǎng)的用途：l直接讀出極點的球面坐標(biāo)，獲得該晶面或晶向的空間位相；直接讀出極點的球面坐標(biāo)，獲得該晶面或晶向的空間位相；l當(dāng)晶面或晶向的極點在同一直徑上，其間的緯度差即為晶面或晶當(dāng)晶面或晶向的極點在同一直徑上，其間的緯度差即為晶面或晶向間的夾角，可以從極式網(wǎng)上直接讀出；向間的夾角，可以從極式網(wǎng)上直接讀出；l但是，當(dāng)兩極

10、點不在同一直徑上時，無法測量其角度，應(yīng)用受到但是，當(dāng)兩極點不在同一直徑上時，無法測量其角度，應(yīng)用受到限制。限制。2. 烏氏網(wǎng)：烏氏網(wǎng)：(Wulff net)以同時過以同時過NS和和EW的平面為投影面，投影光源為投影面中心法線與投影球的的平面為投影面，投影光源為投影面中心法線與投影球的交點，即前后極點交點，即前后極點F或或L，經(jīng)緯線坐標(biāo)網(wǎng)的極射平面投影即為烏式網(wǎng)。，經(jīng)緯線坐標(biāo)網(wǎng)的極射平面投影即為烏式網(wǎng)。南北軸南北軸NS和東西軸和東西軸EW的投影分別過烏式網(wǎng)中心的水平直徑和垂直直徑。前后軸的投影分別過烏式網(wǎng)中心的水平直徑和垂直直徑。前后軸FL的投影為烏式網(wǎng)的中心；的投影為烏式網(wǎng)的中心；經(jīng)線的投影為

11、一簇以經(jīng)線的投影為一簇以N、S為端點的大圓??；為端點的大圓??；緯線的投影是一組圓心位于南北軸上的小圓弧。緯線的投影是一組圓心位于南北軸上的小圓弧。實際使用的烏式網(wǎng)直徑為實際使用的烏式網(wǎng)直徑為20 mm，圓弧間隔均為，圓弧間隔均為2l烏式網(wǎng)的應(yīng)用烏式網(wǎng)的應(yīng)用：1 1. .夾角夾角測量；測量；2 2. .晶體轉(zhuǎn)晶體轉(zhuǎn)到；到；3 3. .投影面轉(zhuǎn)換投影面轉(zhuǎn)換12經(jīng)緯線坐標(biāo)網(wǎng)經(jīng)緯線坐標(biāo)網(wǎng)烏式網(wǎng)烏式網(wǎng)WE四、標(biāo)準極射赤面投影圖（標(biāo)準極圖）13定義：以晶體的某一簡單晶面為投影圖，將各晶面的球面投影再投影到定義：以晶體的某一簡單晶面為投影圖，將各晶面的球面投影再投影到此平面上去所形成的投影圖。此平面上去所形

12、成的投影圖。在測定晶體取向、如織構(gòu)中非常有用，標(biāo)明了晶體中所有重要晶面的相在測定晶體取向、如織構(gòu)中非常有用，標(biāo)明了晶體中所有重要晶面的相對取向和對稱關(guān)系和對稱關(guān)系，可方便地定出投影圖中所有極點的指數(shù)。對取向和對稱關(guān)系和對稱關(guān)系，可方便地定出投影圖中所有極點的指數(shù)。1.4 1.4 倒易點陣倒易點陣1.1.正點陣正點陣2.2.倒易點陣倒易點陣3.3.倒易矢量的基本性質(zhì)倒易矢量的基本性質(zhì)4.4.正倒空間的關(guān)系正倒空間的關(guān)系5.5.廣義晶帶理論廣義晶帶理論20222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分14一、正點陣15概念：概念：晶體的空間點陣。反映了晶體中的質(zhì)點在三維空間中的周晶

13、體的空間點陣。反映了晶體中的質(zhì)點在三維空間中的周期性排列；期性排列；與與晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)，描述的是晶體中原子的分布規(guī)律，相關(guān)，描述的是晶體中原子的分布規(guī)律，是實際物質(zhì)空間是實際物質(zhì)空間，所在空間為，所在空間為正正空間；空間；分類：分類：7大晶系、大晶系、14種晶胞類型種晶胞類型;晶面、晶向表征方法晶面、晶向表征方法：米勒指數(shù)（：米勒指數(shù)（hkl）、）、uvw或（或（hkil）、）、uvtw;點陣參數(shù)：點陣參數(shù)：a、b、c、，基矢量，基矢量a a、b b、c c，任意矢量，任意矢量R可可表示為表示為R R=ma+nb+pc，其中，其中m、n、p為整數(shù)，為整數(shù)， 、分別為分別為b b與與c c

14、，c c與與a a，a a與與b b之間的夾角。之間的夾角。二、倒易點陣1.1.概念：概念：是一個虛擬點陣，是由厄瓦爾德在正空間點陣基礎(chǔ)上建立是一個虛擬點陣，是由厄瓦爾德在正空間點陣基礎(chǔ)上建立起來的，該點陣的許多性質(zhì)與晶體正點陣保持著起來的，該點陣的許多性質(zhì)與晶體正點陣保持著倒易倒易關(guān)系，故稱為關(guān)系，故稱為，所在空間為所在空間為倒倒空間?？臻g。倒易點陣與倒易點陣與晶體衍射晶體衍射有關(guān)，描述衍射方向問題；有關(guān)，描述衍射方向問題；正空間中的晶面在倒空間表現(xiàn)為一個倒易陣點，同一晶帶的各晶正空間中的晶面在倒空間表現(xiàn)為一個倒易陣點，同一晶帶的各晶面在倒空間中為共面的倒易陣點。面在倒空間中為共面的倒易陣點

15、。倒易空間與厄瓦爾德球相結(jié)合時，可直觀解釋晶體中的各種衍射倒易空間與厄瓦爾德球相結(jié)合時，可直觀解釋晶體中的各種衍射現(xiàn)象，因為衍射花樣的本質(zhì)是滿足衍射條件的倒易陣點的投影?，F(xiàn)象，因為衍射花樣的本質(zhì)是滿足衍射條件的倒易陣點的投影。20222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分162. 倒易點陣坐標(biāo)系的建立：倒易點陣坐標(biāo)系的建立：從正點陣的原點從正點陣的原點O出發(fā)，作任一晶面（出發(fā)，作任一晶面（hkl）的法線）的法線ON，在該，在該法線上取一點法線上取一點Phkl ，使，使OPhkl長度正比例與該晶面間距長度正比例與該晶面間距dhkl的倒數(shù)，的倒數(shù)，則點陣稱為該晶面的倒易點，用則

16、點陣稱為該晶面的倒易點，用hkl表示，所有晶面的倒易點便表示，所有晶面的倒易點便構(gòu)成了倒易點陣。構(gòu)成了倒易點陣。20222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分17倒易點陣中的基本參數(shù)倒易點陣中的基本參數(shù)a a* *、b b* *、c c* *、 * *、 * *、 * *，其中分別，其中分別 * *、 * *、 * *為為b b * *與與c c * * 、c c * *與與a a * * 、a a * *與與b b * *之間之間的夾角，的夾角，a a * * 、b b * * 、c c * *為倒易點陣為倒易點陣的基矢量，任一倒易矢量的基矢量，任一倒易矢量R R* *可

17、表示為可表示為R*= h a a * * +k b b * * +l c c * *20222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分18d(01)d(10)d(02)d(20) 三、倒易點陣基矢與正點陣基矢的關(guān)系19設(shè)有設(shè)有一正點陣一正點陣S，它由三個基矢，它由三個基矢a，b，c來描述，即來描述，即S=S(a，b，c)?，F(xiàn)引入三個新基矢?，F(xiàn)引入三個新基矢a*，b*，c*，由它們，由它們描述描述倒易倒易點陣點陣S*=S*(a*，b*，c*)。則新。則新基矢基矢a*，b*，c*與正點陣基矢與正點陣基矢a，b，c的關(guān)系為：的關(guān)系為： a*a = b*b =c*c =1， a*b =

18、 a*c = b*a = b*c = c*a = c*b = 0倒易點陣的倒易點陣的基矢垂直于基矢垂直于正點陣異名矢量構(gòu)成的正點陣異名矢量構(gòu)成的平面平面。若正點陣的單位格子體積為若正點陣的單位格子體積為V = a a (b bc c) )，倒易點陣的單位，倒易點陣的單位格子體積為格子體積為V*=a*(b*c*) ，則有，則有20222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分 sinsincoscoscoscos* sinsincoscoscoscos* sinsincoscoscoscos*bccaababcVVV由正點陣單位格子就可以求得相應(yīng)由正點陣單位格子就可以求得相應(yīng)的倒

19、易格子的三個基矢長度及交角，的倒易格子的三個基矢長度及交角，反之亦然。正倒點陣一一對應(yīng)。反之亦然。正倒點陣一一對應(yīng)。若若已知晶體點陣參數(shù)，即由上式可已知晶體點陣參數(shù)，即由上式可求得其相應(yīng)倒易點陣參數(shù)，從而建求得其相應(yīng)倒易點陣參數(shù)，從而建立其立其倒易點陣。倒易點陣。20222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分20sin1,*cosbcbcaaVVa sin1*coscaacbbVVb ，sin1*=ccosabbaccVV ，、分別為分別為a與與a*、b與與b*、c與與c*之間的夾角。之間的夾角。立方晶系時，立方晶系時， =0則則a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c四、

20、倒易點陣的基本性質(zhì)21根據(jù)根據(jù)定義在倒易點陣定義在倒易點陣中，從中，從倒易原點到任一倒易點的矢倒易原點到任一倒易點的矢量稱倒易量稱倒易矢量，記為矢量，記為g*hkl 20222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分*hklghakblc可以證明可以證明: 1. g*矢量矢量的方向的方向與晶面相垂直與晶面相垂直g* /N(晶面法線晶面法線) 2. g*矢量矢量長度等于其長度等于其對應(yīng)對應(yīng)晶面晶面間距的倒數(shù)間距的倒數(shù) g* hkl =1/dhkl 證證：設(shè)：設(shè)ABC平面是正點陣中平行晶面平面是正點陣中平行晶面(hkl)組中距原點最近的平面，組中距原點最近的平面，它在三個晶軸上的截

21、距分別為它在三個晶軸上的截距分別為a/h、b/k、c/l。由圖可知，有矢量。由圖可知，有矢量關(guān)關(guān)系式系式AB = OB-OA，所以：所以：AB = b/k a/h，則則g*hklAB = ( ha*+kb*+lc*)(b/k a/h)= h/k a*b a*a +b*b k/h b*a+ l/k c*b l/h c*a = 0所以所以g*hkl AB，同理，同理g*hkl BC，故故g*hklABC平面，平面， 即即g*hkl(hkl)晶面。晶面。20222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分22設(shè)設(shè)n為為沿著沿著g*hkl方向的單位矢量，則方向的單位矢量，則n = g*h

22、kl / |g*hkl|。由圖知，。由圖知，dhkl等于等于a/h在在n方向上的投影，即方向上的投影，即dhkl = a/hn = a/h( ha*+kb*+lc*)/ |g*hkl| = 1/ |g*hkl|所以所以 |g*hkl| =1/dhkll倒易點陣的幾何意義是：倒易點陣的幾何意義是：正點陣中的每組平行晶面正點陣中的每組平行晶面(hkl)相當(dāng)于倒相當(dāng)于倒易點陣中的一個倒易點，此點必須處在這組晶面的公共法線上，易點陣中的一個倒易點，此點必須處在這組晶面的公共法線上，即倒易矢量方向上；倒易點至原點的距離即倒易矢量的長度為相即倒易矢量方向上；倒易點至原點的距離即倒易矢量的長度為相應(yīng)晶面間距

23、的倒數(shù)。由無數(shù)個倒易點組成的點陣即為倒易點陣。應(yīng)晶面間距的倒數(shù)。由無數(shù)個倒易點組成的點陣即為倒易點陣。若已知某一正點陣，就可得出相應(yīng)的倒易點陣。若已知某一正點陣，就可得出相應(yīng)的倒易點陣。20222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分23五、倒易點與正點陣中的(hkl)晶面的對應(yīng)關(guān)系24g*hkl的基本性質(zhì)表達了與（的基本性質(zhì)表達了與（hkl）的一一對應(yīng)關(guān)系，即一）的一一對應(yīng)關(guān)系，即一個個g *與與一組（一組（hkl）對應(yīng)；）對應(yīng)；g* hkl的方向與大小表達了（的方向與大小表達了（hkl）在正點陣中的方位與晶）在正點陣中的方位與晶面間距，反之，（面間距，反之，（hkl）決定

24、了）決定了g *的的方向和大?。环较蚝痛笮?；g* hkl的基本性質(zhì)也建立了作為終點的倒易陣點與（的基本性質(zhì)也建立了作為終點的倒易陣點與（hkl）的一一對應(yīng)關(guān)系：的一一對應(yīng)關(guān)系：p正正點陣中每一組點陣中每一組(hkl)對應(yīng)著一個倒對應(yīng)著一個倒易點易點，該倒易點在倒易點陣中的坐標(biāo)，該倒易點在倒易點陣中的坐標(biāo)(可稱可稱陣點陣點指數(shù)指數(shù))即為即為hkl ；p反之反之，一個陣點指數(shù)為，一個陣點指數(shù)為hkl的倒易點的倒易點對應(yīng)對應(yīng)正點陣中一組正點陣中一組(hkl)，(hkl)方位方位與與晶面間距晶面間距由該倒易點相應(yīng)的由該倒易點相應(yīng)的H(hkl) 決定決定。20222022年年6 6月月2626日日191

25、9時時0606分分l晶面與倒易結(jié)點的關(guān)系晶面與倒易結(jié)點的關(guān)系: : 20222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分25l立方二維點陣與其倒易點陣的關(guān)系：立方二維點陣與其倒易點陣的關(guān)系：20222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分2620222022年年6 6月月2626日日1919時時0606分分27六、廣義晶帶理論28在倒易點陣中，同一晶帶的所有晶面的倒易矢量共面，即倒陣中每在倒易點陣中，同一晶帶的所有晶面的倒易矢量共面，即倒陣中每一陣面上的陣點所表示的晶面均屬于同一晶帶軸。當(dāng)陣面通過原點一陣面上的陣點所表示的晶面均屬于同一晶帶軸。當(dāng)陣面通過原點時則

26、時則 uh+vk+wl = 0當(dāng)?shù)龟嚸娌贿^原點，而是位于原點的上方或下方，則此時當(dāng)?shù)龟嚸娌贿^原點，而是位于原點的上方或下方，則此時uh+vk+wl = N當(dāng)當(dāng)N0時，倒易陣面在原點上方；時，倒易陣面在原點上方；當(dāng)當(dāng)N0時，倒易陣面在原點的下方。時，倒易陣面在原點的下方。廣義晶帶定律示意圖廣義晶帶定律示意圖29廣義晶帶理論物理意義：廣義晶帶理論物理意義：倒倒易矢量的端點表示正空間中的晶面；端點坐標(biāo)由不帶括號的三易矢量的端點表示正空間中的晶面；端點坐標(biāo)由不帶括號的三位數(shù)表示；位數(shù)表示；倒倒易矢量的長度表示正空間中晶面間距的倒數(shù)；易矢量的長度表示正空間中晶面間距的倒數(shù)；倒倒易矢量的方向表示該晶面的法線方向；易矢量的方向表示該晶面的法線方向；倒倒空間的直線點列表示正空間中一個系列平行晶面；空間的直線點列表示正空間中一個系列平行晶面；倒倒空間中的陣面表示正空間中同一晶帶的系列晶帶面。空間中的陣面表示正空間中同一晶帶的系列晶帶面。正正空間的晶面空間的晶面(hkl)可用倒空間的一個點可用倒空間的一個點hkl表示，正空間表示，正空間中同一根晶帶軸中同一根晶帶軸uvw的所有晶面可用倒空間的一個倒易的所有晶面可用倒空間的一個倒易陣面陣面(uvw)*來表示，廣義晶帶中的不同倒易陣面可用來表示，廣義晶帶中的不同倒易陣面可用(uvw)N*表示。表示。本章小結(jié)本章小結(jié)1.1.晶